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(共154张PPT)
第六章应力、强度计算
第一节平面图形的几何性质
第二节轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
第三节剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
第四节连接件的强度计算
第五节梁弯曲时的应力与强度
第六章应力、强度计算
第六节提高梁抗弯强度的途径
第七节组合变形杆的强度计算
每章一练
教学目标
1.基本把握平面图形的几何性质。
2.熟悉掌握轴向拉压时横截面上的应力强度计算方法。
3.熟悉掌握剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件和强度计算实例。
4.掌握提高梁抗弯强度的途径。
5.掌握组合变形杆件的强度计算方法。
第一节 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质是指根据截面尺寸经过一系列运算所得的几何数据，如面积。构件的承载能力与这些几何数据有着直接的关系，这从下面的例子可以得知。
将一杆件分别平放于两个支点上和竖放于两个支点上如图6-1(a),(b)所示，然后加相同的力F，显然前一种放置方式下所发生的弯曲变形要远大于后一种放置方式下所发生的弯曲变形。其差异仅是截面放置方式不同造成的，这就说明构件的承载能力与截面几何数据有直接的关系。下面介绍几种有关的截面几何性质。
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第一节 平面图形的几何性质
一、截面形心和静矩
1.截面形心和静矩的定义与计算公式
(1)截面形心的定义截面形心是指截面的几何中心。一般用字母C表示，其坐标分别记作yC、zC，例如，圆截面的形心位于圆心，矩形截面的形心位于两对角线的交点处。通常，截面图形的形心与匀质物体的重心是一致的。
(2)截面的静矩定义截面的静矩是指截面积与它的形心到y(z)轴的距离zC(yC)的乘积，即
Sy=zCA,Sz=zCA
(3)静矩计算公式对任意的截面图形，由于面积和形心坐标不容易确定，只能将其分割计算，然后积分求和。图6-2所
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第一节 平面图形的几何性质
示曲边截面图形，将其分割成n块(n→∞)，取其中一微面积，记作dA。dA的形心到y轴的距离为:z，事实上因dA很微小，故可视为一点。dA与z的乘积称为该微面积对y轴的静矩，记作dSy，即
dSy=zdA
对上式两边关于整个图形积分，得到整个图形关于Y轴的静矩，记作Sy，即
Sy=∫ASy =∫AzdA (6-1a)
式(6-1a)说明整个平面图形关于某个坐标轴的静矩等于该图形各部分对同一坐标轴的静矩之和。工程中，构件的截面图形往往由几个简单图形组成，因此式(6-1a)的无限项求
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第一节 平面图形的几何性质
和的积分式可转变为按简单图形分割计算的有限项求和式，即
Sy=∑zi△Ai (1-6b)
式中，z=1,2 ,3,…; △A为简单图形面积; zi为简单图形的形心坐标。
将式(6-1a)和式(6-1b)中的y，z互换即得截面关于z轴的静矩的计算式，即
Sz =∫AdSz = ∫AdA
Sz=∑yi△Ai
(4)截面形心的计算公式设图6 -2所示截面图形的形心坐标为yC、zC ，面积为A。注意到工程中的构件，其截面图形往往由几个简单图形组成，则由面积的静矩定义及式(6-1b)
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第一节 平面图形的几何性质
得
Sy = zCA=∑zi△Ai
从而
(6-2a)
将式(6-2a)中的z换成y即得形心坐标yC的计算式
(6-2b)
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第一节 平面图形的几何性质
2、常用图形的静矩与形心坐标的计算
例6-1 图6-3所示矩形截面宽为b，高为h，试求该矩形截面阴影部分所围面积关于z、y轴的一次矩。
解：由于阴影部分面积Ao和形心坐标yC1、zC1是可以直接计算得到的，即
从而
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第一节 平面图形的几何性质
例6-2求图6 -4所示的截面图形的形心坐标yC、zC 。
解：该图形由两个矩形组成，分别记作①、②，写出有关数据
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第一节 平面图形的几何性质
由式(6-2a ,b)得
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第一节 平面图形的几何性质
二、截面惯性矩
将图6-5所示曲边截面图形分割成n块(n→∞) ，取其中一微面积，记作dA。事实上因dA很微小，故可视为一点，dA到y轴的距离为z，则dA与z2的乘积，称为该微面积关于y轴的惯性矩，记作，dIy即
dIy= z2 dA
对上式两边关于整个图形积分，得到整个图形关于y轴的惯性矩，记作Iy即
Iy= ∫AdIy= ∫Az2 dA (6-3a)
将式中y，z互换，即得整个图形关于z轴的惯性矩，记作Iz 即
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第一节 平面图形的几何性质
Iz = ∫Ad Iz = ∫Ay2 dA (6-3b)
显然，截面惯性矩与坐标轴有关，对于不同的坐标轴其数值不同。截面惯性矩的量纲为[长度]4，其值恒大于零。
2、简单图形的截面惯性矩
(1)矩形截面图6-6所示矩形截面关于形心轴zC的惯性矩为
(6-4a)
截面关于形心轴yC的惯性矩为
(6-4b)
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第一节 平面图形的几何性质
(2)圆形截面设圆形截面的直径为d，圆形截面关于任意一根过圆心的形心轴的惯性矩均相等，为
(6-5)
3、截面惯性矩的平行移轴公式
一般来说，截面图形的惯性矩只能使用积分式(6-3a)求得，但在已知截面图形关于形心轴的惯性矩时，可以使用截面惯性矩的平行移轴公式来求截面图形关于平行于形心轴的任一轴的惯性矩，截面惯性矩的平行移轴公式为
Iz=IzC+a2A (6-6a)
同理可得 Iy=IyC+b2A (6-6b)
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第一节 平面图形的几何性质
式中，zC(yC)轴是形心轴，IzC，IyC是截面图形关于形心轴zC(yC)的惯性矩，z(y)轴是zC(yC)轴的平行轴; Iz(Iy)是截面图形关于z(y)轴的惯性矩，a(b)是两平行轴zC(yC) ， z(y)之间的距离，a是截面面积。
4、截面惯性矩的计算
例6-3 试求图6 -7所示矩形截面关于底边轴:的截面惯性矩Iy，图中尺寸单位为mm。
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第一节 平面图形的几何性质
解：由图知h=600mm，b=400mm两轴间距离a=h/2 =300mm，截面积A = bh，截面关于形心轴zC的惯性矩
由式(6-6a)得
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第一节 平面图形的几何性质
