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第六章 轴向拉（压）杆应力和强度条件
第一节 轴向拉（压）杆横截面上的应力与应力集中
第二节 轴向拉（压）杆的变形及位移
第三节 土木工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能
第四节 轴向拉（压）杆的强度条件及应用
第一节 轴向拉压杆横截面上的应力与应力集中
一、轴向拉压杆横截面上的应力
轴向拉压的等截面直杆（简称等直杆）轴力在横截面上是均匀分布的，且方向都沿杆轴方向。
用橡胶棒制作一根等截面直杆，并在其表面均匀地画上一些与杆轴平行的纵线和与之垂直的横线（图6-1a）。当在杆上施加轴向拉力后（图6-1b），可以看到所有纵线都伸长了，且伸长量相等；所有横线仍保持与杆轴线垂直，但间距增大了。
我们可以用这个模型解释观察到的等直杆轴向拉伸变形现象：等直杆在轴向拉力作用下，所有纵向纤维都伸长了相同的量；所有横截面仍保持为平面且与杆轴垂直（此即所谓的平截面假设），只不过相对离开了一定的距离。
由此可以认为：轴向受拉杆件横截面上任一点都受到且只受到平行于杆轴方向（即与杆横截面正交方向，称为横截面法向或正向）的拉力作用，各点拉力大小相等。即杆横截面实际上是受到连续均匀分布的正向拉力作用，这些分布拉力的合力就是轴力。
图6-1
轴向拉压杆横截面上的应力
分布内力的大小，用单位截面积上的内力值来度量，称为应力，它反映内力分布的密集程度（分布集度）。由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
如图6-1d所示，设轴向受拉杆横截面上某点K周围的一个微小面积 A上分布内力是 FN ，则 A上的平均应力（即内力的平均分布集度）为 FN / A。图中 FN与截面垂直，因而应力 FN/ A也与截面垂直，这种应力称为法向或正向应力，简称正应力，用希腊字母表示。 A上的正应力用б表示，于是
（6-2）
应力的常用单位有牛顿/米2（N/m2，1N/m2称为1帕斯卡，简称1帕，代号Pa）。
几种单位间的换算关系为：
1千帕（kPa）＝103帕（Pa）
1兆帕（MPa）＝103千帕（kPa）＝106帕（Pa）
1吉帕（GPa）＝103兆帕（MPa）＝106千帕（kPa）＝109帕（Pa）
由于轴向拉压杆横截面上只有均匀分布的拉或压力，故横截面上各点只有正应力且大小相等。设杆件横截面上轴力为，截面积为A，则横截面上任一点的正应力为
（6-3）
轴力为拉力时，正应力为拉应力，σ取正号；为压力时，正应力为压应力，σ取负号。即正应力取正号时为拉应力，取负号时为压应力。式（6-3）就是轴力对应的截面应力计算公式。其适用条件是杆件横截面不变或变化缓慢，外力沿杆轴线。
图6-1d
例6-1 计算图6-2所示轴向受力杆横截面上的应力，已知AD段横截面为圆形，直径d=30mm。DE段横截面为方形，边长a=30mm。
解： 作出杆的轴力图如图6-2b所示。由图知，AB、BC段均受拉，CE段受压。但值得注意的是：CE段轴力虽然是常数，但CD段与DE段横截面形状和面积都不一样，故应将CE段分成CD与DE两段分别计算。
AB段 轴力为常数kN，横截面面积亦为常数：
故由式（6-3）知，各横截面上正应力相同，记为σAB：
BC段 同理，轴力为FN2=70kN，横截面积为A1=706.86mm2 ，故
CD段 轴力为FN3=-80kN，横截面积为A1=706.86mm2，故，
DE段 轴力为FN3=-80kN 横截面积为A2=a2=900mm2，故
最大拉应力位于AB段，
最大压应力位于CD段，
全杆绝对最大正应力是AB段的拉应力
全杆绝对最小正应力是DE段的压应力
图6-2
二、应力集中
等直杆不论是受轴向拉力还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的正应力。当然前者是拉应力，后者是压应力。但是，若等直杆横截面有局部削弱（如开槽，钻孔等），即使外力仍沿杆轴线作用，被削弱横截面上的正应力也不再均匀分布，如图6-3所示。
