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第十二章 压杆稳定计算
第一节 压杆稳定的基本概念
第二节 细长压杆临界力的计算公式
第三节 中长压杆的临界应力公式与临界应力总图
第四节 压杆的稳定条件及其应用
第五节 提高压杆稳定性的措施
第一节 压杆稳定的基本概念
细而长杆来说其承载力并不能由强度条件来确定，而是远低于强度条件所确定的值。
有人拿长1m、横截面30×5mm的木条做过试验，当轴向压力达到30N时，木条就出现侧向弯曲而不能再保持原有直线平衡状态。如果继续加载，木条弯曲迅速加剧，随即折断。
因此，该木条的承载能力应该是30N。但据强度条件，即使是红松，其抗压强度[σC]=10MPa，承载力也应该是[FN]= [σC]A=10×(30×5)=1500N。这个值是木条实际承载力的50倍。
分析这种巨大差异的原因，除了木条本身制作时的缺陷（如并非理想的等截面直杆，而有初始曲率、截面并不完全相等）和外力并非理想地位于轴线上外，主要是这种轴向受压的细长杆件在压力达到某一值（记为Fcr，其远小于强度承载力）后，丧失了保持其原有稳定直线平衡状态的能力（工程上称之为压杆失稳），出现侧向弯曲而丧失了承载能力，此时杆件横截面的压应力远小于其材料强度值。
临界压力
取图12-1所示的理想压杆做一抗侧向干扰的试验，在不同压力下用侧向干扰力使其弯曲。结果表明，轴向压力F＜Fcr时，一但去除干扰力，压杆便迅速恢复原状，继续保持其稳定直线平衡状态承受压力。我们称这种情况的平衡为稳定平衡。
当F＝Fcr时，即使去除了干扰力压杆仍停留在干扰力使其弯曲的位置，无法恢复原状，这是工程上不能容许的状况。我们称这种情况的平衡为临界平衡。F＞Fcr时，一有微小干扰，压杆迅速向远离干扰所致的位置弯曲，随即折断。我们称这种情况的平衡为不稳定平衡。
工程上不能容许这种情况出现。前面所谓压杆失稳，就是指F≥Fcr的情况，Fcr的被称为临界压力。
图12-1
第二节 细长压杆临界力的计算公式
一、临界力计算的欧拉公式
工程上，压杆两端约束有四种不同情况：两端铰支、两端固定、一端固定一端自由和一端固定一端铰支，如图12-2所示。图中曲线为压杆失稳弯曲后的形状。
瑞士籍科学家欧拉（L.Euler）最早研究了两端铰支压杆的稳定性，通过理论推导他得到了其临界力计算公式，即著名的欧拉公式。欧拉公式进一步推广到另外三种约束情况，成为四种情况都适用的如下一般形式：
（12-1）
式中，EI为压杆在图示失稳弯曲平面内的抗弯刚度；μ为由两端约束情况确定的系数，称为长度系数（两端铰支取1，两端固定取0.5，一端固定一端自由取2，一端固定一端铰支取0.7）；μl称为压杆的计算长度，可记为l0，则式（12-1）变得更简单。值得指出的是，每种情况压杆的失稳弯曲线在计算长度范围恰好是半波正弦曲线。
图12-2
二、欧拉公式的适用条件
1、临界应力
压杆在临界力作用下，横截面上的应力称为临界应力，记为σcr。则
称之为杆件横截面的惯性半径，它反映杆件在弯曲面内的“粗细”，于是：
令 ，则有
（12-2）
上式是压杆临界应力计算公式，它是欧拉公式的应力表达形式，是从横截面应力大小来判断压杆是否失稳的标志。
临界应力σcr越大，压杆的稳定性就越强。
临界应力σcr越小，压杆的稳定性就越弱。
式中，λ=μl/i 表示了压杆在弯曲面内计算长度与“粗细”度之比，综合反映压杆的长度、截面尺寸以及压杆两端支承的情况，称为压杆的长细比或柔度。
λ愈大，表示压杆越细长，稳定性愈差，愈容易失稳。
λ愈小，表示压杆越粗短，稳定性愈强，愈不容易失稳。
2、欧拉公式的适用条件
欧拉公式的前提是材料应力应变满足虎克定律（有时笼统地说在弹性范围内）。为此，所得临界应力不应超过材料比列极限。即
故
上式就是欧拉公式（12-1）、（12-2）适用条件的柔度表达式。
它说明，可运用欧拉公式的压杆柔度或长细比要足够大，故工程上称满足这一条件的压杆为细长压杆。
