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第十九章 用力矩分配法计算连续梁与无侧移钢架
第一节 力矩分配法的基本概念
第二节 单结点的力矩分配法
第三节 多结点的力矩分配法
第四节 连续梁的内力包络图
第一节 力矩分配法的基本概念
设有图19-1a所示两跨连续梁ABC，承受一个集中荷载F。用力矩分配法计算时，首先要取基本结构，其基本结构的取法与位移法完全相同，即图19-1a所示结构，可以看作只有一个可以转不能移动的结点B（注意：鉸结点C不需考虑），因此只需在结点B加一个附加
刚臂 “▼”， 得如图19-1b所示的基本结构。其次将荷载置于基本结构上，求AB、BC两段杆件的固端弯矩。然后利用结点B的力矩平衡条件求得B点处的约束力矩mB （亦称不平衡力矩）。 下一步就要转动结点B消除mB，使基本结构变为实际结构。
力矩分配法与位移法的计算原理完全相同，只是在消除mB的方法上有所不同而已。在结点B施加与mB大小相等而方向相反的力矩-mB ， 强迫连续梁产生如图19-1c所示的变形，同时使两个杆端产生新的弯矩。把图19-1c 情况下的弯矩与图19-1b情况下的弯矩叠加，即得实际结构（图19-1a）的弯矩。
用力矩分配法解题的基本思路是：首先在刚结点处设置约束转动的附加刚臂，使产生约束力矩，以阻止转动；然后放松约束，即在刚结点处施加与约束力矩大小相等而方向相反的力矩，以抵消约束力矩的影响，使其恢复为原结构。?
图19-1
二、力矩分配法的三要素
1．转动刚度S
对于任意支承形式的单跨超静定梁iK，为使某一端（设为i端）产生角位移θi，则须在该端施加一力矩MiK。
当θi=1时所须施加的力矩，称为iK杆在i端的转动刚度，并用SiK表示，其中i端为施力端，称为近端，而K端则称为远端，如图19-2a所示。
同理，使iK杆K端产生单位转角位移θk=1 时，所须施加的力矩应为iK杆K端的转动刚度，并用SKi表示，如图19-2b所示。
当近端转角θi≠1（或θk≠1）时，则必有MiK=SiK·θi（或MKi=SKi·θK）。
由位移法所建立的单跨超静定梁的转角位移方程知，杆件的转动刚度SiK除与杆件的线刚度i有关外，还与杆件的远端（即K端）的支承情况有关。
图19-3中分别给出不同远端支承情况下的杆端转动刚度SAj的表达式，在应用中可以查用。
图19-3
图19-2
2．分配系数
在结点上施加力矩强迫结点转动时，与此结点联结的各杆必将发生变形和内力。为了计算此时各杆的端弯矩，引入分配系数的概念。图19-4表示只有一个结点的简单刚架，设有力矩mA施加于刚结点A，并使其发生转角θA，然后达到平衡状态。由转动刚度的定义知，各杆在A端的弯矩为
图19-4
由结点A的力矩平衡方程得
故有
（19-1）
此处ΣSA表示汇交于A点各杆的转动刚度之和。有了θA值，即可由（a）式求出各杆A端弯矩
或写作
（19-3）
其中μAj按下式计算
（19-4）
μAj称为力矩分配系数。
（19-2）
2．分配系数
各杆在A端的弯矩值与其转动刚度成正比，并且它们的和等于在结点上施加的外力矩。力矩分配时，各杆所得到的A端弯矩称为分配力矩。所谓分配力矩，也就是为使结点转动而在结点上所施加的力矩，按各杆件的转动刚度之比分配到各杆端的力矩。
综上所述，在力矩分配时只要知道各杆的转动刚度，即可按式（19-4）算出各杆的力矩分配系数，然后由式（19-3）求出各分配力矩（注：在此力矩即弯矩，以下称力矩为弯矩）。
在此值得指出的是，一个结点，例如A结点，各杆的分配系数应满足下式
也就是说，在该结点处的各分配系数之和等于1。
3．传递系数
对于单跨超静定梁而言，当一端发生转角而产生弯矩时（称为近端弯矩），其另一端（即远端）一般也将产生弯矩（称为远端弯矩），如图19-5所示。通常将远端弯矩同近端弯矩的比值，称为杆件由近端向远端的传递系数，并用C表示。图19-5所示梁AB由A端向B端的传递系数为
