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第二章 平面力偶理论
第一节力对点的矩
第二节力偶和平面力偶系
第三节力的平移定理
每章一练
教学目标
1.能够熟练运算力对平面内一点的力矩。
2.理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
3.掌握平面力偶系的平衡条件，能计算在平面力偶系作用下物体的平衡
第一节 力对点的矩
一、力矩的概念
如图2-1所示，用扳手拧紧螺母时，作用于扳手上的力F使扳手绕O点转动，其转动效应不仅与力的大小和方向有关，而且与O点到力作用线的垂直距离d有关。将乘积Fd再冠以适当的正、负号对应力绕O点的转向，称为力F对O点的矩，简称力矩，它是力F使物体绕O点转动效应的度量，用Mo(F)表示，即
Mo(F)=±Fd (2-1)
O点称为矩心，d称为力臂。式中的正负号用来区别力F使物体绕O点转动的方向，规定力F使物体绕矩心O点逆时针转动时为正，反之为负。
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第一节 力对点的矩
力矩等于零的两种情况：力等于零或力的作用线通过矩心(即力臂等于零)。
当力沿作用线移动时，不会改变它对矩心的力矩。这是由于力的大小、方向及力臂的大小均未改变的缘故。
力矩的单位：力矩的单位常用N·m或kN·m，有时为运算方便也采用N·mm的单位。其1kN·m=103N.m=106Nmm
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第一节 力对点的矩
例2-1 如图2-2所示，当扳手分别受到F1,F2,F3作用时，求各力分别对螺母中心O点的力矩。已知F1= F2= F3=100 N。
解：根据力矩的定义可知
Mo（F1）=-F1d1
=-100N×0.2m=-20N·m
Mo（F2）=F2d2
=100N×0.2m/cos30o
=23.1N·m
Mo（F3）=F3d3
=100N×0=0
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第一节 力对点的矩
二、合力矩定理
由于一个力系的合力产生的效应和力系中各个分力产生的总效应是一样的。因此，合力对平面上任一点的矩等于各分力对同一点的矩的代数和。这就是合力矩定理，即
Mo(FR)=Mo (F1)+Mo (F2)+…+Mo (Fn)= (2-2)
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第一节 力对点的矩
例2-2 图2-3所示每1m长挡土墙所受土压力的合力为FR，如FR = 150 kN，方向如图所示，求土压力使墙倾覆的力矩。
解：土压力FR可使挡土墙绕A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆的力矩，就是求FR对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将FR分解为两分力F1和F2则两分力的力臂是已知的，故由式(2 -2)可得
MA(FR)=MA (F1)+MA (F2)
= F1 h/3- F2b
=FRcos30o× -FRsin30oh
=150kN× ×1.5m-150kN × ×1.5m
=82.35kN·m
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第二节 力偶和平面力偶系
一、力偶
1、力偶的概念
在日常生活和工程中，经常会遇到物体受大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力作用的情形。例如，汽车司机用双手转动转向盘，如图2-4(a)所示，钳工用LPL锥攻螺纹，如图2 -4(b)所示，以及用拇指和食指拧开水龙头或钢笔帽等。实践证明，这样的两个力F,F’组成的力系对物体只产生转动效应，而不产生移动效应，把这种力系称为力偶，用符号(F,F’)表示。
组成力偶的力F,F’所用线所在的平面称为力偶的作用面，力偶的两个力作用线间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。
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第二节 力偶和平面力偶系
在力偶作用面内任取一点O为矩心，如图2 -5所示。设点O与力F作用线之间的垂直距离为x，力偶臂为d，则力偶的两个力对O点之矩的和为
-Fx+F'(x+d)=Fd
这一结果表明，力偶对作用面内任意一点的矩与点的位置无关。因此，将力偶的力F与力偶臂d的乘积冠以适当的正负号对应力偶的转向，作为力偶对物体转动效应的度量，称为力偶矩，用M表示，即
M=±Fd (2-3)
式中的正负号规定为:力偶的转向是逆时针时为正，反之为负。
力偶矩的单位与力矩的单位相同。
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第二节 力偶和平面力偶系
2、力偶的性质
力偶作为一种特殊力系，具有如下独特的性质:
(1)力偶对物体只产生转动效应，而不产生移动效应。因此，一个力偶既不能用一个力代替，也不能和一个力平衡(力偶在任何一个坐标轴上的投影等于零)。力与力偶是表示物体间相互机械作用的两个基本元素。
(2)力偶对物体的转动效应，只用力偶矩度量而与矩心的位置无关。如果在同一平面内的两个力偶，它们的力偶矩彼此相等，则这两个力偶等效。
(3)在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，力偶可在其作用面内任意搬移，或者可任意改变力偶中力的大小和力偶
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第二节 力偶和平面力偶系
臂的长短，而力偶对物体的转动效应不变。根据这一性质，可在力偶作用面内用M 或M 表示力偶，其中箭头表示力偶的转向，M则表示力偶矩的大小。)
必须指出，力偶在其作用平面内移动或用等效力偶替代，对物体的运动没有影响，但会影响其变形。)
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第二节 力偶和平面力偶系
二、平面力偶系
1、平面力偶系的平衡
由力偶的性质可知，处于同一平面内的若干力偶可以合成为一个合力偶。如果∑M=0,表明力偶系作用互相抵消，对物体不产生转动效应，物体就处于平衡状态。因此，平面力偶系平衡的条件是:平面力偶系中所有力偶矩代数和为零，即
∑M=0
