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第十八章 位移法
第一节 概 述
第二节 位移法的基本未知量及基本结构
第三节 转角位移方程、形常数和载常数
第四节 位移法基本原理和典型方程
第五节 用位移法计算超静定梁、刚架及排架
第六节 直接利用平衡条件建立位移法基本方程
第十八章 位移法
位移法亦是计算超静定结构的基本方法。它与力法不同在于，力法的基本未知量是多余未知力，而位移法的基本未知量是结点位移；力法的基本方程是变形的连续条件，而位移法的基本方程是平衡条件。
本章重点研究的内容是：
1、位移法的基本概念。
2、基本未知量与基本结构的确定。
3、位移法的基本方程及其应用等。
第一节 概 述
几何不变结构体系在荷载作用下，外力荷载与内力、内力与位移之间都是保持着一定的线性关系的，也就是说确定的荷载必然产生对应的确定内力和位移。
上章介绍的力法是以多余未知力为基本未知量，通过变形协调条件求出多余未知力、内力，继而可求出位移；
本章将介绍的位移法则以位移为基本未知量，通过平衡条件求出位移、内力分布。
一些结构适合用力法计算，但有些高次超静定结构使用位移法计算基本未知量个数就较少，可以减轻工作量。
而且位移法移法的过程较为规格，它不像力法中由于基本结构选取灵活多变，使求解途径五花八门，因而位移法计算流程容易编写为计算机程序，所以在土建工程结构分析的程序设计中位移法原理得到广泛应用。
位移法的基本概念
以图18-1a所示的刚架为例来说明位移法的基本概念。
设忽略各杆件微小的轴向变形，变形前后AB、BC杆长度不发生变化，因此结点B不发生线位移，只发生转角φB ，如图18-1b所示，位移法就是以这样的位移作为基本未知量。要计算该转角可以作以下考虑：
第一步，假想在结点B施加一个附加约束，限制其转动，则原结构被折分为两个单跨超静梁，AB梁没有荷载，只有BC梁受均布荷载，则不难用力法计算出附加约束支座反力偶，记为（图18-1c）。
第二步，为使变形情况与实际情况一致，强制性使附加约束夹住梁端转动φB角，则AB梁、BC梁附加约束支座支力偶同样可用力法计算（图18-1d），记为
第三步，将两单跨超静定梁组合起来，则因受力应与原结构一致。而实际原结构B点无附加约束，自然也无约束力矩。故可推知：在附加约束中由荷载及角位移φB所引起的约束力偶矩应自相平衡，即
即
把φB代入上面各杆端弯矩表达式，计算出杆端弯矩，可绘出M图如图18-1e所示。
图18-1
第二节 位移法的基本未知量及基本结构
一、位移法的基本未知量个数的确定
位移法的基本未知量是独立的结点角位移和线位移，所以位移法基本未知量的个数就是独立的结点角位移的个数与结点线位移个数之和。
1、结点角位移个数
设图18-2a所示刚架受载后虚线为其变形曲线，由于在同一刚结点处相交汇的各杆端转角相等，因此对每一个刚结点只有一个个独立的角位移未知量。至于固定端支座处转角为零，铰结点或铰支座处角位移不独立，可不做为基本未知量。于是刚结点的数目就是结点角位移的个数。该图18-2a中的结构独立结点角位移个数是2，本教材中记为Z1、Z2。
2、结点线位移个数
确定独立的结点线位移个数时，常常作些假设：略去微小的杆件轴向变形；弯曲变形亦很微小，可以认为受弯杆件变形后曲线弧长与变形前直线长度相等。于是在图18-2a中，立柱顶点1、2、3点均无竖向位移，只产生水平线位移。再考虑到上面两根横梁亦保持其长度不变，故该三点的水平线位移相同。因此只有一个独立结点线位移，记为Z3。
归总起来，图18-2a所示的结构按位移法计算时，独立的基本未知量个数为3。
图18-2
二、位移法的基本结构
用位移法计算超静梁时，附加上一些约束，把所有杆件都分割成单跨超静定梁，以方便地应用力法所得到的一些结论。这些附加约束有二类：附加刚臂，用符号“▼”表示，它能阻止刚结点转动（但允许移动）；附加链杆用符号“O—O”表示，它能阻止结点发生线位移 （但允许绕铰转动）。
