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第三章 平面一般力系
第一节力在直角坐标轴上的投影
第二节平面力系的简化
第三节平面力系的平衡和应用
第四节物体系统的平衡问题
每章一练
教学目标
1.掌握力的平移定理及平面一般力系的简化方法。
2.掌握主矢和主矩的概念及计算。
3.理解平面一般力系的合力矩定理。
4.掌握物体系统平衡问题的解题方法。
第一节 力在直角坐标轴上的投影
1、力在直角坐标轴上的投影
如图3-1所示，在力F作用的平面内建立直角坐标系Oxy;。由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线，垂足分别为x轴上的两点A’,B’，则线段A’B’称为力F在x轴上的投影，用Fx表示，即
Fx=± A’B’
投影的正负号规定如下:若从A’到B’的方向与坐标轴正向一致，投影取正号;反之，取负号。力在坐标轴上的投影是代数量。同样，力F在y轴上的投影Fy为
Fy=± A’’B’’
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第一节 力在直角坐标轴上的投影
由图3-1可得
Fx=±Fcos
Fy=±Fsin
式中，a为力与x轴所夹的锐角，图3-1中Fx ，Fy是力F沿直角坐标轴方向的两个分力，是矢量。它们的大小和力F在轴上投影的绝对值相等，而投影的正(或负)号代表厂分力的指向和坐标轴的指向一致(或相反)，这样投影就将分力大小和方向表示出来了，从而将矢量运算转化成了代数运算。
为了计算方便，往往先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号。
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α
α
} (3-1)
第一节 力在直角坐标轴上的投影
例3-1 试分别求出图3 -2中各力在x轴和y轴上投影。已知F1 =100N , F2=150N，F3= F4=200N，各力方向如图所示。
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第一节 力在直角坐标轴上的投影
解：由式(3 -1)可得出各力在x,y轴上的投影为
F1x=F1cos45o=100N×0. 707=70.7N
F1y=F1sin45o=100N×0.707=70.7 N
F2x=-F2cos30o=-150N×0. 866=-129.9 N
F2y=-F2sin30o=-150N×0.5=-75N
F3x=F3cos90o=0
F3y=-F3sin90o=-200N×1=-200N
F4x=F4cos60o=200N×0.5=100N
F4y=-F4sin60o=-200N×0. 866=-173. 2N
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第一节 力在直角坐标轴上的投影
反过来，如已知一个力在直角坐
标系的投影，可以求出这个力的
大小和方向。由式(3-1)可知
其中，取0≤α≤π/2, α代表力
F与x轴的夹角，具体力的指向可
通过投影的正负值来判定，如图3-
3所示。
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第一节 力在直角坐标轴上的投影
2.合力投影定理
由于力的投影是代数量，所以可以对各力在同一轴的投影进行代数运算，由图3-4不难看出，由F1和F2的和组成力系的合力FR在任一坐标轴(x轴)上的投影Fx= A’C’=A’B’+B’C’ =A’B’+A’D’=F1x+F2x，对于多个力组成的力系以此推广，可得合力投影定理:
合力在直角坐标轴上的投影(FRx，FRy)等于各分力在同一轴上投影的代数和，即
(3-3)
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第一节 力在直角坐标轴上的投影
如果将各个分力沿直角坐标轴方向进行分解，再对平行于同一坐标轴的分力进行合成(方向相同的相加，方向相反的相减)，可以得到合力在该坐标轴方向上的分力(FRx，FRy)。可以证明，合力在直角坐标系坐标轴上的投影 (FRx，FRy)和合力在该坐标轴方向上的分力 (FRx，FRy)大小相等，而投影的正(负)号代表厂分力的指向和坐标轴的指向一致(相反)。
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第一节 力在直角坐标轴上的投影
例3-2 试分别求出图3-5中各力的合力在x轴和y轴上的投影。已知F1=20kN,F2=40kN,F3=50kN，各力方向如图所示
解:由式(3 -3)可得出各分力的合力在x,y轴上的投影为
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第二节 平面力系的简化
一、基本概念
如果在一个力系中，各力的作用线均匀分布在同一平面内，但它们既不完全平行，又不汇交于同一点，那么，将这种力系称为平面一般力系，简称平面力系。
平面力系的研究与讨论，不仅在理论上，而且在实际工程中都有着重要的意义。
平面力系概括了平面内各种特殊力系，同时又是研究空间力系的基础。
平面力系是工程中最常见的一种力系，如在不少实际工程中结构(或结构构件)和受力都具有同一对称面，此时作用力就可简化为作用在对称面内的平面力系。
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第二节 平面力系的简化
如果平面力系中各力的作用线均汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系;如果平面力系中各力的作用线均相互平行，则此力系称为平面平行力系;如果平面力系仅由力偶组成，则此力系称为平面力偶系。
