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第6题 函数性质图象联手，函数不等式对策多
（1）若函数在上是增函数，则a的取值范围是______；
（2）设函数，若当时，不等式有解，则实数b的取值范围是______．
由增函数的定义，设，且，根据．
转化成时，恒成立，从而只要时，即可．
设，且，则．
即，得．
即．
∵，∴，即．
∵，∴欲使恒成立，需求．
还要考虑函数有意义，欲使时，恒成立．
只要时，即可，得．
综上可得，所求a的取值范围是．
（23-24高二下·辽宁·开学考试）
1．已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
令，利用复合函数的单调性，知当和时，函数显然单调递增；
只需研究当时，要使在上单调递增的条件．
令，当和时，函数显然单调递增；
当时，要使在上单调递增，只需．
即，从而可知．
还要考虑函数有意义，欲使时，恒成立．
只要时，即可，得．
综上可得，所求a的取值范围是．
（23-24高一下·重庆沙坪坝·开学考试）
2．已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
令，问题等价于在区间上的最小值小于0．利用二次函数的对称轴与区间的位置关系分类讨论求解．
由题意可知在区间上有解．
令，则等价于在区间上的最小值小于0．
ⅰ当，即时，在上单调递减，∴，即，∴；
ⅱ当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴恒成立，∴；
ⅲ当，即时，在上单调递增，∴，即，∴．
综上，实数b的取值范围为．
（23-24高一上·福建·期中）
3．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
由在区间上有解，通过分离参数得在区间上有解，研究在区间上的最值．
由题意可知在区间上有解．
∴分离参数得在区间上有解．
令，可得在区间上单调递减．
∴，从而实数b的取值范围为．
（23-24高一上·江苏盐城·期末）
4．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
把能成立问题转化为恒成立问题，利用补集法求解：由在区间上有解，从反面考虑，即先考虑在区间上无解，也即在区间上恒成立，结合图象建立不等式组求解．
由题意可知在区间上有解．
从反面考虑，即先考虑在区间上无解，也即在区间上恒成立，
设，结合图像知，只需满足
解得，∴在区间上有解时，，即实数b的取值范围为．
（23-24高一上·上海徐汇·期中）
5．（1）用反证法证明：对任意的，关于的方程与至少有一个方程有实根；
（2）若不等式对于一切实数都成立，求实数的取值范围.
联想“三个二次”关系，令，可知在区间上能成立．从而利用二次函数图像特征找到突破口．
由题意可知在区间上有解，
设，则在区间上能成立．
易知函数的图像经过点，在区间上能成立，只需，∴．即实数b的取值范围为．
（23-24高一上·江苏镇江·期中）
6．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 .
（23-24高三上·安徽池州·期末）
7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）
8．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一上·江苏常州·期末）
9．已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）
10．已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
（23-24高一上·四川内江·期末）
11．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．
（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）
12．已知关于的不等式.
(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)若不等式对有解，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】
利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围.
【详解】设，由，
得，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以对任意的， ，
所以，函数为上的偶函数，且，
由，可得，即，
即，所以，解得，
故选：D
【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.
2．D
【分析】根据题意任意，都有即，构造函数从而得在上单调递增，然后利用复合函数知识从而可得在单调递增，从而可求解.
【详解】
因为若对任意，都有，
所以对任意，都有，
令，则在上单调递增．
首先.
因为在上递增，所以在上递增．
当时，显然符合题意；
当时，令，
则在上递增，所以，则.
综上所述，，故D正确．
故选：D．
3．A
【分析】
化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围.
【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立，
即至少存在一个，使得关于的不等式成立，
画出以及的图象如下图所示，其中.
当与相切时，
由消去并化简得，
.
当与相切时，
由消去并化简得①，
由解得，代入①得，
解得，不符合题意.
当过时，.
结合图象可知的取值范围是.
故选：A
【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解.
4．
【分析】
根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.
【详解】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故答案为：
5．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证明假设不成立即可；
（2）注意讨论不等式是否为一元二次不等式即可.
【详解】（1）假设：存在的，关于的方程与没有一个方程有实根，
则解得，即不存在这样的，和假设矛盾，
因此假设不成立，原命题得证.
（2）不等式对于一切实数都成立,
即对于一切实数都成立，
当时，得，对于一切实数都成立，符合题意；
当时，得，解得.
综上， 实数的取值范围是
6．
【分析】
根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】，
设，
，该二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，，
要想关于的不等式在区间内有解，
只需，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
7．A
【分析】
根据题意，结合对数型复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
因为函数在区间上单调递增，
则有函数在区间上恒正且单调递增，
则满足且，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
8．A
【分析】
确定由和复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】
令，则，即由和复合而成，
而在上单调递增，
故要使得函数在上单调递减，
需满足在上恒成立，且在上单调递减，
即得，解得，即，
故选：A
9．D
【分析】
由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解.
【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为，
可得，且，
所以在上单调递增，所以
因为存在，满足，
则，
所以
解得：，
故选：D.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
10．
【分析】变换得到，设，则，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案.
【详解】，即，，故有解，
设，则，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，故.
故答案为：.
11．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；
（2）分和讨论即可；
（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围.
【详解】（1）因为对都有，
所以的图象关于直线对称，
又因为二次函数的最小值为，
所以可设二次函数的解析式为，
又因为是其一个零点，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，
.
（3）因为关于的不等式在区间上有解，
即不等式在上有解，所以，
记，因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，
所以，即，
故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为.
12．(1)不存在实数，理由见解析
(2)
(3)
【分析】
将转化为，
（1）讨论和时的情况；
（2），显然该函数单调，所以只需即可.
（3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.
【详解】（1）
原不等式等价于，
当时，，即，不恒成立；
当时，若不等式对于任意实数恒成立，
则且，无解；
综上，不存在实数，使不等式恒成立.
（2）
设，
当时，恒成立，
当且仅当，即，
解得即，
所以的取值范围是.
（3）
若不等式对有解，
等价于时，有解.
令，
当时，即，此时显然在有解；
当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解；
当时，对称轴为，，
时，有解，
结合一元二次函数图象，易得：或，
解得或（无解），
又∵，
;
综上所述，的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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