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第七章结构的位移计算与刚度校核
第一节静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
第二节虚功原理
每章一练
教学目标
1.掌握静定结构的位移计算方法。
2.熟练掌握轴向拉杆的变形计算。
3.熟练掌握虚功原理并能灵活应用。
4.掌握单跨静定梁的刚度校核方法。
第一节 静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
一、静定结构的位移计算概述静定结构的位移计算概述
结构的变形有两大类。一是线位移，指构件轴线上某点(亦即截面形心)沿某个方向移动的直线距离。另一类是角位移，指结构上某截面转动的角度。如图7-1(a)所示的简支梁，跨中C点移至C’点，则CC’是中点C的竖向位移;B支座处的转角θB，称为B截面的角位移。图7-1(b)所示为悬臂刚架，从位移曲线可以看到自由端C点的水平位移处△CH竖向位移 △CV和角位移θC，如图7-1(b)、(c)所示。
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第一节 静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
二、纵向变形与纵向线应变
杆受轴向力的作用时，沿杆轴方向将产生伸长或缩短的变形，称为纵向变形，如图7-2所示。设杆件变形前长为l，变形后长为l1，则杆件的纵向变形量为
△l= l1-l
拉伸时△l为正，压缩时△l为负。 △l的量纲是[长度]，其常用单位是米(m)或毫米。
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的变形程度，需要用单位长度的变形量。对于轴力为常力的等截面直杆，其纵向变形在杆内均匀分布，因此称
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第一节 静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
(7-1)
为轴向拉(压)杆的纵向线应变。拉伸时ε为正，压缩时ε为负。 ε是量纲为一的量。
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第一节 静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
三、横向变形与横向线应变
轴向拉(压)杆产生纵向变形时，杆的横向尺寸将减小或增大，称为横向变形，如图7-2所示。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后的横向尺寸为a1，则杆件横向变形量为
△a= a1-a
而称
(7-2)
为轴向拉(压)杆的横向线应变。杆件伸长时，横向缩小， ε’为负;杆件压缩时，横向增大， ε’为正。因此，轴向拉(压)杆的纵向线应变ε与横向线应变ε’的符号总是相反的。
经试验证明，当杆件的应力不超过比例极限时，横向线应变
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第一节 静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
ε’与纵向线应变ε的绝对值之比为一常数，该比值称为泊松比，用μ表示
(7-3)
四、变形计算公式
根据胡克定律可得
而
所以 (7-4)
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第一节 静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
该公式即为轴向拉压杆的变形计算公式，也是胡克定律的另外一种表现形式。
例7-1 有一正方形截面的钢杆(图7-3)，截面边长a=16 mm，经实验测得沿杆纵向l=100 mm的长度内伸长了0. 06mm。设钢材的E=2.0x105 MPa，泊松比μ=0.3。求该钢杆的纵向线应变、横向线应变和杆件所受的轴向外力。
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第一节 静定结构的位移计算概述和轴向拉(压)杆的变形
解:(1)计算线应变。杆的纵向线应变为
杆的横向线应变为
ε’=-με=-0.3×60×10-5=-18×10-5
(2)轴向外力。由胡克定律求正应力
σ=Eε=2.0×105MPa×60×10-5=120MPa
则杆的轴力为
FN=σA=120×106Pa×16×16×10-6m2=30.72kN
杆件所受的轴向外力为
F=FN=30.72kN
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第二节 虚功原理
一、功的概念
功与力和位移这两个因素有关，功的大小用力和位移的乘积来表示，记作W，即
W=±F·△ (7-5)
式中，F为广义力;△为与F相应的广义位移。
1、广义力和相应的广义位移
图7-4(a)所示的梁，C点作用着一个力F,C点沿F力作用方向产生竖向线位移△CH，见图7-4(c)所示。
图7-4(b)所示梁上B端作用着一个力偶M,B截面产生转角θ，见图7-4(c)所示。
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第二节 虚功原理
像这样的力F、力偶M等统称为广义力，用符号F表示;像这样的线位移、角位移等统称为广义位移，用符号△表示。这种扩大了的力和位移分别称为广义力和广义位移。
2、虚功
当做功的力F与相应位移△彼此相关时，即位移是由做功的力本身所引起的，则所做的功称为实功。而当做功的力与相应位移彼此独立无关时，则所做的功称为虚功。
3、虚功原理
图7-5(a)所示简支梁在荷载F，作用下，在F1作用点处沿F，方向将产生位移，此位移记为 △11，在第二点处也将引起位移△21。位移△的第一个下标表示位移发生的位置和方向
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第二节 虚功原理
