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第九章 梁的应力及强度条件
第一节 梁弯曲时的正应力计算公式
第二节 梁弯曲时正应力强度条件及其应用
第三节 梁弯曲时切应力切应力强度条件及其应用
第四节 改善梁抗弯强度的措施
第九章 梁的应力及强度条件
梁的横截面上一般产生两种内力-----剪力FQ和弯矩M。
但是仅仅知道梁内力的大小，还不能将梁的截面尺寸设计出来。
为了进行梁的强度计算，还必须进一步研究梁横截面上的应力分布情况。
由图9-1知，梁的横截面上的剪力FQ应与截面上微剪力τdA有关，而微剪力τdA对z轴不产生力矩，所以弯矩M应与微力矩yσdA有关。
因此在梁横截面上同时有弯矩和剪力时，也同时有正应力σ和切应力τ，本章在导出梁横截面上正应力σ和切应力τ计算公式的条件下，进而建立梁的强度条件。
图9－1
第一节 梁弯曲时的正应力计算公式
我们来分析如图9-2a所示的简支梁，其荷载和梁的支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图如图9-2b、c所示。
由内力图可知，在梁的中段CD部分的各个横截面上，没有剪力作用，并且弯矩都等于常用量F a，通常我们把这种横截面上，只有常量弯矩作用，而无剪力作用的梁段叫做纯弯曲梁段。
图9－2
至于梁的AC段和DB段，在它们的各个横截面上既有弯矩M又有剪力FQ作用，通常把这种梁段叫横力弯曲梁段。为了使研究问题简单，下面以矩形截面梁为例（如9-3a），先研究梁处于纯弯曲时横截面上的正应力，进而推广应用到梁的一般弯曲时横截面的正应力计算。
一、梁纯弯曲时正应力的一般计算公式
1．几何变形方面
对于矩形等截面直梁在纯弯曲时的变形情况，可以通过对侧面画有小方格的橡皮模型梁，进行弯曲实验来观察到（图9-3a及b）。这些小方格是由绘制在矩形横面梁表面上一系列与梁轴线平行的纵向线和与梁轴线垂直的横向线构成的。在梁的两端各施加一个力偶矩M并使梁段发生弯曲时，这时可以看到如下的一些现象：
（1）所有纵向线（如图9-3中的1-1线、2-2线）都弯成了曲线，并仍旧与挠曲了的梁轴线（挠曲轴）保持曲线相互平行关系，并且靠近梁下边缘（凸边）的纵向线伸长了，而靠近梁上边缘（凹边）的纵向线缩短了（图9-3b、d）。
（2）所有横向线（如图9-3中mn线、pq线）仍旧保持为直线，只是相互倾斜了一个角度，但仍与弯成曲线的纵向线保持垂直关系，即各个小方格的直角在梁弯曲变形后仍为直角（图9-3b、d）。
（3）矩形截面梁的上部变宽，下部变窄（图9-3d）。
图9-3
1．几何变形方面
对于纯弯曲情况下的梁，作出如下的假设。
1）平面假设 : 在纯弯曲时，梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，即梁纯弯曲后的横截面仍然垂直于梁的挠曲后的轴线；
2）各纵向纤维单向受拉压变形假设:把梁看成是由无数根纵向纤维组成，而各纵向纤维只受到单向拉伸或压缩变形，而纵向纤维间不存在相互挤压变形的问题；
3）各纵向纤维的变形与它在梁横截面宽度上的位置无关，即在梁横截面上处于同一高度处的纵向纤维变形都相同。
由现象3）和假设2）我们知道，梁的上部纵线缩短，截面变宽，表示梁的上部各根纤维受到压缩变形；梁的下部纵线伸长，截面变窄，表示梁的下部各根纤维受到拉伸变形。从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变形中，必然有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴（图9-3c）。中性轴将梁横截面分成两个区域：中性轴以上为受压区，中性轴以下为受拉区。
根据平面假设可知，纵向纤维的伸长或缩短是由于横截面绕中性轴转动的结果。现在来求任意一根纤维ab的线应变。为此，用相邻两横截面mm和nn从梁上截出一长为dx的梁段（图9-4a）。
设O1O2为中性层（它的具体位置现在还不知道），两相邻横截面mm和nn转动后其延长线相交于O点，O点为中性层的曲率中心。中性层的曲率半径以ρ表示。