实测表明，在被削弱横截面上，靠近“削弱”位置的正应力出现了局部急剧增大的现象。这种因杆件横截面尺寸突然变化而引起杆件局部应力急剧增大的现象，叫做应力集中。
杆件应力集中部位的纵向纤维拉或压变形程度要比没有应力集中处更大，更易破坏，因而更危险。日常生活中，零售布料的工作人员先用剪刀在布匹上剪一小口再撕布，就很易把布撕开，就是利用了应力集中的现象。
标准轴向拉伸钢试件两端的夹持段比中部的工作段要粗，因此常将这一粗一细两段的连接部位加工成平缓过渡形状，以避免出现应力集中。
杆件上应力集中部位附近一定范围内的杆件横截面上正应力呈非均匀分布。按理，这些部位横截面上正应力的计算不能用式（6-3），而需要更高级的力学理论来分析计算。因此，我们在计算时都应避开这些部位。不过，建筑力学并不需要精确分析计算这些部位，所以也就常常不仔细区分。
在离应力集中部位稍远的地方，则可认为杆件横截面上正应力又趋于均匀分布，因而可用式（6-3）计算。
图6-3
第二节 轴向拉压杆的变形及位移
一、轴向拉压杆的变形
1．轴向拉压杆变形的度量
轴向拉压杆的变形主要是纵向伸长或缩短。由实验不难发现，在杆件纵向伸长或缩短的同时也伴随着横截面尺寸的缩小或增大，如图6-4所示。
设杆件原长为l，变形后的长度为 l1，则杆件的纵向变形为
l= l1 -l
l为正时，表示拉伸量；为负时，表示压缩量。 l的常用单位毫米（mm）。
l表示了杆件纵向的总变形量，但不能反映杆件的纵向变形程度。通常，对于长为l的杆段，若纵向变形为 l，则平均单位长度的纵向变形为
（6-4）
称之为杆段的平均线应变，用来描述杆件的纵向变形程度。
当l→0时，杆段成为一点，所取极限值，称为该点的线应变，用ε表示。即有
（6-5）
对于轴力为常数的等直杆段，各横截面处纵向变形程度相同，则平均线应变与各点的线应变相同。
显然，杆件纵向线应变的正负与纵向变形 l的正负是一致的，因此ε为正时表示拉应变，为负时表示压应变。线应变ε是无量纲数，因此无单位，常用小数、百分数或千分数来表示。
图6-4
杆件横向线应变
同理，若杆件横截面原尺寸为h，变形后尺寸为h1，则杆件横向变形为
h=h1-h
h为正时，表示杆件受压；为负时，表示杆件受拉。
杆件横向线应变为
显然，杆件受拉时ε′为负，受压时ε′为正，即横向线应变与纵向线应变恒异号。
2．弹性变形与塑性变形概念
如前所述，杆件材料在外力作用下都要产生变形。如果材料在外力作用下所产生的变形能随着外力的消失而消失，即能恢复原状，则这种变形称为完全弹性变形，简称弹性变形。
如果所产生的变形不会随外力的消失而消失，即无法恢复原状而残留下来，则这种变形称为塑性变形。
通常，只要外力（或应力）不超过一定限度，材料的变形可保持为完全弹性，称之为材料处于弹性状态。但若外力（或应力）超过了这个限度，材料的变形中就既包含弹性变形又包含塑性变形。
二、胡克定律
实验表明，当等直杆段内轴力为常数时，只要杆件材料处于弹性状态（通常用正应力不超过某一限值σP来表示），则其伸缩变形量 与轴力FN成正比，与杆段原长l成正比，与杆件横截面积A成反比：
引入比例系数E，则上述关系可写为
（6-6）
这个规律最早由英国人胡克（R.Hooke）发现，故称为胡克定律。
保证这种比例关系成立的正应力上限值σP称为材料的比例极限，其值由试验测定，主要由材料性质决定，因此是材料的一种力学性质参量。于是，胡克定律的适用条件可写为σ≤σP 。
比例系数E也是杆件材料的一种力学性质参量，称为材料的弹性模量。由式（6-6）知，弹性模量E有量纲，其单位应与应力相同，常用单位有兆帕（MPa）、吉帕（GPa）。通过试验测得常用材料的σP和E值见表6-1。
由式（6-6）知，轴力及原长相同的杆件，EA值越大，伸缩值越小；反之，越小，伸缩值越大。EA值反映了杆件抵抗轴向拉压变形的能力，称为杆件的截面抗拉压刚度。