，第二个下标表示引起位移的原因。 △11 的下标表示位移是在第一点处沿F1，方向、由于F1的作用而引起的。 △21 的下标表示位移在第二点处、由于F1的作用而引起的。
当荷载F1,作用于结构并达到稳定平衡以后，再加上荷载F2，这时结构将继续变形，如图7-5(b)所示而引起第一点沿F，方向产生新的位移△12，同时第二点沿F方向产生位移△22。其中△12表示由于F2引起的在第一点沿F1方向的位移。因而，F1将在△12位移上做虚功，以W外12表示，即
W外12= F1· △12 (7-6)
式中， W外12是 F1力在由于 F2所引起的在 F1作用点沿F1 方向的位移上做的功，为外力虚功。
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第二节 虚功原理
在F2加载过程中，简支梁AB由于第一组荷载F1作用所产生的内力亦将在第二组荷载F2作用下引起的相应变形上做功，称为内力虚功，用W内12表示。
变形体虚功原理表明:结构的第一组外力在第二组外力所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所做的内力虚功。
W外12 = W内12 (7-7)
在上述情况中，两组力F1和F2是彼此独立无关的。
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第二节 虚功原理
二、位移计算公式
1.虚设状态
图7-6所示结构在荷载9作用下发生了如图中虚线所示的变形。现在来求结构上任一截面沿任一指定方向上的广义位移，如截面K的竖向位移△KV。
利用虚功原理求解这个问题，首先要确定做功的力系和引起变形的力系。其中做功的力系称为力状态，引起变形的力系称为位移状态。由于现在要求的是实际荷载q作用下结构的位移，故应以实际荷载q作用下结构所处的状态作为结构的位移状态，亦称为实际状态，如图7 -6(a)所示。另一方面还需建立力状态。由于力状态和位移状态除了结构形式和支
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第二节 虚功原理
座情况需相同外，其他方面两者完全无关。因而，力状态完全可以根据计算的需要而假设。为了使力状态的外力能够在实际状态的所求位移△ KV上做虚功，就需要在K点沿所求位移方向上加一个单位集中力FK=1，如图7-6(b)所示。因为FK=1是为了计算实际状态的位移而假设的，故此状态又称虚设状态。
下面分别计算虚设状态的外力在实际状态相应的位移上所做的外力虚功w外和虚设状态的内力在实际状态相应的变形上所做的内力虚功记W内 。
(1)虚设状态下的外力虚功计算外力虚功时，虚设状态的外力FK=1，相应的实际状态位移就是K处的竖向位移△ KV，
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第二节 虚功原理
因此，其外力所做虚功为
W外=FK △ KV = △ KV
此式说明:当 FK=1时，外力虚功在数值上恰好等于所要求的位移△KV。
(2)虚设状态下的内力虚功设实际状态下横截面的内力弯矩、剪力、轴力分别用M,FQ ,FN来表示，而虚设状态下横截面的内力弯矩、剪力、轴力分别用 , , 来表示，则可导出内力虚功计算式如下
2、单位荷载法
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第二节 虚功原理
根据虚功原理， W外 = W内12 ，又考虑到所求位移的广义性，因此可得
(7-8)
式中，第一项是弯矩所做的内力功;第二项是剪力所做的内力功;第三项是轴力所做的内力功。
式(7-8)就是变形体在只有荷载作用下的位移计算一般公式，其适用条件是:
结构处于平衡状态;
变形是微小的。
该公式可用于静定的或超静定的梁、刚架、析架、拱等结构在弹性范围内的位移计算。
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第二节 虚功原理
这种采用虚设单位荷载来计算结构位移的方法称为单位荷载法。单位荷载的取法需根据所求位移而假设，根据所求位移的不同，单位荷载的取法有以下4种情况:
欲求K点沿某方向的线位移，应在K点沿该方向加一单位集中力。如图7-8(a)所示，在K点沿水平方向加一单位集中力FK=1作为虚设状态，所求的即是K点的水平线位移，常用△KH表示，而竖向线位移常用△KV表示;
欲求K、K’两点的相对线位移，应在K , K’两点沿KK’，连线方向加一对反方向的单位集中力，如图7 -7(b)所示。K , K’两点的相对线位移常用△K -K’表示;
欲求K点的角位移，应在K点加一个单位力偶，如图7- 7(c)
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第二节 虚功原理
所示。K点的角位移常用θK表示
欲求K , K’两截面的相对角位移，应在K , K’两截面处加一对反方向的单位力偶，如图7-7(d)所示，K , K’两截面的相对角位移常用θ K -K表示。
由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相对应。
3、积分法
利用公式(7-8)计算结构位移的基本步骤是:
在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列各杆段内力方程;
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第二节 虚功原理
列实际荷载作用下各杆段内力方程;
将各内力方程分别代入式(7-8)，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。
根据上面步骤求结构某截面位移的方法称为积分法。
4、位移计算公式简化
利用荷载作用下位移计算一般公式(7-8)计算结构位移时，可根据结构的具体情况对公式进行简化。
(1)梁和刚架位移计算公式的简化架对于梁和刚架，位移主要是由弯矩引起的，轴力和剪力的影响很小，一般可以忽略不计。因此，位移计算公式(7-8)对于梁和刚架可简化为
(7-9)
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第二节 虚功原理