两个横截面间的夹角以dθ表示。设y轴为横截面的纵向对称轴，z轴为中性轴（由平面弯曲可知中性轴一定垂直于截面的纵向对称轴），求距中性层为y处的纵向纤维ab的线应变（图9-4b）；
图9-4
纤维ab的原长 ，其变形后的长度为:
故ab纤维的线应变为：
①
对于确定的截面来说，ρ是常量。所以各纤维的纵向线应变与它到中性层的距离y成正比。
对图9-4a所示的梁，当我们所考虑的纤维是在中性层以下时，距离y为正值，应变ε也为正值，材料处于被拉伸的状态；当所考虑的纤维是在中性层以上时，则y与ε都为负值，材料处于被压缩的状态。
2．物理关系方面
对于由弹性材料做成的梁，根据第六章第二节所学习过的拉、压胡克定律（σ＝E ε），因此将上面导出的ε=y/ρ代入拉、压胡克定律，即得
②
对于确定的截面和材料，ρ与E均为常量。因此，式②表示梁横截面上任一点处的正应力σ与该点到中性轴的距离y成正比，即弯曲正应力σ沿梁截面高度h按线性规律分布，并且在中性轴以下的σ为拉应力，在中性轴以上的σ为压应力，其正应力分布情况如图9-5b所示。
图9－5
3．静力学关系方面
对于纯弯曲的梁，横截面上的内力只有弯矩M（图9-5a）。如果在梁的横截面上任意取一个中心点坐标为(z，y)的微面积dA，则作用在这个微面积上的微内力为dFN=σdA。因为外力偶矩M与横截面上各微面积的微内力dFN=σdA 组成一个平衡力系(图9-5b，c)。
因为微内力dFN=σdA的方向平行于x轴，它在y轴和z轴上的投影都为零，
由ΣFx=0 及ΣMz=0，得
③
④
将式②代入式③，得
或
由于 E/ρ≠0，所以一定有
而 ，Sz则代表截面对中性轴的静矩。此式表明截面对中性轴的静矩必须等于零。由此可知，直梁弯曲时，中性轴z必定通过截面的形心，并且与横截面的对称轴（即y轴）垂直。
梁在纯弯曲时正应力的计算公式
将式②代入式④得，
即
而 就是横截面的面积A对中性轴oz的惯性矩IZ，即令 （参看本章第二节的惯性矩及惯性半径的内容）。因而上式就可以写成
(9-1)
式中1/ρ是中性层的曲率。由于梁的轴线位于中性层内，所以也是梁弯曲后梁轴线的曲率，它反映了梁的变形程度。EIZ称为梁的抗弯刚度，它表示了梁抵抗弯曲变形的能力，梁的抗弯刚度EIZ越大，曲率就越小，即梁的弯曲变形也就越小；反之，梁的抗弯刚度EIZ越小，则曲率就越大，即梁的弯曲变形也就越大，为此，改变梁的抗弯刚度EIZ的大小，就可以调节和控制梁的变形大小。式（9－1）是计算梁弯曲变形的基本公式。
将式（9－1）代入式②得
(9-2)
这就是梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式。由此可知：梁横截面上任一点处的正应力σ，与截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离y成正比，而与截面对中性轴的惯性矩IZ成反比。
正应力正负号
在应用 计算梁横截面上任一点的正应力时，应该将M和y的数值及正负号一同代入，如果得出 σ 是正值，就是拉应力，如果得出的 σ 是负值，就是压应力。
或者在计算时，只将M和y的绝对值代入公式，而正应力的性质（拉或压）则由弯矩M的正负号及所求点的位置来判断。
当M为正时，中性轴以上各点为压应力，σ则取负值；中性轴以下各点为拉应力，σ则取正值（图9－6a）。
当弯矩M为负时则相反（图9－6b）。
图9－6
二、正应力公式的适用条件
1. 由正应力计算公式（9－2）式的推导过程知道，它的适用条件是：①纯弯曲梁；②梁的最大正应力σ不超过材料的比例极限σP ，即梁处于弹性变形范围内。
2. 式（9－2）虽然是由矩形截面梁推导出来的，但它也适用于所有横截面有纵向对称轴的梁。例如圆形、工字形、T形、圆环形等（图9－7）。
3. 剪切弯曲是弯曲问题中最常见的情况，在这种情况下，梁横截面上不仅有正应力存在，而且还有切应力存在。由于切应力的存在，梁的横截面将会发生翘曲，此外，在与中性层平行的纵截面之间，还会有横向力引起的挤压应力。它们都会对正应力有一定的影响，但由于精确理论分析证明，对于梁的跨度l与横截面高度h之比大于5时，上述应力对正应力的影响甚小，可以忽略不计。而在工程中常见梁的值一般都远大于5，所以式（9－2）在一般情况下也可以用于剪切弯曲时横截面上各点正应力的计算。
