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大题培优06导数
目录
【题型一】导数含参讨论基础：一次型双参 1
【题型二】导数含参讨论基础：双线型 3
【题型三】导数含参讨论基础： 三角函数型 6
【题型四】恒成立求参：整数解型 9
【题型五】恒成立求参：三角函数型整数解 11
【题型六】能成立求参 14
【题型七】能成立求参：双变量型 17
【题型八】能成立求参：三角函数型 20
【题型九】零点型求参：两个零点与三个零点 22
【题型十】同构型求参 26
【题型十一】同构型证明不等式 29
【题型十二】三个零典型证明不等式 31
【题型十三】证明含三角函数型不等式 34
【题型十四】三角函数型极值点偏移 36
【题型十五】数列型不等式证明 38
【题型一】导数含参讨论基础：一次型双参
对于求导后，其中皆为参数 1.令，得第一讨论点 2.令动根定义域端点值，可得其余讨论点 3.注意对应讨论点斜率正负。根的位置，画出对应图像，查找落在定义域部分正负 4.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。 5.分界点可以合并到区间处（需要检验）
1.（北京交通大学附属中学2022届高三12月月考数学）已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．
【答案】（1）答案见详解
（2），；
【分析】
（1）求导得，分类讨论参数，结合导数正负即可求解函数单调区间；
（2）求出过点的切线方程，分别令求出，令求出，结合三角形面积公式可求，结合导数即可求解的最大值．
（1）（1）由求得，
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，时，单调递减；时，单调递增；
当时，时，单调递增；时，单调递减；
（2）当时，，过点的切线方程为，
令得，令得，，，
，
当时，，单调递增；
当时，，单减，
故.
故，；.
2.已知．
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数的两个零点，求证：．
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）构造函数，与y＝m图象两交点的横坐标为，，问题转化为证明，，根据函数的单调性证明即可．
解（1），，，当时，，
即的单调递增区间为，无减区间；当时，，
由，得，时，，时，，
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）
证明：由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．
不妨设，由条件知，即，
构造函数，与图象两交点的横坐标为，，由可得：，
由的图像明显可得在上，的图像在图像的上方，
即，即，，知在区间上单调递减，在区间上单调递增．可知，欲证，只需证，
即证，考虑到在上递增，只需证
由知，只需证令，
则，
即在定义域上为单调递增函数，，结合知，
即成立，即成立．
【题型二】导数含参讨论基础：双线型
如型双线讨论法 1.第一线：2.第二线： 3.双线共系： 4.可讨论动根与定根的大小关系，然后知两线函数值积的正负 5.要留意指数函数有渐近线，所以讨论时候注意“第二线”是否有根
1．（2021·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调性.
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】（1）由题知的定义域为， ．
若，则当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
若，则当或时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，则当时，，∴在上单调递增；
若，则当或时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，
由，得，故．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
由，得
设，则，
∴在上单调递减，
∵，∴由得．
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】对于恒成立问题，常通过分离参数，将问题转化为含参部分大于（或小于）另一端不含参数部分的最大值（或最小值）问题，再利用导数研究不含参数部分的最值，若分离参数后不易求解，就要从分类讨论和放缩等问题入手解决．
2.已知函数，既存在极大值，又存在极小值.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.【分析】
（1）由已知可得，分析可知方程有两个不等的实根，解方程，可得出关于的不等式，即可得解；
（2）求得，，可得出，，由已知可得，构造函数，其中，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，验证不等式对任意的是否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
（1）
解：由可得，
因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则，
由可得，，所以，，解得且.因此，实数的取值范围是.
（2）解：，则.由可得，此时函数单调递减，
由可得或，则函数的增区间为和，
所以，，，则，，由题意可得对任意的恒成立，由于此时，则，所以，，则，
构造函数，其中，则，
令，则.
①当时，，所以，在上单增，所以，即，符合题意；
②当时，，设方程的两根分别为、，则，，设，
则当时，，则在上单调递减，
所以当时，，即，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
3.（四川省南充市2021-2022学年高三高考适应性）已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．
【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出后，分，，三种情况，由的正负确定函数的单调性；
（2）根据的单调性，利用零点存在性定理进行证明即可.
（1），，令，得或，
①当时，由，得或；由，得，
在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，时；当时.在上单调递增；
③当时，由，得或;由，得，
在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，
存在唯一的，使得．函数在区间内有唯一的一个零点.
【题型三】导数含参讨论基础： 三角函数型
1.三角形式注意适当合理的恒等变形 2.充分利用三角函数正余弦的有界性。
1.已知.
（1）求的单调区间；
（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）对求导可得，讨论、求自变量范围，即可确定单调区间；
（2）由题设得，讨论、、结合导数及零点存在性定理判断零点的个数，即可证明结论.
（1）
由题意知：，
令，得或，令，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意知：，
①当时，，
易知：在上单调递减，且，
（i）若，则，则在上单调递增
又，，则在上有唯一零点；
（ii）若，则，又，∴存在，使得，
∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，又，，∴在上有唯一零点，
综上，在上唯一零点；
②当时，，由，则在上单调递减，又，，∴在上有唯一零点；
③当，∴，故在上无零点，综上，时在上有且只有两个零点.
