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第十六章 静定结构的位移计算与刚度校核
第一节 结构位移的概念
第二节 变形体的虚功原理
第三节 结构位移计算的一般公式及单位荷载法
第四节 荷载作用下的位移计算
第五节 图乘法
第六节 静定结构支座移动时的位移计算
第七节 梁的刚度校核
第八节 线弹性结构的互等定理
第一节 结构位移的概念
梁在竖向荷载作用下会产生挠度，钢筋在温度升高时会伸长，建筑物在基础沉降时会倾斜，这些都属于结构的变形问题。由于组成结构的材料都是可以变形的，所以结构在受到荷载等作用时，也都会产生变形和位移。变形是指结构的形状发生改变，而位移是指结构某点位置的改变。如图16-1所示简支梁在荷载作用下，其形状由直线变为曲线，这就叫梁发生了变形；而梁上截面K的形心由原来位置移动到新的位置K′，称该截面发生了位移。K K′之间的距离就是该点的线位移；同时，截面还转动了一个角度θ，称为截面K的角位移。
引起结构位移的主要原因有荷载作用、温度变化、支座移动，以及材料收缩和制造误差等。
进行结构位移计算的目的为：
1．结构刚度校核: 即验算结构在荷载等作用下，它的位移是否能够满足结构正常运行的要求。若吊车梁挠度过大，吊车将无法正常工作。若桥梁的变形过大，会引起列车过大的冲击和振动。而在风中的高层建筑，如果水平位移过大，即使结构不会破坏，也会使工作和居住的人感到不适。所以，在各种结构相应的规范中，都对结构规定了必须满足的刚度要求。例如，吊车梁的允许最大挠度规定为跨度的1/600，高层框架剪力墙结构的顶点水平位移不宜超过高度的1/800等。
2．为结构施工提供位移数据: 例如在跨度较大的结构中，为了避免建成后产生显著下垂，可预置拱度，先将结构做成与挠度相反的拱形，称为起拱，起拱高度须根据结构位移来确定。
3．为超静定结构计算打下基础: 实际结构除静定结构外，更多的是超静定结构。进行超静定结构受力分析时，需要同时考虑结构的平衡条件和变形协调条件，因此要进行超静定结构计算,必须先会静定结构的位移计算。
图16-1
第二节 变形体的虚功原理
一、 功、广义力与广义位移
如图16-2所示，设物体上点受到静力F的作用时，从A点移到A′点，发生了Δ的线位移，则力F在发生位移Δ的过程中所做的功为
（16-1）
式中θ——为力F与线位移Δ之间的夹角。
功是标量，它的量纲为力乘以长度，其单位用N·m或kN·m表示。
图16-3a所示，为一绕O点转动的轮子。在轮子边缘作用着力F。设力F的大小不变而方向改变，但始终沿着轮子的切线方向。当轮缘上的一点A在力F的作用下转到点A′，即轮子转动了角度φ时，力F所做的功为
式中FR——为F对O点的力矩，以M来表示，则有
此为力矩所做的功，它等于力矩的大小和其所转过的角度乘积。
在图16-3b中，若在轮子上作用有F及FF′两个力，当轮子转动了角度φ后，F及FF′所做的功为
若F＝F′，则有
即为F及F′所构成的力偶，用MF′表示，则有
（16-2）
为了计算方便，现将式（16-1）和式（16-2）统一写成
（16-3）
式中，若F为集中力，则Δ就为线位移；若F为力偶，则Δ就为角位移。F称为广义力，它可以是一个集中力或集中力偶，还可以是一对力或一对力偶等等；称Δ为广义位移，它可以是线位移，也可是角位移。
图16-2
( a ) ( b)
图16-3
二、 实功与虚功
1．实功 如图16-4a所示简支梁，当荷载F作用在其上时，位移的大小将随力的增加而线性增加。在弹性范围内，任一位移和作用力F之间为线性关系（图16-4b），即
b)
图16-4
式中，k为比例常数，是使结构K处发生单位位移所需要的力。根据微积分概念，在某一微小位移dΔ上，作用力F可以看成常数，所作元功为作用力从零增加到FK过程中所作功为
（16-4）