图19-5
对不同的远端支承情况，其传递系数也将不同，如表19-1所示。
分配弯矩由传递系数传到远端的弯矩，称为传递弯矩，用符号MCAB所示。即
（19-5）
其中，MμAB称为分配弯矩。
表19-1
第二节　单结点的力矩分配法
　
力矩分配法，按其计算方法来分，可分为单结点的力矩分配法与多个结点的力矩分配法。下面通过图19-6所示两跨连续梁，具体说明单结点力矩分配法的计算步骤。
首先，在结点B加一阻止其转动的附加刚臂，然后承受荷载的作用（图19-6b），这样将原结构分隔成两个单跨超静定梁AB和BC。这时各杆杆端将产生固端弯矩，其值可由表19-1查得。取结点B为脱离体（图19-6c）,由结点B的力矩平衡条件，即可求得附加刚臂阻止结点B的转动而产生的约束力矩为
图19-6
写成一般形式为
（19-6）
结点不平衡力矩＝结点各杆固端弯矩的代数和。
比较图19-6b与原结构的受力情况，其差别仅在于结点B多了一个不平衡力矩MB，为使它的受力情况与原结构一致，必须在结点B加一个反向的力矩以消除不平衡力矩MB，如图19-6d所示（图中用-mB表示。）此时，结点作用了-mB，其中分配弯矩（图19-6e）为
一般形式为
（19-7）
分配弯矩＝分配系数×不平衡弯矩的负值
传递弯矩为
一般形式为
（19-8）
传递弯矩＝传递系数×分配弯矩
单结点力矩分配的计算步骤
图19-6a等于图19-6b叠加图19-6d，故原结构的各杆端最后弯矩，应等于各杆端相应的固端弯矩、分配弯矩与传递弯矩之代数和。其整个计算过程的关键在于“力矩分配”，故称这种方法为力矩分配法，或弯矩分配法。
单结点力矩分配的计算步骤，可以形象地归纳为三步：
（1）固定（锁住）结点：即在刚结点处加上附加刚臂，此时各杆固定端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。在此需指出的是，为了简化计算，也可不在刚结点处加附加刚臂，而只在意识中加了就行。
（2）放松结点：即取消刚臂，使结构恢复到原来状态。这相当于在结点上加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被取消而结点获得平衡，此时各杆近端获得分配弯矩，而远端获得传递弯矩。
（3）将各杆在固定时的同端弯矩与在放松时的分配弯矩、传递弯矩叠加起来，就得到原杆件的最终杆端弯矩。将最终杆端弯矩与将各杆看成是简支梁时在荷载作用下的弯矩相叠加，即得结构最终弯矩图。
图19-6
例19-1 用力矩分配法作图19-7a所示连续梁的弯矩图。
解： 先计算分配系数、固端弯矩、不平衡力矩，然后进行分配与传递，再计算最终杆端弯矩，画M图 。将这些过程可在一张表格上进行（如图19-7a所示）
（1）计算分配系数
在荷载作用下，计算内力可以用相对刚度，设EI＝1，其转动刚度为
分配系数为
校核
将各结点的分配系数写在杆端相应位置，如图19-7a计算表格的第一行。
无误
图19-7
例19-1:2-4
2．按表19-1计算固端弯矩
将各杆的固端弯矩记在各杆端相应位置，如图19-7a计算表格的第二行。
结点B的不平衡弯矩为（用19-6式计算）
3．计算分配弯矩和传递弯矩
分配弯矩（用19-7式计算）
将各分配弯矩写在各杆端，如图19-7a计算表格的第三行示。
在结点分配弯矩下画一横线，表示该结点已放松，且达到了平衡。
传递弯矩（用19-8式计算）
在分配弯矩与传递弯矩之间画一水平方向的箭头，表示弯矩传递方向。
4．计算最终的杆端弯矩
将以上各杆端弯矩叠加，即得最终杆端弯矩。如图19-7a计算表格的最后一行示。
可知满足结点B的力矩平衡条件。
5．画M图
根据最终杆端弯矩，由叠加法作M图，如图19-7b所示。
例19-2 用力矩分配法计算图19-8a所示刚架，并绘M图。
图19-8
解： 先计算分配系数，固端弯矩，不平衡力矩，再按单结点力矩分配，画M图。　该结构只有一个刚结点，属于单结点力矩分配问题。