2.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
【答案】
（1）在区间和上单调递增，在和上单调递减
（2）的最大值为1，最小值为
【分析】(1)结合已知条件求出，然后求出，进而即可求解；(2)首先求出的周期，然后结合(1)中条件即可求解.
（1）由题意，，
令，，解得或或，当时，；当时，，
∴在区间和上单调递增，在和上单调递减；
（2）由，易知是以为周期的周期函数，
故可取这一周期讨论最值，因为在区间和上单调递增，在和上单调递减，
故在和取得极小值，在取得极大值，因为，，，
所以的最大值为1，最小值为．
3.已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】
（1）在单调递减，在单调递增.（2）
【分析】
(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；
（1），，
①当时，，
在恒成立，，在单调递减，
②当时，令，则在恒成立，
在单调递增，且，在恒成立，
即在恒成立，在单调递增，综上所述：在单调递减，在单调递增.
（2）当时，
在恒成立，令，
，令，
由（1）得，在单调递增，且，
在恒成立，在单调递增，，
.
【题型四】恒成立求参：整数解型
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求证；
(2)是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于恒有：，若存在，请求出k的范围以及正整数a的值；若不存在请说明理由.（下表的近似值供参考）
ln2 ln3 ln4 ln5 ln6 ln7 ln8 ln9
0.69 1.10 1.38 1.61 1.79 1.95 2.07 2.20
【答案】(1)证明见解析(2)存在，，
【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，得到函数最小值，故证明即可，变形后得到，构造函数证明出结论；
（2）由（1）可知，参变分离后，二次求导，得到的单调性，结合，求出，并求出正整数a的值.
【详解】（1），定义域为，，
当时，；当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
∴．下证：，上式等价于证明．设函数，
则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，则，即．
（2）由（1）可知，故不等式只有唯一的正整数解，则．
设函数，则，其中，．
令函数，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增．
又，，
故存在满足，∴函数在上单调递增，在上单调递减，上单调递增．
其中，，，故，∴，此时．
2.（2022·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数在处切线的方程；
(2)是否存在实数，使得只有唯一的正整数，对于恒有？若存在，求出的取值范围及正整数的值，若不存在，请说明理由？（下表的近似值仅供参考）
【答案】(1)。(2)存在，，
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程；
（2）问题转化为，构造函数，求出函数单调性，根据函数值的情况，即可求出的值．
【详解】（1）当时，函数，
求导，则切线的斜率又，即切点，
故函数在处切线的方程：
（2）函数，则，，求导，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，函数取得最大值，即，
对于恒有，转化为，即，
令，求导。求二阶导，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且
，存在使得，又
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
(3)，(4)，(5)，
，，，此时．
3.（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数，，（）.
(1)求函数的最小值；
(2)若有两个不同极值点，分别记为，，且.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围.
【答案】(1)-1(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）对求导，判断与的大小，即可求出的单调性和极值；
（2）（ⅰ）将题意转化为方程有两个不同的根，，令，对求导，判断与的大小，即可求出的单调性和极值，画出的图象即可得出答案；（ⅱ）由题意可将题意转化为恒成立，令，即恒成立，记函数，，即对求导，可证明，即可得出答案.
【详解】（1）由题意得：，，当时，，此时，在上单调递减；
当时，，此时，在上单调递增；所以.
（2）（ⅰ）由题意得的定义域为，得
因两个不同极值点，故方程有两个不同的根，（），
即方程有两个不同的根，。记函数，则
当时，，此时，在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以。又当时，，当时，，
且当趋近于正无穷时，趋近于，所以，方程有两个不同的实数根，当且仅当.

（ⅱ）由（ⅰ）知得，（※），所以，即（※※），
由不等式恒成立，即恒成立，
由（※）、（※※）得即恒成立，
亦即恒成立，设，时，得恒成立，
进而得恒成立（※※※），记函数，，
则，（），
当时，，在上单调递增，所以恒成立，故满足题意
当时，若时有，则在上单调递减，
所以，当时有，与题意（※※※）不符，综上得正数的取值范围是.
【题型五】恒成立求参：三角函数型整数解
1.（2020·云南昆明·统考三模）已知．
（1）证明：；
（2）对任意，，求整数 的最大值．
（参考数据：）
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】（1）求导得到单调区间，计算得到证明.
（2）令，则，计算得到，再证明恒成立即可，令，证明在上单调递增，计算得到答案.
【详解】（1），则，令，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以，所以．
（2）由恒成立，令，则，由，得整数，
因此．下面证明对任意，恒成立即可．
由（1）知，则有，由此可得：
，
令，则，
设，又，所以单调递增，
当时，，在上单调递增．
故当时，，所以恒成立，
综上所述：整数 的最大值为2．
2.（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，.
（1）若，求函数在上的单调区间；
（2）若，不等式对任意恒成立，求满足条件的最大整数b.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）3；
【解析】（1）利用导数研究函数的单调区间即可；
（2）根据分析知在上恒成立，分类讨论参数
，当时不等式恒成立，时，不能恒成立，时，上恒成立，在也要恒成立则必须要，有，结合基本不等式即可求的范围，进而得到最大整数值.