上式表明，线弹性体系的外力功等于外力与其相应的位移乘积的一半。上述力做功的特点是，力自己在自身引起的位移上所做功，在力学上称为外力实功。当体系上有若干个外力共同作用时，总的外力实功按下式计算
（16-5）
2．虚功
如图16-5a所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，结构发生了图16-5a所示虚线变形，达到平衡状态。
当F1由零缓慢地逐渐地加到其最终值时，其作用点沿F1方向产生了位移Δ11，此时F1所做的实功W11=F1Δ11/2；若在此基础上，又在梁上施加另外一个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，如图16-5b所示。
F1的作用点沿F1方向又产生了位移Δ12，此时F1不再是静力荷载，而是一个恒力，F2的作用点沿F2方向产生了位移Δ22，由于F1不是产生的原因，所以W12=F1Δ12就是的所作的虚功，称为外力虚功；
此处功之所以用“虚”字，只是强调做功的力 与做功的位移无关，以示与实功的区别。
而F2是产生Δ22的原因，所以W22=F2Δ22/2，就是外力实功。
在这里，功和位移的表达符号都出现了两个脚标，第一个脚标表示位移发生的位置，第二个脚标表示引起位移的原因。
图16-5
三、 变形体的虚功原理
前面所讲到的简支梁，在力F1作用下引起内力，那么，内力在其本身引起的变形上所做的功，称之为内力实功，用W′11表示。F1所作的功W11称之为外力实功。力F1作用下引起的内力在其他原因（比如F2）引起的变形上所做的功，称之为内力虚功，用W′12表示。F1所作的功W12称之为外力虚功。在该系统中，外力F1和F2所做的总功为
而F1和F2引起的内力所作的总功为
根据能量守恒定律，应有W外=W内，即
根据实功原理，应有
所以有 （16-6）
在上述情况下，F1视为第一组力先加在结构上；F2视为第二组力后加在结构上，两组力F1与F2是彼此独立无关的。式（16-6）称为虚功原理。它表明：结构的第一组外力，在第二组外力所引起的位移上所作的外力虚功，等于第一组内力，在第二组内力所引起的变形上所作的内力虚功。简言之
外力虚功＝内力虚功。
虚功原理有两种表达形式
虚功原理有两种表达形式，分别为：
1．虚位移原理: 虚设约束允许的可能位移，求结构中实际产生的力（支座反力、内力）。虚位移方程等价于静力平衡方程。
2．虚力原理: 虚设外力，求结构实际发生的位移，也就是本节所讲虚功原理的目的。虚力原理等价于变形协调方程。
为了便于应用，现将图16-5b中的平衡状态分为图16-6a和16-6b两个状态。图16-6a的平衡状态称为第一状态，图16-6b的平衡状态称为第二状态。此时虚功原理又可以描述为：第一状态上的外力和内力，在第二状态相应的位移和变形上所做的外力虚功和内力虚功相等。这样第一状态也可以称为力状态，第二状态也可以称为位移状态。
虚功原理既适用于静定结构，也适用于超静定结构。
图16-6
第三节 结构位移计算的一般公式 单位荷载法
设图16-7a所示平面杆系结构，由于荷载、支座移动等因素引起了如图所示变形，试求某一指定点K沿某一指定方向K-K′上的位移ΔKK′。
应用虚功原理需要有两个状态：力状态和位移状态。所要求的位移是由给定的荷载及支座移动等因素引起的，故应以此实际状态作为结构的位移状态，然后根据计算位移的需要建立一个虚拟的力状态。由于力状态与位移状态是彼此独立无关的，因此力状态可以根据计算的需要来假设。为了使力状态中的外力能在位移状态中的所求位移ΔKK′上作虚功，就在K点沿K-K′方向加一个集中荷载FK。为了计算方便，令FK=1，如图16-7b所示，以此作为结构的虚拟力状态。
图16-7
虚拟力状态的外力在实际位移状态相应位移上所作的虚功，包括荷载和支座反力所作的虚功。设在虚拟力状态中，由单位荷载FK=1引起的支座反力为 FR1、 FR2、 FR3，而在实际位移状态中相应的支座位移为c1、c2、c3， 则在虚功状态的外力在实际状态位移上所作的总外力虚功为