三、惯性半径
定义:截面关于:轴的惯性半径记作iz，截面关于y轴的惯性半径记作 iy，即
(6-7a)
(6-7b)
式中，A是截面积，Iz，Iy分别是截面关于z轴、y轴的惯性矩。惯性半径的量纲是[长度]1。
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
一、轴向拉压时横截面上的应力
1、轴向拉压时横截面上的应力分析
由前面章节关于截面的内力的讨论可知，轴向拉压时横截面上的内力为轴力FN，下面讨论截面上一点的应力。以一矩形截面杆为例，图6-10(a)所示，在施加荷载之前，在杆件表面划上垂直于轴线且位于同一平面内的两个平行封闭周线m-m与n-n，再划上与轴线平行的直线aa,hh，施加荷载后观察杆件的变形如图6-10(b)所示。由受力前后aa,bb与a’a’,b’b’的比较可知，从mm到m’m’是一个平移，且仍垂直于杆轴;从nn到n’n’也是一个平移，且仍垂直于杆轴，这两个封闭周线仍然平行，只是原有的距离发生了改变。另外，平行于轴线的两
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
直线段aa,hh仍然平行，只是长度发生了改变和原来的平行距离发生了改变。根据上述现象可作如下假设:
(1) m-m , n-n两封闭周线所围的截面变形后仍然是平面，且垂直于轴线，这个推断称为平面假设。
(2)假想杆件是由无数根平行于杆轴线的纤维所组成，变形后纵线和横线的夹角不变，这就是说只有线应变而无角应变。从而可得以下结论:横截面上各点的伸长相同。因无切向的变形，横截面上只有正应力σ;由于材料是均匀的，所以各点处的正应力大小相同，沿截面均匀分布。
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
2、轴向拉压时横截面上的应力计算
从横截面上取一微面积dA，如图6-10(a)所示，作用在微面积上的微内力为dFN = σdA则全截面A上的微内力的总和为轴力FN如见图6-10(c)所示，即
(6-8)
式中σ。为工作应力，拉为正、压为负;FN为杆截面轴力;A为横截面面积。
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
例6-6 图6-11所示三角托架，已知F=10kN，夹角α=300，杆AB为圆截面，其直径d=20mm，杆BC为正方形截面，其边长α=100mm。试求各杆的应力。
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
解: (1)计算内力。注意到力F作用于B结点上，AB , BC杆均为二力杆。取B结点为研究对象，画受力图如图6-11(b)所示(两杆轴力均设为拉力)。
(2)求各杆应力值
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
二、轴向拉压杆的强度计算
1、轴向拉压杆的强度条件
轴向拉压杆的强度条件为
(6-9)
式中， σmax是杆件的最大工作应力;FN是材料的许可应力;FN是危险截面上的轴向内力;A是危险截面的面积。
2、有关强度的问题
根据强度条件式(6-9)可以解决有关强度的三类问题。
(1)强度校核表达式为
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
判断最大工作应力是否在许可范围内。
(2)确定截面尺寸表达式为
先确定满足强度条件所需的截面面积，再进而确定截面尺寸。
(3)确定允许荷载表达式为
先确定强度条件所允许的最大内力值，再根据外力与内力的关系确定所允许的最大荷载值。
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
例6-7 图6-12所示变截面柱子，力F=100kN,柱段①的截面积A1= 240mmx 240mm，柱段②的截面积A2= 240mm x 370mm，许可应力[σ]=4 MPa，试校核该柱子的强度。
解:(1)求各段轴力:
由截面法 FN1 =F=100kN(压)
FN2 =3F=300kN(压)
(2)求各段应力:
由式(6-8)
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
(3)进行强度校核:
由于柱段②的工作应力大于柱段①的工作应力，所以取σ进行校核
σ2=3.38MPa<[σ]=4MPa
所以该柱子满足强度条件。
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
三、应力集中
等截面直杆发生轴向拉压变形时，横截面上的应力是均匀分布的。但如果构件上有切口、油孔、螺纹、带有过渡圆角的轴肩等，在这些部位处尺寸会发生突变。理论分析与实验表明，在这些部位处的应力分布是不均匀的，如图6-13所示。在这些部位附近的局部区域内，应力数值急剧增加，这种现象，工程中称之为应力集中现象。
应力集中的区域内应力状态比较复杂，当最大应力在弹性范围内时，通常采用应力集中系数σk来表示应力集中的程度。设σo为截面削弱后的平均应力，σmax为最大局部应力，则σk = σmax/σo。应力集中系数σk是一个大于1的系数
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
，它与截面尺寸变化的激烈程度有关，截面尺寸变化越激烈，则应力集中的程度就越严重，从而σk也就越大。所以当截面尺寸需要变化时，应尽量使其缓慢过渡，以此减小应力集中的影响。
脆性材料与塑性材料对应力集中的敏感程度是不一样的:
脆性材料在整个破坏过程中变形始终很小，所以当脆性材料开孔处的 σmax 达到 σb材料的强度极限)时，虽然周围的应力还比较小，杆件仍会在小孔边缘处出现裂缝而破坏。
塑性材料在整个破坏过程中将产生较大的塑性变形，当孔周边处的应力达到 σs (材半的屈服点)时，应力将不再增大，而是向相邻材料传递荷载，依次使相邻材料的应力达到屈
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第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
服点，最终使整个截面上的应力达到屈服点。
这就是塑性材料的应力重分布特性，它避免了杆件的突然破坏，使材料的承载能力充分发挥，也减小了应力集中的危害性。
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第三节 剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
一、剪切变形
1、剪切
剪切变形是杆件的基本受力变形之一。它是指受到一对垂直于杆轴，大小相等，方向相反，作用线平行且距离很近的力作用后引起的变形(图6-14)。此时，构件在截面m-m处发生相对的错动，即剪切变形。若外力过大，则可能将杆件在截面m-m处剪断。构件在截面m-m因剪切作用而断裂，称截面m-m为剪切面。
实际生活中有许多利用剪切作用原理，比如刀具将刚性物体沿某一截面剪断(图6-15) 。工程中，受剪切变形的构件也很多，比如连接件中的铆钉(图6-16) ,螺栓(图6-17) ,
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第三节 剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
销轴(图6-18)等。
2、切应力
剪力在剪切面上一点的分布集度称为切应力，用τ表示。剪切面上的内力由截面法求得，其大小与外力相等，方向与外力相反且与剪切面平行，表示为剪力FQ。