【详解】（1）当时，，
，而时，，∴时，在上单调递增，
时，在上单调递减；综上，在上单调递增，在上单调递减；
（2），，令由知：
，时，而知，
∴，使在上单调增，在上单调减；而，
∴在上恒成立.∴当时，有恒成立.
当时，有恒有，令即，
∴上，而在上，令，
，即单调减，又，
所以使，即上，单调增，上，单调减，
∴综上，，使在上单调增，上单调减；又，
1、时，在上单调减，上单调增，且，故此时不能保证恒成立；
2、时，上恒成立；在上要使恒成立，
令，有恒成立，
所以只要单调递增即可，有成立，
即
综上，知：时不等式对任意恒成立，故.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数．
(1)讨论在区间内极值点的个数；
(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．
【答案】(1)答案见解析；(2)1.
【分析】（1）对函数进行求导得出，令，求导得，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性和极值，从而求得在区间内极值点的个数；
（2）由，时，恒成立，求得，进而证明时，在，恒成立，利用放缩法得到，设，，，从而得出，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得，即恒成立，由此确定整数的最小值.
【详解】（1）解：由，得，
令，则，，，，
当时，，单调递增，即在区间内无极值点，
当时，，，故，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，且时，，递减，
，时，，单调递增，故为的极小值点，
此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当时，在区间内无极值点，当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．
（2）解：若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
因为，，所以在上存在零点，
且时，；时，，故在上为减函数，在上为增函数，
又，，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，故单调递减，
故，时，即成立，综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1．
【题型六】能成立求参
利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），.
1.（2023下·北京·高三校考）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若存在（是常数，）使不等式成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的递减区间是，递增区间是(2)
【分析】（1）求得，令，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）把不等式转化为则有解，设，即，求得，求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的定义域为，且，令，解得，
所以，，的对应值表为
x
- 0 +
极小值
所以的递减区间是，递增区间是.
（2）解：由不等式，可得，则
设，因为存在，恒成立，所以
又由，令，解得或（舍去）。根据的对应值表
x 1
- 0 +
极小值
所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以，
因为，，所以，所以.
2.（2023下·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数．
(1)若，，求关于x的方程，的实根个数；
(2)令，若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)有两个不等实根(2)
【分析】（1）经过二次求导得出在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据，且，，即可得出结论.
（2）将不等式在上有解，转化为在能成立，令，通过求导得出单调性，即可得出结果.
【详解】（1），所以，
令，则，所以在时恒成立，
所以在上单调递增，且，，
所以存在使得当时，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，且，
由函数观察可知，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，因此时关于的方程有两个不等实根．
（2）不等式在上有解，即等价于存在，使得有解，
即存在，使得能成立，即得.令，设，则，当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，设，当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，综上所知在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值为，所以，即a的取值范围为．
3.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知．（）
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）分和讨论即可；
（2）代入值，分离参数得，，设，利用导数和隐零点法即可得到答案.
【详解】（1）因为,所以,
若时,单调递减,时,,单调递增；
若,由得或,设,则,时,单调递减,
时,单调递增,所以，所以,所以时,单调递减,
，时,,单调递增.综上得,当时,在上单调递减,在上单调递增,
当时,在上单调递减,在，上单调递增.
（2）当时,,存在,使得成立,
即成立,即成立，设,则,
设,，则在上单调递增，
且,所以存在,使得,
所以令，，在上单调递增,得,所以,时,单调递减,
时,,单调递增，所以,
所以,即的取值范围是.
【题型七】能成立求参：双变量型
已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，．
(1)试讨论函数的极值；
(2)当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求导，根据参数讨论导函数是否存在零点，分析极值点，得到极值；
（2）问题转化为，根据（1）可以得出，的最值还需借助隐零点问题来解决.
【详解】（1）由题意得的定义域为，．
当时，在区间内恒成立，
在区间内单调递增，无极值．
当时，令，得；令，得．
在区间内单调递增，在区间内单调递减，
在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．
（2）由知当时，的最大值为．
由题意得，且在区间内单调递增．又，，根据零点存在定理可得，存在，使得，且当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，．
，，两边取对数可得，．
令，则当时，，
即函数在区间内单调递减，故，，即，即．对任意的，，总有成立，，即，，即．又，故的最大值为0．
2.（2022上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调性见解析。(2)
【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到单调性；
（2）当时，可知恒成立，知不合题意；当时，取，，通过放缩可得，符合题意；当时，将不等式转化为，根据单调性可分别求得和，由此可构造不等式求得结果；综合三种情况可得的取值范围.
【详解】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令有，故当，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；，，在上单调递增，，，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，且存在，，使得，求实数t的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）讨论，两种情况，由导数得出单调性；
（2）讨论，，三种情况，得出，进而由得出实数t的取值范围．
【详解】（1）
因为，所以当时，，在上单调递增；
当时，时，，时，.
此时在上单调递增，在上单调递减.
综上可知，当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减.
若，则在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.
所以，
若，则
若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.
所以，即
所以存在，，使得，只需，
所以，即实数t的取值范围.