由虚功原理 W外=W内，有
（16-7）
式中 FN、 M、 FQ 为单位力FK=1作用引起的某微段上的内力；du、dφ、ds为实际状态中微段相应的变形。总内力虚功为
（16-7）式即为平面杆件结构位移计算的一般公式。这种计算位移的方法称为单位荷载法。
设置单位荷载
设置单位荷载时，应注意下面两个问题：
1．虚拟单位力F=1必须与所求位移相对应。
欲求结构上某一点沿某个方向的线位移，则应在该点所求位移方向加一个单位力（图16-8a）；
欲求结构上某一截面的角位移，则在该截面处加一单位力偶（图16-8b）；
欲求桁架某杆的角位移时，在该杆两端加一对与杆轴垂直的反向平行力，使其构成一个单位力偶，力偶中每个力等于1/l（图16-8c）；
欲求结构上某两点C、D的相对位移时，在此二点连线上加一对方向相反的单位力（图16-8d）；
欲求结构上某两个截面E、F的相对角位移时，在此二截面上加一对转向相反的单位力偶（图16-8e）；
欲求桁架某两杆的相对角位移时，在此二杆上加两个转向相反的单位力偶（图16-8f）。
2．因为所求的位移方向是未知的，所以虚拟单位力的方向可以任意假定。若计算结果为正，表示实际位移的方向与虚拟方向一致；反之，则其方向与虚拟力的方向相反。
图16-8
第四节 荷载作用下的位移计算
利用虚功原理，计算结构在荷载作用下的位移时，两种状态分别为荷载引起的实际位移状态，和虚拟单位力作用下的平衡力状态。在线弹性体系小变形情况下，实际位移状态下各微段上内力M、FN、FQ引起的微段上的变形，可由第9章得
代入式（16-7），得
（16-8）
这就是结构在荷载作用下的位移计算公式。式（16-8）右边三项分别代表虚拟状态下的内力在实际状态相应的变形上所作的虚功。
式中 M、 FN、 FQ——虚单位力引起的内力；
M、FN、FQ——实际荷载引起的内力；
EI、EA、GA——分别是杆件的抗弯刚度、抗拉（压）刚度、抗剪刚度；
K ——剪切应力不均匀系数。
其值与截面形状有关，
对于矩形截面K=1.2；
圆形截面K=10/9；
工字形截面K=A/A′，A为截面的总面积，A′为腹板截面面积。
梁和刚架、桁架、组合结构位移
一、梁和刚架 其位移主要是由弯矩引起的，其位移简化公式为
（16-9）
在此值得提示的是，此公式也适合一般拱的位移计算，但对于扁平拱，除弯矩外，有时也要考虑轴向变形对位移的影响，故此公式不适用。对于直杆ds可用dx替代。
二、桁架 因为只有轴力，若同一杆件的轴力 FN、FN及EA沿 杆长l均为常数，故式（16-8），可简化为
（16-10）
三、组合结构 组合结构由梁式杆与桁架组成，其位移计算思路为，梁式杆只考虑弯矩M的影响，桁架杆只考虑轴力FN影响，故式（16-8），可简化为
（16-11）
例16-1 求图16-9a所示简支梁C截面的挠度ΔCV。
解： 根据所求位移，在C点加相应单位竖向荷载，根据所选坐标，分别列出M、M弯矩方程，代入式（16-9）积分。
（1 加单位力 因求C截面的挠度，故在C截面加竖向单位力F=1，如图16-9b示。
（2）分段列出M、M方程，选取A为坐标原点，x坐标向右，当0≤x≤l/2时，有
（3）计算位移 将 M和M代入（16-9）式，因为对称，故有
计算结果为正，说明位移与拟单位力方向一致。括号内所示方向为实际位移方向。
图16-9
例16-2 试求图16-10a所示等截面简支梁中点C的竖向位移ΔCV及B截面的转角θB。EI＝常数。
图16-10
解： 根据所求位移，首先设虚拟状态，然后分别求出实际状态与虚拟状态内力表达式，代入式（16-9）进行积分
(1).求梁中点C的竖向位移
在C点加一竖向单位荷载F=1作为虚拟状态（图16-10b），分段列求出单位荷载作用下梁的弯矩方程。设点为坐标原点，则当0≤x≤l/2时，有
实际状态下（图16-10a）杆的弯矩方程为