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第二节 力偶和平面力偶系
例2-3 在水平放置的工件上用多头钻床同时钻4个直径相同的孔，如图2 -6所示，每个钻头的切削力偶矩为MA = MB =MC=MD=20N·m，求工件所受总切削力偶矩的值。
解：以工件为研究对象:作用于
工件的力偶有4个，各力偶大小
相等，方向相同，且在同一平面
内，由乏M=0便可求出合力偶
矩，长口总的切削力偶矩为
MR=MA+MB+MC+MD
=4 × 20=80 N·m
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第二节 力偶和平面力偶系
2、平面力偶系的合成
设在物体某平面内作用两个力偶M1和M2(图2-7(a))，任选一线段AB =d作为公共力偶臂，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为
F1=F1’=M1/d F2=F2’=M2/d
如图2-7(b)所示。根据性质3，图2一7(a)与图2-7(b)中，力偶作用是等效的。于是，力偶M、与M}可合成为一个合力偶如图2一7(c)所示，其力偶矩为
M=FRd=(F1-F2})d=M1+M2
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第二节 力偶和平面力偶系
若有n个力偶作用于物体的某一平面内，由此组成的力系称为平面力偶系。平面力偶系可合成为一合力偶，在同一个平面内的力偶矩可以进行代数运算。合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M=M1+M2+… +Mn=
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第二节 力偶和平面力偶系
例2-4 如图2-8所示，在物体的某平面内受到三个力偶的作用。设F1=200 N , F2=600 N , M=100N·m，求其和力偶矩。
解：各分力偶矩为
M1=F1d1=200N ×1m=200N·m
M2=F2d2=600N × 0.25m/sin30o
=300N·m
M3=-M=-100N·m
由式(2 -4)得合力偶矩为
M=M1+M2+M3
=200N·m+300N·m-100N·m
=400N·m
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第三节 力的平移定理
力的平移可以用来分析力对物体作用的效果。图2 -9为侧面附有悬挂件的蒸馏塔，悬挂件的总重量为口，与主塔中心线问有一偏心距e。力Q对主塔支座所起的作用效果，可以应用力的平移法来分析。为此在主塔中心线上加上两个力Q’与Q’’，使它们大小相等，并令Q=Q’=Q’’且Q’与Q’’等值反向。不难看出Q’与Q’’是符合二力平衡条件的。从整体而言，加上这两个力以后，由Q、Q’与Q’’三个力组成的力系的作用效果与Q力单独的作用效果是相等的。但从另一角度来分析，可以看成是把Q力平移了一个偏心距e，成为Q’，与此同时附加厂一个力偶(Q , Q’’)，其力偶矩M的大小等于Q·e。因此，有偏心距的力对支座的作用，相当于一个力Q’和一个力偶M的
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第三节 力的平移定理
共同作用，力Q’压向支座，力偶M使塔体弯曲，支座承受压缩和弯曲的联合作用。
由上述实例可知力的平移定理:虽然力与力偶都是基本物理量，这两者不能相互等效代替，但是一个力却可以用一个与之平行且相等的力和一个附加力偶来等效代替。反之，一个力和一个力偶也可以用另一个力来等效代替。
应用力的平移定理时必须注意:
1、力在平移时所附加的力偶矩的大小、转向与平移点的位置有关。
2、力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用，并且力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另一刚体。
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第三节 力的平移定理
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3、力的平移定理的逆定理也成立。
力的平移定理不仅是力系简化的依据，而且也是分析力对物体作用效应的一个重要方法，能解释许多工程和生活中的现象。例如，用螺纹锥攻螺纹时，为什么单手操作时容易断锥;打乒乓球时，为什么搓球能使乒乓球旋转等。
每章一练
1、什么是力偶，力矩 力偶和力矩有什么异同
2、平面力偶的等效条件是什么
3、设一平面任意力系向某一点简化得到一合力氛 若另选简化中心，问该力系能否简化为一力偶 为什么
4、一平面任意力系向A点简化的主矢为FRA，主矩为MA，如 图2-11所示，试求该力系向距A点为d的B点简化所得主矢FRB和主矩MR的大小和方向
5.计算图2 -12所示各图中力F对O点之矩
6.外伸梁上作用有力偶(F,F’)、集度为9的均布荷载以及铅垂力FD，各力的作用位置如图2 -13所示。若已知F = 10 kN , FB = 20 kN , q = 20 kN/m , a = 0. 8 m。求支座A,B处的约束力。
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图2-1 螺母的转动效应
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图2-4 生活中的力偶
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(a)转向盘的转动;(b)处锥攻螺纹
图2-5 力偶的作用面
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图2-7 平面力偶系的合成
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图2-9 蒸馏塔(侧面附有是挂件)
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图2-11 第4题图
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图2-12 第5题图
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图2-13 第6题图
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