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考前回顾08　函数与导数（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）
知识清单
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
②若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
③若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于点对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
(1)单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上单调递增；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上单调递减．
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当06．函数的零点
(1)零点定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0；
②零点存在定理法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
7．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
8．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
9．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
10．常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型
(1)对于f′(x)±g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)±g(x)．
(2)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)g(x)．
(3)对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝(g(x)≠0)．
例如，对于xf′(x)＋f(x)>0，构造函数h(x)＝xf(x)，
对于xf′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
对于f(x)＋f′(x)>0，构造函数h(x)＝exf(x)，
对于f′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
易错提醒
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行讨论；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
7．已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对 x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．
8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
易错分析
易错点1 对复合函数定义域的理解不透彻致误
1.[江苏三校2023联考]已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
特别提醒：
（1）已知的定义域为，则的定义域为的解集；
（2）已知的定义域为，则的定义域为在上的值域.
【解析】因为函数的定义域，所以，所以，所以函数的定义域为
要使有意义，则需要，解得，所以的定义域是故选D.
【答案】D
2. [江苏扬州高邮2022调研]已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）
【解析】因为，且的定义域为，值域为，所以的定义域为，值域为.由得，所以的定义域为，值域为，则，，所以.故选.
【答案】
易错点2 忽视函数定义域而致误
3.[重庆2023一诊]已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 .
特别提醒：本题中的定义域，在解不等式时，要保证且.
【解析】因为且，令，则，令，，则，所以不等式，即即，解得，所以不等式的解集
4.[安徽黄山2022一模]连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的取值范围是（ ）
特别提醒：本题中的定义域为，在解不等式时，要保证且.
【解析】当时，由得；当时，由得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.由可得，所以解得.故选.
【答案】
5.[河南中原顶级名校2022联考]函数的零点个数为（ ）
特别提醒：在本题中，若忽视定义域为且，则得到的函数有2个零点，因此在利用数形结合判断函数零点时，将零点个数转化成两个函数图象交点的个数，需要注意一些特殊点（如定义域或端点）和特殊位置（如直线与曲线的切点、曲线的间断点等）.
【解析】令，则，.令，，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，易得这两个函数的图象只有1个交点，所以原函数只有1个零点.故选.
易错点3 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误
6.[吉林部分学校2023大联考]已知函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
特别提醒：分段函数在定义域内是单调函数，不仅需要限制每段内是单调性相同的单调函数，还需要限制交界处函数值的大小.本题中的分段函数在处是两段的交界，当在上单调递增时，需限制，当在上单调递减时，需限制.
【解析】是上单调递增，
若在上单调递增，
则解得
综上，的取值范围是.故选.
【答案】B
易错点4 对数型复合函数的定义域为和值域为理解不透彻致误
7.[河北“五个一”名校2023联考]已知函数的值域为，那么的取值范围是 .
特别提醒：（1）若的定义域为，当时不符合题意，当时需且；
（2）若的值域为，当时符合题意，当时需且
【解析】令的值域为，若的值域为，则，若，则，符合题意；
若，则当即时，，符合题意.
综上, ,所以的取值范围是.
易错点5 函数的图象画的不准确而致误
8.[河北2023联考]已知函数
若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
特别提醒：利用函数的图象解决问题时，需准确画出函数的图象，注意特殊点、渐近线的位置，否则可能导致解题错误.本题中画函数 的图象时，注意当时，单调递减，当时，的图象与直线无限接近，忽略这点可能导致解题错误.
【解析】要使函数有3个零点，则有3个不相等的实根，即的图象与直线有3个交点.画出函数的图象与直线如图所示.
由图象可以看出，若的图象与直线有3个交点，则
【答案】
易错点6 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误
[江苏常州一中2023调研]若函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
特别提醒：本题的D选项，确定方程的实数根的个数，即与的图象的交点个数时，需画出两函数的图象，在画函数的图象时需要注意到，当时，，而当时，，所以当时，与的图象无交点.本题的易错之处在于不能准确把握与的图象的位置.
【解析】因为为奇函数，所以的图象关于点（-1，0）对称，.因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，，则，，所以的周期为8，结合题意，作出的图象，如图所示.
对于，，故正确
对于，的图象关于点（-1，0）对称，周期为8，则的图象关于点（7，0）对称，则为奇函数，故正确；
对于，在（6，8）上单调递增，故正确；
对于，的实数根的个数即为与的图象的交点个数，如图，由图可知与的图象有6个交点，所以方程有6个实数根，故D 错误.
【答案】D
易错点7 忽视分段函数交界处的函数值的大小
10.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是 .
特别提醒：本题中的函数在处是两端的交界，研究该函数在上单调递减时，一定要保证当时，第一段的函数值不小于第二段的函数值，即
【解析】因为对于任意实数，都有成立，所以函数在上单调递增，所以，解得，所有实数的取值范围是.
易错点8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误
11.[江苏南京师大附中2022开学考改编]当时，，则的取值范围是 .
特别提醒：若对数函数的底数中含有参数，则要注意按照底数大于1和底数大于0小于1两种情况讨论，以免漏解，同时需要注意对数函数的真数要大于0.
【解析】分别记函数，.
当时，作出和的大致图像，
如图①所示，由图①知，当时，不满足题意.
当时，作出和的大致图像，如图②所示，
要使当时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得
易错点9 对数型复合函数单调性判断不清致误
12.[四川泸州江阳区2022期末]若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 .
特别提醒：一般地，若，则函数的单调性与函数的单调性相同，若，则函数的单调性与函数的单调性相反.
【解析】因为与互为反函数，所以，则.设，则，由，解得或，因为 在其定义域上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递减区间是
易错点10 忽视函数图象端点的取值致错
13.[陕西安康2022期末]已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ）
特别提醒：在本题中，若忽视当时，则得到在上有个不同的实数根，会得到故解答此类问题，既要注意最值，也要注意端点值，有时需要着重检验断点的取值是否符合题意
【解析】设，则，作出函数的大致图象，如图所示.