在作用效果等效的前提下，用最简单的力系来代替原力系对刚体的作用，称为力系的简化。为厂便于研究任意力系对刚体的作用效应，常需进行力系的简化。
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第二节 平面力系的简化
二、力向一点平移
1、力向一点平移的过程
对刚体而言，根据力的可传性原理，可以将力的三要素改称为力的大小、方向、作用线。无论改变力的三要素中任意一个，力的作用效应都将发生变化。如果保持力的大小、方向不变，而将力的作用线平行移动到同一刚体的任意一点，则力对刚体的作用效应必定要发生变化;若要保持力对刚体的作用效应不变，则必须要有附加条件。
设在刚体上的A点作用有一力F，如图3 -6(a)所示，欲将其平行移至B点。根据加减平衡力系原理，在B点加上一对平衡力F’和F“，并使其作用线与力F的作用线相互平行，且F=F’=F”
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第二节 平面力系的简化
如图3 -6(b)所示。显然，三个力F,F’,F”的作用效果与原力F的相同。在三个力作用时，又可以看成是在B点作用一个力F’和一个力偶(F , F”)。即，作用在A点的力F就可由作用在B点的力F’和力偶矩为M的力偶(F , F”)来代替;换言之，作用在A点上的力F，可以平行移动到B点，但同时加上一个相应的力偶，这个力偶称为附加力偶。附加力偶的力偶矩M等于原来的力F对B点的矩。
2、力的平移定理
由于A,B两点及力F可以是任意的，因此可得出如下结论:作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意一个指定位置。但必须在该力和指定点所决定的平面内附加一个力偶，该附加力
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第二节 平面力系的简化
偶的矩等于原力对指定点之矩。这个结论称为力的平移定理。
3、力向一点平移的逆过程
不难推知，根据力向一点平移的逆过程，总可以将同平面内的一个力F和力偶矩为M的力偶简化为一个力F’，此力F’与原力F大小相等、方向相同、作用线间的距离为d= M/F，至于F’在F的哪一侧，则视F的方向和M的转向而定。
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第二节 平面力系的简化
例3-3 钢柱受到一10kN力的作用，如图3 -7所示。若将此力向中心线平移，得到一力(使钢柱压缩)和一力偶(使钢柱弯曲)。已知力偶矩为800N m，求原力至中心线的距离d。
解：根据题意可知
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第二节 平面力系的简化
三、平面力系向一点的简化
1、平面力系向一点简化的过程
设一刚体受平面力系F1 , F2,…,Fn 作用，如图3-8(a)所示。为厂简化这个力系，在力系所在平面内任取一点O，此点称为简化中心。应用力的平移定理，将各力都平移至O点，同时加上相应的附加力偶。这样，原来的平面力系就简化为作用在简化中心O的平面汇交力系F1’, F2’,…,Fn’,及一个平面力偶系，它们的矩分别为M1 , M2,…Mn,如图3-8(b)所示，其中
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第二节 平面力系的简化
由此可见，力系向一点简化的方法，实质上就是把一个较复杂的平面力系简化为两个简单的基本力系:平面汇交力系和平面力偶系。
一般情况下，平面汇交力系可合成为作用于O点的力，这力的大小和方向等于作用于O点的各力的矢量和，也就是等于原力系中各力的矢量和，用F’R,表示，即
(3-4)
称F’R为原力系的主矢量，简称为主矢，如图3-8(c)所示。
一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶，这个合力偶的力偶矩等于各附加力偶矩的代数和，也就是等于原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，用M'表示，即
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第二节 平面力系的简化
(3-5)
称M’o，为原力系对简化中心O的主矩，如图3-8(c)所示。
从式(3 -4)可知，由于原力中的各力的大小和方向都是一定的，它们的矢量和也是一定的;即对一个已知力系来说，无论选择哪一点作为简化中心，主矢是不会改变的，换言之，主矢与简化中心的位置无关。
但从式(3 -5)可知，力系中各力对不同的简化中心的矩是不同的，因为随着简化中心位置的变化，各力偶的力臂及转向均可能发生变化，主矩自然将随之发生变化。因此，力系的
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第二节 平面力系的简化
主矩一般与简化中心的位置有关。所以说到主矩时，必须指明简化中心的位置，即指明对哪一点的主矩，符号M’o，中的下标O就是表示简化中心为O。
总之，平面一般力系向作用面内任意一点简化的结果，一般是一个力和一个力偶。这个力的作用线通过简化中心，其大小和方向决定于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢，与简化中心的具体位置无关:这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。即等于原力系对简化中心的主矩，一般随简化中心位置的变化而变化。
2、可能出现的几种情况
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第二节 平面力系的简化