图9－7
例9-1 简支梁受均布载荷q作用，如图9－8所示。已知q＝6kN/m，梁的跨度L＝4m，截面为矩形，且b＝120mm，h＝180mm。已知对z轴惯性矩。试求：
（1）C截面上a、b、c三点处的正应力；
（2）梁的最大正应力σmax 及其位置。
图9－8
解： （1）求指定截面上指定点的应力
先求出支座反力，由对称性及ΣFy=0 ， 得
再计算C截面的弯矩
然后计算矩形截面对中性轴z的惯性矩：
再按式（9－2）计算各指定点的正应力：
（2）绘出该梁的弯矩图如图9－8b所示。由图可知，最大弯矩发生在梁的跨中截面，其值为：
梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在截面的上、下边缘处。
由梁的最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；
最大压应力发生在跨中截面的上边缘处。其最大正应力的值为
例9-2 简支梁受集中载荷F作用，如图9－9所示。已知F＝240kN，梁的跨度L＝6m，截面为T形，尺寸如图所示。已知该T形截面梁对z轴的惯性矩。试求
（1）D截面上a、b、c、d、e、f、g点的正应力；
（2）梁的最大拉应力与最大压应力及其所在位置；
（3）绘出最大拉应力及压应力所在截面上的正应力分布图。
图9－9
解: （1）先作出梁的内力图，并求出该梁指定截面D上的内力，进而求出各指定点的应力。
首先求出支座反力，由对称性及ΣFy=0得
其次作出该梁的弯矩图如图9－9d所示。
根据弯矩图查出或直接计算出指定截面D的弯矩MD
进而计算指定截面D上各指定点的应力。
据式（9－2），计算各指定点应力如下：
例9-2:第二页
例9-2:第三页
例9-2:第四页
在此值得说明的是，正应力也不一定都按公式（9－2）计算，当知道一点的正应力后，按比例计算更简单，请读者试之。
（2）根据所作出的弯矩图9－9c可知，梁的最大弯矩发生在跨中截面C，其最大弯矩为Mcmax=360kN.m，该截面的下边缘各点产生最大拉应力σtmax，该截面的上边缘各点产生最大压应力σcmax，现计算如下：
（3）根据（2）的计算可以绘出横截面C上的应力分布图如图9－9c所示。
第二节 梁弯曲时正应力强度条件及其应用
一、梁的危险截面和梁的最大应力
在进行梁的正应力强度计算时，我们必须找出梁内的危险截面和梁的最大正应力。对于等截面直梁来说，弯矩最大的截面就是梁的危险截面，危险截面上离中性轴最远的边缘各点称为危险点，危险点上的正应力就是梁的最大正应力，也称为危险应力。
对于中性轴是截面对称轴的梁（图9-10），其最大正应力的值为
令
，则
（9-3）
式中Wz称为抗弯截面系数，它是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。常用单位是m3或mm3。Wz越大，σmax就越小，因此，Wz反映了截面形状及尺寸对梁的边缘应力大小的影响。
图9-10
抗弯截面系数
对截面高为h，宽为b的矩形截面（图9-10a），其抗弯截面系数为
图9-10
对直径为d的圆形截面，其抗弯截面系数为（图9-10b）
非对称轴梁:
对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图9-11所示的T形截面梁，在正弯矩M作用下，梁的下边缘各点产生最大拉应力σtmax ，上边缘各点产生最大压应力σcmax，其值分别为
图9-11
令
则有
二、梁的正应力强度条件
为了保证梁能够安全可靠的工作，同时考虑留有一定的安全储备，必须使梁内的最大正应力不能超过材料的许用正应力[σ]，这就是梁的正应力强度条件。分两种情况表达如下：
1.若材料的抗拉和抗压能力相同，其截面形状又关于中性轴对称，其正应力强度条件为
（9－4）