【题型八】能成立求参：三角函数型
1.（2022·河南·校联考二模）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）、，使得不等式成立，求的取值范围；
（3）不等式在上恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）；（3）.
【分析】（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）求得，由题意可知，在时有解，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围；
（3）由题意可知，，构造函数，其中，利用导数求出函数，又由结合可得出结果.
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，.
①当时，，，则， 在上是减函数；
②当时，设，则，
所以，函数在上为增函数，所以，当时，，所以，函数在上为增函数.综上所述，函数的减区间为，增区间为；
（2）由（1）知，函数，、，使得不等式成立，
等价于不等式在时有解，即不等式在时有解，
设，，当时，，则，而，所以恒成立，即在上 是增函数，则，因此，实数的取值范围是；
（3），恒成立，等价于，
令，其中，则，，
，，，，，
在上单调递增，，
在上递增，，，
，且，因此整数的最大值为.
2.（2022上·江西宜春·高三校联考阶段练习）已知函数，.
（1）讨论在内的零点个数.
（2）若存在，使得成立，证明：.
【答案】（1）一个；（2）证明见解析.
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，分析得出，可得出在上无零点，在时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；
（2）利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，分析得出，即可证得结论成立.
【详解】（1）当时，，，此时函数无零点；
当时，，令，其中，则，所以，函数在单调递减，所以，，
所以，对任意的，，则，所以，函数在上为减函数，
因为，，所以，函数在上只有一个零点.
综上所述，函数在上只有一个零点；
（2）由得，令，，，
令，则，当时，，所以，函数在上单调递增，当时，，此时，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，因为，，
所以，存在，使得，变形可得，
当时，，当时，.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
，其中，对于函数，，，所以在递减，则，
故，所以成立.
3.（2022·辽宁·校联考一模）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【答案】(1)讨论见解析(2)证明见解析
【分析】(1)对原函数求导后利用判别式对 进行分类讨论即可；
(2)理解“有解”的含义，构造函数将原不等式转化为求函数的最大值.
【详解】（1） 的定义域为R，， ，
①当时， ，有两个不等实数根为：，
时，，单调递增，时，
，单调递减，时，，单调递增，
②当时， ，，所以在上单调递增；
（2）不等式 等价于 ，所以只需证 的最大值大于1，
因为，，又，所以，时等号成立，
所以 ，设函数 ， ，，，单调递增，，，单调递减，
因为 ，所以存在，使不等式 有解.
【题型九】零点型求参：两个零点与三个零点
1.（2023上·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考）已知函数，，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：.
【答案】(1)(2)(3)证明见详解
【分析】（1）先求导，利用导数可得切线斜率，由点斜式方程可得；
（2）利用导数讨论单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围；
（3）构造差函数，证明极值点偏移问题.
【详解】（1）定义域为，，所以切线斜率为，
又，所以切线方程为，即.
（2），
定义域为，，
①当时，有恒成立，在上单调递增，函数不可能有两个零点；
②当时，由，解得，由，解得，
故函数在上递增，在上递减．因为，
故，设，，
则，当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，故，即
，取，则.
因此，要使函数且两个零点，只需，即，化简，得，令，因为，
所以函数在上是单调递增函数，又，故不等式的解为，
因此，使求实数a的取值范围是：.
（3）因为，所以，根据（2）的结果，不妨设，则只需证明，
因为在时单调递增，且，，于是只需证明，
因为，所以即证，记，，
，
所以在单调递增，则，即证得，原命题得证.
2.（2021上·河南·高三阶段练习）已知
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，若当时，有三个不同的零点，求实数的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题可得，再利用导数的几何意义即得；
（2）由题可得，分类讨论，当时，利用导函数可得函数最多有一个零点，当时，最多有一个零点，当时，利用导数可得，，再利用导数求最值即得.
【详解】（1）因为时，，所以，，
又，所以切线方程为，即所求的切线方程为．
（2）∵，所以，令，则，
因为，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，
①当，即时，，因为且在上单调递增，
所以，又．所以，使得，
又在上单调递减，所以当时，，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以函数最多有一个零点，不合题意；
②当，即时，，此时在上恒成立，则在上单调递增，
所以在上最多有一个零点，不合题意；
③当，即时，，因为且在上单调递减，
所以，因为当时，易证得，
所以，易证，
所以，使得，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，所以要使有三个零点，必有，
所以，即，所以，又因为，令，则，因为当时，，所以函数在区间上单调递增，
所以，即．
3.（2022上·全国·高三阶段练习）已知函数.