对图18-2a所示的结构，在产生结点角位移处，亦即刚结点1、3处加以刚臂，在结点3处加上水平支座链杆，如图18-2c所示。
添加刚臂或链杆，把原超静定结构分割为若干单跨超静定梁的组合体，称此为位移法基本结构。可以看出与力法不同，力法的基本结构是撤除多余约束联系，使其成为几何不变静定体系，而位移法与之正相反。
下面给出了几种结构按位移法求解时基本未知量的个数，请读者校核：图18-3，基本未知量的个数是1；图18-4基本未知量的个数是5。
图18-3
图18-4
第三节 转角位移方程、形常数和载常数
图18-5a表示两端固定梁除受到荷载作用，A、B两端支座分别发生了角位移φA、φB，且两端在垂直于杆轴方向产生了相对线位移（侧移）ΔAB；杆端弯矩及剪力分别记为MAB、MBA、FQAB和FQBA。
位移法规定：杆端转角位移φA、φB以顺时针方向旋转为正，反之为负。杆端相对线位移ΔAB（或弦转角βAB=ΔAB/l）使整个杆件顺时转动为正，反之为负；与上述规定相关，杆端弯矩MAB、MBA亦以顺时针方向为正负，反之为负。杆端剪力FQAB、FQBA规定同前。
图18-5b中表示单跨两端固定梁，两端支座不发生位移，仅由荷载作用产生在两端处的弯矩、剪力分别称为“固端弯矩”、“固端剪力”，分别记为MF、MFQ，它也可以由力法求出。
显然，在图18-5a、b中杆端位移和杆端弯矩、剪力都绘在正方向。
图18-5
二、转角位移方程
当单跨超静定梁两端发生角位移、相对线位移，且同时受到荷载作用时，杆端弯矩与这些位移及荷载的关系式，通常称为“转角位移方程”。
自然它与单跨超静定梁两端支座形式及荷载有关，均可以用力法一一导出。
1、两端固定梁
对图18-6a所示的两端固定梁，先暂不考虑横向荷载F，仅研究由于支座位移所产生的杆端弯矩，取简支梁为基本结构，按x1、x2方向位移条件，建立力法典型方程（图18-6b）。
作出 M1、 M2图并求出支座反力，则有
代入典型方程可解
然后再叠加上由于荷载作用产生的固端弯矩，则可得两端固定梁的转角位移方程为（令i=EI/l并称为线刚度）
（18-1）
图18-6
2、一端固定另端铰支梁
图18-7为一端固定另端铰支单跨超静定梁，设A端发生角位移φA，两端产生相对线位移为ΔAB，同时受到荷载作用。仍然可以用力法导演出杆端弯矩为
MBA = 0
（18-2）
3、一端为固定端另端为定向滑动支座梁
图18-8为一端固定另端为定向支座单跨超静定梁，设A端转角为φA，同时受到荷载作用。则仍然可用力法得到
（18-3）
图18-7
图18-8
三、形常数和载常数
所谓形常数是指，当单跨超静定梁仅在梁端发生单位位移时，在该梁两端所引起的杆端弯矩与杆端剪力。
图18-9a两端固定梁，设仅A端产生φA =1，其他杆端位移为零，且无荷载作用，则按（18-1）式转角位移方程有
MAB=4i ， MBA=2i
按平衡条件可导出
图18-9b所一端固定一端铰支梁，令φA =1，其他位移为零且无荷载，按（18-2）式则有
MAB = 3i ， MBA = 0
可推演出
由上看出：仅由梁端单位位移引的杆端内力仅与梁的支承情况、几何尺寸、材料特性有关，故称为形常数。其他情况参见下表18-1。
图18-9
表18-1 等截面单跨超静定梁形常数
载常数
在位移法中还要遇到“载常数”这个概念。所谓“载常数”是指，当单跨超静定梁两端支座不发生位移，仅由于荷载作用而引起的杆端弯矩和剪力，它实即上面所讲的固端弯矩和固端剪力。
显然对上述图18-5b所示两端固定梁受均布荷载作用，不难用力法（参例18-1）计算，考虑位移法对杆端力正负规定则有
由上看出，固端弯矩及固端剪力只与荷载作用形式及支承情况有关，故称为载常数。其他情况参表18-2。
表18-2 等截面单跨超静定梁载常数
第四节 位移法基本原理和典型方程
一、位移法基本原理