2. 若材料的抗拉和抗压能力不同，其截面形状关于中性轴不对称，应分别对最大拉应力和最大压应力建立强度条件，即
(9－5)
式中的分别称为材料的许用拉应力和许用压应力
三、正应力强度条件的应用
根据梁的正应力强度条件，就可以解决有关梁的强度的三个方面的强度计算问题。
1 .强度校核 在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[σ]、Wz）以及梁上所受荷载（即已知Mmax）的情况下，可以核查梁是否满足正应力强度条件式（9－4）或（9－5），若条件满足，则梁的强度是足够的，否则，梁的强度是不安全的。
2 .设计截面尺寸 当已知梁上所受的荷载和梁所使用材料时（即已知Mmax、[σ] ），可以根据强度条件式（9－4）或（9－5），计算梁所需的抗弯截面系数
然后根据梁的横截面形状进一步确定出截面的具体尺寸。如横截面是圆形，则由 ，求出其圆截面的直径d；如横截面是矩形，则由 ，进一步计算出梁截面的h与b的数值来。其它形状的截面，根据 Wz与截面尺寸间的关系，也可以求出相应的截面尺寸来。
3. 确定许可载荷 如已知梁的材料和截面尺寸（即已知[σ]、[Wz ]等），则可先根据梁的强度条件式（9－4）或（9－5）计算出梁所能承受的最大弯矩，即
然后由Mmax与荷载之间的关系计算出梁的许可载荷。例如，受均布载荷q作用的简支梁，其跨中最大弯矩，在由强度条件求出梁的Mmax=ql2/8和已知梁的跨度l的前提下，进而可以确定出梁上所能承受的许可均布荷载 [q]的大小 ，且
例9-3 一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载（图9－12），已知l＝4m，b=140mm，h=210mm,q=5kN/m,弯曲时木材的容许正应力[σ]=10MPa，试校核梁的强度。
图9－12
解：
（1）内力计算 首先绘出梁的弯矩图，由M图可知，梁中的最大弯矩发生在跨中截面上，其最大弯矩为
（2）截面几何量的计算 本题需计算矩形截面的抗弯截面系数为Wz，且
（3）应力计算 其最大正应力发生在最大弯矩所在的跨中截面的上、下边缘处的各点上，其值为
（4）强度校核得出结论 由于截面的最大应力
所以该简支梁满足强度要求。
例9-4 一T形截面外伸梁的受力及支承情况、截面尺寸如图9－13所示。已知材料的许用拉应力[σt]＝32MPa，许用压应力[σc]＝70MPa，试校核梁的正应力强度。
图9－13
解：
（1）首先绘出梁的弯矩图M如图9－13b所示。由M图可见，B截面有最大负弯矩，C截面有最大正弯矩。
（2）确定横截面中性轴位置并计算截面对中性轴的惯性矩。因为中性轴必通过截面形心，设截面形心距截面下边缘的距离为y1，距截面上边缘的距离为y2 ，则有
截面对中性轴的惯性矩为
进而可以求出梁的两个抗弯截面系数为
（3）强度校核
本例中由于材料的抗拉和抗压性能不同，且横截面关于中性轴又不对称，所以对梁的最大正弯矩与最大负弯矩所在截面都要进行强度校核。
B截面强度校核（最大负弯矩所在截面）：
由于该截面的最大弯矩为负值，故最大拉应力бBtmax发生在截面的上边缘各点；最大压应力бBcmax发生在截面的下边缘各点，且
C截面强度校核（最大正弯矩所在截面）：
由于该截面的最大正弯矩为正值，因此，最大拉应力发生在截面的下边缘各点，最大压应力 发生在截面上边缘各点，且
由此可以看出，梁的强度不够。
例9－5 某简支梁的计算简图如图9－14a所示。已知梁跨中所承受的最大集中载荷为F＝40kN，梁的跨度l＝15m，该梁要求用Q235钢做成，其许用应力[σ]＝160MPa。若该梁用工字形型钢、矩形（设h/b＝2）和圆形截面做成，试分别设计这三种截面的截面尺寸，并确定其截面面积，并比较其重量。
图9－14
解：（1）绘出梁的弯矩图，求出最大弯矩
2）计算梁所需的抗弯截面系数Wz
由梁的强度条件式（9－4），得
3）计算圆形截面的尺寸
由圆形截面的抗弯截面系数
所以
三种横截面形状及布置情况见图9－14 b、c、d。
例9－5
（4）计算三种横截面的截面面积
工字形截面 查书末的附录知36c号工字钢得
矩形截面