则函数有6个零点等价于方程在上有2个不同的实数根，则
解得，故选
易错点11 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
14.[江苏南通2023期末]已知函数，则曲线经过点的切线方程是 .
特别提醒：求曲线的切线方程时要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线”的差异，在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
【解析】设切点为，由题知，所以切线的斜率，所以切线方程为.因为切线过点，（注：点不一定是切点），所以，即，解得或，所以斜率或，又切线过点，得切线方程为或.
3.[陕西安康2022调研]曲线过点的切线方程是（ ）
【解析】由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率所以.因为点是切点，所以，所以，即.设，明显在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为，即故选.
易错点12 混淆极值点的含义致误
15. [河南洛阳 2023 月考]若是函数的极值点，则的值为（ ）
特别提醒：定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在附近两侧异号，若“左负右正"，则为极小值点，若“左正右负”，则为极大值点.
本题易错的地方是求出的值后，没有通过单调性来验证是否为函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.
【解析】，则，由题意可知，即，解得或.
当时，，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，，函数在上单调递增，没有极值点，故选.
【答案】
16. [山西长治八中2022测评]已知函数在处取得极值0，则（ ）
特别提醒：利用导函数分析函数的极值时，要注意的是使导函数值为0的的值不一定是极值点，极值点是使导函数值为0，且左、右导函数值异号的的值，本题的易错点在于令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值.
【解析】根据题意，，解得或，当，时，在上单调递增，无极值点，故舍去.当时，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处有极小值，满足条件.综上，故选
【答案】
高考真题
一．选择题（共13小题）
1．（2023 全国）若，且，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据对数式和指数式的互化可得出，然后根据解出的值即可．
【解答】解：，
，且，解得．
故选：．
【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
2．（2023 新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
【解答】解：设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
3．（2023 天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性，以及函数的图象，即可求解．
【解答】解：由图象可知，图象关于轴对称，为偶函数，故错误，
当时，恒大于0，与图象不符合，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象，属于基础题．
4．（2023 上海）下列函数是偶函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：对于，由正弦函数的性质可知，为奇函数；
对于，由正弦函数的性质可知，为偶函数；
对于，由幂函数的性质可知，为奇函数；
对于，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数．
故选：．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．
5．（2023 甲卷）曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程．
【解答】解：因为，
，
故函数在点处的切线斜率，
切线方程为，即．
故选：．
【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于基础题．
6．（2023 乙卷）已知是偶函数，则　　
A． B． C．1 D．2
【分析】根据偶函数的性质，运算即可得解．
【解答】解：的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．
7．（2023 北京）下列函数中在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据初等函数的单调性，即可求解．
【解答】解：对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；
对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；
对选项，在上单调递减，所以在上单调递增，选项正确；
对选项，在上不是单调的，选项错误．
故选：．
【点评】本题考查初等函数的单调性，属基础题．
8．（2023 新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】对函数求导，根据题意可得在上恒成立，设，利用导数求出函数的最大值即可得解．
【解答】解：对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（2023 新高考Ⅱ）若为偶函数，则　　
A． B．0 C． D．1
【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
【解答】解：由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
即，
则，
，得，
得．
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程，利用对数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．
10．（2023 甲卷）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式，然后判断两个函数的图象交点个数即可．
【解答】解：的图象向左平移个单位长度得到，
在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：
的图象与直线的交点个数为：3．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的图象的变换，函数的零点个数的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
11．（2023 乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】求函数的导数，存在3个零点，等价为有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可．
【解答】解：，
若函数存在3个零点，
则，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式△，得，
由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
则，，
即，且，
即，①，且，②，
则①恒成立，
由，，
平方得，即，
则，综上，
即实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，求函数的导数，转化为函数极值与0的关系是解决本题的关键，是中档题．
12．（2023 全国）已知函数在处取得极小值1，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据已知条件，对求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解．
【解答】解：，
则，
函数在处取得极小值1，
，解得，
故，
，
令，解得或，
在，在上单调递增，在，上单调递减，
故在处取得极小值，
故，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
13．（2023 甲卷）已知函数．记，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】令，先利用作差比较法及一元二次函数的性质，可得，再根据的单调性，即可求解．
【解答】解：令，则的开口向下，对称轴为，
，
而，
，
，
由一元二次函数的性质可知，
，
而，
，，
综合可得，又为增函数，
，即．
故选：．
【点评】本题考查利用函数的单调性比较大小，作差比较法的应用，化归转化思想，属中档题．
二．多选题（共3小题）
14．（2023 新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　
A． B． C． D．
【分析】将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理．
【解答】解：函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题．
15．（2023 新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则　　
A． B．（1）
C．是偶函数 D．为的极小值点
【分析】在已知等式中，取判断；取判断；求出，再取判断；取满足等式的特殊函数判断．
【解答】解：由，
取，可得，故正确；
取，可得（1）（1），即（1），故正确；
取，得（1），即（1），
取，得，可得是偶函数，故正确；
由上可知，（1），而函数解析式不确定，
不妨取，满足，