(1)当时：
①解关于的不等式；
②证明：；
(2)若函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)①；②证明见解析(2)
【分析】（1）①利用导数判断函数单调性，根据单调性即可解不等式；②由①得，，令，化简整理后得，，原不等式即可证明；（2）对函数在求导后，构造函数，对函数的零点、单调性情况讨论，结合单调性，极值和函数零点存在性定理即可得到的范围．
【详解】（1）①当时，
在上是单调递减函数又，解集为
②证明：由①知当时，，即令，
则从而
（2）设，则，
①当，即时，，所以在单调递减不可能有三个不同的零点；
②当，即时，有两个零点：，
又开口向下所以当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增；当时，，即，在上单调递减.，且，
所以令则在单调递增，即
又，所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点
且，
又，在区间上有唯一的一个零点，
故当时，存在三个不同的零点，2，故实数的取值范围是
【题型十】同构型求参
同构法求参数范围 通过对原函数进行适当的代换或者变换，可以带到一个与之相同（同构，结构相同，性质相同）的新函数，新函数相对容易处理。利用同构法，可以讲原函数问题转化为一个更简单的问题，并通过求导求最值进行分析从而得到参数范围。 同构法求解参数范围： 寻找原函数及其特点 进行适当的变形方式。 对构造的新函数进行求导分析 根据新函数极值最值等得到参数范围 常见同构技巧： 指对变形同构 ①（“无中生有”，原理公式） ② ③ ④ ⑤
1.（2023下·吉林长春·高三长春市第五中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析。(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数定义域为，.
当时，对任意的，，所以，函数的减区间为，无增区间；
当时，由得，由得.此时函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）解：由，即.令，
因为，则，所以，函数在上单调递增，
所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需，
设，，在单调递增，所以.
综上所述，实数的取值范围为.
2.（2022上·陕西安康·高三统考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且这两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求导，然后分，，，讨论研究单调性；
（2）由（1）两个极值点分别是1和，不妨设，，代入，然后转化为最值问题求解即可.
【详解】（1）由题意可知的定义域为，.
当时，由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增.
当时，由，得或；由，得.则在和上单调递增，在上单调递减.当时，恒成立，则在上单调递增.
当时，由，得或；由，得.则在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知或，且两个极值点分别是1和，不妨设，，
则，，
故恒成立，即恒成立.当时，，则，
因为，所以，则；当时，，则，
因为，所以，则.综上，.
3.（2022下·山东济宁·高三统考）已知函数（），且有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)不存在；理由见解析
【分析】（1）求导之后，根据导函数在上有两个变号零点，列式即可求解（2），假设存在，由（1）知，则，不妨设，代入，消元得，构造函数（）可知上述方程无实解，故不存在实数a，使成立
【详解】（1）由题设，知函数的定义域为，且，
因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根， 则有，
解得，即所求实数的取值范围是．
（2）由题意，得，又由（1）知，
所以．
要使成立，只需．由（1）知，则只需，
即．（※） 由于，所以不妨设，则（※）式成立，等价于成立． 设（），则，
所以函数在区间上单调递减，且，所以
所以无实数解，即（※）式不成立，所以不存在实数a，使成立．
4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数在点，（1）处的切线与轴平行．
(1)求实数的值及的极值；
(2)若对任意，，有，求实数的取值范围．
【答案】(1)，的极小值为，无极大值(2)，
【分析】（1）由函数在，（1）处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；
（2）由（1）的结论知，在上单调递增，然后构造函数，由函数在上单调递增，则其导函数在不小于零恒成立，由此求得实数的取值范围．
【详解】（1）函数，，令（1），，
解得；令，则，解得，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增所以有极小值为（1）；无极大值；
（2）由（1）可知在上单调递增，不妨设，则，即
函数在上单调递增，又，
在上恒成立，在上恒成立，又在上，
因此实数的取值范围是，．
【题型十一】同构型证明不等式
1.（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）已知函数，为自然对数的底数.
(1)试判断函数的零点个数并说明理由；
(2)证明：.
【答案】(1)两个，理由见解析(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数导函数，讨论其单调性后结合零点存在性定理可判断函数零点个数；
（2）方法一，令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可；
方法二：令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可.
【详解】（1）的定义域为，当时，恒有，故在内没有零点.
当时，由得，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增.又，
故存在，，使得，，所以在两个零点.
综上，函数有两个零点.
（2）方法一：令，则时，，且.于是等价于，
令，可得，令，可得，当时，，函数是增函数，
当时，，函数是减函数，
所以时，函数取得最大值：，所以，即.
方法二：令，则，于是等价于，
即，令，则有.令，即，解得；
令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，
所以，即.所以，即.
2.已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论求解函数的极值即可.
（2）首先将题意转化为．令，即证：，再构造函数，求其最小值即可证明.
【详解】（1），当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
x
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
（2）显然，要证：，
即证：，即证：，
即证：．
令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．故，即．
3..已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）的定义域为，求出，分别讨论，，时不等式和的解集即可得单调递增区间和单调递减区间，即可求解；
（2）的定义域为，不等式等价于，，
令，只需证，令，利用导数判断单调性和最值即可求证.
解（1）的定义域为，
由可得：，
当时，令，解得；令，解得或；
此时在上单调递增，在和上单调递减：
当时，，此时在和上单调递减；
当时，令，解得，令，解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减：
综上所述：当时，在上单调递增，在和上单调递减；
当时，在和上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上单调递减.
（2）因为，的定义域为，所以即，
即证：，令，只需证，令，则，
令，解得：；，解得；所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以，即成立.
【题型十二】三个零点型证明不等式
1.（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据分类讨论研究函数的单调性，确定零点个数，构造函数，研究函数值的符号即可得到导函数的符号，即可求出原函数的单调区间，从而确定零点个数；
（2）把原函数有三个零点转化为有三个根，构造，求导研究函数单调性，结合根的分布得，要证，等价于证，
等价于，构造函数从而证明，即证，构造函数，利用导数单调性即可证明.