圆形截面
（5）比较三种截面梁的重量
在梁的材料、长度相同时，三种截面梁的重量之比应等于它们的横截面面积之比，即
A工:A矩:A圆=9084:25088:34949=1:2.76:3.85
即矩形截面梁的重量是工字形截面梁的2.76倍，而圆形截面梁的重量是工字形截面梁的3.85倍。
在这三种横截面方案中，工字形截面最合理，矩形截面次之，圆形截面梁最不合理。由此可知，把截面材料放在距离中性轴较远的地方的截面形状是比较合理的。
例9－6有一槽型截面梁，其横截面尺寸和跨度如图9－15a、c所示。该梁为简支梁，梁的中点作用有一集中力F。如果该梁弯曲时，其容许拉应力[σt]＝40 MPa，其容许压应力[σc]＝170 MPa，试确定该梁的许可载荷F。
解：（1）计算截面的形心位置y1及y2
图9－15
（2）计算截面的几何量IZ及Wz1、Wz2
例9－6
（3）绘出梁的弯矩图，如图9－15b
最大弯矩是力F的函数。
（4）确定梁的许可载荷F
根据强度条件式（9－5），有
①
②
由式①可以求得：
由式②可以求得：
（5）本例中的许可载荷应由最大拉应力的强度条件来控制，即取Ft和Fc中的较小值，即所确定的许可载荷应为[FP]= Ft=68.57 kN。
第四节 梁弯曲时切应力切应力强度条件及其应用
一、矩形截面梁的切应力计算公式
为了简化计算，对于矩形截面梁的切应力分布情况，首先作了下面两个假设：
（1）截面上各点切应力的方向都是平行于截面上的剪力FQ ；
（2）切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离的各点上的切应力相等。
以上两条假设，对于高度h大于宽度b的矩形截面是足够准确的。有了上述的两条假设，利用切应力双生互等定律，仅通过静力平衡条件，便可导出切应力的计算公式。
现有一承受任意载荷的矩形截面梁，其横截面的高度为h，宽度为b，如图9－16a、b所示。根据前面的假设可以导出该梁任一横截面a－a上的切应力计算公式为：
图9－16
(9－6)
式（9－6）就是矩形截面梁横截面上任意一点的切应力计算公式。式中，
FQ──为横截面上的剪力；
Iz──为横截面对中性轴的惯性矩；
b──为所求切应力作用层处的截面宽度；
──为所求切应力作用点处的水平横线以下（或以上）部分截面积A*对中性轴的面积矩。
剪力FQ和面积矩 S*Z均为代数量，但在应用式（9－6）计算切应力τ时，FQ与S*Z均可以绝对值代入，切应力的方向可依据剪力的方向来确定（因为根据假设，τ与Fs的方向一致）。
在式（9－6）中FQ 、Iz和b均为常量，只有面积矩S*Z随欲求应力的点到中性轴的距离y而变化，其值为（图9－17a）：
当y＝0时， S*Z有最大值S*Zmax，且，则中性轴上的切应力为最大值τmax，τmax的计算公式如下；
（9－7）
对于图13－29a所示的矩形截面，将S*Z和
代入式（9－6），得
图9－17
此式表明：切应力τ沿截面高度呈二次抛物线规律变化（图9－17b、c）。
当y=时，τ=0；当y=0时，τ=τmax即中性轴上切应力最大（或用9－7式）。其值为
（9－8）
为横截面上的平均切应力，故知矩形截面上的最大切应力为其平均切应力的1.5倍。
二、工程中常用截面的最大切应力计算式
1．工字形截面梁的最大切应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。翼缘和腹板上均存在着竖向切应力，而翼缘上还存在着与翼缘长边平行的水平切应力。
经理论分析和计算表明：横截面上剪力的（95～97）％由腹板分担，而翼缘仅承担了剪力的（3～5）％，并且翼缘上的切应力情况又比较复杂。为了满足实际工程计算和设计的需要，现绘出腹板上的切应力分布（图9－18a，b）。
图9－18
工字形钢截面的最大切应力也发生在中性轴上，其计算公式为
(9－9)
对于工字形钢截面，其d、Iz：的数值可直接从书末的附录型钢表中查得。
在一般情况下，由于腹板的厚度d与翼缘的宽度b比较起来是很小的，对τmax和τmin 的计算式进行比较，可以看出，腹板上的切应力τmax与τmin 的大小没有显著的差别，并且τ 近似于均匀分布。所以，腹板上的最大切应力也可以近似地用下面的公式计算，即