式子右端表示临界应力恰好为材料比例极限σP的压杆柔度值，
于是可令
同种材料的λP值是一个常数。
如Ｑ235钢E=210GPa，σP=200MPa，则其λP可取102。又如某木材E=10GPa，σP=6.8MPa，则其λP可取120。也可将常用材料的λP值计算出并编制成表格供查用。
于是，欧拉公式的适用条件为λ≥λP。
例12-1 某压杆材料弹性模量E=200GPa，λP=100。当柱子实际柔度λ=125时，试分别计算横截面为图示圆形和矩形截面时柱子的临界压力。
解： 因为柱子实际柔度λ=125＞λP=100，故知可用欧拉公式计算临界力。柱子“上端自由、下端固定”，故长度系数μ=2。
（1）圆形截面时，惯性矩为
于是，临界力为
（2）矩形截面时，应取对截面两个形心轴惯性矩之较小者，为
于是，临界力为
图12-3
例12-2 压杆如图12-4所示，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa，求临界压力Fcr。
解： 压杆在A、B两端为销钉连接，在正视图平面内弯曲时，截面绕z轴转动，为两端铰支，μz=1。在俯视平面内弯曲时，截面线y轴转动，两端约束都相当于固定端，μy=0.5。虽然 μy l＜μz l，但矩形截面的EIy＜EIz，故无法由一下判断出该压杆失稳后弯曲时横截面是绕轴y转还是绕z轴转。因此，应先分别计算出压杆在两个平面内的柔度，判定出压杆会在哪个平面内失稳，从而确定失稳弯曲时横截面绕哪个轴转动。然后再用相应的公式来计算临界力值。
图12-4
（1）计算两个平面内的柔度λ值
在正视平面内,
在俯视平面内
于是
于是
因λZ〉λy，所以该压杆可能在正视面xoy内失稳，即压杆失稳弯曲时横截面会绕z轴转动。
例12-2 : （2）计算相应临界力
（2）计算相应临界力：因λZ＝132.79>λp＝102，可以应用欧拉公式计算压杆临界力。
临界应力由欧拉公式（12-2）得
压杆横截面积 A＝bh=40×60=2400mm2，则
Fcr=σcrA=111.94×2400=268.66×103N=268.66kN
另一种计算方法，直接由临界力欧拉公式计算：
则代入式（12-1）可得：
第三节 中长压杆的临界应力公式与临界应力总图
上节讨论了λ≥λP细长压杆的临界力与临界应力计算。
对于λ＜λP的压杆，工程上又分为两种情况:
1、一种是压杆长细比特别小（显得“短而粗”），不存在失稳的问题，其承载力丧失是因材料受压破坏（如前第十章所说断裂或屈服）所致，破坏应力远高于这种材料制成的任何细长杆的临界应力。我们把这种压杆上限柔度记为λS，则这种杆λ＜λs，称之为粗短杆。
2、另一种是介于细长杆和粗短杆之间，λs≤λ＜λp，称之为中长杆。
一、中长压杆临界应力及临界力的计算
中长压杆的临界应力公式无法直接由理论推导得出。但人们通过试验研究得出了中长压杆的临界应力的经验公式。目前常用的有如下两个：
1. 中长压杆临界应力的直线经验公式
（12-3）
式中系数a、b都是与材料性质有关的常数，通过试验测得，见表12-1。
表12-1 常见材料中长杆临界压力直线公式的系数及相应λP、λS值
2. 中长压杆临界应力的抛物线经验公式
（12-4）
式中系数a1、b1也是与材料性质有关的常数，由试验测得。如，Q235钢的a1=240MPa，b1=0.00682 MPa。其它材料的a1、b1值可查有关资料得到。
知道了中长压杆的临界应力，也就可以由Fcr = σcrA方便地计算出其临界力Fcr了。
二、临界应力总图
将同种材料不同柔度值的细长压杆、中长压杆的临界应力σcr与柔度λ的关系曲线绘制在同一个λ~σcr坐标系中，就成为临界应力总图。
图12-5即为Q235钢的临界应力总图，其中细长杆的欧拉公式曲线与中长杆的经验公式抛物线的交点对应柔度λC=123，因其大于λP=102，故工程实用中以λC作为Q235钢细长压杆的最小柔度。即实用上以λ≥λC的杆为细长杆，则相应中长杆柔度为λC＞λ≥λS。粗短压杆不存在失稳问题，其破坏是强度破坏，也就不存在临界应力了，故此段以虚线表示。