从式（6-6）可以看出，当为正（即拉力）时，亦为正，表明是拉伸变形；反之，当为负（即压力）时，亦为负，表明是压缩变形。在应用式（6-6）时，也常取FN的绝对值计算，而在结果后面标明是拉伸还是压缩。
例6-2 试计算“例6-1”中杆件的伸缩量。已知材料的弹性模量E=200GPa，AB=BC=2m，CD=DE=1m。
解： AD段虽然是直径为30mm的圆形等直杆，但轴力却不是常数。故从轴力看应分成AB、BC和CE分别计算变形值。但CE段轴力虽然是常数，却不是等截面直杆。其中CD段是圆形截面杆，DE段是方形截面杆，也应会别计算其变形值。所以，全杆应分四段计算。
AB段 轴力为FN1=100kN＝105N，长度为lAB=2m＝2×103mm。在例6-1中已算得A1＝706.86mm2，已知弹性模量E=200GPa＝2×105N/mm2，故：
BC段 轴力为FN2＝70×103N，长度为lBC ＝2m=2×103mm，横截面积A2 =A1＝706.86mm2，弹性模量仍为E=200GPa ＝2×105N/mm2，故
CD段 轴力为FN3＝－80×103N，长度为lCD =1m＝103mm，横截面积A2 =A1＝706.86mm2 ，弹性模量仍为E=200GPa ＝2×105N/mm2，故：
DE段 轴力仍为FN4 ＝－80×103N ，长度lDE =1m= 103mm ，横截面积为A4 = A2 =900mm2，弹性模量仍为E=200GPa ＝2×105N/mm2，故:
全杆的纵向变形为：
=1.4＋1.0－0.6－0.4
=1.4mm（伸长）
结果为正，表明全杆总长增加了1.4mm。
在式（6-6）中，因为 ， ，于是可得
（6-7）
这是胡克定律的应力－应变形式。它表明：只要正应力不超过材料的比例极限σP，则杆件内任一点处的正应力与材料沿正应力方向的线应变成正比，其比例系数就是材料的弹性模量。胡克定律的这种形式是针对构件内一点而言，不针对杆段，故具有更普遍的适用价值，被广泛应用于各种条件下受力构件内一点处的应力—应变分析中。
利用式（6-7），例6-2的解法可变更如下：先计算出各段应变
再计算全杆变形
计算结果与例6-2完全相同。
例6-3 一柱高为H，横截面积为定值A，柱子材料的重力密度为γ，求柱子在重力作用下的纵向变形。
解： 柱子横截面为定值，故其单位长度的重力相等，都为γA，即重力沿柱子轴线均匀分布。在距柱顶为x的横截面上，轴力为γAx ，是x的一次函数，即：
FN（x）＝γAx
说明柱子横截面上轴力沿杆轴线是非均匀分布的，越往下轴力越大，呈线性增加。故不能用式（6-6）来计算全柱的变形值。
在x的横截面处取一微段dx分析。由于其长度很微小，可认为在此微段上轴力不变，恒为FN（x）。故可用式（6-6）计算该微段的纵向变形Δ(dx)。由于变形微小，数学上要用微分d（dx）代替Δ（dx），即
全柱的纵向变形ΔH为在全柱上的定积分，即
其中，负号表示变形值为缩短量。
图6-5
三、泊松比
试验还表明，只要轴向拉压杆横截面正应力不超过杆件材料的比例极限σP，则横向线应变ε′与纵向线应变ε之比的绝对值为一不变的常数，用μ表示则
(6-8)
μ称为泊松比。泊松比也反映材料的一种力学性质，是无量纲数。
第三节 土木工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能
材料的力学性能，又叫材料的力学性质或机械性能，是指材料受外力作用时所表现出的变形、破坏等方面的物理特性，通常用一系列数据表示。
例如弹性模量E、比例极限σP及泊松比μ等都是材料的力学性能。材料的力学性能是把材料做成一定形状的试样（有时也叫试件、试块等）通过试验来测定出的。
为了使不同试验人员测试出来的同种材料的同一力学性能数据具有可比性，国家或相关部门制订了相应的试验标准，对试样、试验条件和试验方法做出了规定。
一、Ｑ235钢结构拉伸时的力学性能
按照结构钢材拉伸试验标准，试样的横截面可制成圆形或矩形两种，如图6-6所示。试样中间有一较长的等直段，称为工作段。
两端部有一个短段横截面较粗，表面还进行了糙化，是用于试验机夹持的，称为夹持段。