（ 9－10）
此式就是工字形截面最大切应力的实用计算公式，在工程设计中是偏安全的。
2．圆形和圆环形截面梁的最大切应力
圆形和圆环形截面梁的切应力情况比较复杂，但可以证明，其竖向切应力τ也是沿梁高按二次抛物线规律分布的，并且也在中性轴上，切应力都达到最大值（图9－19a、b）。
图9－19
对于圆形截面，其最大切应力为
(9－11)
式中：A为圆形截面的截面面积，且
Fs为横截面上的剪切力。
可见：圆形截面梁横截面上的最大切应力为其平均切应力的4/3倍。
对于圆环形截面，其最大切应力为
(9－12)
式中：A为圆环形截面的截面面积。
故薄壁圆环形梁横截面上的最大切应力为其平均切应力的2倍。
3．T形截面和Π形截面梁
T形截面和Π形截面由两个或三个矩形截面组成（图9－20），下面的狭长矩形与工字形截面的腹板类似，该部分上的切应力仍用下面的公式计算
（9－13）
式中t为一个腹板（T形截面）或两个腹板（Π形截面）的厚度，其余的符号意义同前，其最大切应力仍然发生在中性轴上，为
（9－14）
式中的S*zmax为横截面中性轴以上（或以下）部分对中性轴的面积矩。如图9－20所示。
对于其他的横截面形状，如箱形截面、槽形截面等，都可以进行类似的计算。
图9－20
三、梁的切应力强度条件
与梁的正应力强度计算一样，为了保证梁的安全工作，梁在载荷作用下产生的最大切应力，也不能超过材料的容许切应力。由前面的讨论已知，横截面上的最大切应力发生在中性轴上，对整个梁来说，最大切应力发生在剪力最大的截面上，此截面上的最大切应力不超过材料的容许切应力[τ] ，即
(9－15)
式（9－15）即为梁的切应力强度条件。式中FSmax 为梁中的最大剪力，b为梁截面中性轴处的宽度。
在具体应用时，对于不同截面形状的梁，可以直接应用下面的公式进行切应力强度计算。
对矩形截面梁
对圆形截面梁
对圆环形截面梁
对工字形截面梁
在设计梁的截面时，一般都是先按正应力强度条件设计截面，在确定好截面尺寸后，再按切应力强度条件进行校核。
梁的切应力强度条件起控制作用
在遇到下列几种特殊情况的梁时，梁的切应力强度条件就可能起控制作用，就必须注意校核梁内的切应力：
（1）梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的集中载荷时，此时梁的最大弯矩较小而剪力却很大；
（2）在铆接或焊接的组合型截面（例如工字形）钢梁中，如果其横截面的腹板厚度与高度相比，较一般型钢截面的相应比值为小；
（3）由于木材在顺纹方向的抗剪强度比较差，同一品种木材在顺纹方向的容许切应力[τ]常比其容许正应力[σ]要低很多，所以木材在横力弯曲时可能因为中性层上的切应力过大而使梁沿其中性层发生剪切破坏。
除了上面所介绍的，在设计梁时，必须进行正应力强度校核和切应力强度校核以外，由于在梁的横截面上一般是既存在有正应力又存在切应力，因此在某些特殊情况下，在某些特殊点处，由这些正应力和切应力综合而成的折算应力可能会使梁产生更危险的情况，必须对这些特殊点进行强度校核。关于这个问题我们将在第10章平面应力状态分析及常用强度理论中作进一步的介绍。
例9－7一简支梁承受均布荷载q作用（图9－21），其横截面为矩形，b＝100mm，h＝200mm。已知q＝6kN/m ，跨度L＝8m，试求：
（1）截面A右上距中性轴y1=50mm 处k点的切应力；
（2）比较矩形截面梁的最大正应力和最大切应力；
（3）若用32a工字形钢梁，计算其最大切应力；
（4）计算工字形梁截面A右上腹板与翼缘交点处m点（在腹板上）的切应力（图9－21e）。
图9－21
解：
计算A右截面上k点的切应力
绘出梁的剪力图FQ和弯矩图M（图9－21b、c），A右截面的剪力为
FQ右=24 kN
计算IZ及S*z
由梁的切应力计算公式（9－6）得k点的切应力为
例9－7
2）比较梁中的最大正应力σmax和最大切应力τmax
梁中的最大剪力和最大弯矩为
FQmax=24 kN（在支座截面处）