图12-5
例12-3 设三根圆截面压杆如图12-6所示，直径均为d＝16cm，材料同为Q235钢，бS=235MPa。已知两端均为球形铰支承，长度分别为l1、l2、l3，试求各杆临界荷载值。设l1＝5m，l2＝2.5m，l3＝1.25m。
图12-6
解： （1）计算各杆截面几何性质
（此式今后可直接使用），则i =16/4=4cm。
（2）计算临界荷载
属于细长杆，故可用欧拉公式计算临界荷载。于是
λ2< λ P=102，它属于中长杆或粗短杆。今假定用中长杆直线经验公式计算临界应力，从表12-1中查出公式中系数a=304，b=1.12。则
因Q235钢бS=235MPa，令σcr=σs ,由上式可得
例12-3
于是知本题压杆λs＜ λ < λ P，属于中长压杆，可以应用所选临界应力直线经验公式。将λ 2=62.5代入上式得
故其临界荷载为
为粗短杆，该杆不会发生受压失稳破坏，只会发生强度屈服破坏。因此不存在临界荷载。
第四节 压杆的稳定条件及其应用
一、实际压杆的主要“缺陷”
前面所讨论的压杆（细长和中长）都是理想化的。实际工程中的压杆存在着如下缺陷。因此，临界力和临界应力并不能直接作为实际压杆是否失稳的判据。
1、初弯曲。实际压杆的轴线不可能是理想的直线，具有微小的初始曲率。
2、初偏心。压力作用点与压杆横截面形心不可能完全重合，带有微小的偶然偏心。
3、残余应力。杆件及材料在制作（如钢材冶炼、杆件切割、焊接和安装）时常在内部产生一种自相平衡的初应力，称为“残余应力”。
由于缺陷存在，使压杆实际稳定临界力和临界应力比公式计算值要低。因此，工程中实用的压杆稳定条件是在理想压杆临界应力计算值基础上，综合考虑了实际压杆缺陷后给予适当安全储备而建立的。
二、压杆稳定条件
压杆稳定条件，就是压杆保持稳定直线平衡平衡的条件。按照上面的讨论，压杆要保持稳定，其实际工作应力σ=F/A必须小于计算出来的临界应力：
σ=F/A＜σcr
由于实际压杆有缺陷，实际临界应力比计算出的临界应力σcr小，因此为了保证细长和中长压杆稳定可靠，必须综合考虑一定的安全储备。因此，工程上采用将σcr除以一个随压杆具体柔度λ而变化的大于1的系数作为压杆的稳定容许应力[σst]。这个大于1系数称为稳定安全系数，记为[Kst]，则[σst]=σcr/[Kst]。于是，压杆的稳定条件可写为
但上式不便于工程上运用，因为σcr、[Kst]都是要随压杆具体柔度λ而变化的量。为此，人们常将压杆稳定容许应力[σst]改用强度容许应力[σ]来表达，即
，则[σst]=φ[σ]。于是，压杆稳定条件成为
（12-5）
φ称之为稳定折减系数，随柔度λ变化，同时因临界应力σcr小于强度容许应力[σ]，而[Kst]大于1，故φ一般小于1。常用材料的压杆稳定折减系数见表12-2。
表12-2 常用材料压杆的稳定系数φ
不难看出，当φ=1时，式（12-5）就成了轴压杆的强度条件。说明此时压杆已不存在失稳问题，只有强度问题，是粗短杆了。从式（12-5）还可以看出，只要满足了稳定条件的压杆，必然满足强度条件。因此，工程上一般只需验算压杆的稳定性。只有当压杆横截面被削弱（如打孔洞或开口开槽等）时，才需验算这些横截面的强度。
三、压杆稳定性计算
压杆稳定条件（12-5）式，有三方面的用途。
1．压杆稳定校核
即已知压杆的长度、两端支承情况、材料种类、横截面尺寸及轴压力，验算压杆稳定条件式（12-5）是否满足。这时应先根据压杆两端支承情况确定长度系数μ值，然后由截面尺寸计算出惯性半径i，接着算出柔度λ，再根据材料种类和λ值查表得到稳定折减系数φ值，即可验算式（12-5）是否成立。
2．压杆容许荷载计算
由式（12-5）得：F≤φ[σ]A。此式右端即为压杆不失稳所能承受的最大压力，称为稳定容许荷载，记为[Fst]。于是
[Fst]= φ[σ]A