(2)析架位移计算公式以简化在析架结构中，因为杆件只有轴力作用，而且同一杆件的轴力FN 、 及EA都沿杆的长度方向不变，因此，位移计算公式(7-8)对于析架可简化为
(7-10)
(3)析梁组合结构位移计算公式的简化在析梁组合结构中，杆件可分为梁式杆和轴力杆两类，梁式杆只考虑弯矩的影
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第二节 虚功原理
响，而轴力杆则只考虑轴力的影响，因此，位移计算公式(7-8)对于析梁组合结构可简化为
(7-11)
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第二节 虚功原理
三、图乘法
1、用图乘法推导位移计算公式
由前述可知，计算梁和刚架在只有荷载作用下的位移时，首先分段列出 和M的方程式，然后代人式(7-9)
分段积分再求和即得到所求位移。然而，当杆件数日较多、荷载较复杂的情况下，上述积分的计算工作是比较麻烦的。但是，在一定条件下，这个积分可用 和M两个弯矩图相乘的方法来代替从而简化计算工作。其条件是:
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第二节 虚功原理
结构各杆件分段为等截面直杆;
各杆段的EI值分别等于常数;
图和M图中至少有一个为直线图形。
对于等截面直杆，上述的前两个条件自然恒被满足。至于第三个条件，虽然在均布荷载作用下，其M图为曲线图形，但M图却总是由直线段组成的，只要分段考虑就可得到满足。于是，对于等截面直杆(包括截面分段变化的阶梯形杆件)所组成的梁和刚架，在位移计算中，均可采用图乘法来代替积分运算。
现以图7-8所示的两个弯矩图来说明图乘法与积分运算之间的关系。设等截面直杆AB段上的两个弯矩图中，M为直线图
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第二节 虚功原理
形，M图为任意形状。以杆轴为x轴，以M图的延长线与x轴的交点O为原点并设置y轴，则积分公式 的ds可用dx代替，EI为常数。且因 图为直线，故有 =x tan α且tanα为常数，则有
式中，dω= Mdx，为M图中有阴影线的微面积，故xd 为微面积dω 对y轴的静矩，∫xdω为整个M图的面积对y轴的静矩。根据合力矩定理，它应等于M图的整个面积ω乘以其形心C到y轴的距离x ，即
∫xdω=ωxc
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第二节 虚功原理
故有
这里yC是M图的形心C处所对应的 图的竖标。可见，上述积分式等于一个弯矩图的位积ω乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以EI，这种方法称为图乘法。
如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式(7-9)可写为
(7-12)
由以上推导过程可见，应用图乘法求结构位移时，应注意下列各点:
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第二节 虚功原理
必须符合前面的三个条件;
纵坐标yC只能由直线弯矩图中取值。如果M和 图形都是直线，则可取自任何一个图形;
若面积ω与纵坐标yC在杆件的同一侧时，乘积取正值;不在同一侧时，乘积取负值。
现将图乘时经常用到的儿种弯矩图的面积和形心位置列人图7-9中以备查用。应注意在各抛物线图形中，顶点是指其切线平行于底边的点。凡顶点在中点或端点的抛物线称为标准抛物线。
2、运用图乘法时的常见情况
应用图乘法时，如遇到弯矩图的面积或形心位置不便确定时，则可将该图形分解为儿个易于确定形心位置和面积的部
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第二节 虚功原理
分，将这些部分分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。常见的有下面儿种情况:
(1)图7-10所示两个梯形图相乘时，梯形的形心位置较难确定，因而把它分解成两个形心位置很易确定的三角形(也可分为一个矩形和一个三角形)。
(2)当M图或 图的竖标a,b或c，d不在基线的同一侧时，如图7-11所示。处理原则仍和上面一样，可分解为位于基线两侧的两个三角形，按上述方法分别图乘，然后叠加。式中的y1和y2根据比例计算，图乘时特别要注意正、负号。
(3)当yC所属图形不是一段直线而是由若干段直线组成时，应分段图乘，再进行叠加。如图7-12所示，图乘结果为
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第二节 虚功原理
(4)当yC所属图形各杆段的横截面积不相等时，也应分段图乘，再进行叠加。如图7-13所示，图乘结果为
(5)对于在均布荷载作用下的任何直杆段，其弯矩图可以看成是一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
图7-14(a)所示M图可以看成是一个梯形(M’图)与一个标准抛物线(M”图)的叠加，而梯形(M’图)则可分解成两个三角形(也可分为一个矩形和一个三角形)的叠加，即
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第二节 虚功原理
图7-14(b)所示M图可以看成是一个三角形(M‘图)与一个标准抛物线(M“图)的叠加，此时须注意的是抛物线(M”图)与 图位于x轴的不同侧，故图乘时取负号，即
图乘法求结构位移的步骤是:
结构在实际荷载作用下的M图;
在所求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，并作出其 图;
分段计算M(或 )图的面积。及其形心所对应的M(或 )图的纵坐标yC;
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第二节 虚功原理
将 ，yC代入图乘公式(7 -12)计算出所求位移。
例7-2 求图7-15(a)所示外伸梁C截面的竖向位移△Cy，El为常数。
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第二节 虚功原理
解:(1)作实际荷载作用下的M图，如图7-15(b)所示。