工作段与夹持段之间平缓连接，以避免应力集中，称为过渡段。根据工作段长度与其横截面尺度的比值，可把钢材拉伸标准试样分为长试样和短试样。
设圆截面试样的工作段长度为l，直径为d，则l=10d 的试样为长试样，l=5d的为短试样。设矩形截面的工作段长度为l，横截面面积为A，则l=11.3√A的试样为长试样，l=5.65 √A的为短试样。
把制备好的试样两端装夹在万能材料试验机的上下夹头里，开动机器缓慢而均匀地加载，使试样产生轴向拉伸变形，直到拉断为止。
图6-6
应力—应变图
试验机上的自动记录设备会在以试样伸长量 为横坐标、以所施加的轴向拉力F为纵坐标的直角坐标纸中自动记录下试样从受力开始到拉断为止全过程的F- 关系曲线，如图6-7a，称为试样的拉伸图。
F- 曲线所记录的数据与试样的尺寸大小有关。为了反映材料本身的力学性能，应消除尺寸因素。为此，将横坐标上各点的 l值除以l，得到试样在相应时刻的纵向线应变值。
同时，把相应的拉力Ｆ值除以试样原始横截面积Ａ，得到相应时刻试样横截面上的名义正应力值σ。
如此可绘出拉伸过程材料的σ-ε曲线，如图6-7b，称为试样材料的拉伸应力—应变图。装配了电脑的试验机可直接自动绘出σ- ε曲线。
图6-7
弹性阶段
从Ｑ235钢试样的拉伸图和应力—应变图可以看出，Ｑ235钢材从受力到拉断的变形过程可以划分为四个阶段：
1．弹性阶段（O-a-b） 在拉伸的最初阶段（O－a），拉力Ｆ与伸长量△l成正比，应力σ与ε应变成正比，其关系线Oa为一斜直线。即：
△l∝Ｆ σ∝ ε遵从胡克定律。显然，σ与ε的比例系数（就是Oa线的斜率），即为材料的弹性模量Ｅ：
Ｅ＝tan α
点a所对应的应力，是应力与应变成正比例关系的最高应力，它就是前面所说的材料比例极限σP。
当应力超过比例极限σP后，应力与应变不再是直线关系。但在图示b点以下，变形仍保持完全弹性，即解除拉力或说释放应力后，变形将完全消失。
b点所对应的应力，是材料保持完全弹性的最高应力，称为材料的弹性极限，用σe表示。
由于σPσe，所以工程上并不严格区分它们，都笼统地称之为弹性极限。
图6-7
２．屈服阶段（b－c）
当应力超过b点后，试样应变增加明显加快。应力增加到某一数值后会突然下降，然后在一很小范围内波动，也可认为基本不变，而应变却迅速增加，出现了水平方向的微小锯齿形曲线。这种应力基本上保持不变而应变显著增加的现象，称为材料屈服，故这一阶段称为屈服阶段（又叫流幅）。
屈服阶段的最高应力和最低应力（不包括首次下降时的最低应力，因为它受初始效应的影响）分别称为材料的屈服高限和屈服低限。屈服高限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。
屈服低限则比较稳定，能够反映材料的基本特性。因此，通常将屈服低限称为材料的屈服极限，用σs表示。
经表面抛光处理的试样，在屈服阶段其表面上会出现一组较为明显的与试样轴线大致成45°的斜纹，如图6-8所示。
这是由于试样在轴向拉伸时，在与杆轴成45°倾角的斜截面方向产生了较大切应力，从而使钢材内部原子晶格沿该斜截面产生剪切位移，使试样形成一组剪切滑移面。正因为此，这些斜纹又称为滑移线。
图6-8
３．强化阶段（c-e）
试样经过屈服阶段后，钢材内部原子晶格因剪切变形而重新排列，又具有了较强的抵抗剪切变形能力。这时，要使它继续伸长，必须施加拉力，直到曲线的顶点。
这一阶段称为强化阶段。该阶段最高点的应力，是材料从受力开始到拉断为止全过程中所承受的最大应力，反映了材料抵抗破坏的能力，称为材料的强度极限，用σb表示。
在强化阶段，试样的变形主要是塑性变形且比前两阶段的变形大得多，还可以明显看到试样的横截面尺寸在缩小。
图6-7
颈缩阶段
4．局部变形阶段（d-e） 试样应力达到强度极限后，工作段的某一局部范围内横截面会出现显著的收缩，形成“细颈”。
这一现象称为颈缩现象（如图6-8b所示）。
此过程中，拉力F或应力σ之值逐渐下降，变形△l或应变ε却不断增大。
最后，试样在细颈部位被拉断，这说明Ｑ235钢抗拉强度比抗剪强度高（因试样没沿斜截面剪坏）。