常数函数无极值，故错误．
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
16．（2023 新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意分别计算，，的范围，进行比较即可求解．
【解答】解：由题意得，，，
，，
，，
可得，正确；
，错误；
，正确；
，，正确．
故选：．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
三．填空题（共11小题）
17．（2023 甲卷）若为偶函数，则　2　．
【分析】根据题意，由偶函数的定义可得，变形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设，
其定义域为，
若为偶函数，则，
变形可得，必有．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．
18．（2023 甲卷）若为偶函数，则　2　．
【分析】根据题意，先化简函数的解析式，结合偶函数的定义可得关于的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设，
若为偶函数，则，
变形可得在上恒成立，必有．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的定义，涉及三角函数的诱导公式，属于基础题．
19．（2023 全国）为上奇函数，，（1）（2）（3）（4）（5），　6　．
【分析】根据已知条件，结合奇函数的性质，以及函数的周期性，即可求解．
【解答】解：，
则函数的周期为4，
为上奇函数，
（4），
令，
则（2）（2），解得（2），
令，
则（1）（3），
（1）（5），
所以（1）（2）（3）（4）（5）（3）（2）（3）（4）．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查奇函数的性质，以及函数的周期性，属于基础题．
20．（2023 上海）已知函数，且，则方程的解为 　　．
【分析】分和分别求解即可．
【解答】解：当时，，解得；
当时，，解得（舍；
所以的解为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题．
21．（2023 北京）已知函数，则　1　．
【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出结论．
【解答】解：函数，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了指数与对数函数的运算性质、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．（2023 上海）已知函数，则函数的值域为 　，　．
【分析】分段求出的值域，再取并集即可．
【解答】解：当时，，
当时，，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．
23．（2023 全国）曲线在处切线方程为 　　．
【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程．
【解答】解：由可得，，
曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为即．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
24．（2023 全国）已知函数，则在区间的最大值为 　　．
【分析】求导后得到在，单调递减，在，单调递增，由，，，比较大小即可求解．
【解答】解：，
，
令，则，
在，单调递减，在，单调递增，
，，，
则在区间的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用导数求函数的最值问题，属于中档题．
25．（2023 乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 　，　．
【分析】由函数在上单调递增，可得导函数在上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．
【解答】解：函数在上单调递增，
在上恒成立，
即，化简可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化简可得，
即，，
解答，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．
26．（2023 天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 　，，，　．
【分析】首先要分情况去绝对值，化简函数，再根据对应方程根的情况判定零点个数是否满足题意．
【解答】解：①当时，，不满足题意；
②当方程满足且△时，
有即，，，
此时，
，当时，不满足，
当时，△，满足；
③△时，，，，
记的两根为，，不妨设，
则，
当时，，且，，，
但此时，舍去，
，，且，
但此时，舍去，
故仅有1与两个解，即有且仅有两个零点，
当时，有，舍去，，舍去，
故仅有和两个解，即有且仅有两个零点，
综上，，，，．
故答案为：，，，．
【点评】本题是含参数的函数零点问题，主要是分类讨论思想的考查，属偏难题．
27．（2023 北京）设，函数给出下列四个结论，正确的序号为 　②③　．
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，，，则；
④设，，，，若存在最小值，则的取值范围是，．
【分析】先大致画出的草图，再根据四个选项逐一判断，对于选项①，取特殊值判断函数函调性即可；对于选项②，分别判断时每段函数的最值情况，再判断是否存在最大值；对于选项③，结合图象分析最小值的情况，即可得出的范围；对于选项④，针对图像分析存在最小值的情况，可得直线需要与前两段函数图像都有交点才可满足，进而可求出的取值范围．
【解答】解：，当时，，图像为一次函数；
当时，，图像为以为圆心，为半径的圆的上半弧；
当时，，图像为单调递减的曲线；
其函数图象大致如下：
选项①，取，在区间上先单调递增，后单调递减，选项①错误；
选项②，当时，
，；
，，最大值为；
，；
所以存在最大值，选项②正确；
选项③，由图可知，当点位于点，点无限接近于点时，的长度最短，
当无限接近于点时，无限接近于，
所以，选项③正确；
选项④，如上图，若存在最小值，则、应该是直线分别于，的交点，
直线与一定存在交点，而直线与不一定存在交点，
当直线与没有交点时，，即，此时由于点取不到，不存在最小值，
所以，选项④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查分段函数的应用问题，考查学生用数形结合方法分析试题的能力，属于难题．
四．解答题（共11小题）
28．（2023 上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小．
【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可；
（2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值．
【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，
所以．
（2）由题意可得，，
所以，
令，解得，
所以在，单调递减，在，单调递增，
所以的最小值在或7取得，
当时，，
当时，，
所以在时，该建筑体最小．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
29．（2023 甲卷）已知，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）由题意，将代入的解析式中，对进行求导，利用导数即可得到的单调区间；
（2）构造函数，对进行求导，利用换元法，得到的最大值，将最大值与0进行比较，得到的分界点，再对进行讨论即可．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
若，此时，
可得
，
因为，，
所以当，即时，，单调递增；
当，即时，，单调递减；
（2）不妨设，函数定义域为，
，
令，，
此时，
不妨令，
可得，
所以单调递增，
此时（1），
①当时，，
所以在上单调递减，
此时，
则当时，恒成立，符合题意；
②当时，
当时，，
所以，
又（1），
所以在区间上存在一点，使得，
即存在，使得，
当时，，
所以当时，，单调递增，
可得当时，，不符合题意，
综上，的取值范围为，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
30．（2023 上海）已知，，函数．
（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
【分析】（1）时，求出函数的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．
（2）根据函数过点，求出的值，然后根据与轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．
【解答】解：（1）若，则，
要使函数有意义，则，即的定义域为，
是奇函数，是偶函数，
函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．
（2）若函数过点，则（1），得，得，
此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，
即，得，当时，有两个不同的交点，
设，
则，得，得，即，
若即是方程的根，
则，即，得或，
则实数的取值范围是且且，
即，，．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．
31．（2023 新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【分析】（1）先求出导函数，再对分和两种情况讨论，判断的符号，进而得到的单调性；
（2）由（1）可知，当时，，要证，只需证，只需证，设（a），，求导可得，从而证得．