【详解】（1）因为定义域为，又，
（ⅰ）当单调递减；
（ⅱ）当，记，则，当；当，
所以在单调递增，在上单调递减，，
又，所以，
①当，则单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；
②当，由（ⅱ）知，有两个零点，记两零点为，且，
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，令，则，所以，所以，且趋近0，趋近于正无穷大，趋近正无穷大，趋近负无穷大，所以函数有三零点，综上所述，；
（2）等价于，即，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，由（1）可得，则，
所以，所以，则满足，，
要证，等价于证，易知，令，则，
令得，令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
下面证明，由，即证，即证，
即证，即证，
令，，令，则，所以，
所以，则，所以，
所以，所以，
所以，所以原命题得证.
2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数，其中.
(1)若函数存在极值，求实数的取值范围；
(2)设存在三个零点，其中.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）对函数求导，根据导函数在定义域内的符号判断函数的单调性，进而求出极值即可；
（2）（i）将函数有三个零点转化为除1外还有两个零点.分类讨论使条件成立的的取值范围即可；
（ii）结合（i）可得.将问题转化为证明不等式恒成立，设，利用函数的单调性即可证明.
【详解】（1），结合，当时，恒成立，函数在上单调递增，此时不存在极值；当时，若时，；若时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，此时为函数的极小值点，此时存在极值，
故实数的取值范围为.
（2）易得，（i），
设，因为，则除1外还有两个零点.，令，当时，在恒成立，则，所以在上单调递减，不满足，舍去；
当时，除1外还有两个零点，则不单调，所以存在两个零点，所以，解得.当时，设的两个零点分别为，则，所以.
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又，所以，而，且，
，且，所以存在，使得，
即有3个零点.综上，实数的取值范围为.
（ii）证明：结合（i）因为，
若，则，所以.当时，先证明不等式恒成立，
设，则，所以函数在上单调递增，于是，即当时，不等式恒成立.由，可得，
因为，所以，即，两边同除以，
得，即，所以.
【题型十三】证明含三角函数型不等式
1.已知函数，．
(1)求的最大值；
(2)证明：；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）直接利用导数判断单调性，求出最大值；
（2）利用分析法，转化为证明＞f(x). 令g(x)＝，，利用导数求出g(x)≥g(2)＝-，而，即可证明；
（3）把问题转化为xcosx－sinx＋2ax3≥0恒成立，令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，，二次求导后，令，对a分类讨论：i. a≤－， ii. a≥，iii.－＜a＜，分别利用导数计算即可求解.
(1)∵，，
∴，∴f(x)在[0，π]上单调递减，
∴．
(2)要证，只要证，即证＞f(x)，
令g(x)＝，，则， 故g(x)在（0，2）上单调递减；g(x)在（2，π）上单调递增，所以g(x)≥g(2)＝-，又 f(x)≤-，且等号不同时取到，所以
(3)，等价于xcosx－sinx＋2ax3≥0，
令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，，则，
令，则，
i.当a≤－时，，所以在[0，π]上递减，所以，
所以，所以h(x)在[0，π]上递减，所以h(x)≤h（0）＝0，不合题意．
ii.当a≥时，，所以在[0，π]上递增，所以
所以，所以h(x)在[0，π]上递增，所以h(x)≥h（0）＝0，符合题意．
iii.当－＜a＜时，因为，，且在[0，π]上递增，
所以，使得，
所以当时，，此时在（0，x0）上递减，所以，
所以，所以h(x)在（0，x0）上递减，所以h(x)＜h（0）＝0，不合题意．综上可得： .
2.（2022·新疆·统考三模）已知函数，
(1)若在处的切线为，求实数a的值；
(2)当，时，求证：
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义有，求解即可；
（2）将变形成，故只需证，用导数法证明即可
【详解】（1）∵，∴，∴
（2）要证，即证，只需证，因为，也就是要证，令，
∵，∴
∴在为减函数，∴，
∴，得证
3.已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析
【分析】（1）令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；
（2）由（1）可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.
(1)由，设，则，
当时，设，，∵，，
∴和在上单调递增，∴，，
∴当时，，，则，
∴函数在上单调递增，∴，即当时，;
(2)由已知得，①当时， ∵，
∴在上单调递增，又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
②当时，设，则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴，∴在上单调递减，
又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
综上所述，有且仅有2个零点.
【题型十四】三角函数型极值点偏移
零点型，注意数形结合思想的应用： 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理 处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
1.（2024·四川凉山·二模）已知函数．
(1)若函数在R上是增函数，求a的取值范围；
(2)设，若，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用导数结合单调性，列出不等式求解即得.
（2）由（1）的信息可得，利用分析法推理变形，构造函数并利用导数证明即得.
【详解】（1）函数，求导得，
依题意，对任意实数，恒成立，而，
因此，解得：，所以的取值范围为.