因为结构对称，所以由式（16-9）得
计算结果为正，说明C点竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同。
例16-2
(2)求梁B截面的转角θB
在B点加一单位集中力偶M=1作为虚拟状态（16-10c），列出单位弯矩作用下梁的弯矩方程。设A为坐标原点，有
将M、 M方程代入方程（16-9），得
计算结果为正，说明B截面的转角与虚拟单位力偶转向相同。
例16-3 求图16-11a所示刚架C端的竖向位移ΔCV。
解： 根据所求位移，首先设虚拟状态，然后分别求出实际状态与虚拟状态内力表达式，代入式（16-9）进行积分。
（1）加单位力 于C点加竖向单位荷载F=1，如图16-11b所示。
（2）分别列出 M、M方程。
图16-11
CB杆 以C点为坐标原点，x坐标向左为正向，则
BA杆 以B点为坐标原点，x坐标向下为正向，则
（3）计算位移 因结构由CB杆及BA杆组成，故应对各杆分别进行积分再求和。
例16-4 图16-12所示桁架各杆EA=常数，求节点C的竖向位移ΔCV。
图16-12
解： 根据所求位移虚设单位荷载，然后分别计算两种状态轴力代入公式（16-10）求解。
（1）为求C点的竖向位移，在C点加一竖向单位力，并求出F=1引起的各杆轴力 FN （图16-12b所示）；
（2）求出实际状态下各杆的轴力FN（图16-12a所示）；
（3）将各杆 FN、FN及其长度列入表16-1中，再运用公式进行运算。
因为该桁架是对称的，所以由式（16-10）得
计算结果为正，说明C点的竖向位移与假设的单位力方向相同。
例16-4：2
表16-1
第五节 图乘法
在荷载作用下，计算梁和刚架的位移时，须进行如下积分运算
其中， M表示单位荷载弯矩表达式，M为荷载弯矩表达式。
当荷载较复杂时，要写出上述弯矩表达式是比较麻烦的，积分也很困难。但若结构的各杆段符合下列条件：
（1）杆轴为直线；
（2）EI为常数；
（3） M和M两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
可用下述图乘法来代替积分运算，以简化计算工作。
其实，在工程实际中，梁、刚架大都满足上述条件，这样积分式中的ds可用dx代替，EI可提到积分号外面，有
积分号内为弯矩 MM乘积。
如图16-13为等截面直杆AB段上的两个弯矩图 M和M图，设两弯矩图中由直线段构成的弯矩图形为Mj图，而为任意形状的图形为Mi图。现以杆轴为x轴，以Mj图的延长线与x轴的交点O为原点，并设置y轴。因Mj为直线变化，有Mj=x·tanα，故上面的积分式成为
图16-13
式中，dA=Midx，为Mi图中有阴影线的微段面积，故x dA为微面积dA对y轴的面积矩。积分∫x dA为整个AB段上Mi图的面积对y轴的面积矩。根据面积矩定理，它应等于AB段上Mi图的面积A乘以其形心到y轴的距离xc，有
式中，yc为Mi图的形心处对应的Mj的纵矩。所以，
（16-12）
这就是图乘公式。
图乘法
应用图乘法计算结构位移
应用图乘法计算结构位移时应注意下列几点：
（1）必须符合应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中至少有一直线图形，而且yc应取自直线图形。如果两个图形均为直线图形，纵矩yc可取自其中任一直线图形。
（2）面积A和纵矩yc若在杆件的同侧则乘积Ayc取正号，异侧取负号。
（3）常用的几种简单图形的面积及形心位置如图16-14所示。在各抛物线图形中，顶点是指其切线平行于基线的点，而顶点在中点或端点者称为标准抛物线图形。
图16-14
应用图乘法计算结构位移
（4）当图形的面积或形心位置不易确定时，可将分解为几个简单的图形，用简单的图形分别与另一图形相乘，然后把所得结果相加。
例如，图16-15所示两个梯形弯矩图图乘时，梯形的形心位置不易确定，可将其分解成两个三角形（也可分为一个矩形与一个三角形），分别用图乘法，并将计算结果相加。