【解答】解：（1），
则，
①当时，恒成立，在上单调递减，
②当时，令得，，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设（a），，
则（a），
令（a）得，，
当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，
所以（a），
即（a），
所以得证，
即得证．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于中档题．
32．（2023 甲卷）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）先求导函数，再判断导函数的符号，即可求解；
（2）设，，利用其二阶导函数的符号可得一阶导函数在上单调递减，再根据及，可得，再分类讨论验证，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，，
，
令，，，
，
又，
，
在上单调递减；
（2）设，，
则，，
，
在上单调递减，
若，又，则，，
当时，，
又，，，，
，满足题意；
当时，，，
，满足题意；
综合可得：若，则，
所以的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属难题．
33．（2023 新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
【分析】（1）分别构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可证明；
（2）分类讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而得原函数的单调性，从而可得极值点，即可得解．
【解答】（1）证明：设，，
则，，
在上单调递减，
，
在上单调递减，
，
即，，
，，
设，，
则，
在上单调递增，
，，
即，，
，，
综合可得：当时，；
（2）解：，，
且，，
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若，即或时，
存在，使得，时，，
在，上单调递减，又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；
③若，即时，为偶函数，
只考虑的情况，
此时，时，
，
在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：的取值范围为，，．
【点评】本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论思想，化归转化思想，属难题．
34．（2023 乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
【分析】（1）时，求得（1），再根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式求解即可；
（2）根据函数的定义域和对称性可求得，再利用赋值法求；
（3）要使在存在极值点，则有正根，即方程有正根，记，，利用导数与极值的关系分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）时，（1），
，（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为．
（2），定义域为，，，
要使函数的图像关于对称，则由，且，可知，
即的图像关于对称，
则（1），，
得，解得．
设，
由，
即曲线关于直线对称，
综上，，；
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点，
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
，，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意，
当，时，由于，
“，在区间上单调递增，
，在区间上单调递增，，
在区间上无零点，不符合题意，
当时，由，可得，
当时， “，单调递减，
当，时， “，单调递增，
的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，（1），
恒成立，
，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
（1），即，当且仅当时，取等号，
，
，
，根据零点存在定理得：
在区间上存在唯一零点，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
（4），，
，
函数在区间上存在变号零点，符合题意．
综上，实数得取值范围是．
【点评】本题考查利用导数求切线方程，利用函数对称性求参数，考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于难题．
35．（2023 北京）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，求的单调区间；
（Ⅲ）求的极值点的个数．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义列方程组求出、的值．
（Ⅱ）求的导数，利用，求的导数，令，根据与的关系求出的单调区间；
（Ⅲ）根据题意，判断的单调递增，利用根的存在性定理，判断的零点个数，即可得出极值点的个数．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数，
所以，
因为在点，（1）处的切线方程为，
所以，即，
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，
所以，
所以，
令，解得或，
所以与的关系列表如下：
0 ， ，
0 0 0
单调递增 单调递减 单调递增 单调递减
所以在区间和，上单调递增，在区间和，上单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，单调递增，
当时，，，
所以存在，使得，
又因为在上单调递减，在，上单调递增，
所以是的一个极小值点；
当时，单调递减，且（1），
所以存在，使得，所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以是的一个极大值点；
当，时，单调递增，
又因为（3），所以存在，，使得，
所以在，上单调递减，，上单调递增，
所以是的一个极小值点，
又因为当时，，所以在上单调递增，无极值点；
综上，在定义域上有3个极值点．
【点评】本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了导数的综合应用问题，是难题．
36．（2023 上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
（1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由；
（2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值；
（3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）．
【分析】（1）设，，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断；
（2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解；
（3），，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，即可得证．
【解答】解：（1），设，
，当，时，易知，即单调减，
，即，
是的“控制函数“；
（2），
，
，即为函数的“控制函数“，
又，且，；
证明：（3），，
在处的切线为，
，，（1）（1），
，
，
，
，
恒成立，
函数必是函数的“控制函数“，
是函数的“控制函数“，
此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，
在之间的点不可能使得在切线的下方，所以或，
所以曲线在处的切线过点，且，，
当且仅当或时，．
【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题．
37．（2023 乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数在单调递增，求的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，先对求导，再结合导数的几何意义，即可求解；
（2）先对求导，推得，构造函数，通过多次利用求导，研究函数的单调性，并对分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）当时，
则，
求导可得，，
当时，（1），
当时，（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为：，即；
（2），
则，
函数在单调递增，
则，化简整理可得，，
令，
求导可得，，
当时，
则，，
故，即在区间上单调递减，
，不符合题意，
令，
则，
当，即时，
，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，
，符合题意，
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，即单调递减，
，
当时，，单调递减，
，
当时，，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于难题．
38．（2023 天津）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）证明：．
【分析】（Ⅰ）对函数求导，求出（2）的值即可得解；
（Ⅱ）令，先利用导数求出的单调性，由此容易得证；