工程中通常认为，切应力τ沿剪切面均匀分布，即表示单位面积内受剪力FQ，的强度，用公式表示为
式中，FQ为剪切面上的剪力;A为剪切面面积。
切应力的正负号规定:切应力的方向与剪力的方向一致，即
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第三节 剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
使其作用部分产生顺时针转动趋势的为正，反之为负。
3、切应变
在受剪切力作用的物体中取出一个矩形微元，在切应力作用下，矩形的直角发生微小改变(图6-19)，直角的改变量γ称为切应变，它的单位是rad(弧度)。
4、剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时，切应力τ和切应变γ成正比例关系，即
τ=G· γ
式中，系数G称为材料的剪切弹性模量，它的单位和弹性模量一样，也是Pa或MPa。
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第三节 剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
5、切应力互等定理
该内容曾在第五帝第一节做过简单介绍，下面再次进行详细讲解。
由受扭圆轴上截取的微六面体(微元)，在两个互相垂直的截面上的切应力数值相等，其方向同时指向或背离该交线，此关系称为切应力互等定理。根据整体平衡，局部也必然平衡的原理，单位微元平衡时，受力为零，力偶为零。所以，单位微元体两个平面上必然存在剪力，大小相等，方向指向两平面的交线(或者背离该两平面的交线)，如图6-20所示，用公式表示为
τx=τ’x=τγ=τ’γ
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第三节 剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
二、挤压变形
连接和被连接件接触面相互压紧的现象，称为挤压。图6-21就是铆钉孔被铆钉压成长圆孔的情况。挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影，称为有效挤压面积。
当实际的挤压面为平面时按实际平面面积计算，当实际的挤压面为半圆柱形表面时按其对应的直径平面计算，如图6-21所示。
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第三节 剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
三、剪切和挤压的强度条件
1、剪切的强度条件
为了保证杆件的连接部分不发生剪力破坏，要求剪切面上的平均切应力不超过材料的许用切应力，即
2、挤压的强度条件
连接件在受剪切的同时，连接件与被连接件的接触面相互压紧会产生局部受压，称为挤压。挤压面上的力称为挤压力，用Fbs表示;挤压面上的压强称为挤压应力，用σbs表示。在实际计算时，假设挤压应力均匀分布在挤压面上，则平均
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第三节 剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件
应力用公式可以表示为
式中，Abs为挤压面的计算面积; Fbs为挤压力。
为保证构件的连接部分不发生挤压破坏，需要满足挤压强度条件:
式中，A为挤压面的计算面积，[σbs]为材料的许用挤压应力。
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第四节 连接件的强度计算
连接件的强度计一般包括剪切强度计算、挤压强度计算和轴向拉压强度计算。下面以图6-22所示的一个铆钉的铆接件为例讨论连接件的强度计算问题。
一、剪切强度计算
1、切应力的计算
以铆钉为研究对象，它受到上下两块钢板给它的压力F，如图6-23(a)所示，设铆钉的直径为d，一般铆钉的受力长度为2t，与直径d相比并不很大，因而铆钉的弯曲变形较小，可忽略不计。其主要变形是剪切变形，如图6 -23(b)。用截面法将铆钉沿m-m截面切开，取上部为研究对象，如图6-23(c)所示。由水平方向的平衡条件知，截面上的内力
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第四节 连接件的强度计算
FQ，与外力F相等，即FQ= F， FQ，称为剪力。m-m截面称之为剪切面。取铆钉下部为研究对象进行讨论也是一样的，如图6-23(a)所示。显然，截面各点的应力为切应力τ。由于剪切面附近的变形较为复杂，切应力τ在剪切面上的分布规律亦很难确定。另一方面，铆钉的剪切面积较小，因此工程中采用实用计算的方法，假设切应力τ在剪切面上均匀分布，从而切应力τ的计算公式为
(6-10a)
2、剪切强度条件
为保证铆钉不剪断，切应力不应超过材料的许可切应力[τ]，于
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第四节 连接件的强度计算
是剪切条件强度为
(6-10b)
式中， [τ]是许可切应力，通过受剪构件同类型的剪切破坏性试验得剪切强度极限值τb，然后除以安全因数n(n >1)所得，即
工程中，一般情况下，
塑性材料: [τ]=(0.75~0.8)[σ]
脆性材料: [τ]=(0.75~1.0)[σ]
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第四节 连接件的强度计算
[σ]是许可正应力，切应力的单位与正应力的单位相同。
由式(6-10b)可以校核铆钉的剪切强度，也可以确定铆钉的直径d、所需铆钉的个数及许可荷载。对于一般的连接件，式(6-10b)可以校核连接件的剪切强度，也可以确定连接件的剪切面的尺寸及允许荷载。
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第四节 连接件的强度计算
二、挤压强度计算
1、挤压应力的计算
挤压是指连接件和受力构件在传递压力时，接触面处的局部受压现象。当接触面处的压力过大，将使接触处产生较大的塑性变形，从而造成构件不能正常使用。如图6-23所示的铆接件，铆钉上部左半圆柱表面及下部右半圆柱表面受到钢板的压力，发生挤压变形。反过来，钢板在与铆钉的接触面处同样也要受到铆钉的压力，发生挤压变形。
图6-24所示是螺栓连接件中上面一块钢板孔壁的左半圆柱表面的挤压情况。设挤压压力为Fbs，则Fbs=F。
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第四节 连接件的强度计算
螺栓与钢板发生挤压的接触面称为挤压面。挤压面上单位面积所受的压力称为挤压应力，垂直于挤压面，记作σbs 。由于接触面处的挤压应力分布比较复杂，工程中一般采用实用计算方法进行计算，假设接触面处的挤压应力均匀分布。从而挤压应力σbs的计算公式为
(6-11)
式中， σbs 为工作挤压应力;凡为挤压力;Abs为计算挤压面积，它等于实际接触面积在挤压力方向上的投影面积，如图6-24(e)所示。对于螺栓和钢板孔壁而言，其计算挤压面积是螺栓的直径平面，即 Abs=dt,d是螺栓的直径，t是钢板厚度。
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第四节 连接件的强度计算
2、挤压强度条件
为了保证螺栓和钢板在承受挤压处不产生显著的塑性变形，要求挤压应力不超过许可挤压应力[σbs]。于是，挤压强度条件为