图16-15
（a）
当a和b不在基线的同一侧时（图16-16），仍然可分为两个三角形，只是这两个三角形分别在基线的两侧，a和b有不同的正负号，式（a）仍可适用。
图16-16
又如在均布荷载作用下的直杆中，任一段的弯矩图（图16-17），它是由一个两端弯矩组成的梯形与简支梁受均布荷载产生的一个标准二次抛物线图形的叠加，因此可将其分解为两个简单图形：一个梯形与一个标准二次抛物线。
图16-17
应用图乘法计算结构位移
（5）当直线图形不是一段直线而是若干段直线段组成时，由于各段具有不同的倾角，应分段进行计算（图16-18）。
（b）
（6）当直杆各段的截面不相等，即EI不同时，应分段进行计算（图16-19）。
（c）
图16-18
图16-19
例16-5 试用图乘法计算图16-20所示简支梁在均布荷载q作用下中点的挠度。
图16-20
解： 根据所求位移加单位力，设虚拟状态，作 M、M弯矩图，再图乘。
作虚拟状态如图16-20b所示，分别作出实际状态的M图和虚拟状态的 M图，如图16-20a、b所示。
M图由两段直线组成，因此图乘时应分段进行。将M图从中点分开，两边对称，为标准二次抛物线图形。
与例16-2利用积分法计算结果相同，显然图乘法要简单些。
例16-6 求图16-21a所示悬臂梁B截面的转角θB，B点和C点的竖向位移ΔBV和ΔCV。
图16-21
解： 根据所求位移加单位力，设虚拟状态，作 M、M弯矩图，再图乘。
（1）求B截面的转角θB
作荷载作用下的弯矩图M（图16-21a）。于B点加单位力偶M=1，并作出图16-21所示的单位弯矩图 M 1。由于两个图形均为直线，可任取一个作为A。现将M看作A，则有
由图16-21a和图16-21b图乘，得
因为图16-21a与图16-21b在梁的异侧，故取负值，所得结果为负，说明实际转角与虚设M相反，为顺时针。
例16-6
（2）求B点的竖向位移ΔBV于B点加竖单位力F=1，并作出 M 2图（如图16-21c），将M图看作A，容易算得
由图16-21a和图16-21c图乘，得
（3）求C点的竖向位移ΔCV
于C点加竖向单位F=1，作出图16-21d所示的单位弯矩图 M 3，将AC段 M 3看作A，其起点和终点所对应的M图是直线，故可应用图乘法公式。由图算得
则
例16-7 求图16-22a所示外伸梁外伸端C点的竖向位移ΔCV
解：根据所求位移加单位力，设虚拟状态，作 M、M弯矩图，再图乘。
作出荷载作用下的弯矩M（图16-22b）。事实上，图b等于图d与图e相叠加。为求ΔCV，在C处加单位力F=1，并作出图（图c）。因 M图包括两段直线，故整个梁应分为AB和BC两段，分别应用图乘法。AB段的M图可分解为A1（图d）与A2（图c）相叠加。由图d、e、c算得
三角形面积
对应 M的竖标
抛物线面积
BC段为抛物线，因C端FQ=0，故知是标准二次抛物线，
其面积为
对应 M的竖标
由此可得
图16-22
例16-8 求图16-23a所示刚架的C点的水平位移ΔCH。已知EI=常数。
解： 根据所求位移加单位力，设虚拟状态，作 M、M弯矩图，再图乘。
于C点加水平力F=1，作M图及 M图如图16-23b、c所示。AB杆的M图有正负部分，图乘时不宜分为两个三角形和，宜根据叠加原理，把M看作是
ΔaAB（A1）和ΔbAB（A2）相叠加。这样，不但面积容易计算，而且对应竖标y1、y2也容易算出。
由图16-23b、c可以算得
则
图16-23
例16-9 试用图乘法求图16-24a所示刚架A、B截面的竖向相对线位移。已知各杆EI为常数。
解： 根据所求位移加单位力，设虚拟状态，作 M、M弯矩图，再图乘。
先计算A、B之间的竖向相对线位移，在A、B上加一对方向相反的竖向单位力，分别作出实际状态的M图和虚拟状态的 M图，如图16-24b、c所示。由图乘法得