下面以图18-10a所示刚架为例说明位移法基本原理。显然，该刚架具有两个基本未知量，在刚结点处加附加刚臂，在2点处加一个附加水链杆，同时令刚臂发生转角Z1,水平链杆发生线位移Z2，得到如图18-10b所示的基本体系。
在荷载作用和结点位移共同影响下，基本体系与原结构变形是一致的。现在从受力方面再做一比较，原结构在1、2点无附加约束，自然也不存在附加约束的反力矩或反力。所以要使基本系数与原结构在受力方向保持一致，则势必要求基本体系上附加刚臂及链杆中的约束反力矩或反力为零。
图18-10
位移法基本原理
即有平衡条件
F1=0 ， F2=0 (a)
设如图18-10c、d、e所示：把受力过程分解为仅有Z1、Z2和荷载作用于结构上情况，由于位移Z1、Z2和荷载F所引起刚臂上反力矩分别为F11、F12、F1P，所引起链杆上的反力分别为F21、F22、F2P。则按叠加原理上述平衡条件可写为
F1=F11+F12+F1P=0 （b）
F2=F21+F22+F2P=0
再设单位位移 Z1=1、 Z2=1所引起刚臂上反力矩分别为r11、r12，所引起的链杆上反力分别为r21、r22。对线弹性结构有以下关系
F11=r11Z1 ，F12=r12Z2 ，F21=r21Z1 ，F22=r22Z2 （c）
把（c）式代入（b）式，则
r11Z1+r12Z2+F1P = 0 （d）
r21Z1+r22Z2+F2P = 0
式(d)就是未解基本未知量的位移法基本方程 。
它的物理意义是：在荷载作用及结点位移共同影响下，基本体系上每一个附加联系（附加刚臂与附加链杆）中的约束反力矩或反力应为零。
因此，位移法基本方程实质上反映的是原结构静力平衡条件。
位移法基本原理
从(d)方程组看出：要求解出Z1、Z2，应计算出系数和自由项。先分别绘出单位位移引起的弯矩图 M1、 M2，及荷载引起的弯矩图MP，由于基本结构各杆件都是单跨超静定梁，按表18-1、表18-2即可绘制。
然后从结构中截取出适当的隔离体（刚结点或部份杆件），利用平衡方程即可求出各系数和自由项。
求出系数和自由项后，代入方程（d），就可解出位移法基本未知量Z1、Z2。最后弯矩图可应用已绘出单位弯矩图及荷载弯矩图进行叠加而得到
二、位移法典型方程
对于具有n个基本未知量的结构，相应地需要加上n个附加联系（刚臂或链杆），同理按每个附加联系中的约束反力为零的平衡条件，可以列出
r11Z1 +…+ r1iZi +…+ r1nZn+F1P = 0
…………………………………
ri1Z1 +…+ riiZi +…+ rinZn+FiP = 0 （18-4）
…………………………………
rn1Z1 +…+ rniZi +…+ rnnZn+FnP = 0
上述方程无论结构类型如何，只要基本未知量个数为n，则都具有同一形式，故称位移法典型方程。
在典型方程中：主对角线上的系数r11、r12…rnn称为主系数，非零恒正；主对角线以外其他系数r12、r13…r1n等称为副系数，可正、可负可为零。而且满足关系rij = rji（反力互等定理）；F1P、F2P…FnP称为自由项，可正、可副、可为零。
自然为求得典型方程中系数和自由项，应分别绘出单位位移引起弯矩图 M1、 M2、 M3… Mn及荷载弯矩图MP，截取适当隔离体利用平衡条件即可求出。然后由（18-4）即可解出基本未知量Z1、Z2…Zn。
最后弯矩图由叠加法作出
（18-5）
第五节 用位移法计算超静定梁、刚架及排架
位移法的计算步骤应如下：
1）、确定基本体系：判定基本未知量，就是刚结点转角。在有独立角位移刚结点上加上附加刚臂“▼”，在有独立线位移方向加上附加链杆“O—O”，并按正方向假设基本未知量，同时应画上外力荷载。
2）、根据在荷载作用及结点位移共同影响下，附加联系中反力为零，建立位移法典型方程。
3）画出单位位移所引起弯矩图及荷载弯矩图（按表18-1、表18-2所列形、载常数），截取适当隔离体利用平衡条件求出系数及自由项。