（1）求分配系数
校核
（2）求固端力矩: 按表19-1中给定的公式计算
结点1的不平衡力矩等于汇交在结点1上各杆固端力矩的代数和。即
例19-2
取结点1为分离体（带有附加刚臂），如图19-8b所示,固端力矩MFIA、MFIC均画成正向（绕结点逆时针为正），附加刚臂的反力矩也画成正向（顺时针为正），根据力矩平衡方程ΣM1=0，有
可见，不平衡力矩就是附加刚臂的约束反力矩。在明确了它的物理概念后，可按固端力矩相加的办法直接算出，
（3）分配与传递
将不平衡力矩变号，被分配的力矩是正值，具体计算如下
传递力矩
（4）．计算杆端力矩
为方便起见，计算可以列表进行，详见表19-2，列表时注意把同一结点的各杆端列在一起，以便于写分配力矩。
(5)绘弯矩图
先画出各杆的杆端力矩，两个竖标间连一直线，以此为基线叠加上横向荷载引起的简支梁的弯矩。最终M图如图19-8c所示。
表19-2　例题19-2杆端力矩的计算
第三节　多结点的力矩分配法
单结点的力矩分配法。固定刚结点，放松刚结点，只进行一次就可使基本结构恢复为原来的状态，当然，力矩的分配与传递也是一次即告结束。
通常遇到的连续梁，中间支座不止一个，也就是说，结点转角未知量不止一个，如何把单结点的力矩分配方法推广运用到多结点的结构上呢？为了达到这一目的，必须人为地造成只有一个结点转角的情况。
采取的办法是：
1、首先固定全部刚结点；
2、然后逐次放松，每次只放松一个，当放松一个结点时，其他结点暂时固定，由于一个结点是在别的结点固定的情况下放松的，所以还不能恢复到原来的状态，这样一来，就需要将各结点反复轮流地固定、放松，以逐步消除结点的不平衡力矩，使结构逐渐接近其本来的状态。
多结点的力矩分配法
图19-9a所示三跨连续梁，在结点B和C处共有两个角位移。先设想，在这两个结点处增设附加刚臂，约束B、C结点的转动，可得在荷载作用下各杆的固端弯矩为
将上述各固端弯矩记入图19-9所示的固端弯矩一栏中。这时结点B的不平衡力矩分别为
结点B的各杆端的分配系数：
结点C的有关各杆端的分配系数：
多结点的力矩分配法：分配步骤
结点B、C的分配步骤:
1、B节点
a)力矩分配（即将不平衡力矩MFB反号乘以分配系数）
b)弯矩向各自的远端传递
2、C节点
a)力矩分配（即将不平衡力矩MFC反号乘以分配系数）
b)弯矩向各自的远端传递
(说明： -6 =MCCB)
5、画出最后弯矩图。
3、重复步骤1、2，不同处： MFB为MCBC,和MFC 为MCCB
当分配的力矩达到需要的精度，分配过程终止
4、将各杆端的固端弯矩、历次的分配弯矩和传递弯矩相加，得到各杆端的最后弯矩。
最后弯矩
图19-9
表19-3
力矩法计算步骤
运用力矩法计算一般连续梁和无结点线位移刚架的步骤如下：
（1）求出汇交于各结点每一杆端的分配系数μiK，并确定各杆的传递系数CiK；
（2）计算各杆端的固端弯矩MFiK；
（3）逐次循环交替地放松各结点以使弯矩平衡。每平衡一个结点时，按分配系数将不平衡力矩反号分配于各杆端，然后将各杆端所得的分配弯矩乘以传递系数传递到另一端。将此步骤循环运用至各结点的弯矩小到可以略去不计时为止（一般三四轮）；
（4）将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。
例19-3 用力矩分配法计算图19-10a所示的三跨对称连续梁，并作Ｍ图。
图19-10
解：此题的计算思路是，利用对称性取等代结构，然后接单结点梁进行计算。
这个连续梁具有两个刚结点，利用其对称性，取等代结构（图19-10b）只有一个刚结点，可按单结点力矩分配计算。
现将图19-10b所示的等代结构放大示于图19-11，其计算过程如下：
图19-11
表19-4
例19-3
（1）求分配系数
求分配系数时，可用各杆的绝对线刚度，也可以采用线刚度的相对值，对本例设EI/l=1，相对线刚度iIA=1，iIC=EI/(1/2)=2，则分配系数