Mmax=48 kN.m（在梁的跨中截面处）
最大正应力发生在梁的跨中截面的上、下边缘处，其值为
最大切应力发生在支座附近截面的中性轴上，其值为
故
可见梁中的最大正应力比最大切应力大得多，故在梁的强度计算中，正应力强度计算是主要的，在许多情况下，切应力强度计算可不进行。
（3）计算32a工字形梁截面的最大切应力
由书末附录的型钢表中，查得该工字钢截面的有关数据为：
根据式（9－9）得最大切应力为
（4）计算32a工字形梁A右截面m点处的切应力
略去接合部圆弧过渡部分，把工字型钢的翼缘和腹板分别简化成矩形（图9－21e）。过m点的水平线以下部分截面对中性轴的静矩为（参见附录型钢表）
所以
例9-8 试为图9－22a中所示的施工用钢轨枕木选择矩形截面尺寸。已知矩形截面尺寸的比例为b:h＝3:4，枕木弯曲时其许用正应力[σ]=15.6MPa，许用切应力[τ]=1.7MPa，钢轨传给枕木的压力F=49kN ，其余尺寸见图9－22所示。
图9－22
解:
(1)绘出枕木的计算简图如图9－22b所示，并绘出枕木的剪力图FQ和弯矩图M（图9－22c、d）由内力图可知，梁的最大弯矩和最大剪力分别为
Mmax=49×0.2 kN.m =9.8 kN.m（发生在CD段）
FQmax=F=49 kN（发生在支座截面处）
例9-8
（2）根据正应力强度条件选择截面尺寸
由式（9－4）所示的强度条件
可以得到
因此
取h＝180 mm，
取b＝140mm。
（3）按切应力强度条件校核
由式（9－15）所示的强度条件
可以得到
即原按正应力强度条件设计的截面尺寸不能够满足切应力强度条件，因此，必须根据切应力强度条件重新选择截面尺寸。由
可以得到
因此
最后确定该枕木的矩形截面尺寸为：b＝180 mm；h＝240 mm。
例9－9 简支梁受载荷作用如图9－23a所示。已知L＝2m，a＝0.2m，梁上的集中载荷F=240kN，均布载荷q=12kN/m，材料的许用正应力[σ]=160 MPa，许用切应力[τ]=100 MPa。试选择工字钢型号。
图9-23
解
（1）绘出梁的剪力图和弯矩图（图9－23b、c）。由M图知Mmax=54kN.m（发生在跨中截面）。由FQ图知FQmax=252kN（发生在支座截面）
（2）由正应力强度条件选择工字钢型号
由正应力强度条件（9－4）:
由此得
查附录中的型钢表，选用25a工字钢，其Wz=401.4 cm3，与计算所得的Wz值最为相近。
例9－9
（3）切应力强度校核
由附录中的型钢表查得25a工字钢的有关数据为
根据切应力强度条件（9－15）进行校核
因τmax远大于[τ]，所选25a型工字钢不能满足切应力强度条件，故应重选截面型号。
（4）按切应力强度条件重选工字钢型号
选28b型工字钢试算。由附录中的型钢表查得
进行切应力强度校核
这时横截面的最大正应力为
最后确定选用26b型工字钢。
第四节 改善梁弯曲强度的措施
当我们在设计梁时，一方面要保证梁具有足够的强度，使梁在荷载作用下能安全可靠地工作。同时，应使设计的梁能充分发挥材料的潜力，节省材料，减轻自重，做到物尽其用，达到既安全又经济的目的，这就需要设法找出提高梁弯曲强度的措施。
在一般情况下，梁的弯曲强度是由正应力强度条件控制的，由等截面梁的正应力强度条件（9－4）可知
可见，梁横截面上的最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。所以改善梁的弯曲强度主要应从提高抗弯截面系数和降低最大弯矩这两个方面着手进行，其次，也可以采用较大的材料，合理地利用材料，但其效果不太明显。
一、合理选择截面形状，尽量增大值。
1、根据与截面面积A的比值 选择截面
合理选择截面形状，就是指在横截面积A相同的情况下，通过选择合理的截面形状而得到较大的WZ ,从而提高梁的承载能力，改善梁的弯曲强度。
例如，对于图9－24所示的矩形截面梁，设h＝2b，则A＝2b2，根据经验知道：梁平放时容易弯曲些。这是为什么呢？这是因为矩形截面梁不论平放还是竖放 ，虽然梁的截面面积A没有变化，但它们对中性轴的却是不同的：
梁平放时
梁竖放时
