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第九章超静定结构
第一节超静定结构概述
第二节采用力法解超静定结构
每章一练
教学目标
1.了解超静定结构的概念、特征和类型。
2.掌握确定超静定次数的方法。
3.掌握采用力法解超静定结构的方法。
第一节 超静定结构概述
一、超静定结构的主要特征
为了更好地认识超静定结构的特性，把静定结构与超静定结构的主要特征一一加以比较，见表9-1。
超静定结构的主要特征是有多余约束的存在，结构的内力和变形将直接受这些约束的影响。
简单而言，超静定结构具有如下性质:
由于考虑了变形条件，超静定结构的约束力和内力与杆件的物理性质和截面形状都有关系，也就是说与杆件的刚度有关系;
由于有多余约束，支座移动、温度变化和杆件的制造误差等非荷载因素都会使超静定结构产生内力。
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第一节 超静定结构概述
总之，超静定结构与静定结构的最大区别在于结构的支座反力和内力不能完全由静力平衡条件确定，超静定结构具有多余约束，其内力是超静定的，必须考虑变形条件。
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第一节 超静定结构概述
二 、超静定结构的类型
通常情况下，超静定结构可分为以下几种;
1、超静定梁
在房屋或桥梁中，连续梁(图9-1)作为承重结构，例如钢筋混凝土盖的楼的主梁及次梁可视为连续梁等。
2、超静定刚架
刚架的应用很广泛，单层或多层厂房、楼房等都采用刚架作为承重结构，如图9-2所示
除以上两种外，通常还有超静定析架(例如大型工业与民用建筑等)、超静定拱(大跨度房屋建筑和桥梁)和超静定组合结构(厂房建筑)等。
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第一节 超静定结构概述
三、超静定次数的确定
超静定结构与相应的静定结构相比，具有多余约束。结构中多余约束的数目，称为原结构的超静定次数。一个超静定结构有几个多余约束就称为几次超静定结构。
1、从静力的角度分析
从静力分析角度看，超静定次数等于多余约束的个数，又等于未知力个数减去独立平衡方程的个数。
2、从几何构造的角度分析
从几何构造的角度分析，超静定次数等于多余约束的个数，又等于使原结构变成静定结构所应去掉的约束个数;从静力分析来看，超静定结构又等于未知力个数减去独立平衡方程的
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第一节 超静定结构概述
个数。去掉超静定结构的多余约束就是去除多余的支座约束，以其作用力即约束力代替，用Xi表示，称为多余约束力。去掉超静定结构的多余约束通常有下列几种方法:
(1)断1根链杆，去掉1个支杆，将1个刚接处改为单铰连接，将1个固定端改为固定铰支座，相当于去掉1个约束。如图9-3所示。
(2)开1个单铰，去掉1个固定铰支座，去掉1个定向支座，相当于去掉两个约束。如图9-4所示
(3)断1根杆，去掉1个固定端，相当于去掉3个约束。如图9-5所示。
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第二节 荷载的简化和分类
一、超静定结构的求解思路
欲求解超静定结构，首先将其余未知量都表示成基本未知量的函数，然后求出基本未知量，再求出其余未知量。基本未知量是超静定结构计算中必须首先求解的关键未知量。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，使得超静定结构的计算有两大基本方法—力法和位移法，此外还有由此派生出来的方法，如力矩分配法等。
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第二节 荷载的简化和分类
二、力法的基本概念
1、基本思想
采用力法解超静定结构的基本思想是:将去掉多余约束得到的静定结构作为力法基本体系，以多余未知力作为力法的基本未知量，根据基本体系中沿多余未知力方向的位移应等于原结构相应的位移来建立力法基本方程，解方程求出多余未知力;多余未知力求出以后，其他反力和内力的计算问题就转化为静定结构的计算问题，可按叠加法或平衡条件计算。
2、计算过程
下面通过图9-6来说明力法的计算过程。
如图9-6(a)所示，一端固定，另一端为活动铰支座梁，EI
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第二节 采用力法解超静定结构
为常数，此梁为有1个多余约束力的超静定梁。
如果将图9-6(a)中的铰支座B去掉用i个多余的未知力X1,代替，则原结构梁就转化为受均布荷载和多余未知力置共同作用的静定悬臂梁，这就是超静定梁的基本体系。然后让基本体系分别由均布荷载和未知力X1，单独作用，如图9-6(b)和图9-6(c)所示。这样必须先求出图9-6(c)中的多余未知力X1,，才能求出超静定结构的内力。图9-6(a)和图9-6 (b)受力情况完全一样，但超静定结构对B处的位移有限制，也同样限制图9-6(b)中B处的位移，只能用图9-6(b)的基本体系来代替原来的超静定结构，从而才能计算。
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第二节 采用力法解超静定结构
△1为基本结构在荷载与多余未知力X1，的共同作用下，B点沿X1，方向的总位移; △1p为基本结构在荷载的单独作用下，B点沿X1 ，方向的位移△11，为基本结构在多余未知力X，的单独作用下，B点沿X1 ，方向的位移。
设在均布荷载和未知力X1 ，单独作用下的位移分别为△1p和△11，于基本体系中△1=0,又由图9-6(b)和图9-6(c)叠加，有△1= △1p + △11。设杆件在单位力X1，作用下产生的位移是δ11，如图9 -7所示， △11和X1成正比。即
△11=δ11X1
由杆的变形条件可得出力法的一般方程:
δ11X1+ △1p=0
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第二节 采用力法解超静定结构
3、力法典型方程
力法计算荷载作用下1~2个未知量的超静定梁和刚架的方程:
δ11X1+δ12X2+△1p=0
δ21X1+δ22X2+△2p=0
(1)方程的物理意义:基本结构在多余未知力X1、X2和荷载作用下，沿X1、X2作用力方向的位移，应该与原结构(超静定结构)中相应的位移相同，即不发生任何位移。
(2)主系数(δii )的物理意义:当单位力Xi=1单独作用时，力Xi作用点沿Xi方向产生的位移。 主系数恒为正值。
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第二节 采用力法解超静定结构
(3)副系数(δii )的物理意义:基本体系在荷载作用下沿X1方向产生的位移。 自由项与荷载有关。
4、n次超静定结构的力法典型议程
δ11X1+δ12X2+…+δ1nXn+△1p=0
δ21X1+δ22X2+…+δ2nXn +△2p=0
…
δn1X1+δn2X2+…+δnnXn +△np=0
方程式中各系数同二力法典型方程。
综上所述，可以得到力法求解的步骤:
判定梁的超静定次数，并选择基本体系;
建立力法方程;
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第二节 采用力法解超静定结构
计算系数和常数项
求出多余未知力;
画内力图。
例9-1 使用力法计算如图9-8(a)所示的超静定梁，并画弯矩图。
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第二节 采用力法解超静定结构
解：(1)判定梁的超静定次数，并确定选择基本体系，如图9-8 (b)所示。
(2)建立力法方程。
δ11X1+δ12X2+△1p=0
δ21X1+δ22X2+△2p=0
(3)计算力法方程中的系数和常数项。
①作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图，如图9-8和图9-8 (e)所示。
②图乘求系数和常数项。图9-8(d)
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第二节 采用力法解超静定结构
δ1可由M1图的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做自乘。
δ2可由M2图的面积与该面积形心对应的图的竖标相乘得出(由位移互等定理，也可交换取面积和竖标)，叫做互乘。
由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图自乘或互乘的过程。
(4)将所得系数和常数项代入力法方程，并求解多余力。
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第二节 采用力法解超静定结构
解方程，得
(5)画弯矩图，如图9-8(f)所示。
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每章一练
1、什么是超静定结构 与静定结构相比，超静定结构有什么特点
2、如何确定超静定次数
3、什么是力法的基本结构与基本未知量 怎样选取基本结构
4、力法解超静定结构的步骤是什么
5、求如图9-9所示的梁的超静定次数。
6、求如图9-10所示的刚架的超静定次数。
7、用力法计算如图9-11所示的结构的内力并画出弯矩图。
8、画如图9 -12所示的3次超静定刚架的弯矩图。已知各杆的EI =常数。
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表9-1 静定结构和超静定结构的比较
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续表
图9-1 超静定梁
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图9-2 超静定钢架
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图9-3 去掉一个多余约束图
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图9-4 去掉两个多余约束图
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图9-5 去掉三个多余约束图
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图9-6 力法的计算过程
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图9-6 力法的计算过程
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图9-6 力法的计算过程
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图9-7 静定的基本结构在已知力作用下的位移图
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图9-9 第5题图
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图9-10 第6题图
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图9-11 第7题图
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图9-12 第8题图
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