（2）求固端弯矩
当结点1固定时，形成两个单跨梁，按表19-1中给定的公式计算。
梁 A1C为一端铰支，另一端定向的梁
结点1的不平衡力矩为
代分配的不平衡力矩为-M1(-40kN·m)
（3）分配与传递
分配力矩与传递力矩记入图19-11表19-4中第三行。
（4）最终杆端力矩见图19-11表19-4末行。
（5）按叠加法绘M图，如图19-11所示。
计算本题时，最容易发生的错误是，误认为分割后的杆件IC（图19-11b）的线刚度
仍为分割前的线刚度
如果这样，以后的计算就全部错了。
例19-4 试用力矩分配法计算图19-12a所示刚架，并作弯矩图。各杆线刚度如图19-12a所示。
解： 先计算转动刚度、分配系数、固端力矩，再按表19-5 计算各杆最终杆端弯矩，画M图。
（1）计算分配系数（设i=1）
（2）计算固端弯矩
其余均为零。
将上述分配系数及固端弯矩均填入表19-5中。
（3）逐次对B、C结点进行分配与传递（详见表19-5）。
（4）求最后杆端弯矩（见表19-5最末一行）。
（5）按叠加法作弯矩图，如图19-12b所示。
图19-12
例19-5：杆端弯矩
表19-5
第四节 连续梁的内力包络图
作连续梁在活荷作用下的内力包络图方法有两种：
1．利用连续梁的影响线确定最不利荷载位置，按最不利荷载位置（如图19-13）求出活荷载作用下各截面的最大内力和最小内力，把它们按一定比例尺用图形表示出来，这就是连续梁在活荷载作用下的内力包络图。显然，用这种方法作内力包络图的计算工作量是很大的，一般不予采用。
2．由于在均布活荷载作用下，连续梁各截面内力的最不利荷载位置，是某些跨内布满均布活荷载，因此，最大和最小内力的计算可以简化。现以弯矩为例来说明。只要把每一跨单独布满活荷载时的弯矩图逐一作出，然后对每一截面，将这些弯矩图中对应的最大弯矩值相加，就得该截面在活荷载作用下的最大弯矩；将所对应的最小弯矩值相加，就得到该截面在活荷载作用下的最小弯矩。然后再将它们分别与恒载作用下对应的弯矩图相加，便得到某截面总的最大弯矩和最小弯矩，将这些弯矩分别表示出来，连以光滑曲线，即为连续梁的弯矩包络图。显然，这一方法比较简单，因此，在工程中通常采用。
图19-13
作连续梁内力包络图的步骤
下面以图19-14a所示连续梁为例，具体说明作连续梁内力包络图的步骤。
1．把每一跨分为若干等分，取等分处的截面作为计算截面。本题每跨分为4等分。
2．作出由恒截作用的弯矩图M恒，并算出每个等分面的弯矩值，如图19-14b所示。
3．逐次作出每一跨单独布满活荷载时引起的弯矩图M活，并算出每个等分面的弯矩值，如图19-14c、d、e所示。
4．求出各计算截面的Mmax和Mmin。对于任一截面K的最大弯矩和最小弯矩按下式计算：
MKmax=Mk恒+ΣMK活
MKmin=Mk恒+ΣMK活
例如第1跨第2截面
MKmax=54.0+132.0+12.0=198.0kN·m
MKmin=54.0-36.0=18.0 kN·m
5．将各截面的Mmax值用纵坐标表示出来，用曲线连起来得Mmax曲线；将各截面的Mmin值用纵坐标表示出来，用曲线连起来得Mmin曲线。这两条曲线即为连续梁的弯矩包络图（图19-14f）。
图19-14
图19-15
例如：C支座左侧截面处
FQC左max=（-72）+4=-68kN
FQC左min=（-72）+(-136)+（-12）=-220kN
由于在设计中用到的主要是各支座附近截面上的剪力值，因此，通常只将支座两侧截面的最大剪力值与最小剪力值求出，在每跨中用直线连接，便得到近似的剪力包络图，如图19-15 f所示。
连续梁内力包络图表示连续梁上各截面内力变化的极值，可以根据它合理地选择截面尺寸，并在钢筋混凝土梁中合理地布置钢筋。

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