（Ⅲ）设数列 的前项和，可得当时，，由此可知，证得不等式右边；再证明对任意的，，令，利用导数可知，由此可得，再求得，，由此可得证不等式左边，进而得证．
【解答】解：（Ⅰ）对函数求导，可得，
则曲线在处的切线斜率为（2）；
（Ⅱ）证明：当时，，即，即，
而 在上单调递增，
因此，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列的前项和，
则；
当时，，
由（2），，
故，不等式右边得证；
要证，只需证：对任意的，，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
则，即，
则，
因此当时，，
当时，累加得
，
又，，
故，即得证．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
最新模拟
一．选择题（共8小题）
1．（2024 武汉模拟）人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：，为时间（单位：，则此人每分钟心跳的次数为　　
A．50 B．70 C．90 D．130
【分析】由正弦型函数的周期公式求出周期，由频率与周期的关系计算即可．
【解答】解：因为函数的周期为，
所以此人每分钟心跳的次数．
故选：．
【点评】本题考查了正弦型函数的周期与频率的计算问题，是基础题．
2．（2024 云南一模）已知函数，若，，（3），则　　
A． B． C． D．
【分析】令，根据对数的运算性质，将，，转化为的函数值，利用的单调性比较大小．
【解答】解：令，易知（4），
同理（2），而（3）（3），
因为在上单调递增，
故（4）（3）（2），
故．
故选：．
【点评】本题考查利用函数的单调性比较大小，属于基础题．
3．（2024 2月份模拟）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线” 由德国心理学家艾宾浩斯．研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：．若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的，则他复习背诵时间需大约在　　
A． B． C． D．
【分析】由，令，求出的取值范围即可．
【解答】解：因为，令，
则，，即，
所以陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的，他复习背诵时间需大约在．
故选：．
【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
4．（2024 五华区校级模拟）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元，则一个纸箱的成本最低约为（参考数据：，　　
A．0.32元 B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元
【分析】设该纸箱的底面边长为，侧棱长为，根据纸箱的体积和表面积，计算成本函数的最小值即可．
【解答】解：该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为，侧棱长为，
则纸箱的体积为，表面积，
所以，
所以成本为，其中，
求导数，得，令，得，解得．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以时，取得最小值，
的最小值为（元．
故选：．
【点评】本题考查了成本函数的应用问题，也考查了利用导数求函数最值问题，是中档题．
5．（2024 湖北模拟）已知对任意，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】令，，由题意可知：对任意，恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可．
【解答】解：令，，则，
由题意可知：对任意，恒成立，且，
可得，解得，
若，令，，
则，
则在，上递增，可得，
即对任意，恒成立，
则在，上递增，可得，
综上所述：符合题意，即实数的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题考查利用函数的单调性求出函数的最值，进而解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
6．（2024 东莞市校级一模）已知集合，若，，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对，，的个数是　　
A．16 B．24 C．32 D．48
【分析】满足各个函数在的参数取值均为，由于，，互不相等，有三种情况：指数函数，对数函数在单调递增，而幂函数不满足；指数函数，幂函数在上单调递增，而对数函数不满足；对数函数，幂函数在上单调递增，而指数函数不满足；三个函数都在上单调递增，分别求出这四种情况的所有可能种数相加即可．
【解答】解：由题意知，满足指数函数且，对数函数且的，取值，且使得它们在单调递增的，都只有2个，分别是2，3．满足幂函数的取值，且使得它在上单调递增的有4个，分别为，，2，3．
由于，，互不相等，有三种情况：①指数函数，对数函数在上单调递增，而幂函数不满足，有种；
②指数函数，幂函数 在上单调递增，而对数函数不满足，有种；
③对数函数，幂函数在单调递增，而指数函数不满足，有种（与②相同）；
④三个函数都在单调递增，有种；
由分类加法计数原理，共有种选法，也即满足条件的有序实数对，，有24个．
故选：．
【点评】本题考查了排列与组合的应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．
7．（2024 邵阳模拟）已知函数的定义域为，为的导函数．若（1），且在上恒成立，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【分析】根据，构造函数，可得是减函数，然后再将化为，则问题可解．
【解答】解：令，
，
在上单调递减，由得：
，
即（1）．．
故选：．
【点评】本题考查利用函数的单调性解不等式的问题，根据已知条件合理构造函数是解题的关键，属于中档题．
8．（2024 重庆模拟）已知是奇函数，则在点，处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】根据定义域关于原点对称、奇函数则恒成立，求出，的值，再利用导数的几何意义求出切线方程．
【解答】解：显然，根据奇函数定义域关于原点对称，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，
，，
所以切线方程为．
故选：．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断、导数的几何意义与切线方程的求法，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
9．（2024 如皋市模拟）设为常数，，，则　　
A． B．恒成立
C． D．满足条件的不止一个
【分析】利用赋值法，对每一项进行判断．
【解答】解：令，可得（a），结合，解得（a），故正确；
令，原式化为（a），
代入可得，所以原式即：，故正确；
再令得，即函数值非负，
令，可得（a），即（负值舍去），故正确；
所以仅有一个函数关系式满足条件，故错误．
故答案为：．
【点评】本题考查函数性质的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共7小题）
10．（2024 江西模拟）若不等式在，上恒成立，则的最大值为 　6　．
【分析】结合，原式可化为，利用函数，，为增函数，即函数在，上为单调函数，则的最值在0和2处取得，据此构造关于，的不等式组，即可求得的最大值．
【解答】解：因为，所以可化为，
令，，，则，
故在，上单调递增，即，
所以，，即，，
故，当且仅当， 时，上式成立，
所以的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的单调性与最值的关系，含绝对值不等式的性质等，属于中档题．
11．（2024 重庆模拟）给机器人输入一个指令，（其中常数后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作．已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则　3　．
【分析】首先设点，再根据题意可得点，再根据题意可知，点在安全活动区域，以及点也在函数的图象上，且，再利用不等关系，利用基本不等式，即可求解．
【解答】解：由题意设，则一次操作后该机器人落点为，
即在安全区域内，所以且，
由，可知，
所以，即能成立，
又因为，且等号当且仅当，即时成立，
综上，．
故答案为：3
【点评】本题考查指数函数和基本不等式在研究实际问题上的应用，属于中档题．
12．（2024 常德模拟）已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则　　．
【分析】先利用导数求出切线方程，然后利用弦长公式求弦长．
【解答】解：由题意（1），切点为，
，（1），
切线方程为：，
代入整理后得，
显然△，
设，，，，则，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数求切线的方法，直线与圆相交时的弦长公式，属于中档题．
13．（2024 罗湖区校级模拟）已知函数若函数的图象在点，和点，处的两条切线相互平行且分别交轴于，两点，则的取值范围为 　，　．
【分析】设切线的倾斜角为，则，，再结合切线相互平行，则导数相等，得到，之间的关系，将化成关于的函数，再研究函数的值域即可．
【解答】解：不妨设两条切线的倾斜角为，显然为锐角，
则，，所以，
由，，
所以，即，
所以，
令，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且时，；时，，（1），
所以，即的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性、最值的方法，属于中档题．
14．（2024 沙依巴克区校级模拟）已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是 　　．