需要说明的是，平面力系向一点简化所得到的主矢和主矩，并不是该力系简化的最终结果。因此，有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的儿种情况作进一步的讨论。
(1)F’R=0,M’o≠0此时原力系只与一个力偶等效，此力偶称为原力系的合力偶。所以，原力系简化的最后结果是一个合力偶，其矩M‘等于原力系各力对简化中心O的主矩∑Mo(Fi),此主矩与简化中心的位置无关。因为根据力偶的性质，力偶矩与矩心的位置无关，也就是说原力系无论是对哪一点进行简化，其最后结果都是一样的。
(2)F’R ≠ 0,M’o=0此时原力系只与一个力等效，此力称为原力系的合力。所以原力系简化的最后结果是一个合力，它
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第二节 平面力系的简化
等于原力系的主矢∑Fi，作用线通过简化中心。如果用FR表示合力，则有
(3)F’R ≠ 0,M’o≠0此时可根据力的平移定理的逆过程，将作用线通过O点一力F’R及矩为M’o的力偶合成为一个作用线通过O’点的力，此力称为原力系的合力如图3-9所示，且有
合力作用线到0点的距离d为
至于合力FR是在主矢F’R的左侧还是右侧，则要根据主矩M’o的正负号来确定。
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第二节 平面力系的简化
从以上讨论(2) ,(3)可知，只要力系向某一点简化所得的主矢F’R不等于零，则无论主矩M’o是否为零，最终均能简化为一个合力FR。
(4)F’R =0,M’o=0此时原力系是一个平衡力系。关于平衡力系，将在下一节进行讨论。
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第二节 平面力系的简化
例3-4 将图3-10(a)所示平面任意力系向O点简化，求其所得的主矢及主矩和力系合力的大小、方向及合力与O点的距离d，并在图上画出合力之作用线。图中方格每格边长为5 mm，F1=5N，F2=25N，F3=25N，F4=20 N，F5=10 N，F6=25N 。
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第二节 平面力系的简化
解：(1)向0点简化:
各力在x轴上的投影为
各力在丁轴上的投影为
主矢与x轴的夹角为α=135o
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第二节 平面力系的简化
主矩
(2)力系的合力力系的合力大小与主矢的大小相等，方向与主矢平行。合力的作用点至O点的距离为
合力作用线位置如图3-10(b)所示。
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第三节 平面力系的平衡和应用
一、平面力系
若力系对物体的作用使物体处于平衡状态，则此力系称为平衡力系。平衡力系中的任意一个力都是其他力的平衡力。
1、平衡条件
在上一节中，我们已经知道，一般情况下平面力系与一个力及一个力偶等效。若与平面力系等效的力和力偶均为零，则原力系一定平衡。因此，平面力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢F’R和对任意一点O的主矩M’o均为零，即
（3-6）
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﹜
第三节 平面力系的平衡和应用
2、平衡方程
(1)一矩式平衡条件式(3-6)也可以用解析式的形式来表示。任选两个相交的坐标轴x和y,由F’R=0得F’Rx=0和F’Ry=0,于是式(3-6)可写成
(3-7)
这组方程为平面力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式是力矩方程。
式(3 -7)表明:平面力系平衡的必要和充分条件是，力系中各力在任意两个相交坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对任
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第三节 平面力系的平衡和应用
意一点之矩的代数和也等于零。
(2)二矩式
(3-8)
其中，A ,B两点连线不能垂直x轴。
(3)三矩式
(3-9)
其中，A,B,C三点不能共线。
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第三节 平面力系的平衡和应用
例3-5 在图3-11(a)所示结构中，横梁AC为刚性杆，A端为铰支，C端通过铰链与一钢索BC固定。已知AC梁上所受的均布荷载集度为q=30kN/m，试求横梁AC所受的约束力。
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第三节 平面力系的平衡和应用
解：(1)取隔离体，画受力图。受力图如图3一11(b)所示 (2)求梁AC的约束力。因FAx, 均作用于A点，则AC关于A点取矩的力矩平衡方程中仅有FBC。一个未知力，即
利用力的投影方程求FAx，FAy
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第三节 平面力系的平衡和应用
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第三节 平面力系的平衡和应用
二、平面力系的几种特殊情况
1、平面汇交力系
如果平面力系中各力的作用线均汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系，根据力系简化结果可知，汇交力系与一个力(力系的合力)等效。由平面力系平衡条件的一般形式，即式(2-4)可知，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是:力系的合力等于零，或力系的主矢等于零。即