这一阶段称为局部变形阶段，又叫颈缩阶段。
图6-8
二、材料的塑性指标、卸载定律及钢材的冷加工特性
1．材料塑性指标
材料拉伸试样被拉断后，可以让其断口密合对接起来测量出此时工作段的长度l1。l1肯定比原长l要大。这是因为试样拉断后，弹性变形虽然消失了，但塑性变形却残留了下来。材料拉伸试样拉断后工作段的残余变形占原长的百分比，称为试样的伸长率，用δ表示。即
（6-9）
由于的大小既与原长大小有关，也与其横向尺寸大小有关，故伸长率δ也与试样原长l及其横向尺寸有关。如Ｑ235结构钢长试样的伸长率为δ10=20~30℅，短试样的伸长率却为δ5=25~35℅。一般，不加说明时，伸长率都指长试样的伸长率。
材料拉伸试样拉断后，断口的横截面积肯定比原横截面积Ａ小，因为横截面收缩了。材料拉伸试样拉断后断口横截面积的收缩值占原横截面积的百分比，称为试样的截面收缩率，用Ψ表示，即
（6-10）
Ｑ235结构钢试样的截面收缩率Ψ=60~70℅。
伸长率δ与截面收缩率Ψ都是材料塑性大小的表征，称为材料的塑性指标。工程上，常按材料的伸长率把材料划分为两类：塑性材料（δ≥5%的材料）和脆性材料（δ＜5%的材料）。Ｑ235钢、低合金钢和铝等都是塑性材料，铸铁、砖石和混凝土等都是脆性材料。
在Ｑ235钢的拉伸试验中，如果在某一点（图6-9k1或k2点）停止拉伸，并缓慢释放应力或说解除拉力，则应变将随之慢慢减小并在全过程与应力保持线性关系，且下降斜线（k1k′1和k2Ｏ′）平行于，即斜率为弹性模量E。
在卸载过程中应力―应变呈正比且比例系数等于材料弹性模量的规律称为卸载定律。
完全卸载后，应力已释放完，应变中弹性部分（如Ｏ′k′2）消失了，塑性部分（如ＯＯ′）则残留下来。
2．卸载定律
3．Ｑ235钢材的冷加工特性
在Ｑ235钢材拉伸试验时，如果拉到强化阶段的某一时刻（如图6-9中k2）停止加载然后卸载至零（如图中k2→Ｏ′实线所示），然后立即再加荷载，则应力―应变线将沿卸载线上升回到卸载点（如图中Ｏ′→k2虚线所示）。
若不停顿继续加载，则以后部分的应力―应变曲线与不卸载的一次性试验曲线完全吻合（如图中k2→d→e虚线所示），直至拉断。
第一次拉伸的卸载点（k2）成为第二次拉伸的“屈服”点，同时也是新的比例极限点，二者已经重合。
第二次拉伸的残余变形（Ｏ′e′）比一次性试验的残余变形（Ｏe′）小，说明第二次拉伸时，钢材的比例极限、“屈服”极限都提高了，而塑性却降低了。
这种现象叫变形硬化，它是“强化阶段”命名的由来。变形硬化经退火处理可消除之。
如里拉到强化阶的某一时刻卸载至零后不立即再拉，而是放置一段时间后再拉，则其比例极限、“屈服”极限还会进一步提高（如图中Ｏ′→k2→f→g→h实线所示），塑性则进一步降低。这种现象叫时效硬化（自然时效）。
时效硬化与卸载后放置进间长短有关，也可通过加热来加速时效缩短时间（人工时效）。
图6-9
三、Ｑ235钢压缩时的力学性能
按照钢材压缩试验标准，钢材压缩试验的标准试样应制成短圆柱形。试样直径d一般取10mm，长度一般取（2.5~3.5）d即25~35mm。
Ｑ235钢压缩时的σ－ε曲线如图6-10中实线所示（图中虚线为同种钢材拉伸时的σ－ε曲线）。
变形过程可以分成三个阶段：弹性阶段（O-a-b，其中a点应力为比例极限σp，b点应力为弹性极限σe）、屈服阶段（b-c，其首次下降之后的最低应力为屈服极限σy）和强化阶段（c-d）。进入强化阶段后，试样被压得越来越扁，横截面面积越来越大，抗压能力也不断提高。加之计算应力时仍采用原来横截面面积，因而曲线呈向上无限延伸趋势。
这说明Ｑ235钢压缩时不存在强度极限。Ｑ235钢压缩时不存在颈缩现象，因此比拉伸时少了一个颈缩阶段。
Ｑ235钢压缩时的σ－ε曲线与拉伸时的σ－ε曲线在弹性阶段和屈服阶段吻合，说明Ｑ235钢压缩时的弹性模量E、比例极限σp（或弹性极限σe）及屈服极限σy等都与拉伸时相同。
σp＝σp， σe＝σe σy＝σy
因此，对Ｑ235钢，无需做压缩试验，也能从拉伸试验结果了解到它在压缩时的力学性能。