【分析】首先做出函数的图象，，并由的范围表示出，的，从而可表示为的函数，再进一步利用函数的导数求出最小值．
【解答】解：首先作出函数的图象，如图所示：
，，
则，
所以，，
，
所以，
当时，，故函数在上单调递增，
当时，，故函数在，上单调递减，
所以由时，；（1），，
故，．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：构造函数，函数的单调性与函数的导数的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
15．（2024 黄浦区校级模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 　，　．
【分析】构造函数，转化为时，利用分离常数法求出实数的取值范围．
【解答】解：因为，
设，则，
又因为函数，且对任意，皆有成立，
所以，，且，所以；
设，，
则，
令，解得，所以时，，单调递增，
，时，，单调递减，
所以的最大值为，
所以实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了导数的定义与应用问题，也考查了函数的单调性应用问题，是中档题．
16．（2024 中山市校级模拟）若关于的不等式在，上恒成立，则实数的最大值为 　　．
【分析】把原不等式整理为在，上恒成立，设左边为新函数，利用导数求出其最小值即可．
【解答】解：依题意，原不等式可化为在，上恒成立．
令，则，
求导数．
令，得．
当，即时，函数在，上单调递减，
则，解得，与矛盾，此时不符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则，解得，所以，
又，所以不符合题意；
当，即时，在，上单调递增，
则，解得．
综上，实数的取值范围是，，
所以实数的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，解题的关键是转化为求函数的最小值问题，是难题．
四．解答题（共11小题）
17．（2024 榆阳区校级一模）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）时，函数，利用分类讨论法求不等式的解集即可；
（2），时，不等式化为，根据绝对值的定义分离常数，从而求出的取值范围．
【解答】解：（1）时，函数，
不等式等价于，或，或，
解得，或，或，
所以不等式的解集为；
（2），时，；
使得不等式成立，即；
所以，或；
所以，或；
由，或，
所以，或，
所以实数的取值范围是，或．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．
18．（2024 庄浪县校级一模）设，，且（1）．
（1）求的值及的定义域．
（2）求在区间，上的最大值．
【分析】（1）由（1），求出的值，由对数的真数大于0，求得的取值范围，即得定义域；
（2）化简，考查在区间，上的单调性，求出最大值．
【解答】解：（1），，
（1），
；
，
，
解得；
的定义域是．
（2），
且；
当时，在区间，上取得最大值，是．
【点评】本题考查了求函数的定义域和在闭区间上的最值问题，解题时应根据函数的解析式，求出定义域，根据定义域求出最值，是基础题．
19．（2024 广东模拟）已知函数．
（1）若，求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出切点坐标与切点处的导数，再利用点斜式写出切线方程；
（2）研究的单调性，求出的最小值，令其最小值大于等于零即可．
【解答】解：（1）若，则，所以（1），
因为，
所以（1），则切线方程为，即；
（2）因为，，，
则在上单调递减，在上单调递增，
（2），
因为当时，恒成立，
所以，所以，
故的取值范围是，．
【点评】本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
20．（2024 龙岗区校级模拟）已知函数．
（1）若在上有唯一零点，求的取值范围；
（2）若对任意实数恒成立，证明：．
【分析】（1）令，得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出其大致图像，结合图象即可得解；
（2）根据对任意实数恒成立，可得是函数的最小值，由分类讨论求出的最小值，再构造新的函数证明即可．
【解答】解：（1）令，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，
如图，作出函数的图象，
由图可知，的取值范围为或；
（2）证明：因为对任意实数恒成立，
所以是函数的最小值，
，
当时，，所以函数在上为减函数，
所以函数没有最小值，不符合题意，
当时，时，，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上所述，，
则，即，
即，即，
令，
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，
所以，即，
所以．
【点评】本题考查利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题．
本题属于难题．
21．（2024 重庆模拟）已知函数为实数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在两个不相等的正数，满足，求证．
（3）若有两个零点，，证明：．
【分析】（1）求出导数，然后通过讨论的取值确定导数的符号，确定原函数的单调性；
（2）根据正数，满足，构造函数，然后利用导数研究该函数的单调性解决问题；
（3）根据的两个零点满足的关系，取，构造函数，研究的单调性和最值求解．
【解答】解：（1），
当时，恒成立，在上单调递增；
当时令，；
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：令，
，故在上递增，
又因为，
所以当时，；时，，
当时，在上递增，与已知矛盾；
当时，在上递增，上递减，则，必有一个在上，一个在上，
不妨设，若，则显然成立，
若，则时，知，
即，结合得，
又因为，且在上递增，
则即证毕；
（3）证明：不妨设，由，可得，
即，则，
设，则，，
令，则，即函数在上单调递增，
所以（1），即．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，解决与函数零点有关的问题，综合考查了学生的逻辑推理能力和运算能力等，属于较难的题目．
22．（2024 吉林模拟）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上．
（1）当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
（2）已知函数，关于的方程有两个不等实根，．
求实数的取值范围；
证明：．
【分析】（1）先确定所求几何体何时能取到最大值，写出函数关系，利用导数分析函数单调性，求最大值；
（2）根据题意知，，进行同构，将问题转化为方程有两个不等的实数根，再进行分离参数，研究的单调性和极值，即可求出的取值范围；
由知，先证，即极值点偏移问题，构造函数，求，在单调递增，，得，从而可得即，再由的单调性，即可得到．
【解答】解：（1）因为在轴上方，所以：，
为直角三角形，所以当轴时，所得圆锥的体积才可能最大，
设，则，，
设，则，由，
因为，所以，
所以在上单调递增，在，上单调递减，所以，
从而；
（2）因为，即，即，
令，所以，
因为为增函数，所以即，
所以方程有两个不等实根，等价于有两个不等实根，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以；
当时，；当时，由洛必达法则知，所以，
由知，，，
令，，
因为，所以，
因为，，所以，即在单调递增，，所以．
因为，所以，
又因为，所以，
因为，，且在上单调递减，
所以，即，所以，
所以．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、进而解决函数零点、不等式的证明问题的解题思路，属于难题．
23．（2024 汕头一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．
我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．
假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗．
设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为．
（1）若，，求；
（2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．
（取
【分析】（1）设这4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，求出不同排法；要摘到最大的那颗番石榴，讨论①最大的番石榴是第3颗时，②最大的番石榴是第4颗时，求出不同排法种数，计算所求的概率值；
（2）记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第颗，求出，利用全概率公式计算（A），列式求值即可．
【解答】解：（1），时，设这4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，有（种不同排法，
要摘到最大的那颗番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3颗，其他的番石榴在任意的位置，共有（种不同排法；
②最大的番石榴是第4颗，第二大的番石榴是第1颗或第2颗，其他的番石榴任意排法，有（种不同排法；
综上，所求的概率值为；
（2）记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第颗，
因为最大的番石榴出现在各个位置上的概率相等，所以，
以给给定所在位置的序号为条件，则（A），
当时，最大的番石榴在前颗番石榴内，不会被摘到，此时；
当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前颗番石榴中的最大的一颗在前颗番石榴中时，此时；
