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第八章 压杆的屈曲失效和稳定条件
第一节压杆的屈曲失效
第二节压杆稳定的概念及临界力计算
第三节压杆稳定的条件和计算方法
第四节提高压杆稳定性的措施
每章一练
教学目标
1.掌握屈曲失效和压杆稳定的概念。
2.掌握压杆稳定的条件和计算。
3.掌握提高压杆稳定性的措施。
4.熟悉压杆稳定的条件，了解压杆的分类。
第一节 压杆的屈曲失效
一、压杆的屈曲失效
1、屈曲失效的定义
在前面已经知道工件在受到超过承载能力的力作用时会产生强度或刚度失效。然而，在实际中我们会发现一些工件在很小的压力下就发生失效。例如，如图8-1所示的两根矩形截面的松术直杆，它们的底面积均为A=50mm×7mm，长度分别为30mm与1000mm，强度极限σh=40MPa。按强度考虑，两杆的极限承载能力应为:
P=σb×A=(40×50×7)=14000N
但是，当给两杆缓缓施加压力时，长度为30mm的杆可承受接近14000N的压力，并且在破坏前一直保持着直线形状。
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第一节 压杆的屈曲失效
而长度为1000mm的杆，压力只加到约800 N时，就开始变弯，如继续增大压力，则杆因为弯曲变形急剧加大而折断。
屈曲失效:丧失工作能力不是强度不够，而是由于其轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所致。我们把杆突然发生显著变形改变平衡形式而失去承载能力的现象，称为屈曲失效(也叫失稳)。
2、不同受压杆件的屈曲失效
如图8-2所示，屈曲失效由于其失效的突然性破坏能力很强。
受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，如图8-2(a)所示;
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第一节 压杆的屈曲失效
狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转，如图8-2(b)所示;
受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式，如图8-2(c)所示;
还有工程中的柱、析架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生屈曲失效。
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第一节 压杆的屈曲失效
二、三类压杆不同的屈曲失效形
根据不同的屈曲失效形式，受压杆件可以分为三种类型:细长杆、中长杆和短粗杆。三类压杆的临界状态各不相同，如图8-3所示。
1、细长杆
杆的横截面直径远小于杆的长度。它发生弹性屈曲，即当载荷除去后，杆仍能由弯曲平衡构形回复到初始直线平衡构形。细长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图8-3(a)所示。
这类杆在实际应用中主要是发生屈曲失效，即失稳。
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第一节 压杆的屈曲失效
2、中长杆
杆的横截面直径比杆的长度小，但是相差的倍数不是很大。它发生弹塑性屈曲，也会发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为这时压杆上的某些部分已经出现塑性变形。中长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图8-3(b)所示。
这类杆在实际中应用最多，它通常是发生屈曲失效，但有时也可能由于强度失效而产生破坏。
3、短粗杆
它不发生屈曲，而发生屈服。短粗杆承受压缩载荷时，载荷与轴向变形的关系曲线如图8-3(c)所示。这类杆没有被
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第一节 压杆的屈曲失效
充分利用，且属于脆性破坏。因此，在实际应用中主要考虑它的强度失效。
各种杆只有在受到压力作用时才按上面讲的理论分析。当处于别的力作用下时，则要按照强度或刚度失效来分析。更复杂的情况则是受到儿种力的共同作用(这也是实际中最常见的情况)时，要根据实际情况分先后考虑各种失效。
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
一、压杆稳定的概念
1、稳定的概念
“稳定”和“不稳定”是就物体的平衡性质而言。
图8-4(a)所示小球，在自重FP和曲面反力FR作用下，在下凹曲面的最低点A处处于静止平衡状态，若给小球一个干扰力，使其离开平衡位置，则它在重力和曲面反力的合力作用下，小球会恢复到原来的静止位置。
这表明小球在A点处于稳定平衡状态。
在图8-4(b)中，小球在光滑平面上，若不计摩擦，则小球可以在任意位置上处于静止平衡状态，这种现象称为临界平衡。
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
在图8-4(c)中，小球在A点处于静止平衡状态，若再给小球一个干扰力，则小球离开平衡位置，在重力和曲面反力的合力作用下，将不再回到原来的平衡位置。
因此，在图8-4(b)和图8-4(c)中，小球处于不稳定平衡状态。
2、压杆稳定及其临界载荷
受压杆同样存在上面所说的平衡性质问题。为了研究细长压杆的失稳过程，取一根细长直杆，如图8-5所示，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡。此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力，数值不同时，其结果也截
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
然不同。
如图8-5(a)和图8-5(b)所示，当杆承受的轴向压力数值F小于某一临界数值(Fcr)时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡状态。
当杆承受的轴向压力F数值逐渐增大到(甚至超过)某一临界数值(Fcr)时，如图8-5(c)和图8-5(d)所示，撤去干扰力，杆不能自动恢复到原有的直线平衡状态仍然处于微弯形状，则原有的直线平衡状态为不稳定平衡状态。如果压力F继续增大，则杆继续弯曲，将产生显著变形，甚至发生突然破坏。