(3-10)
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第三节 平面力系的平衡和应用
例3-7 缆绳AC悬挂一吊有重物W的动滑轮B，如图3-13所示。已知重量W及l,h,并忽略摩擦和滑轮的大小。试求(1)平衡重量W所需的力F(2)若L=3m,W=4.8kN，且缆绳的最大许可张力为20kN，求h的最小允许值。
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第三节 平面力系的平衡和应用
解：取滑轮B为研究对象，其受力如图3 -13(b)所示。因不计滑轮的大小，故可认为滑轮所受的力均汇交于一点。根据缆绳的约束性质，滑轮B两侧的张力应相等，其值为F，即
FAB=FBC=F
(1)利用竖向投影平衡方程求F
解得
因为
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第三节 平面力系的平衡和应用
则
(2)求h的最小允许值。将已知条件代入上式
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第三节 平面力系的平衡和应用
2、平面平行力系
如果平面力系中各力的作用线均相互平行，则此力系称为平面平行力系。显然，平面平行力系也是平面一般力系的一种特例，其平衡方程可由平面一般力系的平衡方程推出。假设x轴与各力的作用线相垂直，则各力在x轴上的投影均为零，因此平衡方程式中的∑Fx=0自然成立，从而平面平行力系的平衡方程就写成
(3-11)
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第三节 平面力系的平衡和应用
当然，平面平行力系的平衡方程也可写成二矩式，即
(3-12)
其中A,B两点之间的连线不能与各力的作用线相平行。
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第三节 平面力系的平衡和应用
例3-8 塔式起重机如图3-14所示。设机架重W1=700kN作用线通过塔架的中心，并设最大起重量W=200 kN，最大悬臂长为12m，轨道A,B的距离为4m，平衡块重为W2到塔架中心线的距离为6m,要使起重机在满载(W=200kN)和空载(即W=0)时都不翻倒，试计算平衡抉的重量W2应为多少
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第三节 平面力系的平衡和应用
解：取起重机为研究对象，它所受的力有W,W1, 和轨道的约束力FA和FB，这些力组成了平面平行力系，如图3-14所示。
要保证起重机不翻倒，就要保证起重机在满载时不向荷载W一边翻倒，空载时不向平衡块一边翻倒。现就以上两种情况分析如下:
(1)满载(W=200kN)时，起重机处于平衡的临界状态，即起重机将向右翻而未翻，开始绕支点B转动的状态，此时的受力特点是FA=0，这时由平衡方程求出的W2值是平衡块重的最小值W2min。由
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第三节 平面力系的平衡和应用
(2)空载(W=0)时，此时起重机处于平衡的临界状态，即起重机将向左翻而未翻，开始绕支点A转动的状态，其受力特点是FB=0，这时由平衡方程求出的W2值是平衡块重的最大值Wmax。由
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第三节 平面力系的平衡和应用
上面所求得的W2max和W2min是在满载和空载两种临界平衡状态下求出的。在起重机实际工作时当然不允许处于这种危险状态。因此要保证起重机安全工作，平衡块重W2的大小应在这两者之间，即
75kN上一页
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第四节 物体系统的平衡问题
由若干个物体通过一定的约束方式连接而成的系统，称为物体系统，有时将其简称为物系。求解物体系统平衡问题的基本原则和处理单个物体平衡问题的方法是一致的，但情况要复杂些。
物体系统平衡问题的求解方法介绍如下:
当物体系统处于平衡状态时，组成该系统的每个物体或若干物体组成的局部也处于平衡状态。根据刚化原理可知，求解物体系统的平衡问题时，既可选取系统的整体作为研究对象，也可选取系统的局部或单个物体作为研究对象。
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第四节 物体系统的平衡问题
例3-9 位于铅垂面的活动折梯放在光滑水平面上，梯子由AC和BC两部分用铰链C和绳子EH连接而成，如图3-15(a)所示。今有一人重为W = 600 N，站在AC梯的D处。折梯自重不计。试求A,B两处地面的支持力、绳EH的拉力及铰链C所受的力。
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第四节 物体系统的平衡问题
解：(1)先取整个折梯(包括站在梯上的人)为研究对象，其受力如图3-15(b)所示。两折梯通过铰链C相互作用的力以及绳子作用的力都是内力，彼此等值、反向、共线，对系统的平衡没有影响，故不必考虑。
显然，整体在平面平行力系作用下处于平衡。利用平衡方程则有
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第四节 物体系统的平衡问题
(2)再取BC梯为研究对象，画出其受力图如图3-15(a)所示。作用在BC梯上的力有法向力FB、绳的拉力FEH以及AC梯通过铰链C对它的作用力FCx,FCy。对整个折梯而言， FEH和FCx,FCy属于内力，而对BC梯而言，它们是外力了。可见，内力和外力的区分是相对的，只有对于确定的研究对象来说才有意义。B梯在平面一般力系作用下处于平衡，其平衡方程