由全概率公式知，（A）；
设，其中，为常数；则，
令，得，
所以，当时，，单调递增；当，时，，单调递减，
所以的最大值为；
所以，当时，（A）取得最大值，最大值为，此时；
所以的最大值为，此时．
【点评】本题考查了概率在生活中的应用问题，也考查了运算求解能力与数学建模核心素养，是难题．
24．（2024 天津模拟），，已知的图象在，处的切线与轴平行或重合．
（1）求的值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围；
（3）利用如表数据证明：．
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
【分析】（1）求出函数的导数，根据，求出的值即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的范围即可；
（3）根据三角函数的性质累加即可．
【解答】解：（1），则；
（2），即恒成立，
，则，
，
则递减．
所以时，；
（3）证明：
．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查不等式的证明，是一道综合题．
25．（2024 济宁一模）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，，使得成立；
（3）设，数列的前项和为．证明：．
【分析】（1）求出函数的定义域，计算，讨论的取值，利用导数判断函数的单调性即可．
（2）设，，判断在区间，上单调递减，计算，判断，计算，判断，即可得出区间，上存在唯一实数，使得，即可得出结论成立．
（3）由时，在上单调递减，得出时，，设，，得出，令，，得出，即可得出．
【解答】（1）解：函数的定义域为，且；
①若，则 恒成立，所以在上单调递增；
②若，则时，，单调递增；，时，，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：设，，
则，
因为，所以在区间，上单调递减；
，
设，，则，所以时，，单调递减；
时，，单调递增；所以的最小值为（1）．
又，所以，所以恒成立；又因为，，所以．
同理可得：，由时等号成立），
又因为，所以，所以恒成立；
又因为，，，所以．
所以，区间，上存在唯一实数，使得，
所以对任意，存在唯一的实数，，使得成立．
（3）证明：当时，由（1）可得，在上单调递减，
所以时，（1），即．
令，，则，
即，所以，
令，，则，
所以，即．
【点评】本题考查了导数的综合应用问题，也考查了利用函数不等式证明的应用问题，是难题．
26．（2024 广东模拟）已知函数有极值点
（Ⅰ）求函数的单调区间及的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且，求的值．
【分析】（Ⅰ）先求函数的导数，利用函数有极值点，则有解，继而可得函数单调区间及的取值范围；
（Ⅱ）由于函数有两个极值点、，则，，又由，则得到关于的关系式，即得的值．
【解答】解：（Ⅰ），
由于函数有极值点
则△，解得，或
，
减区间为；
（Ⅱ）由知，，
又由函数，
则
解得，
则的值为．
【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性，极值问题．属于中档题．
27．（2024 海淀区校级模拟）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线．求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为至少有两个不等的正实根，根据二次函数的性质结合函数的单调性从而得到的范围；
（Ⅲ）时，不合题意，时，通过讨论的符号，结合函数的单调性，从而求出的范围．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，，则函数的单调递减区间是，
当时，令，得，
当变化时，，的变化情况如下：
，
0
极小值
在单调递减，在，单调递增；
（Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线，
至少有两个不等的正实根，
令得，记其两个实根分别为，，
则，解得：，
当时，曲线在点，，，处的切线分别为：
，，
令，
由得，（不防设，
且当时，，即在，上是单调函数，
；
，是曲线的两条不同的切线，
实数的范围是；
（Ⅲ）当时，函数是内的减函数，
，而，不符合题意，
当时，由（Ⅰ）知：的最小值是，
①若，即时，，，
符合题意，
②若，即时，，
符合题意，
③若，即时，有，
（1），函数在，内是增函数，
当时，，
又函数的定义域是，
，，
符合题意，
综上，实数的范围是．
【点评】本题考查了函数的单调性的应用问题，考察导数的应用，考察分类讨论思想，第三问中通过讨论的符号，再结合函数的单调性来求的范围是解题的关键，本题是一道难题．考前回顾08　函数与导数（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）
知识清单
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
②若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
③若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于点对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
(1)单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上单调递增；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上单调递减．
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当06．函数的零点
(1)零点定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0；
②零点存在定理法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
7．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
8．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
9．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
10．常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型
(1)对于f′(x)±g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)±g(x)．
(2)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)g(x)．
(3)对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝(g(x)≠0)．
例如，对于xf′(x)＋f(x)>0，构造函数h(x)＝xf(x)，
对于xf′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
对于f(x)＋f′(x)>0，构造函数h(x)＝exf(x)，
对于f′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
易错提醒
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行讨论；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
7．已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对 x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．
8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
易错分析
易错点1 对复合函数定义域的理解不透彻致误
1.[江苏三校2023联考]已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
2. [江苏扬州高邮2022调研]已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）
易错点2 忽视函数定义域而致误
3.[重庆2023一诊]已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 .
4.[安徽黄山2022一模]连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的取值范围是（ ）
5.[河南中原顶级名校2022联考]函数的零点个数为（ ）
易错点3 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误
6.[吉林部分学校2023大联考]已知函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
易错点4 对数型复合函数的定义域为和值域为理解不透彻致误
7.[河北“五个一”名校2023联考]已知函数的值域为，那么的取值范围是 .
易错点5 函数的图象画的不准确而致误
8.[河北2023联考]已知函数
若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
易错点6 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误
[江苏常州一中2023调研]若函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
易错点7 忽视分段函数交界处的函数值的大小
10.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是 .