式中，[σbs]是许可挤压应力，可由许可拉伸应力[σ]得出，一般情况下塑性材料的许可挤压应力为
[σbs]=(1.7~2.0) [σ]
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第四节 连接件的强度计算
三、轴向拉压强度计算
例6-8 两块钢板由四个铆钉搭接，钢板与铆钉材料相同，如图6-25所示。已知:铆钉直径d=16mm，拉力F=100 kN,钢板厚度t=8mm,钢板宽度h = 200mm，许可切应力[τ]=140MPa，许可挤压应力[σbs]=320 MPa，许可轴向拉压应力[σ] =160 MPa，试验算该铆接件的强度。
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第四节 连接件的强度计算
解:(1)剪切强度计算，研究对象是铆钉。不计板间的摩擦及其他次要因素，设每个铆钉受力相等。取其中一个铆钉讨论，如图6-25(c)所示。在铆钉截面m-m,处截开，取上部作为研究对象，根据平衡条件得
由式(6-10a)得
连接件满足剪切强度条件。
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第四节 连接件的强度计算
(2)挤压强度计算，因钢板与铆钉材料相同，取钢板或铆钉进行计算均可。现取铆钉为研究对象。实际挤压面是铆钉的半圆柱体表面，其计算挤压面积为挤压力方向的投影面积，即Abs= td(这里，t是钢板厚度，d为铆钉直径)。挤压力Fbs =F/4，由式(6-11)得挤压应力为
连接件满足挤压强度条件。
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第四节 连接件的强度计算
(3)轴向拉压强度计算。计算对象是钢板。先绘出钢板的轴力图，每个铆钉对钢板孔壁的作用力为F/4。钢板的受力图与轴力图如图6-26所示。钢板在截面1-1处和截面2-2处各打了两个孔，所以这两处的截面积是相等的。而截面1-1处的轴力却比截面2-2处轴力要大，故可以判断1-1为危险截面。其轴力FN1和截面积A1分别为
FN1=F， A1=(6-2d)t
从而，轴向正应力σ为
钢板满足强度条件。
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
一、梁平面弯曲时的正应力计算公式
1、弯曲正应力计算公式的推导
平面弯曲是指外力的作用平面重合于纵向对称平面所产生的变形，如图6-27所示。
梁发生平面弯曲时，截面上的内力有弯矩M和剪力FQ，其中弯矩M在截面各点引起正应力σ，如图6-27(e)所示。若将梁视为由无数根单杆形成，相互之间无挤压，则各点上的变形就可视为独立的拉伸或压缩，该假设为正应力强度计算带来方便，可直接采用轴向拉压时的许可应力[σ]来做校核。截面上的剪力FQ，则在截面各点引起切应力τ，如图6 -27(f)所示。
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
图6-28所示简支梁，设截面为矩形，受对称力F作用。CD段上各截面的剪力为零，只有弯矩，把梁只受弯矩而无剪力作用的这种弯曲变形称为纯弯曲。AC,DB段各截面上既有剪力，又有弯矩，把梁既受弯矩又受剪力作用的弯曲变形，称为剪切弯曲或横力弯曲。下面讨论纯弯曲时横截面上的正应力。弯曲正应力计算公式需从几何关系、物理关系及静力关系三方面进行推导。
(1)几何关系取梁段如图6-29(a)所示，在外表面画上与轴线平行的一些直线和垂直于轴线的一些横向封闭周线，每个封闭周线所围平面就是梁的横截平面。受力弯曲后，如图6-29(b)所示。通过观察发现:
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
所有纵向直线弯成曲线，靠近下部(凸边)处纵线伸长，靠近上部(凹边)处纵线缩短，各曲线保持平行
所有横向封闭周线仍封闭，位于同一平面，且仍垂直于弯成曲线的纵向线，相邻两封闭周线相对倾针了一个角度
受压一侧横截面变宽，受拉一侧横截面变窄。
由以上现象，得出下列推断和假设:
纯弯曲时，梁的横截面在弯曲后仍是平面(称平面假设)，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。
可将梁视为由无数根轴向材料纤维组成，各材料纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在互
相挤压，否则纵向线段不会光滑连续。
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
根据上端受压，下端受拉可判定在拉与压的连续变化中必有一层材料既不伸长也不缩短，这层材料称为中性层，如图6-30(b)所示。中性层与横截面的交线称为中性轴(图6-28) ,截面正应力以中性轴为界，分为拉应力区和压应力区如图6-30(b) ,(c)所示。
根据平面假设可知，纵向材料纤维的伸长或缩短是由于横截面绕中性轴转动的结果。现在来讨论任一根材料纤维的纵向线应变。在图6-31(a)所示的梁上取一梁段dx，如图6-31(b)所示。设O1O2为中性层，截面m-m和n-n转动后延长相交于O点，O点称为曲率中心。两截面的夹角为dθ,设中性轴的曲率半径为ρ，求距离中性轴为y，处的纵向材料
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
纤维K1-K2的线应变。纵向材料纤维K1-K2变形前的长度为dx，变形后的长度为(ρ+y)dθ。中性层既不伸长又不缩短，所以变形前后长度相等，即dx=ρdθ，从而K1-K2的线应变ε为
(6-12)
(2)物理关系设纵向材料纤维K1-K2与截面的交点为K，由胡克定律知K点的正应力σ为
(6-13)
式中，ρ是中性层弯曲后的曲率半径;y为K点至中性轴的距
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
离，而中性轴位置尚未确定;E是材料的弹性模量。(通过手册查得)
(3)静力关系图6-30(a)所示的梁截面，截面上弯矩为M，轴力FN=0。由于截面内力是截面各点应力的合成，所以应该满足:各点正应力总和等于截面轴力，各点正应力关于中性轴的力矩总和等于截面弯矩，即
∫AσdA=FN=0 ①
∫AyσdA=M ②
将式(6-13)代入式①得
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
对截面上任意一点， 是常数，可以提到积分号外面来，则有即
式中， ∫ydA是矩形截面图形关于中性轴z轴的静矩SZ。
E/ρ不为零，则上式要等于零，只有SZ=0，由静矩的形心轴定理知z轴过形心，这样中性轴的位置就唯一地确定了。在平面弯曲情况下，中性轴过截面形心且垂直于外力作用线。
将式(6-13)代入式②得
③
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
对于截面任意一点，E/ρ是常数，可提到积分号外，于是式③为
式中的积分式是截面关于中性轴z的惯性矩Iz，从而有
(6-14)
将式(6-14)代入物理条件式(6-13)，得到梁纯弯曲时截面任意一点的正应力计算公式
(6-15)
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
式中，M为截面弯矩值;y为横截面上计算正应力的点至中性轴z的距离;Iz为横截面面积关于中性轴z的截面惯性矩。
2、横截面上正应力的分布规律