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
上述试验表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态，这种现象称为压杆失稳。显然压杆是否失稳由轴向压力的数值决定，我们把使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用Fcr表示。
当压杆所受的轴向压力F小于Fcr时，杆件就能够保持稳定平衡状态，这种性能称为压杆具有稳定性;
而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时，杆件就不再保持稳定平衡状态而失稳
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
二、三类压杆的临界力
1、细长杆的临界力
(1)细长杆的临界力的计算细长杆在受到压力时，发生弹性屈曲，当载荷除去后，杆仍能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡状态。许多科学家经过很多实验和数据分析，提出了很多的计算公式，但通过实际应用中的反复检验和选择，人们慢慢认同了欧拉公式。它是瑞典科学家欧拉假设两端铰支，长度为L的细长杆，在轴向压力Fcr的作用下保持微弯平衡状态的实验条件下推导出来的公式(图8-6)。
欧拉公式的表达式如下:
(8-1)
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
式中，Fcr为压杆的临界力，N; E为材料的弹性模量，MPa; I为截面的惯性矩mm2，μ为不同约束条件下压杆的长度系数;l为杆件的长度，mm。
从公式(8-1)中，可以看出细长压杆的临界力Fcr与材料的弹性模量E和杆的截面的惯性矩I成正比。一般都把EI合起来称作杆的刚度，即压杆的临界力与杆的刚度成正比。当压杆的刚度越大时，压杆的临界力越大，压杆稳定性好。其中弹性模量由材料决定;截面的惯性矩取数值较小的那个轴的惯性矩。
(2)不同约束的长度系数压杆的长度系数拜决定于压杆杆端的约束情况，相同的杆，在不同的约束情况下有不同的长度
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
系数，从而使杆具有不同的临界力。人们通过理论分析和实际检验得出了不同约束条件下压杆的长度系数，如表8-1所示。
从表8-1中可以看到，两端固定的压杆长度系数最小，压杆最稳定。一端固定，另一端铰支的压杆次之。两端铰支的压杆稳定性又差点，并且它的长度系数刚好是两端固定杆的两倍，相同条件下的临界力是两端固定杆的一半，也就是说，它的稳定性相当于两端固定杆的一半。其中长度系数最大的是一端固定，另一端自由的压杆，它的稳定性最差，只相当于两端铰支杆的一半，两端固定杆的1/40。
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
例8-1 如图8-7所示的细长方形压杆，两端为铰支，材料的弹性模量E=210 GPa，试求此压杆的临界力。
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
解：先分析下杆的矩形截面的惯性矩，知道小的惯性矩为I。
由表8-1，可以查出两端铰支压杆的长度系数μ。
μ=1
由题可知:
E=210GPa=210×103MPa，l=240cm=2400mm
代人压杆临界力公式(8-1)得:
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
(3)细长压杆的临界应力细长压杆在临界力作用下，压杆横截面上的平均正应力称为压杆的临界应力，用σcr表示，单位为MPa。其计算公式如下:
(8-2)
式中， Fcr为压杆的临界力，N; A为压杆的截面面积,mm2。
因此，当知道压杆的临界力和截面面积后就能求出它的临界应力。它与压杆的临界力成正比，压力越大，应力越大;而与截面面积成反比，面积越大，应力越小。
(4)柔度由于欧拉公式不能适合所有的压杆，而只适合于材料的弹性范围内。然而，怎么来判断材料是否属于弹性范围内呢 一般都是通过比较横截面上的应力是否超过材料的比
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
例极限来判断。为了计算简单，并且找出材料的特有规律，人们由临界应力的公式:
定义截面的惯性半径为i，单位为mm。其表达式如下
(8-3)
再定义入为柔度，又称长细比，是个无单位的量，也可以说1就是它的单位。其表示式如下
(8-4)
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
因此，压杆的临界应力公式又可以表示为
(8-5)
公式(8-4)中，μ为反映不同支撑影响的长度系数;l为压杆 的长度;i是全面反映压杆横截面形状与尺J‘的儿何量。柔度 是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺J‘和截面形状 对压杆临界载荷影响的量。 λ的值越大，表示压杆越细 长，临界应力越小，压杆越易失稳;反之， λ的值越小，表 示压杆越短粗，越稳定。
根据柔度的大小可以将压杆分成三类(刚好和前面所说的三 类压杆一一对应):
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
①大柔度杆(细长杆) 当压杆的柔度A大于或等于某个极限值λD时，即λ≥λD时，压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡状态下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为大柔度杆或细长杆。
②中柔度杆(中长杆) 当压杆的柔度A小于λD，但大于或等于另一个极限值λs时，即λs≤λ＜λD时，压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡状态下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进人塑性状态，这种屈曲称为非弹性屈曲，这类压杆称为中柔度杆或中长杆。
③小柔度杆(短粗杆) 柔度A小于极限值λs时，即λ<λs时，压杆不会发生屈曲，但会发生屈服，这类压杆称为小柔度杆或短粗杆。
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
2、中长杆(中柔度杆)的临界力
欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例极限。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定问题，此时，欧拉公式不再适用。对这类压杆λs≤λ＜λD，通常采用经验公式来计算临界力和临界应力，经验公式是在实验和实践资料的基础上，经过分析、归纳而得到的。我国比较常用的经验公式有直线公式和抛物线公式等，这两种方法的思路一样，只不过后者有时更加精确些，但它的计算也复杂很多。因此，在一般条件下用直线公式就可以了，其表达式为
σcr=a-bλ (8-6)
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
式中， λ为杆件的柔度;a和b为与材料有关的常数，如表8-3所示。
中长杆的临界力计算公式为
Fcr=σcrA=(a-bλ)A
3、短粗杆(小柔度杆)的临界力
短粗杆的破坏为强度失效，而不是失稳。因此:
σcr=σs （8-8）
判断一根杆是否为短粗杆，在计算中常由γ≤ γs来决定，只有满足这个条件的杆才应用公式(8-8)来计算。
短粗杆的临界力计算公式为
Fcr=σsA
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第二节 压杆稳定的概念及临界力计算
4、临界应力总图
由上面的介绍知道，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。
当λ≥λD时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式来计算;
当λs≤λ＜λD时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用经验公式来计算;
当λ<λs时，压杆为短粗杆(小柔度杆)，其临界应力等于杆受压时的极限应力。
如果把压杆的临界应力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。压杆的临界应力总图如图8-10所示。
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第三节 压杆稳定的条件和计算方法
一、压杆稳定的条件
在实际中，常常要校核压杆是否满足要求，从而保证设计满足要求或选择符合工作要求的压杆。在前面已经知道，为了保证杆件能正常地工作，必须满足强度条件:
(8-10)
经过实际检验，发现用下面这个公式能够很好地满足压杆的设计和工作要求。
(8-11)
式中，[σcr]为压杆的稳定许用应力值，单位为Pa。
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第三节 压杆稳定的条件和计算方法
二、压杆稳定的计算方法
1、安全系数法
公式(8-11)是通过理想化的条件得来的，而实际情况不可能都满足理想条件。因此，为了保证压杆具有足够的稳定性，设计中，必须使杆件所承受的实际压力小于杆件的临界力，并且具有一定的安全储备，以便防止特殊情况的发生。虽然这些特殊情况很少发生，有的甚至在其使用过程中一直没有发生，但是它一旦发生，那将是致命的，很可能给国家和人民的生命造成很大的危害。
因此，压杆稳定的条件可表示为
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第三节 压杆稳定的条件和计算方法
(8-12)
式中，F为压杆的工作作用力，N;Fcr为压杆的临界力，N，nst为压杆稳定安全系数;n为压杆工作安全系数。
上式也可写成
(8-13)
或
(8-14)
式中，[Fst]和[nst]分别为压杆的稳定许用力和稳定许用应力。
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第三节 压杆稳定的条件和计算方法
2、折减系数法
对确定的材料，强度许用应力[σ]是不变的，而稳定许用应力[σcr]是随柔度变化而变化的量。所以在工程实际中，常采用折减系数法来计算压杆的稳定性。
折减系数法就是通过一个折减系数和强度许用应力[σ]来代替稳定许用应力[σcr ，其表达式为:
[σcr]=φ [σ]
式中， φ为折减系数。 φ值是一个小于1的数，它随λ的变化而变化，不同材料有不同的φ值。常见材料在不同的入下的φ值，如表8-4所示。
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第三节 压杆稳定的条件和计算方法
因此，压杆稳定条件可写成下式:
(8-16)
此式表明压杆因在强度破坏之前就发生了稳定失效，故用降低强度许用应力的方法来保证其安全。
例8-7 已知一根两端铰支的术质压杆，l=6m,圆截面d = 20cm，轴向压力F=50kN，木材许用应力[σ] = 10 MPa，试校核该术柱的稳定性。
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第三节 压杆稳定的条件和计算方法
解:计算压杆的惯性半径可得
因为压杆两端铰支，查表可得
μ=1
计算压杆的柔度可得
表8-4可得
折减系数φ=0.209
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第三节 压杆稳定的条件和计算方法
计算许用稳定应力可得
计算压杆实际工作应力可得
所以，该压杆是稳定的。
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第四节 提高压杆稳定性的措施
一、适当降低压杆柔度
1、选择合理的截面形状
由 可知，柔度入与惯性半径I成反比，因此，要提高压杆的稳定性(减小柔度)，应尽量增大I。而在截面面积一定的情况下，要尽量增大惯性矩I，就得尽量使材料远离中性轴。例如，采用空心截面或组合截面尽量使截面材料远离中性轴，如图8-11，(b)比(a)要稳定。
当压杆在各个弯曲平面内的支撑情况相同时，为避免在最小刚度平面内先发生失稳，应尽量使各个方向的惯性矩相同。例如采用圆形、方形截面。
若压杆的两个弯曲平面支撑情况不同，则采用两个方向惯性
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第四节 提高压杆稳定性的措施
矩不同的截面，与相应的支撑情况对应。例如采用矩形、工字形截面。在具体确定截面尺寸时，抗弯刚度大的方向对应支撑固结程度弱的方向，抗弯刚度小的方向对应支撑固结强的方向，尽可能使两个方向的柔度相等或接近，抗失稳的能力大体相同。
2、改善约束条件
因为压杆约束越多，支撑越牢固，长度系数拜就越小，则柔度也越小，从而临界应力就越大，所以采用拜值小的支撑形式可提高压杆的稳定性。如图8-12所示，增大杆右端的支撑长度a，就加强了约束的刚性。
