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2009年瑞安市中小学教师评选论文
学 段：□高中 □初中 □小学 □幼儿园
类 别：学科教学
学 科： 高 中 数 学
学 校： 瑞 安 市 龙 翔 高 级 中 学
姓 名： 汤 章 虹
论文题目： “概率四兄弟”教法浅析
（内页不要署名）
附件4:
论文评选承诺书
本人 汤章虹 参加2009年瑞安市中小学教师论文评选，郑重承诺所交论文内容不存在剽窃、抄袭等弄虚作假行为，如有虚假，愿接受一切处理。
承诺人： 汤章虹
单 位：(盖章)
2009年 月 日
“概率四兄弟“教法浅析
提要 概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论，产生于17世纪中叶。它不仅有自己独立的研究问题，还在现实世界中有着意想不到的应用。高中数学概率问题是高考的必考的知识点，而古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。
主题词 古典概率 二项式定理 伯努利实验
我把古典概率归结为四种类型，形象地把他们称为概率四兄弟：
（老大）简单随机抽样型：
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成，如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：
例1：如某盒子中有8个黑球，2个白球，从中随机取出一个球，则取到一个白球的概率为
变式：两个黑球和两个白球除颜色外均相同。现将球依次取出，求第二次取到黑球的概率。
解法一： 把这四个球编号，例如黑球编号为1、2，白球编号为3、4，把这四个球依次取出有4×3×2=24种可能。第二次取到黑球有2×3×2=12种可能。则第二次取到黑球的概率为
解法二：只需考虑取到前两个球时的情况从四个球中依次取出两个有 4×3=12种可能第二次取到黑球有2×3=6种可能则所求概率为
解法三： 不考虑球的编号，把4个球依次取出，相当于在4个位置上放两个相同的黑球和两个相同的白球，一共有6种放法其中第二个位置放黑球有3种放法则所求概率为
解法四： 只关心第二次取到的球，无非是1、2、3、4号球4种可能。取到黑球即：取到第1或第2号球则所求的概率为
（老二）“至少有一个型“、”或型”：互斥事件至少有一个发生的概率
例2：如某盒子中有8个黑球，2个白球，从中随机取出2个球，则至少取到一个白球的概率为
+==
（老三）“A且B型”：相互独立事件同时发生的概率
例3：如甲、乙、丙三个人每人射击命中目标的概率分别为0.7、0.8、0.9，求他们三个人同时击中的概率是多大？
（老四）“伯努利实验型”：某一事件A在n次独立重复实验中发生k次的概率，叫“伯努利实验”简称“伯氏实验”
在概率四兄弟中老大是基础，而伯氏实验则是综合中的特例，解题是要充分运用四兄弟的各功能，则会如鱼得水，左右逢源。
例4：某运动员在一次动会中参加100米、200米、400米三项比赛，根据以往比赛成绩，他获得这三项比赛第一名的概率依次为0.9、0.8、0.85
求（1）他这三项均未获得第一名的概率；
（2）他在这三项比赛中恰有一项未获得第一名的概率。
分析：第(1)问中要读懂“均”的数学含义，在这里“均”指“都”，即“且”型———且100米未得第一名且200米未得第一名且400米未得第一名。
第（2）问中恰有一项未获得第一名的“恰”在这里的含义是指“恰100米未得第一名或200米未得第一名或400米未得第一名”，所以这一问是属于“或”型
解（1）：
（2）
=
=
=0.068+0.153+0.108
=0.329
解题反思：本题是“且型”、“或型”的混合型小综合题。
例5．在一个中袋中，装有形状大小完全相同的10个编号不同的小球，其中红色球2个，黄色球4个，小李随机地从中取也3个并记下颜色后又将其放回，
在小李邓也的3个球中，求含有两种颜色球的概率，
小李这样连续取出5次，求恰有两次取也的是两种颜色球的概率。
分析：3个球有两种颜色说明一种颜色有2个球，另一种颜色只有一个球（具体分为红2黄1或红1黄2），第2小题中“连续取5次”相当于做5次实验，“恰”有2次取到两色球相当于恰有2次实验成功，可用伯氏实验可算出概率。
解：（1）
（2）
比较例1与例2，虽然题目中都有恰这个字，但解法略有不同，一定要注意区别。概率问题中有几何概率和古典概率两大部分，其中的古典概率题目大部分是四兄弟问题中的综合问题，只要把这四兄弟掌握好就可以解答很多问题，不过教学上有“无法之法，乃为至法”一说,上述这些只是对概率的初步的阐述，希望能起到抛砖引玉的作用。

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