当已知压杆的长度、两端支承情况、材料种类、横截面尺寸时，即可根据压杆两端支承情况确定长度系数μ值，然后由截面尺寸计算出惯性半径i，接着算出柔度λ，再根据材料种类和λ值查表得到稳定折减系数φ值，最后代入上式计算出压杆的容许荷载[Fst]。甚至还可进一步根据条件确定出结构的容许荷载值。
3．压杆横截面设计
由式（12-5）得
上式右端其实就是所需的横截面最小面积。从上式看出，要计算出所需面积A，需先查表得φ值，但φ要根据材料种类和柔度λ值查表，而在不知道A时，是无法算出惯性半径i和柔度λ值的，就无法查φ值。因此，采用如下步骤来进行压杆横截面设计。
（1）按经验假设一个φ1值（因φ=0~1，故无经验时可设因φ1=0.5），按上式算出一个面积A1，可确定出横截面初选尺寸（如b1、h1等）或型钢型号。
（2）按横截面初选尺寸（如b1、h1等）或型钢型号计算出i1和λ1值，然后查表得φ/1值。
（3）比较φ1和φ/1值，若相差较大，则重新假设φ2=（φ1+φ/1）/2，重复（1）（2）步骤。直到φ1和φ/1值接近为止。
例12-4 某钢管柱，长l＝2.2m，两端铰支。外径D＝102mm，内径d＝86mm，材料为Q235钢，许用压力[б]=160MPa。已知承受轴向压力F＝300kN，试校核此柱的稳定性。
解： 柱了两端铰支，故μ=1，钢管横截面惯性矩
截面面积
故惯性半径
柔度
查表12-2得：
当λ=60时 φ=0.842
λ=70时 φ=0.789
用直线插入法：λ=66时
而
钢柱满足稳定条件。
图12-7
例12-5 如图12-7所示支架，BD杆为正方形截面的木杆，其长度l＝2m，截面边长a＝0.1m，木材的许用应力[б]=10MPa。试从BD杆满足稳定性条件考虑，确定该支架能承受的最大荷载[F]。
解： （1）计算BD杆的长细比
因方形截面
（2）求BD杆能承受的最大压力
根据长细比λBD查表，得φBD=0.460，则BD杆能承受的最大压力为
（3）求出该支架的最大荷载[F]
由AC的平衡条件，可得外力F与BD杆所承受压力之间的关系。取梁AC分析，画出受力图。则
可求得
将FBD=[Fst]BD代入上式即可得该支架能承受的最大荷载
例12-6 某木柱高l=3.5m，横截面为圆形，承受轴向压力F=75kN，木材容许应力[б]=10MPa，试选择直径d。
解：（1）先设φ1=0.5，则
于是可算出直径
为便于施工，取d1=140mm。则在所选直径下,
查表得φ′1=0.3。这与所设φ1=0.5差别较大，应重新计算。
（2）设
，则同上有
取d2=160mm。则在所选直径下
查表得φ′2=0.393，与所得φ2=0.4很接近，可不必再算。
（3）稳定性校核
符合稳定条件，故圆柱设计直径为d=160mm。
第五节 提高压杆稳定性的措施
（1）合理的选择截面形状
因为压杆的临界力大小与惯性矩成正比，所以在横截面面积一定的情况下，应选择材料分布尽量远离中性轴的截面形状，以便得到较大的惯性矩。比如，能用方形截面时不用圆形截面，能用矩形截面时不用方形截面，能用工字形截面时不用矩形截面，能用空心截面时不用实心截面等，均可提高压杆的稳定性。
(2)减小压杆的实际长度
因压杆的临界力与杆件长度的平方成反比，因此在不影响使用功能的条件下，可以在杆中间部位增加支撑，来减小压杆的悬空长度，提高压杆的稳定性。
（3）增强端部约束作用
压杆的临界力与长度系数的平方成反比，而杆件端部的约束类型决定长度系数的值。从长度系数的取值规律看，约束作用愈强，则相应的长度系数愈小，临界力就越大。如能用铰支承就不要悬空成为自由端，能固定就不用铰支座，从而增强端部约束作用，来降低压杆的长度系数，提高其临界力，以达到提高稳定性的目的。
（4）合理的选择材料
压杆的临界力和材料的弹性模量成反比。选择E值较高的材料，也可以达到提高压杆的临界力，从而提高压杆的稳定性。

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