由式(6-15)知，截面弯矩M和截面惯性矩Iz对于截面任意一点而言都是不变的，因此截面任意一点的正应力与该点到中性轴的距离y成线性关系，即正应力沿截面高度线性分布，上下边缘处数值最大，中性轴处正应力为零，y相同的截面水平线上各点正应力相等。横截面上正应力的分布规律如图6-30(b)所示。应用式(6-15)进行计算时，M与y可以取绝对值，不考虑正、负号。而正应力的正、负号可以直接根据截面弯矩M的作用转向来直观判定。
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
二、梁弯曲时的正应力强度条件
1.有关应力的问题
由式(6-15)知，梁截面上的最大应力σmax位于距中性轴最远的截面边缘处，其数学表达式为
令
Wz称为梁抗弯截面系数，从而梁截面危险应力σmax的表达式可改写为
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
(6-16)
于是，梁的正应力强度条件为
(6-17)
式中，[σ]为材料的轴向拉压许可应力;M为梁危险截面上的弯矩值;Wz为梁抗弯截面系数，只与截面尺寸有关。
对于矩形截面(设截面高度为h、宽度为b)
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
对于圆形截面(设截面直径为d
2、有关强度的问题
由式(6-17)的强度条件可作以下三类问题的讨论:
(1)强度校核
(2)设计截面尺寸
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
该不等式只给出了满足强度条件的W值，具体的截面尺寸还需根据抗弯截面系数仆上截面尺寸的关系计算得到。
(3)求许可荷载
该不等式只给出了满足强度条件的弯矩M值，具体的许可荷载值还需根据荷载与弯矩的关系计算得到。
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
例6-9 图6-32所示简支梁受均布荷载q=2kN/m的作用，梁的跨度L=3m，梁的许可拉应力[σ] + =7MPa，许可压应力[σ]-=30MPa。试求梁D截面沿高度a ,b,c三点的正应力值。试校核梁的正应力强度。
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
解:(1)求支座约束力，由于梁上荷载对称，所以两支座的竖向约束力为 FA= FB=ql/2=3kN
(2)求D截面弯矩，取D截面左侧AD段为研究对象，由平衡条件得D截面弯矩为
(3)求截面关于中性轴的惯性矩Iz
(4)求各点应力，由梁任意一点的正应力计算式(6-15)得
(拉)
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
(拉)
(压)
(5)正应力强度计算，梁的危险截面在跨中，危险截面上弯矩为
危险截面上最大拉应力为
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
最大拉应力强度校核
危险截面上最大压应力为
最大压应力强度校核
梁满足正应力强度条件。
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
三、梁弯曲时横截面上的切应力计算及强度条件
1、切应力计算公式
梁发生弯曲变形时，剪切弯曲情况下，截面上除了弯矩之外还存在着剪力FQ。相应地，截面上各点也存在着切应力τ。截面切应力τ根据截面剪力FQ计算。对于矩形截面而言，由理论推导可得截面上任意一点的切应力计算公式为
(6-18)
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
式中，FQ为横截面上的剪力;Sz*为计算点所在水平线一侧的横截面面积关于中性轴z的静矩;Iz为截面关于中性轴z的截面惯性矩;b为计算点K处的截面宽度。
切应力τ的单位与正应力的单位相同。该式虽然是在矩形截面时推导而得的，但也适用于其他一些形状的截面情况。
2、截面上切应力的分布规律
如图6-34所示矩形截面梁，通过对切应力计算式(6-18)的分析，可得到截面上的切应力分布规律:切应力τ沿着截面作用，其方向与剪力FQ方向相同，切应力沿截面高度呈抛物线分布，在截面中性轴处最大，在截面上下边缘处为零如图6-34(d)所示,离中性轴等距离各点的切应力相等如图6-34(c)
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
所示。截面上切应力分布如图6-34 (d)所示。
3、切应力强度条件
当梁的跨高比l/h> 5时，梁的强度由正应力控制，即正应力是梁破坏的主要因素。工程中大多数的梁都满足此不等式，所以计算梁的强度时，一般都是按正应力强度条件进行计算，然后按切应力强度条件进行校核。切应力强度条件为
(6-19)
对于矩形截面而言，截面最大切应力为
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
对于圆形截面而言，截面最大切应力为
例6-11 求图6-35所示矩形截面上a点的切应力。已知截面剪力FQ=100kN ,c点是阴影面积的形心。
解：阴影面积
A=250mm×125mm
=31250mm2
阴影面积的形心到中性轴的距离
yc=250mm-125mm/2
=187.5mm
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第五节 梁弯曲时的应力与强度
从而，计算点a所在水平线一侧的阴影面积关于中性轴:的面积静矩为
Sz*=Ayc=31250mm2×187.5mm=5.86×106mm3
截面关于中性轴z的惯性矩Iz为
计算点处截面宽度h =250mm，截面剪力FQ=100 kN o
将以上数据代入截面任意一点的切应力计算式(5-29)，得
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第六节 提高梁抗弯强度的途径
一般情况下，梁的设计是以正应力强度条件为依据。由等直梁的正应力强度条件:
σmax=Mmax/Wz≤[σ]
可知，梁横截面上的最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。因此，提高梁的弯曲强度主要从降低最大弯矩值和增大抗弯截面系数这两方面进行。
一、受力物体的力学模型
1、改善荷载的布置情况
若将结构上集中荷载分散布置，可以降低梁的最大弯矩值。比如简支梁在跨中受一集中力P作用，如图6-36(a)所
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第六节 提高梁抗弯强度的途径
示，其Mmax= 。若在AB梁上安置一根短梁CD，如图6-36(b)所示，最大弯矩将减小为Mmax= ，仅为前者的1/2。又如将集中力P分散为均布荷载q=P/l，如图6-36(c)所示，其最大弯矩减小为Mmax= = ，仅为有原来的1/2。
2、合理布置梁的支座
以简支梁受均布荷载作用为例，如图6-37(a)所示，跨中最大弯矩Mmax= ，若将两端的支座各向中间移动0.21，如图6-37(b)所示，最大弯矩将减小为Mmax= ，仅为前者的1/5。 因而在同样荷载作用下，梁的截面可减小，这样就可大大节省材料，并减轻自重。工程中这样的实例很多，
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第六节 提高梁抗弯强度的途径
比如吊车和油罐的支撑结构如图6 -38所示。
3、合理布置荷载作用位置
将荷载布置在靠近支座处比布置在跨中，最大弯矩值要小很多。例如承受集中力P作用的简支梁，载荷作用在梁中点时，如图6-39(a)所示，最大弯矩Mmax= ，若荷载靠近支座作用，如图6-39(b)所示，则最大弯矩Mmax= ，减小近一半，且随着荷载离支座距离的缩小而继续减小。