（2）函数的定义域为，由，得，
由（1）知，函数在上是增函数，
不妨令，则，即，
亦即，则，
于是，则，
下面证明：，即证：，即证：，
令，即证：，设，
求导得，则函数在上单调递减，
于是，即，所以.
2.（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数，且的图象在处的切线斜率为2．
(1)求m；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个不等的实根，求证：．
【答案】(1)(2)单调递增区间为R，无单调递减区间(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）结合（1）的结果，判断导数的正负，即可求得答案；
（3）根据题意得，结合构造函数，利用函数单调性继而将原不等式转化为，即只需证明，进而换元，构造函数，利用函数单调性，即可证明结论.
【详解】（1）因为，所以，
根据题意得，解得；
（2）由（1）可知，，又，所以，故的单调递增区间为R，无单调递减区间
（3）由有两个不等的根，不妨设，可得，
整理得，令，则，
故在上单调递增，因为，所以，
即，那么，结合（*）式，则，
而，可得；下面证明，等价于证明，
令，设，，则在上单调递减，
所以，即，故，即得证，
由不等式的传递性知，即.
3.（23-24高三上·江苏泰州）已知函数，，.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若关于的方程有两个实根，
（i）求的范围；
（ii）求证：.
【答案】(1)(2)（i）;（ii）证明见解析
【分析】（1）在上恒成立，参变分离，转化为最值求解即可；
（2）（i），求出其单调区间即可求解；（ii）将转化为，构造函数求其最小值即可.
【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
当时，，当时，在上恒成立，令，
则，由得，由得，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
即的取值范围为；
（2）（i）令，，则，
令得，令得，，即在上单调递增，在上单调递减，
所以，，又关于的方程有两个实根，
所以的范围为；
（ii）由（i）知，要证，即证，即证
令，则，则在上恒成立，
所以在上单调递增，又，所以在上单调递增，
所以，所以.
【题型十五】数列型不等式证明
数列型不等式证明 对于型数列不等式证明，可以转化为定义域为,在实数范围内证明不等式。 一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为的正整数属性，注意对应换元的取值范围 数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明
1.（2022·辽宁沈阳校考三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；
(3)求证：．
【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域，然后分，和讨论导数的正负，从而可求得函数的单调区间；
（2）点处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即，可求a值，代入得的解析式，由，且在区间上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．
（3）由（1）可得对一切成立，所以，，则有，则，然后累乘可得结论．
【详解】（1）
当时，当时，，当时，，所以的单调增区间为，减区间为；
当时，当时，，当时，，所以的单调增区间为，减区间为；
当时，，所以为常数函数；
（2）得，∴，
∴
∵在区间上总不是单调函数，且∴ 由题意知：对于任意的，恒成立，
所以有：，即，∴；
（3）令此时，所以，由（1）知在上单调递增，
∴当时，即，∴对一切成立，
∵，，则有，∴
∴
2.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数.
(1)证明：；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得的最小值为0，进而证得成立；
（2）先利用（1）证得，再利用裂项相消法求和即可证明原不等式成立.
【详解】（1），令，解得，当时，解得；当，解得，
则在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值，，
恒成立，即恒成立.
（2）由（1）知，在上单调递增，且所以在恒成立，即在恒成立.所以在恒成立.则当时，恒成立,
令，则，所以.所以，
即.
所以，故得证.
3.（2023·天津红桥·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】（1）对求导，得到函数在处的导数，利用直线方程得点斜式即可得出答案；
（2）若恒成立，则，设，对求导，得到的单调性，可求出最大值；
（3）令，则，分别取，再由累加法即可证明.
【详解】（1）当时，，的定义域为，，
曲线在点处的切线方程的斜率为，又则切线方程为.
（2）若恒成立，则，设，，
由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，所以.
（3）令，则，即，则，因为，，……，
，所以.大题培优06导数
目录
【题型一】导数含参讨论基础：一次型双参 1
【题型二】导数含参讨论基础：双线型 2
【题型三】导数含参讨论基础： 三角函数型 3
【题型四】恒成立求参：整数解型 3
【题型五】恒成立求参：三角函数型整数解 4
【题型六】能成立求参 4
【题型七】能成立求参：双变量型 5
【题型八】能成立求参：三角函数型 6
【题型九】零点型求参：两个零点与三个零点 6
【题型十】同构型求参 7
【题型十一】同构型证明不等式 8
【题型十二】三个零典型证明不等式 9
【题型十三】证明含三角函数型不等式 9
【题型十四】三角函数型极值点偏移 9
【题型十五】数列型不等式证明 10
【题型一】导数含参讨论基础：一次型双参
对于求导后，其中皆为参数 1.令，得第一讨论点 2.令动根定义域端点值，可得其余讨论点 3.注意对应讨论点斜率正负。根的位置，画出对应图像，查找落在定义域部分正负 4.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。 5.分界点可以合并到区间处（需要检验）
1.（北京交通大学附属中学2022届高三12月月考数学）已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．
2.已知．
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数的两个零点，求证：．
【题型二】导数含参讨论基础：双线型
如型双线讨论法 1.第一线：2.第二线： 3.双线共系： 4.可讨论动根与定根的大小关系，然后知两线函数值积的正负 5.要留意指数函数有渐近线，所以讨论时候注意“第二线”是否有根
1．（2021·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
2.已知函数，既存在极大值，又存在极小值.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围.