同理，Ｑ235钢的设计抗压强度也由受压屈服极限σy确定。显然，在相同可靠度时，Ｑ235钢的设计抗压强度＝设计抗拉强度。
图6-10
四、铸铁在拉伸、压缩时的力学性能
铸铁拉伸、压缩试验的标准试样分别与Ｑ235钢拉伸、压缩试验的标准试样相同。灰口铸铁拉伸、压缩时的σ－ε曲线分别如图6-11a、b所示。
从图6-11中可以看出，灰口铸铁拉伸、压缩时的σ－ε曲线都没有明显的直线部分，也不能划分出变形阶段。不过，在应力较小的情况下，可近似地用切线或某一割线来代替曲线，从而使应力-应变关系符合胡克定律。当弹性模量取切线的斜率E＝tanα时，称为切线弹性模量。当弹性模量取割线的斜率E＝tanα时，称为割线弹性模量。
从图6-11a知，铸铁受拉试样直到拉断时应力都很小，伸长率也很小（δ≈0.45％）。因此，铸铁是脆性材料的代表。试验还表明，铸铁受拉直到拉断为止，其变形都基本上属弹性变形，残余变形很小。
从图6-11b知，铸铁受压破坏时的应力和变形都比受拉破坏时的大得多，受压强度极限（640~1300MPa）比受拉强度极限（98~390MPa）高达4~5倍，压缩极限变形（伸长率约5％）比拉伸极限变形高达10倍以上。因此，铸铁适宜作受压构件。试验还表明，铸铁受压破坏时沿与试样轴线成45°~55°角的斜截面发生错断剪切破坏，这说明铸铁抗剪能力比抗压能力低。
灰口铸铁这类脆性材料的拉伸、压缩破坏都是突然性的，事先没有预兆，这种破坏称为脆性破坏。其破坏的标志就是断裂，因此其设计抗拉、抗压强度值由强度极限值来确定。工程上应尽量避免结构发生脆性破坏，以减少生命与财产损失。
图6-11
五、其它材料在拉伸、压缩时的力学性能
1．几种其它常用塑性金属材料在拉伸时的力学性能
我们来讨论几种常用塑性金属材料在拉伸时的力学性能。其试验所得σ－ε曲线如图6-12a、b所示。从图中可以看出，低合金钢在拉伸时的力学性能与钢的成分关系密切。
例如，Q345钢在拉伸时四个变形阶段很明显，且屈服极限、强度极限都比Ｑ235钢高得多，只是屈服阶段稍短、伸长率略低。
而Mn钢则只有弹性阶段和强化阶段，没有屈服阶段与局部变形阶段。铝合金和退火球墨铸铁没有屈服阶段，其它三个阶段却很明显。
对于没有屈服阶段的塑性材料，通常取拉伸试验卸载后残余应变为0.2％时的拉应力作为名义屈服极限，用σ0.2表示，即取σs=σ0.2，如图6-12c所示。机械工程中还使用一种叫规定非比例伸长应力的强度指标。
它是指试样工作段的非比例伸长达到原始工作段长度的某一规定的百分比时的应力。
这里所谓非比例伸长是指外力与伸长不呈比例关系的伸长（参见GB228—87《金属拉伸试验方法》）。
图6-12
图6-13
2．混凝土在拉伸、压缩时的力学性能
混凝土是由水泥、石子和砂加水搅拌均匀后经水化作用凝结硬化而成的人工混合建筑材料。由于石子粒径比试样尺寸小得多，故可近似地看作匀质、各向同性的材料。
混凝土受压试验的标准试样有立方体试块（150×150×150mm）和棱柱体试块（150×150×300mm）两种，其相应σ－ε曲线分别如图6-13a、b，测得的极限压应力分别叫做立方体抗压强度和轴心抗压强度。混凝土的强度等级就是按立方体强度来确定的。
混凝土受拉试验的标准试样为100×100×500mm的棱柱体，其σ－ε曲线如图6-13c，测得的极限拉应力叫做轴心抗拉强度。
从混凝土在拉伸、压缩时的σ－ε曲线可以看出，在应力较小时（σ＝30~50%σb），可以认为σ与ε的关系接近斜直线。但应力较大时，σ－ε曲线的弯曲就明显了。混凝土受压弹性模量取棱柱体受压时σ－ε曲线（图6-13b）的原点切线斜率，Ec＝tanα0，受拉弹性模量取Et＝Ec/2。严格说来，混凝土从一开始受力就有塑性变形，并没有真正的“完全弹性”阶段。也就是说，真实混凝土不能作为弹性材料来对待。
比较图6-13b与c可以看出，混凝土的抗压强度比抗拉强度高得多。通常，混凝土抗压强度约为抗拉强度的5~20倍。
3．砌体在受压时的力学性能