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第四节 提高压杆稳定性的措施
3、缩小杆的长度
压杆的柔度与杆的长度成正比，缩小杆的长度可以减小杆的柔度，从而提高临界力，即提高抵抗失稳的能力。因此，压杆应尽量避免细而长或在压杆中间增加支撑。
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第四节 提高压杆稳定性的措施
二、合理选用材料
对于短粗杆(小柔度杆)，在其他条件相同的情况下，选择高弹性模量的材料，可以提高压杆的稳定性。例如钢杆的临界力大于铜、铁、木杆的临界力。但对细长杆，临界应力与材料的强度指标无关，各种钢材的E值又大致是相等的，所以采用高强度钢材不能提高压杆的稳定性，反而会造成浪费。对于中、长杆，临界应力与材料强度有关，采用高强度钢材，提高了屈服极限σs和比例极限σD，在一定程度上可以提高临界应力。
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每章一练
1、什么是屈曲失效 三类受压杆件的失效各有什么特点
2、何谓临界力 影响临界力大小的因素有哪些
3、什么是柔度 柔度受哪些因素影响
4、什么是工作安全系数 设定工作安全系数有何实际意义
5、如何提高压杆的稳定性
6、图8-13所示每组截面，截面积相同，试问作为压杆使用时，每组截面中哪个合理些，为什么
7、图8-14所示的两端铰支的连杆，材料为Q235钢，E = 200GPa，已知连杆横截面面积A=720mm2，惯性矩Is = 6.5 x 104 mm4，Iy= 3.8x104mm4，试求此连杆的临界应力和临界力。
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每章一练
8、如图8-15所示，钢柱由两根43槽钢组成，l=16m，两端固定，A=12cm，Is=48cm，Iy=198cm，[σ] =140MPa，试计算许用工作力FN。
9、压杆由No32a工字钢制成，如图8-16所示。其支撑情况是:当柱在z轴平面内弯曲时(截面绕y轴转动)，两端固定。当柱在y轴平面内弯曲时(截面绕z轴转动)，一端固定、一端自由。杆长l = 5m，许可应力[σ]:160 MPa，受轴向压力F=600 kN，校核该压杆的稳定性。
10、一根压杆一端固定、一端自由，材料为Q235钢，截面采用工字钢，杆长l=1.45 m，受轴向压力F=200 kN，。
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每章一练
材料的许可应力[σ] =160 MPa，试选择工字钢的型号。 ，自重不计
11、图8 -17所示托架，斜撑CD为圆截面木杆，可视为两端铰支的压杆，材料的许可应力[σ]=10 MPa。试根据稳定条件确定CD杆的直径。
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图8-1 两根杆的失效比较
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图8-2 不同受压杆件的屈曲失效
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图8-2 不同受压杆件的屈曲失效
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图8-3 3类压杆的不同临界状态
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图8-3 3类压杆的不同临界状态
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图8-4 平衡状态图
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图8-4 平衡状态图
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图8-5 压杆临界图
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图8-5 压杆临界图
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图8-6 细长杆的临界力的计算
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表8-1 不同约束条件下压杆的长度系数表
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表8-3 几种材料的a值和b值
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图8-10 压杆的临界应力总图
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表8-4(1) 常见折减系数表
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表8-4(2) 常见折减系数表
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图8-11 采用空心截面或组合截面使截面材料远离中性铀
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图8-12 增大杆右端支撑长度图
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图8-13 第6题图
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图8-13 第6题图
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图8-14 第7题图
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图8-15 第8题图
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图8-16 第9题图
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图8-17 第11题图
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