3.（四川省南充市2021-2022学年高三高考适应性）已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．
【题型三】导数含参讨论基础： 三角函数型
1.三角形式注意适当合理的恒等变形 2.充分利用三角函数正余弦的有界性。
1.已知.
（1）求的单调区间；
（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.
2.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
3.已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．
【题型四】恒成立求参：整数解型
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求证；
(2)是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于恒有：，若存在，请求出k的范围以及正整数a的值；若不存在请说明理由.（下表的近似值供参考）
ln2 ln3 ln4 ln5 ln6 ln7 ln8 ln9
0.69 1.10 1.38 1.61 1.79 1.95 2.07 2.20
2.（2022·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数在处切线的方程；
(2)是否存在实数，使得只有唯一的正整数，对于恒有？若存在，求出的取值范围及正整数的值，若不存在，请说明理由？（下表的近似值仅供参考）
3.（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数，，（）.
(1)求函数的最小值；
(2)若有两个不同极值点，分别记为，，且.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围.
【题型五】恒成立求参：三角函数型整数解
1.（2020·云南昆明·统考三模）已知．
（1）证明：；
（2）对任意，，求整数 的最大值．
（参考数据：）
2.（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，.
（1）若，求函数在上的单调区间；
（2）若，不等式对任意恒成立，求满足条件的最大整数b.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数．
(1)讨论在区间内极值点的个数；
(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．
【题型六】能成立求参
利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），.
1.（2023下·北京·高三校考）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若存在（是常数，）使不等式成立，求实数a的取值范围.
2.（2023下·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数．
(1)若，，求关于x的方程，的实根个数；
(2)令，若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围．
3.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知．（）
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在，使得，求的取值范围．
【题型七】能成立求参：双变量型
已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，．
(1)试讨论函数的极值；
(2)当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值．
2.（2022上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，且存在，，使得，求实数t的取值范围．
【题型八】能成立求参：三角函数型
1.（2022·河南·校联考二模）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）、，使得不等式成立，求的取值范围；
（3）不等式在上恒成立，求整数的最大值.
2.（2022上·江西宜春·高三校联考阶段练习）已知函数，.
（1）讨论在内的零点个数.
（2）若存在，使得成立，证明：.
3.（2022·辽宁·校联考一模）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【题型九】零点型求参：两个零点与三个零点
1.（2023上·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考）已知函数，，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：.
2.（2021上·河南·高三阶段练习）已知
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，若当时，有三个不同的零点，求实数的最小值．
3.（2022上·全国·高三阶段练习）已知函数.
(1)当时：
①解关于的不等式；
②证明：；
(2)若函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【题型十】同构型求参
同构法求参数范围 通过对原函数进行适当的代换或者变换，可以带到一个与之相同（同构，结构相同，性质相同）的新函数，新函数相对容易处理。利用同构法，可以讲原函数问题转化为一个更简单的问题，并通过求导求最值进行分析从而得到参数范围。 同构法求解参数范围： 寻找原函数及其特点 进行适当的变形方式。 对构造的新函数进行求导分析 根据新函数极值最值等得到参数范围 常见同构技巧： 指对变形同构 ①（“无中生有”，原理公式） ② ③ ④ ⑤
1.（2023下·吉林长春·高三长春市第五中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.
2.（2022上·陕西安康·高三统考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且这两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的值.
3.（2022下·山东济宁·高三统考）已知函数（），且有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
4（2022·全国·高三专题练习）已知函数在点，（1）处的切线与轴平行．
(1)求实数的值及的极值；
(2)若对任意，，有，求实数的取值范围．
【题型十一】同构型证明不等式
1.（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）已知函数，为自然对数的底数.
(1)试判断函数的零点个数并说明理由；
(2)证明：.
2.已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
3..已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【题型十二】三个零点型证明不等式
1.（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.
2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数，其中.
(1)若函数存在极值，求实数的取值范围；
(2)设存在三个零点，其中.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
【题型十三】证明含三角函数型不等式
1.已知函数，．
(1)求的最大值；
(2)证明：；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
2.（2022·新疆·统考三模）已知函数，
(1)若在处的切线为，求实数a的值；
(2)当，时，求证：
3.已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
【题型十四】三角函数型极值点偏移
零点型，注意数形结合思想的应用： 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理 处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
1.（2024·四川凉山·二模）已知函数．
(1)若函数在R上是增函数，求a的取值范围；
(2)设，若，证明：．
2.（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数，且的图象在处的切线斜率为2．
(1)求m；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个不等的实根，求证：．
3.（23-24高三上·江苏泰州）已知函数，，.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若关于的方程有两个实根，
（i）求的范围；
（ii）求证：.
【题型十五】数列型不等式证明
数列型不等式证明 对于型数列不等式证明，可以转化为定义域为,在实数范围内证明不等式。 一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为的正整数属性，注意对应换元的取值范围 数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明
1.（2022·辽宁沈阳校考三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；
(3)求证：．
2.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数.
(1)证明：；
(2)证明：.
3.（2023·天津红桥·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．

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