计算结果为正，说明AB之间的竖向相对线位移与虚拟广义力的方向相同。
图16-24
第六节 静定结构支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不引起内力，因而杆件不会发生变形。此时结构产生的位移为刚体位移。
据式（16-7），有　　　　　　　　　　
　　　　　　　　（16-13）
这就是静定结构在支座移动时位移计算的一般公式。式中：
c为实际位移状态中的支座位移；
FR为虚拟单位力状态对应的支座反力。
Σ FRC为反力虚功，当反力 FR与实际支座位移C方向一致时其乘积取正，两者方向相反时为负。
计算结果ΔK为正时，说明所求位移与所设单位力的方向一致。
例16-10
例16-10　图16-25a所示三铰刚架，支座B下沉a，向右移动b，求截面E的角位移θE。
解：　根据所求位移加相应单位荷载，求出支反力，按式（16-13）进行计算
虚拟状态为图16-25b。在截面E加单位力偶，并求出支座B的竖向及水平方向的反力，
根据（16-13），得
图16-25
例16-11　某刚架支座A的位移如图16-26a所示，试求B点的竖向位移和铰C左右两侧截面的相对转角。已知a＝4cm,b=2cm, θ=0.002。
解：根据所求位移，加相应单位荷载，求出支反力，按式（16-13）进行计算
　（1）欲求B点的竖向位移，在B点沿竖向加上单位力，求出相应支座反力，如图16-26b所示。由式（16-13），有
（2）欲求铰C左右截面的相对转角，在C点左右加上一对单位力偶，求出相应支座反力，如图16-26c所示。由式（16-13），有
（　　）
图16-26
例16-12
例16-12　图16-27所示桁架，施工时C点需预置起拱度6cm。试问四根下弦杆在制造时应做长多少
解：将各杆应做长设为λ，识为制造误差或支座沉降，按式（16-13）进行计算。
设下弦各杆应做长λ，其值可由式（16-13）求得。在C点加一虚拟单位力，并求出下弦各杆（有制造误差的杆）的内力，如图16-27b所示。根据式（16-13），得
即只要使下弦各杆做长3cm，即可达到所需预置的拱度。
图16-27
第七节　梁的刚度校核
一、　梁的刚度条件
构件不仅要满足强度条件，还要满足刚度条件。对梁而言，校核梁的刚度是为了检查梁，在荷载作用下产生的位移是否超过容许值。
在建筑工程中，一般只校核在荷载作用下梁截面的竖向位移，即挠度。与梁的强度校核一样，梁的刚度校核也有相应的标准，这个标准就是挠度的容许值f与跨度l的比值，用 [f/l] 表示。梁在荷载作用下产生的最大挠度ymax与跨度l的比值不能超过，[f/l]　即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（16-14）
式（16-14）就是梁的刚度条件。式（16-14）就是梁的刚度条件。根据梁的不同用途，相对容许挠度可从有关结构设计规范查出，一般钢筋混凝土梁:
钢筋混凝土吊车梁:
土建工程中的梁，一般都是先按强度条件选择梁的截面尺寸，然后再按刚度条件进行验算，梁的转角可不必校核。
例16-13
例16-13　一承受均布荷载的简支梁如图16-28所示，已知l=6m,q=4kN/m,[f/l]=1/400，采用22a工字钢，其惯性矩I=0.34×10-4m4，弹性模量E=2×105MPa，试校核梁的刚度。
解： 先求最大挠度ymax，再求ymax/l与f/l比较，满足式（16-14）者，为满足刚度条件。
由例16-5知承受满均布荷载的简支梁，最大挠度发生在跨中点截面处，按刚度条件表达式（16-14），应取跨中点处挠度作为校核对象。梁的最大挠度为
故选用22a工字钢能满足刚度要求。
图16-28
例16-14　
例16-14　图16-29所示简支梁，已知截面为No32a工字钢，在梁中点作用力F=20kN,E=210GPa，梁长l=9m，梁的相对容许挠度f/l =1/500，试进行刚度校核。