4、适当增加梁的支座
由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，增加支座可以减小梁的跨度，从而降低最大弯矩值。例如均布荷载作用的简支梁，在梁中间增加一个支座(图6 -40)，则 只是原梁的1/4。
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第六节 提高梁抗弯强度的途径
二、选择合理的截面形状
1、选择抗弯截面系数Wz与截面面积A比值高的截面
梁所能承受的弯矩与抗弯截面系数Wz成正比， Wz不仅与截面的尺寸有关，还与截面的形状有关。梁的横截面面积愈大， Wz也愈大，但消耗的材料也愈多。因此，梁的合理截面应该是用最小的面积得到最大的抗弯截面系数。
表6-2列出了几种常用截面形状Wz /A的比值。从表6 -2中可以看出，圆形截面的比值最小，矩形截面次之，工字钢及槽钢较好。
2、根据材料的特性选择截面
由正应力强度条件:
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第六节 提高梁抗弯强度的途径
可知，当截面的最大拉应力与压应力同时达到其许用值时，材料才能得到充分利用，故同时满足以上两式的截面形状才是合理的。由以上两式取等号相比可得:
对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，由于[σt]= [σc]，则要求y1=y2，应采用对称于中性轴的截面。
对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，由于[σt] ≠ [σc] ，则要求y1 ≠ y2 ，应采用不对称于中性轴的截面。
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第六节 提高梁抗弯强度的途径
3、采用变截面梁
等截面梁的截面尺寸是由最大弯矩Mmax确定的，其他截面由于弯矩小，最大应力都未达到许用应力值，材料未得到充分利用。为了充分发挥材料的潜力，在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处采用较小截面。这种横截面沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若变截面梁各横截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力，称为等强度梁。
等强度梁的Wz(x)劝沿梁轴线变化的规律用公式可以表示为
Wz(x)=M(x)/ [σ]
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第六节 提高梁抗弯强度的途径
从强度观点看，等强度梁是最理想的，但因截面变化，这种梁的施工较困难。因此，在工程上常采用形状简单的变截面梁，来代替理论上的等强度梁。
例如，在房屋建筑中的阳台及雨篷挑梁，如图6-41所示，梁的截面高度是变化的，自由端较小，固定端较大。
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第七节 组合变形杆件的强度计算
一、组合变形杆件的基本计算方法
组合变形:但是实际工程中，在一组外力作用下有时会同时发生两个或两个以上的基本变形，这样的变形就称为组合变形，换句话说就是基本变形的组合，工程中也叫复杂变形。
如图6-42(a)所示，单层了房的剖面示意图，其中柱的受力如图6-42(b)所示。由于偏心力G2的作用线与柱子的轴线不一致，将G2等效平移到柱子轴线处，须附加一个力偶，柱子在轴向力及附加力偶的共同作用下，将同时发生轴向压缩和平面弯曲变形，即发生压和弯的组合变形。图6-42(c)所示的屋架示意图，其擦条的受力如图6-42(d)所示，将铅垂
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第七节 组合变形杆件的强度计算
力F沿擦条的中心轴z和对称轴y分解，得到Fz和Fy。使得梁在两个不同的平面内发生弯曲，这种变形称为斜弯曲变形。
讨论组合变形的基本计算方法是叠加法。
其中心思想是:将外力按照基本变形的外力作用方式进行等效处理，即通过力的平移或力的分解这两种等效处理方法，将原有外力等效处理成基本变形的外力作用方式，然后分别计算各基本变形下的应力，最后在同一截面、同一点处将各基本变形下的应力(同类应力)代数相加。本节主要讨论的是斜弯曲变形和压弯组合变形。
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第七节 组合变形杆件的强度计算
二、斜弯曲变形
1.斜弯曲变形的分析
图6-43所示的悬臂梁，截面为矩形，受F力作用，与y轴的夹角为φ,由于力F不是作用在梁的纵向对称平面内，因此梁发生的不是平面弯曲变形。现取梁的任一x截面进行讨论。
(1)将力F沿铅垂方向和水平方向分解为两个分力 Fy、 Fz， 如图6-43(a)所示，显然
Fy=Fcosφ
Fz=Fsinφ
(2)讨论x截面的弯矩在Fy的作用下将引起绕z轴转动的弯矩Mz，在Fz的作用下将引起绕y轴转动的弯矩My二截面上存在
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第七节 组合变形杆件的强度计算
着两个方向上的弯矩，如图6-43(b)所示。由于 Fy、 Fz各自均作用在梁的纵向对称平面内，所以两个弯矩分别在铅垂平面内和水平平面内引起平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。由此可知，斜弯曲是由两个平面弯曲组成，属于组合变形。显然
Mz=Fy x=Fcosφ=Mcosφ
My=Fzx=Fsinφ=Msinφ
式中，M=Fx。
(3)讨论二截面的应力由平面弯曲的正应力计算公式，M单独引起的任意一点的正应力为
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第七节 组合变形杆件的强度计算
最大应力在截面上、下边缘处，表达式为
其分布规律如图6-43(c)所示。
由My单独引起的任意一点的正应力为
最大应力在截面左、右边缘处，表达式为
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第七节 组合变形杆件的强度计算
其分布规律如图6-43(d)所示。从而，截面上任意一点的正应力是这两个平面弯曲下的该点正应力的代数和，即
截面最大拉应力为
(6-20)
截面最大压应力为
(6-21)
由图6-43(c) ,(d)知，矩形截面上最大拉应力位于角点b
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第七节 组合变形杆件的强度计算
处，最大压应力位于角点a处。显然，a,b是离中性轴最远的点。这说明，斜弯曲的正应力危险点仍然是截面上离中性轴最远的点。
(4)斜弯曲下的强度条件为
(6-22)
由此式进行强度校核时，表达式为
(6-23)
由此式确定截面尺寸时，表达式为
(6-24)
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第七节 组合变形杆件的强度计算
2、斜弯曲变形的计算
例6-12 图6-44所示钢屋架上弦节点处的擦条为工字钢，可视为简支梁。已知:凛条长L=4m，承受的均布荷载q=3. 5 kN/m, Φ=20o，许可应力[σ]= 160 MPa，试选择工字钢型号。