砌体是块材（砖、石或砌块）用砂浆粘结起来形成的一种人工建筑材料。标准砖（240×115×53mm）砌体的标准受压试样为240×370×720mm的长方体（如图6-14a），其
σ－ε曲线如图6-14b。从图中看出，在应力较小时σ－ε关系接近直线，随着应力的增大，应变增加变快，曲线弯曲明显并逐渐平坦。
试样破坏时的应力就是强度极限，极限应变约为0.4％，是脆性材料。
试验还表明，砌体的抗压强度比抗拉强度、抗剪强度都高，最宜于作受压构件。
图6-14
4．木材在拉伸、压缩时的力学性能
木材是一种天然建筑材料。直观上，它由纵向纤维粘聚而成，有明显的纤维纹路。木材的力学性能与所施加的应力同木纹之间的夹角有很大关系。这说明木材是一种力学性能具有方向性的材料，这样的材料叫做各向异性材料。图6-14c是松木拉伸、压缩时的σ－ε曲线。
从图中可以看出，松木顺纹抗拉强度比顺纹抗压强度高得多，横纹抗压强度则较低。横纹压缩时，其初始阶段σ－ε关系基本上呈线性关系，当应力超过比例极限后，曲线迅速变得平坦，试样产生很大的塑性变形。
因此，工程上通常以其比例极限作为横纹抗压强度指标。试验还表明，木材横纹抗拉强度非常低，工程中应避免木构件横纹受拉。
值得指出的是，尽管木材顺纹抗拉强度很高，但因受木节等缺陷影响，其强度值波动较大。顺纹抗压强度虽低一些，但受木节等缺陷影响较小。因此，木材尤其宜作顺纹受压构件。正因为此，工程上多用木材作柱、斜撑等承压构件。
图6-14
表6-1 常用材料的力学性能指标约值
六、材料的抗拉压强度
所谓材料强度，就是材料抵抗破坏的能力，通常用材料能承受的最大应力来表示，又称为材料的许用应力或容许应力。如前所述，塑性材料的“破坏”是指屈服，脆性材料的“破坏”是指断裂。值得强调的是，塑性材料的屈服尽管不是真正意义上的破坏，但会导致构件过大变形而使结构不能继续承受荷载（这在工程上称为结构失效），所以也被看作是“破坏”。
用安全系数法确定材料的抗拉（压）强度值时，就是将材料的拉（压）破坏应力σu（即塑性材料的屈服极限σy或脆性材料的强度极限σb）除以一个大于1的系数n而得，用[σ]表示，即
[σ]＝σu／n
由于n大于1，所以除以n就意味着把材料能承受的最大应力值确定得比材料破坏时的应力低。这就是给材料预留一定的强度储备量，以确保使用时的安全度。所以n称为材料强度的安全系数。各种结构的安全系数由国家规范或相关部门的规程确定。
常用材料的许用应力约值见表6－2。
表6-2 力学中常用材料的许用应力约值
第四节 轴向拉压杆的强度条件及应用
一、轴向拉压杆的强度条件
杆件的强度条件就是保证杆件具有足够安全可靠度的条件。要保证轴向拉（压）杆具有足够安全可靠度，全杆的最大工作应力σmax（即由荷载引起的杆件横截面最大正应力）不应超过杆件材料的抗拉（压）强度[σ]，即
σmax≤[σ] （6-11）
这就是轴向拉压杆的强度条件表达式，实际上是一个应力不等式。
对于轴向拉压等直杆，如果全杆最大轴力为FNmax，则全杆的最大工作应力为σmax＝ FNmax／A，故其强度条件可写为
σmax＝FNmax／A≤[σ] （6-12）
计算时，轴力和应力都用绝对值，拉或压由直观确定。
二、轴向拉压杆强度条件的应用
轴向拉压杆的强度条件同以后将学习的其它强度条件一样，都有三类用途：
（1）强度校核 即验算杆件是否满足强度条件。此时已知杆件的材料（从而知材料强度值[σ]）、横截面形状与尺寸（从而知横截面面积A）和荷载（从而知轴力FN），验算不等式（6-11）或（6-12）是否成立。
（2）杆件截面设计 即确定杆件横截面尺寸。此时已知杆件的材料（从而知材料强度值[σ]）、荷载（从而知轴力FN）并选定了杆件横截面形状，确定横截面尺寸。对等直杆，由式（6-12）可得
A≥FNmax／[σ]
上式右端FNmax／[σ]其实就是所需的横截面最小面积Amin，即
Amin= FNmax／[σ]
已知了杆件横截面形状，即根据计算出的Amin值可反算出横截面最小尺寸，方形截面杆的最小边长amin＝ ，圆形截面杆的最小直径dmin＝ 。最后结合实际工程要求即可确定杆件横截面设计尺寸。