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第四节 物体系统的平衡问题
负号表示FCy的实际方向与图3-15(c)所示的相反。
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第四节 物体系统的平衡问题
例3-10 梁AB和BC在B处用圆柱铰链连接。梁上作用有均布荷载、集中荷载和集中力偶。A处为固定端，E处为滚动铰支座，尺寸如图3-16(a)所示。已知均布荷载集度为q，集中荷载F=ql，集中力偶的力偶矩M=ql2，梁的重力不计。试计算A,B和E三处的约束力。
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第四节 物体系统的平衡问题
解:(1)受力分析系统的受力如图3-16( b)所示，其上共有4个未知力(FAx、FAy、 MA和FE)因此，仅考虑整体平衡不能求出全部约束力，但能确定FAx=0。
AB梁和BC梁的受力分别如图3-16(d) ,(c)所示，其上都作用有已知的主动力和所要求的未知力，且力系均为平面力系。根据二者的受力图，可以看出，应先选BC梁为研究对象。因为BC梁上只有3个未知力，都可以由平衡方程求得。然后再通过对AB梁的分析，即可求出A处的约束力。
(2)选BC梁为研究对象BC梁的受力如图3-16(c)所示。
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第四节 物体系统的平衡问题
解得
（其方向与假设方向相反）
(3)再选AB梁为研究对象。AB梁的受力如图3-16(a)所示。由平衡方程
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第四节 物体系统的平衡问题
解得
（与假设方向相反）
（与假设转向相反）
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第四节 物体系统的平衡问题
根据以上分析，求解刚体系统的平衡问题的一般方法和过程如下:
分析系统整体平衡，或系统的某一局部平衡，分析有几个未知力以及独立的平衡方程数;应用平衡方程可以求得哪些未知力;
根据需要，将系统拆开，选择合适的构件为研究对象。所谓合适是指:作用在件上的未知力的个数应等于平衡方程数，构件上既有已知力，又有未知力，如果一个构件尚不能满足这些条件，可再选另一个构件作为与之有关的研究对象，注意应画出每个研究对象的受力图，并应用作用与反作用定律，正确画出相关联构件的受力图。注意区别内力和外力，系统未拆开时，构件与构件之间的相互作用为内力，对系统平衡无影响，故不
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第四节 物体系统的平衡问题
必画出，但拆开后，原来系统的内力对于单个构件就变成外力，因而必须画出;
根据研究对象所作用力系的类型，选择适当的平衡方程求解。
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每章一练
1、设一平面任意力系向某一点简化得到一合力。若另选简化中心，问该力系能否简化为一力偶 为什么
2、设力FR为F1,F2,F3三个力的合力,已知FR=1kN,F3=1kN力F2的作用线垂直于力FR，力F1方位如图3-18所示。求力F1和F2的大小和指向。
3、在刚体上A,B,C三点分别作用三个力，各力的大小相等，方向分别如图3-19所示;图中等边三角形边长为z。求此三力向A点简化的结果。
4、将图3-20所示平面力系向O点简化，并求力系合力的大
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每章一练
小及其至原点D的距离d。已知F1=150N ,F2=200N,F3= 300N , F=F’=200N 。
5、 F1, F2和F3三力分别作用在板上的A,B和C三点，其方向如图3-21所示。已知F1=100N,F2=50N,F3=50N，试求三力的合力。
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图3-1 力在直角坐标系上的投影
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图3-4 力的投影
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图3-6(a) 力的平移
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图3-6(b)(c) 力的平移
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图3-8(a)(b) 力系向一点的简化
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图3-8(c) 力系向一点的简化
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图3-9 力系向某一点的简化
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图3-18 例2题图
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图3-19 例3题图
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图3-20 第4题图
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