　
解：　先求最大挠度ymax，再求ymax/l与f/l比较，满足式（16-14）者，为满足刚度条件。
（1）求最大挠度ymax，由例16-1知，中点承受集中荷载的简支梁，最大挠度发生在中点，其值为
（2）求ymax/l与f/l比较　
满足刚度条件。
图16-29
二、提高梁刚度的措施
根据梁的挠度计算知，梁的最大挠度与梁的荷载、跨度l、抗弯刚度EI等情况有关，因此，要提高梁的刚度，需从以下几方面考虑。
1.　提高梁的抗弯刚度EI
梁的变形与EI成反比，增大梁的EI将会使梁的变形减小。大家知道，同类材料的弹性模E值是不变的，因而只能设法增大梁横截面的惯性矩I。在面积不变的情况下，采用合理的截面形状，例如采用工字形、箱形及圆环等截面，可提高惯性矩I，从而也就提高了抗弯刚度EI。
2.　减小梁的跨度
由梁的位移计算知，梁的变形与梁的跨长l的n次幂成正比。设法减小梁的跨度，将会有效地减小梁的变形。例如若条件允许的话，将简支梁的支座向中间适当移动变成外伸梁，或在简支梁的中间增加支座，这都是减小梁变形的有效措施。
3.　改善荷载的分布情况
在结构允许的条件下，合理地改变荷载的作用位置及分布情况，可降低最大弯矩，从而减小梁的变形。例如将集中荷载分散作用，或改为分布荷载都可起到降低弯矩，减小变形的目的。
第八节　线弹性结构的互等定理
一、功的互等定理
设有两组外力F1和F2，分别作用于同一线弹性结构上，如图16-30a和b所示，分别称为结构的第一状态和第二状态。如果我们来计算第一状态的外力和内力，在第二状态相应的位移和变形上所作的虚功W12和W′12，并根据虚功原理W12＝W′12，则有
这里，位移Δ12的两个下标的含义与前相同：第一个下标“1”表示位移的地点和方向，即该位移是F1作用点沿F1方向上的位移；第二个下标“2”表示产生位移的原因，即该位移是由于F2所起的。
反过来，如果计算第二状态的外力和内力，在第一状态相应的位移和变形上所作的虚功W21和W12，并根据虚功W21＝W′21，则有
（b）
上面（a）、（b）两式的右边是相等的，因此左边也应相等，故有
（16-15）
或写为
W12=W21 （16-16）
它表明，第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。这就是功的互等定理。
图16-30
二、 位移互等定理
现在应用功的互等定理来研究一种特殊情况。如图16-31所示，假设两个状态中的荷载都是单位力，即F1=1、F2＝1，，则由功的互等定理，即式（16-15）有
此处Δ12和Δ21都是由于单位力所引起的位移，为了区别一般力与单位力引超的位移，现将单位力引起的位移，改用小写字母δ12和δ21表示，于是上式写成
δ12=δ21
这就是位移互等定理。它表明，第二个单位力，在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移，等于第一个单位力，在第二个单位力作用点沿其方向引起的位移 。
图16-31
三、　反力互等定理
这个定理也是功的互等定理的一种特殊情况。它用来说明在超静定结构中，假设两个支座分别产生单位位移时，两个状态中反力的互等关系。图16-32表示，支座1发生单位位移Δ1=1的
状态，此时使支座2产生的反力为r21;图 16-32b表示，支座2发生单位位移Δ2=1的状态，使支座1产生的反力为r12。根据功的互等定理，有
令Δ1=Δ2=1，则有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（16-18）
这就是反力互等定理。它表示，支座1发生单位位移时，在支座2产生的反力，等于支座2发生单位位移时，在支座1产生的反力。
图16-32

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