4）、解位移法典型方程，求出基本未知量。
5）、按叠加法作出最后弯矩图，然后由弯矩图作剪力图等。
一、用位移法计算无侧移刚架、连续梁
例18-1 试用位移法计算图18-11a所示刚架，绘出弯矩图。设各杆抗弯刚度如图中所示。
解:（1）确定基本体系。可以判定只有一个基本未知量，在B点加上刚臂，设转角为Z1，再加荷载，基本体如图18-11b。求出线刚度：令i=EI/4，iAB=iBC=2i，iAD=iBE=i
（2）建立位移法典型方程。按在荷载与结点位移共同影响下，附加刚臂上反力矩为零，可列出
r11Z1 +F1P = 0
（3）求系数和自由项。绘出 Z1=1和荷载作用下弯矩图 M1、MP（图18-11c、d）。
分别从 M1图和MP中截取出B结的隔离体，建立平衡条件ΣMB=0，即可得
r11=6i+4i+6i=16i ，F1P=24-16=8kN·m
（4）求基本未知量。将上面系数和自由项代入位移法典型方程，则有
（5）绘是后弯矩图。用叠加法 M= M1 Z1+ MP。则各杆端弯矩应为
据此可绘出最后弯矩图如图18-11e所示。
（上侧拉）
（上侧拉）
（右侧拉）
（左侧拉）
图18-11
例18-2 试用位移法计算图18-12a所示连续梁弯矩图。
（3）求系数和自由项。绘出单位位移引起的 M1、 M2图和荷载弯矩图MP，如图18-12c、d、e所示。从 M1、 M2 、MP图截取出B、C结点隔离体，由平衡条件ΣM=0可求得
r11=4i+4i=8i ，r21=2i ，r12=2i ，
r22=4i+3i=7i ，F1P=22.5 kN·m ，F2p=-45kN·m
解: （1）确定基本体系。可以判定此连续梁有两个独立的角位移，无线位移。确定基本体系如图18-12b。
（2）建立位移法典型方程。两个基本未知量典型方程如下
r11Z1+r12Z2+F1P = 0
r21Z1+r22Z2+F2P = 0
图18-12
例18-2
（4）求基本未知量。把主、副系数及自由项代入典型方程得
8iZ1+2iZ2+22.5=0
2iZ1+7iZ2-45 = 0
解得
（5）绘最后弯矩图。按M= M1 Z1+ M2 Z2+MP，最后弯矩图如图18-12f所示。其中杆端弯矩值计算举例如下
（上侧拉）
（上侧拉）
二、用位移法计算有侧移刚架、排架
例18-3 试用位移法计算图18-13a所示刚架，绘出M图。
解:（1）确定基本体系。可以看出，该结构独立基本未知量个数是二个：一个是刚结点C的角位移，另一个是C、D结点的水平线位移，在C点加刚臂，在D处加一水平链杆，得到基本体系如图18-13b所示。今后把有结点线位移刚架称为有侧移刚架。同时，令i=EI/6。
（2）列出位移典型方程。按刚臂及链杆中约束反力为零，可写出
r11Z1+r12Z2+F1P = 0
r21Z1+r22Z2+F2P = 0
（3）求系数和自由项。按形、载常数绘出 M1、 M2 、MP图，如图18-13c、d、e所示。
由 M图：截取刚结点C，由ΣMC=0，求出r11=4i+3i=7i
截取出上面横梁CD，各柱的柱顶剪力可由表18-1查出，或由各立柱平衡条件求出，由投影方程ΣFx=0，求出r21=-i
图18-13
例18-3
同理由图：考虑刚结点C和横梁CD平衡，可求出
r12=-i ， r22 = 5i/12
同理由MP图：分别考虑C点、横梁CD平衡，可求出
F1P=3kN·m ， F2P= -3kN
（4）求基本未知量。把主、副系数和自由项代入典型方程，则有
联解得
（5）最后弯矩图。由M= M1 Z1+ M2 Z2+ MP叠加可得最后弯矩图如18-13f所示。
由上面计算过程看出，对于有侧移的结构应当截取横梁为隔离体，沿着侧移未知量方向建立投影平衡方程来计算系数和自由项，实际上最终形成的位移法方程也是附加链杆方向的约束力为零。
（4）求基本未知量。代入典型方程