可见，梁竖放时比平放时的大1倍，因此梁竖放时的最大应力仅为梁平放时的0.5倍，故其承载能力也增大1倍，这说明梁竖放比平放能大大的改善其梁的弯曲程度。
图9－24
可见，梁竖放时比平放时的大1倍，因此梁竖放时的最大应力仅为梁平放时的0.5倍，故其承载能力也增大1倍，这说明梁竖放比平放能大大的改善其梁的弯曲程度。
工程中常见截面的 的比值作一比较（如图9-25）：
直径为h的圆形截面
高为h，宽为b的矩形截面
高为h的槽形与工字形截面
可见工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理（ WZ/A 值越大截面越趋于合理）。
截面形状的合理性，还可以从正应力分布规律来说明。梁内的弯曲正应力沿截面高度呈直线规律分布，在中性轴附近正应力很小。但弯曲正应力强度条件 бmax=Mmax/WZ≤[б] 却是以梁的最大正应力作为控制条件，因此，中性轴附近的材料就没有得到充分的利用。如果把中性轴附近的材料布置在距中性轴较远处，WZ/A值就越大，这样截面形状就显得合理。所以，在工程上常采用工字形、圆环形、箱形（图9-26）等截面形式，建筑中常用的空心板也是根据这个道理做成的。
图9－25
图9-26
2．根据材料特性选择截面
对于抗拉和抗压强度相同的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如圆形、矩形、工字形、箱形等截面（图9-26和图9-27），使得上、下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到材料的许用应力值，这样就比较合理。
对于抗拉和抗压许用应力不相同的脆性材料，最好选用关于中性轴不对称的截面，如T形、槽形截面等（图9-27）。使得截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压的许用应力成正比。
根据强度公式（9-5），若使截面下、上边缘的应力同时达到材料的许用应力，则有
而下、上边缘的应力之比为
即
图9－27
二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值
1．合理设置梁的支座
以简支梁承受均布荷载作用为例（图9－28a），跨中截面的最大弯矩为
若将两端支座各向中间移动0.2L（图9-28b）则最大弯矩将减少为
仅为同跨度简支梁值的 ，梁的截面尺寸就可大大地减少。
图9－28
2．适当增加梁的支座
由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，所以适当增加梁的支座，就可以减小梁的跨度，从而降低最大弯矩值。例如，在同跨度的简支梁中增加一个支座（图9－29）。
则最大弯矩为
只是原简支梁的
图9－29
3．改善荷载的布置情况
在可能的情况下，将集中荷载分散布置，可以有效地降低梁的最大弯矩。
1、例如简支梁在跨中受一集中力F作用（图9－30a），其
2、若在AB梁上再安置一短梁CD，（图9－30b），
则AB梁的
仅有原来简支梁的
3、如将集中力ql分散为均布荷载q（见图9－30c、d），其最大弯矩将从 降为 。
图9－30
三、采用变截面梁
最理想的变截面梁，是使梁内各个横截面上的最大正应力同时达到材料的容许应力。
由
得 （9－16）
式中，M（x）为梁内任一截面上的弯矩，W(x)为该截面的抗弯截面系数。这样，各个截面的大小将随截面上的弯矩而变化。按式（9-16）设计出的截面梁称为等强度梁。
图9-31
四、合理利用材料
例如，工程中常用的钢筋混凝土构件，常在受拉区域加入钢筋，以承担构件弯曲时所产生的拉应力，因为混凝土的抗拉能力低，所以在受拉区（该例为梁的下边缘）加入抗拉能力强的钢筋以充分发挥钢筋抗拉作用（图9-32）；由于混凝土的抗压能力强，所以受压区的压应力仍然由混凝土来担当。
因此，钢筋混凝土构件在合理使用材料方面，是最优越的。
图9－32

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