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第七节 组合变形杆件的强度计算
解：将q进行分解，得
qy=qcosΦ
qz=qsinΦ
简支梁的危险截面在跨中，危险截面上弯矩为
M=ql2/8
从而
设 Wz/Wy=8
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第七节 组合变形杆件的强度计算
将有关数据代入式(6-24)
得
即
查表得18号工字钢，其Wz= 185cm3， Wy=26cm3。代入式(6-22)进行校核，得
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第七节 组合变形杆件的强度计算
由校核结果知若取18号工字钢，材料有所浪费。故试取16号工字钢，其Wz=141cm3 ，Wy=21.2cm3，再一次进行校核，得
由校核结果知，取16号工字钢比较合适，既安全又经济。
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第七节 组合变形杆件的强度计算
三、压弯组合变形(偏心压缩)
当外力F的作用线与柱轴线平行但不重合时，柱子将发生偏心受压情况。此时，外力F称为偏心力，偏离轴线的距离称为偏心距，记作e。如图6-45(a)所示的牛腿柱。
研究偏心受压构件的强度问题，主要是计算柱中的最大拉、压应力，并进行强度校核，以及根据应力的分布规律，控制偏心力的偏离范围。
1.外力平移
如图6-45(a)所示，作用在z轴上的、与柱轴线平行的力F经过平行移动到柱轴线位置后，柱底截面上的内力为FN = F和M = Fe，使柱产生轴向压缩变形和绕z轴的平面弯曲变形 ，是轴
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第七节 组合变形杆件的强度计算
向压缩与平面弯曲的组合。
2、计算截面上工作应力
(1)截面上任意一点的应力
①轴向压缩变形下的正应力为
②平面弯曲变形下的正应力为
③叠加后截面的正应力为
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第七节 组合变形杆件的强度计算
在轴向压缩变形下，截面上应力分布如图6-45(d)①所示。
在平面弯曲变形下，截面上应力分布如 图6-45 (d)②所示。而图6-45 (d)③所示的则是叠加后的截面上应力分布。
(2)最大工作应力:
①最大拉应力
将矩形截面的尺寸代入得
(6-25)
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第七节 组合变形杆件的强度计算
②最大压应力
将矩形截面的尺寸代入得
(6-26)
3、中性轴位置的确定
中性轴的位置压弯组合变形时，中性轴一般来说不通过截面形心，其位置由σN和σM的大小确定。
当σN< σM时，截面上同时存在着拉应力和压应力，这说明中性轴位于截面内，如图6-45(e)⑥所示。
当σN = σM时，截面上仅存在着压应力，且截面一侧边缘
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第七节 组合变形杆件的强度计算
处的应力为零，这说明中性轴恰好位于截面边缘处，如图6 -45(e)⑤所示。
当σN>σM时，截面上仅存在着压应力，且截面边缘处的应力均为压应力，这说明中性轴位于截面之外，如图6 -45(e)④所示。
4、截面核心的概念
由前面有关材料性能的讨论知脆性材料的抗拉能力较差，而工程中有些偏心受压的杆件是由脆性材料构成，因此不希望截面上出现拉应力。由于拉应力是由偏心力矩M = Fe引起的，所以可通过控制偏心距。的大小来达到日的。
以矩形截面柱为例。这时，截面最大拉应力由式(6-25)给出
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第七节 组合变形杆件的强度计算
欲使截面不出现拉应力，则应有
即
解得
这说明，当偏心力作用在关于)轴上、下h/6的范围内时，截面上不产生拉应力。同理，偏心力作用在z轴上时，亦可得
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第七节 组合变形杆件的强度计算
由以上讨论说明，当偏心力作用在某个范围时，截面将不产生拉应力，这个范围称为截面核心，即z使截面不产生拉应力的偏心力作用范围称为截面核心。
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每章一练
1、剪切和挤压是否可能产生于同一截面上
2、连接件的剪切和挤压计算为什么称之为实用计算
3、如图6-48所示，截面宽为b，高为h。已知截面关于z1轴的惯性矩为Iz1，则关于形心轴:的惯性矩计算式:Iz=Is1+ (h/2)2A是否正确
4、试校核图6-49所示拉杆的剪切和挤压强度。已知F=50 kN，图中尺寸D=32mm, d=20mm，h = 12mm，杆的许用切应力[τ]=100MPa，许可挤压应力[σbs]=240 MPa
5、图6-50所示铆接钢板，已知钢板的厚度t=10 mm，铆钉的许可切应力[τ] = 140MPa，许用挤压应力[σbs] = 320MPa，
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每章一练
拉力F = 24kN
(1)如设铆钉直径d=17mm，试校核连接件强度。
(2)如设直径d=20mm，试求许用荷载[F]。
6、试计算图6-51所示截面的形心坐标及截面关于形心坐标轴zc，yc的截面惯性矩了Izc，Iyc。
7、悬臂梁受力如图6-52所示，已知材料的许可应力[σ] = 10MPa，试校核梁的弯曲正应力强度。
8、图6-53所示简支梁，受均布荷载q作用，材料的许可应力 [σ]=100MPa，不考虑自重，求许用均布荷载[q]
9、图6-54所示矩形截面梁AB承受均布荷载g=10 kN/m 的作用， [σ] = 30 MPa，许可切应力[τ]= 3 MPa，试
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每章一练
校核梁的强度.
10、如图6-55所示正方形截面短柱，承受轴向压力F =60 kN,短柱中间开槽深度t=100 mm，许可应力[σ]=15 MPa。试校核柱的强度。
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图6-1 不同的截面放置方法
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图6-2 静矩计算的曲边截面图形
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图6-5 截面惯性矩
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图6-6 矩形截面图
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图6-10 荷载下矩形截面杆件的变形
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图6-10 荷载下矩形截面杆件的变形
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图6-13 等截面直杆的应力分布
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图6-14 剪切变形