（5）求最后弯矩图。按M= M1 Z1 + MP，绘出M图如图18-14e所示。
例18-4 就用位移法计算图18-14a 所示铰结排架弯矩图。
解:（1）确定基本体系。判定该结构仅有一个独立线位移，在F点加一个水平链杆，基本体系如图18-14b所示。
（2）建立位移法典型方程。仅一个基本未知量，则典型方程为
r11Z1+F1P=0
（3）求系数和自由项。画出 M1、MP图如图18-14c、d。由 M1、MP求出柱顶剪力，取横梁DEF为隔离体，建立ΣFx=0，可求出
图18-14
三、在位移法中对称性的利用
1、对称结构在正对称荷载作用下，内力和变形呈对称分布；
2、在反对称荷载作用下，内力和变形呈反对称分布；
这些性质是对称结构固有的静力特征，它并不因计算方法的不同而改变，所以，在位移法仍然可以利用其对称性以简化计算。
通常截取二分之一（或四分之一）做为等代结构，然后再用位移法计算。
例18-5 试利用对称性，用位移法计算图18-15a所示的结构。
解: 图18-15a所示闭合刚架具有水平和竖直两个对称轴，且在水平方向偶数跨，在竖直方向可看为奇数跨，故截取四分之一做为等代结构如图18-15b所示。
（1）确定基本体系。仅有一个基本未知量，在A点加刚臂，基本体系如图18-15c。
（2）建立位移法典型方程。按附加刚臂中及力矩之和为零，则可写出
r11Z1+F1P=0
（3）求系数和自由项。画 M1、MP图如图18-15d、e所示，截取A刚性结点（图略），可得
r11=2i+4i=6i ，F1P=
（4）求基本未知量：
（5）画M图。由M= M1 Z1 + MP可得四分之一部门弯矩图，沿水平及竖直方向对称扩展，可得全刚架弯矩图如图18-15f所示。
图18-15
第六节 直接利用平衡条件建立位移法基本方程
先将结构分解为若干个单个杆件，根据已介绍过的转角位移方程写出杆端力和杆端位移之间的物理关系。
然后再将各杆在结点处连接起来，使之满足位移及平衡条件，即截取刚结点或横梁为隔离体，直接由平衡条件组成位移法方程。
最后解出结点位移并计算杆端力。
由于在计算过程主要应用了转角位移方程，故亦称转角位移法。
例18-6 试用转角位移法求图18-16a所示刚架的弯矩图。设各杆相对线刚度值如图中所注。
解: （1）确定基本未知量。此刚架刚结点B的角位移为一个唯一基本未知量，设Z1为顺时针转动。
（2）应用转角位移方程写出各杆端弯矩
MAB=0 ， MBA=3×iAB×Z1+
MBC=4iBC×Z1=12Z
MBD=iBD×Z1=3Z1 MDB=-iBD×Z1=-3Z1 。
（3）直接按平衡条件建立位移法方程。取刚结点B，如图18-16b所示。
ΣMB=0 MBA+MBD+MBC=0
代入杆端弯矩有 21Z1+
（4）计算杆端弯矩，画M图。把Z1值代回各杆端弯矩表达式
MAB=0 MBA=6×
按上述值把弯矩画在受拉侧边，可得图18-16c所示M图。
MCB=2×iBC×Z1=6Z1
MBC=12×
MCB=6×
MBD=3×
MDB= -3×
图18-16
例18-7 试用转角位移求图18-17所示刚架M图。
解：（1）确定基本未知量。首先按力的平移定理把外力F平移到D点，并附加上集中力偶，竖向集中力不引起弯矩（未画），如图18-17b所示。显然有一个角位移Z1和一个线位移Z2。求出线刚度：令
（2）应用转角位移方程写出各杆端弯矩表达式
（3）建立位移法典型方程。截取刚结点C和横梁CD，如图18-17c所示。对c点列出：ΣMC=0 ， MCA+MCD+ =0代入以上杆端弯矩并化简
（Ⅰ）
对横梁列出：ΣFx=0 ， FQCA+FQDB =0
但
代入化简有
联解（Ⅰ）、（Ⅱ）式得
（4）计算杆端弯矩，画M图如图18-17d所示。
（Ⅱ）
图18-17

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