易错点8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误
11.[江苏南京师大附中2022开学考改编]当时，，则的取值范围是 .
易错点9 对数型复合函数单调性判断不清致误
12.[四川泸州江阳区2022期末]若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 .
易错点10 忽视函数图象端点的取值致错
13.[陕西安康2022期末]已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ）
易错点11 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
14.[江苏南通2023期末]已知函数，则曲线经过点的切线方程是 .
3.[陕西安康2022调研]曲线过点的切线方程是（ ）
易错点12 混淆极值点的含义致误
15. [河南洛阳 2023 月考]若是函数的极值点，则的值为（ ）
16. [山西长治八中2022测评]已知函数在处取得极值0，则（ ）
高考真题
一．选择题（共13小题）
1．（2023 全国）若，且，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023 新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
3．（2023 天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为　　
A． B．
C． D．
4．（2023 上海）下列函数是偶函数的是　　
A． B． C． D．
5．（2023 甲卷）曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
6．（2023 乙卷）已知是偶函数，则　　
A． B． C．1 D．2
7．（2023 北京）下列函数中在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
8．（2023 新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　
A． B． C． D．
9．（2023 新高考Ⅱ）若为偶函数，则　　
A． B．0 C． D．1
10．（2023 甲卷）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023 乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
12．（2023 全国）已知函数在处取得极小值1，则　　
A． B．0 C．1 D．2
13．（2023 甲卷）已知函数．记，，，则　　
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
14．（2023 新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　
A． B． C． D．
15．（2023 新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则　　
A． B．（1）
C．是偶函数 D．为的极小值点
16．（2023 新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则　　
A． B． C． D．
三．填空题（共11小题）
17．（2023 甲卷）若为偶函数，则　　．
18．（2023 甲卷）若为偶函数，则　　．
19．（2023 全国）为上奇函数，，（1）（2）（3）（4）（5），　　．
20．（2023 上海）已知函数，且，则方程的解为 　　．
21．（2023 北京）已知函数，则　　．
22．（2023 上海）已知函数，则函数的值域为 　　．
23．（2023 全国）曲线在处切线方程为 　　．
24．（2023 全国）已知函数，则在区间的最大值为 　　．
25．（2023 乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 　　．
26．（2023 天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 　　．
27．（2023 北京）设，函数给出下列四个结论，正确的序号为 　　．
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，，，则；
④设，，，，若存在最小值，则的取值范围是，．
四．解答题（共11小题）
28．（2023 上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小．
29．（2023 甲卷）已知，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
30．（2023 上海）已知，，函数．
（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
31．（2023 新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
32．（2023 甲卷）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
33．（2023 新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
34．（2023 乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
35．（2023 北京）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，求的单调区间；
（Ⅲ）求的极值点的个数．
36．（2023 上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
（1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由；
（2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值；
（3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）．
37．（2023 乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数在单调递增，求的取值范围．
38．（2023 天津）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）证明：．
最新模拟
一．选择题（共8小题）
1．（2024 武汉模拟）人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：，为时间（单位：，则此人每分钟心跳的次数为　　
A．50 B．70 C．90 D．130
2．（2024 云南一模）已知函数，若，，（3），则　　
A． B． C． D．
3．（2024 2月份模拟）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线” 由德国心理学家艾宾浩斯．研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：．若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的，则他复习背诵时间需大约在　　
A． B． C． D．
4．（2024 五华区校级模拟）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元，则一个纸箱的成本最低约为（参考数据：，　　
A．0.32元 B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元
5．（2024 湖北模拟）已知对任意，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2024 东莞市校级一模）已知集合，若，，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对，，的个数是　　
A．16 B．24 C．32 D．48
7．（2024 邵阳模拟）已知函数的定义域为，为的导函数．若（1），且在上恒成立，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
8．（2024 重庆模拟）已知是奇函数，则在点，处的切线方程为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
9．（2024 如皋市模拟）设为常数，，，则　　
A． B．恒成立
C． D．满足条件的不止一个
三．填空题（共7小题）
10．（2024 江西模拟）若不等式在，上恒成立，则的最大值为 　　．
11．（2024 重庆模拟）给机器人输入一个指令，（其中常数后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作．已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则　　．
12．（2024 常德模拟）已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则　　．
13．（2024 罗湖区校级模拟）已知函数若函数的图象在点，和点，处的两条切线相互平行且分别交轴于，两点，则的取值范围为 　　．
14．（2024 沙依巴克区校级模拟）已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是 　　．
15．（2024 黄浦区校级模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 　　．
16．（2024 中山市校级模拟）若关于的不等式在，上恒成立，则实数的最大值为 　　．
四．解答题（共11小题）
17．（2024 榆阳区校级一模）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
18．（2024 庄浪县校级一模）设，，且（1）．
（1）求的值及的定义域．
（2）求在区间，上的最大值．
19．（2024 广东模拟）已知函数．
（1）若，求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
20．（2024 龙岗区校级模拟）已知函数．
（1）若在上有唯一零点，求的取值范围；
（2）若对任意实数恒成立，证明：．
21．（2024 重庆模拟）已知函数为实数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在两个不相等的正数，满足，求证．
（3）若有两个零点，，证明：．
22．（2024 吉林模拟）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上．
（1）当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
（2）已知函数，关于的方程有两个不等实根，．
求实数的取值范围；
证明：．
23．（2024 汕头一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．
我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．
假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗．
设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为．
（1）若，，求；
（2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．
（取
24．（2024 天津模拟），，已知的图象在，处的切线与轴平行或重合．
（1）求的值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围；
（3）利用如表数据证明：．
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
25．（2024 济宁一模）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，，使得成立；
（3）设，数列的前项和为．证明：．
26．（2024 广东模拟）已知函数有极值点
（Ⅰ）求函数的单调区间及的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且，求的值．
27．（2024 海淀区校级模拟）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线．求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，，求实数的取值范围．

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