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图6-15 刀具将刚性物体沿某一截面剪断
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图6-16 连接件中的铆钉
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图6-17 销铀
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图6-18 销铀
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图6-19 切应变
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图6-20 切应力互等图示
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图6-21 挤压
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图6-22 铆钉的铆接件
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图6-23 受力分析图
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图6-23 受力分析图
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图6-23 受力分析图
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图6-24 螺栓连接件中钢板孔壁的左半圆柱表面受挤压图
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图6-24 螺栓连接件中钢板孔壁的左半圆柱表面受挤压图
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图6-26 钢板铀力图
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图6-27 平面弯曲图
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图6-28 简支梁
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图6-28 简支梁
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图6-29 简支梁的几何关系图
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图6-30 截面正应力分布
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图6-30 截面正应力分布
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图6-30 截面正应力分布
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图6-31 梁的纵向性应变
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图6-34 矩形截面梁上的切应力分布
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图6-34 矩形截面梁上的切应力分布
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图6-36 荷载的分散布置
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图6-36 荷载的分散布置
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图6-37 简支梁受均布荷载作用
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图6-38 吊车和油罐的支撑结构
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图6-39 荷载作用在不同位置时的弯矩
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图6-40 梁中间增加一个支座时的最大弯矩图
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表6-2 几种常用截面形状Wz/A的比值
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图6-41 变截面梁
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图6-42 生活中的组合变形
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图6-43 最臂梁的斜弯曲
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图6-43 最臂梁的斜弯曲
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图6-43 最臂梁的斜弯曲
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图6-43 最臂梁的斜弯曲
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图6-45 外力平移
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图6-45 外力平移
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图6-45 外力平移
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图6-45 外力平移
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图6-48 第3题图
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图6-49 第4题图
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图6-50 第5题图
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图6-51 第6题图
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图6-52 第7题图
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图6-53 第8题图
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图6-54 第9题图
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图6-55 第10题图
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