(2)在B点加一单位集中力偶MB=1，作 图，如图7-15(c)所示。
(3)用图乘法计算θB。计算M图面积时，AC段不是标准抛物线，可将AC段的M图分解为一个矩形和一个顶点在杆端C点的二次标准抛物线图形分别与 图图乘。
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第二节 虚功原理
(4)在B点加一水平单位集中力FB= 1，作 图，如图7-15(d)所示。
(5)用图乘法计算△BH。计算M 图面积时，同前面一样，仍需将AC段的M图分解为一个矩形和一个顶点在杆端G点的二次标准抛物线图形分别与 图图乘。因此
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每章一练
1、什么是实功 什么是虚功 试举例说明。
2、拱结构是否能采用图乘法计算位移 为什么
3、对应图7 -16中各对M, 图，试判断下面图乘是否正确，并说明为什么
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每章一练
4、一圆截面直杆的直径d=16 mm、长l=3m，承受轴向拉力F=30 kN，其伸长量△L=2. 2mm。求此杆的纵向线应变和材料的弹性模量E。
5、图7-17所示拉伸试件，截面尺寸为h×h = 4.1mm× 29.8mm。试验时，每增加1.5kN拉力，测得纵向线应变ε=60 x10-6,横向线应变ε’=-19x10-6。求材料的弹性模量E及泊松比μ。
6、用图乘法求图7-18所示悬臂梁C截面的竖向位移△Cv和转角θC， EI为常数。
7、用图乘法求图7-19所示刚架C截面的水平位移△Cv和转角位移θC ，已知E=2.1x105 MPa，1=2.4x108mm4。
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每章一练
8、用图乘法求图7-20所示刚架C截面的竖向位移△Cv和B截面的水平位移△BH，已知各杆EI为常数。
9、用图乘法求图7-21所示刚架铰C左右两侧截面的相对角位移θC-C ，已知各杆EI为常数
10、用图乘法求图7-22所示刚架B截面的水平位移△ BH和A截面的转角θA，各杆EI为常数。
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图7-1 静定结构的水平位移、坚向位移和角位移
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图7-2 杆件的纵向变形
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图7-2 杆件的纵向变形
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图7-4 广义力和广义位移
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图7-5 虚功的产生
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图7-5 虚功的产生
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图7-6 受力变形
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(a)位移状态;(b)虚设状态
图7-6 受力变形
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(a)位移状态;(b)虚设状态
图7-7 虚设单位载荷与广义位移的对应图
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图7-7 虚设单位载荷与广义位移的对应图
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图7-8 弯矩图
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图7-9 几种弯矩图的面积和形心位置
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图7-10 两梯形图乘结果
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图7-11 两三角形图乘结果
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图7-12 分段图乘
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图7-13 分段图乘和叠加
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图7-14 图乘叠加图
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图7-14 图乘叠加图
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图7-16 第3题图
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图7-17 第5题图
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图7-18 第6题图
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图7-19 第7题图
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图7-20 第8题图
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图7-21 第9题图
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图7-22 第10题图
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