（3）许可荷载计算 即确定结构能承受的荷载值。此时已知杆件的材料（从而知材料强度值[σ]）、横截面形状与尺寸（从而知横截面面积A），可求出杆件能承受的轴力上限值，称为杆件的容许轴力，用[FN]表示。对等直杆，由式（6－12）可得
FNmax≤[σ]A
[σ]A就是其能承受的轴力上限值，用[FN]表示，即
[FN]=[σ]A
然后根据杆件轴力与结构荷载的关系，即可求出结构的许可荷载[F]之值。
例6－4 某正方形截面砖柱，横截面边长为490mm，柱高H＝1m，柱顶承受轴向压力F＝145kN（如图6-15a）。已知砖砌体容重γ＝18 kN／m3，其抗压强度[σc]＝1MPa。试验算该柱的强度。
解： 由于考虑自重作用，砖柱轴力不是均匀分布，而是上小下大。
FNA＝–145kN，
FNB＝–（F＋γAH）＝–（145＋18×0.492×1）＝–149.3kN。
作出柱的轴力图如图6-15b。
显然，柱的绝对最大压力位于柱底：FNmax＝149.3kN。柱为等直杆，故绝对最大压应力也在柱底，为
σmax＝FNmax／A＝149.3×103／（490×490）＝0.622N／mm2＜[σ]
该柱强度满足要求。
图6-15
例6－5 图6-16a为简易走道的结构示意图。若拉杆BC（1）用圆木，木材的容许应力为[σ]＝11MPa，试确定圆木的直径；（2）用角钢，钢材的容许应力为[σ]＝215MPa，试选择角钢型号。
图6-16
解： （1）求BC杆的轴力 从图中可知，BC杆是二力杆。因此，可拆开铰A，切断杆BC，取AB分析，受力图如图6-16b。
由AB平衡得：ΣMA＝0
－FNBC sin30°×2+12×1＝0
解得FNBC＝12kN。
（2）若拉杆BC用圆木杆，求所需直径
因FNBC＝12kN，[σ]＝11MPa，故由式（6－12）得
Amin＝FNBC／[σ]＝12×103／11＝1090.91mm2
于是，最小直径为
dmin＝37.3mm
考虑到加工实际和建筑模数要求，取设计直径d＝40mm。
（3）若拉杆BC用角钢，选择角钢型号
同理，将FNBC＝12kN，[σ]＝215MPa代入式（6－12）得
Amin＝FNBC／[σ]＝12×103／215＝55.81mm2
查附录《型钢表》中“热轨等边角钢”知，可选∟50×6，因A选＝56.88mm2＞Amin＝55.81mm2且两者相差（56.88-55.81）/55.81=1.9%＜5%，说明经济合理不浪费。所选面积也可比计算出来的最小面积Amin略小，只要相差不超过5%，工程上也认为满足强度要求。
例6－6 试计算图6-17所示结构能承受的许可荷载[F]。已知AB杆为Ф6的圆钢，其材料强度[σ1]=215MPa。AC杆为木杆，横截面面积为288.7mm2，其材料强度[σ2]=12MPa。
解： （1）求各杆的容许轴力
AB杆：横截面积A1＝πd2／4=28.3mm2，故容许轴力 [FNAB]＝[σ1]A1 ＝215×28.3＝6084.5N
AC杆：横截面积A2＝288.7mm2，故容许轴力[FNAC]＝ [σ2]A2＝12×288.7＝3464.4N
（2）求轴力与荷载的关系式
AB、AC杆都是链杆，故可切断AB、AC杆，取铰A分析，画出受力图如图6-17b。注意，未知轴力都设为拉力荷载作为已知量。由平衡得：
ΣFx＝0 FNAB cos300＋FNAC＝0
ΣFy＝0 FNAB sin300－F＝0
解得：FNAB＝2F， FNAC＝－√ 3F（负号表示受压，在强度计算时取绝对值计算即可）
（3）求结构的许可荷载
因两杆的轴力都为常数，由FNmax ≤[FN]得
FNAB＝2F≤[FNAB]＝6084.5 ①
FNAC＝F≤[FNAC]＝3464.4 ②
解方程①得：F≤3042.25N。解方程②得：F≤2000.17N。结构的许可荷载参照二者中较小者取，即
[F]＝2000N＝2kN
图6-17

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