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第十七章 力 法
第一节 概 述
第二节 力法的基本原理和典型方程
第三节 用力法计算超静定梁、刚架和排架结构
第四节 用力法计算超静定桁架和组合结构
第五节 对称性利用
第六节 超静定结构位移计算与最后内力图校核
第七节 支座移动时超静定结构的内力计算
第八节 超静定结构的特性
第一节 概 述
一、超静定结构的概念
前面各章研究了静定结构的内力和位移计算方法。
如图17-1a 可以看出，静定结构从受力角度来看，其支座反力和内力仅根据平衡方程就可以完全确定。
从几何构造角度来看，静定结构是几何不变且无多余联系的结构；但是在实际工程中还存在有另一类结构如图17-1b 所示，可以看出其支座反力、内力仅用平衡方程无法完全确定，从几何构造来看这类结构为具有多余联系的几何不变结构。我们称此类结构为超静定结构。
图17-1
二、超静定结构的常见类型
按照组成超静定结构的杆件的主要变形特征，超静定结构的常见类型有：超静定梁（图17-2）、超静定刚架（图17-3）、超静定排架（图17-4）、超静定拱（图17-5）、超静定桁架（图17-6）、超静定组合结构（图17-7）等。
图17-2
图17-3
图17-4
图17-5
图17-6
图17-7
三、超静定次数确定方法
在力法计算中首先就要正确判定超静定次数，因此首先对其加以讨论。上面已指出超静定结构是具有多余联系的几何不变结构体系，所以超静定次数就是指超静定结构中多余联系的个数。
确定超静定次数最直观、简便的方法就是撤消多余联系法。设某个结构撤消n个多余联系后，剩下部份成为一个一个几何不变且静定的结构体系，则可以判定原结构为n次超静定结构，同时把撤消多余联系后体系称为基本体系，所撤消的多余联系反力常记为xi，并称其为多余未知力。
具体讨论各类超静定结构的超静定次数时，可能会遇到下面几种情况：
1. 撤除一个支座链杆或切断一根链杆，相当于去掉一个多余约束（图17-8）。
n=1次
图17-8
超静定次数确定方法
2. 撤除一个固定链支座或内部连接单铰，相当于去掉二个多余约束（图17-9）。
n=2次
3、撤除一个固定插入端支座或切断一根连续的梁式杆，相当于去掉三个多余约束（图17-10）。
n=3次
图17-9
图17-10
超静定次数确定方法
4、把刚性连接处改为单铰连接或把固定端支座改为固定铰支座，相当于去掉一个约束（图17-11）。
n=1次
n=1次
5、具有封闭格框的结构，因为每一个格框的超静定次数是3，则整个结构的超静定次数为格框数的三倍（图17-12）。
图17-11
图17-12
基本体系
把去掉多余联系后所得到的静定且几何不变体系称为原结构的基本结构，在它上面标注出多余未知力称为基本体系。
应用撤除多余联系的方法，则不难按上述五种情况判定出上面图17-8至图17-12中各结构的超静定次数。
需要再次强调指出，对于同一超静定结构可以按不同的方式撤除多余联系，从而得到不同形式的基本结构，但无论采用何种形式，超静定的次数是不变的。而且在选择基本结构时应注意两点：
（1）基本结构必须是几何不变系，即只能撤除多余链杆约束，而不可撤除维持几何不变所需的必要链杆约束。图17-13a 中可选用b、c、d图形式为基本结构，显然超静定的次数为n=1。但e图形不可，它为瞬变体系，因为A、B支座处链杆交汇到一点；
（2）基本结构一般应是静定的，所以应撤除外部支座及内部全部多余联系，图17-14中所示的结构超静定次数应为7次。
图17-13
图17-14
第二节 力法的基本原理和典型方程
一、力法中的基本未知量和基本体系
在图17-15a所示的单跨超静梁AB，撤除B支座链杆多余约束，设其反力为x1，则得到如b图所示的静定结构。不难设想，当x1为某一特定值时，该静定梁的受力和变形与原结构相同。
因此在力法中多余未知力x1是最基本的未知量。
同时，常把包含多余未知力和荷载的静定结构（图17-15b）称为原超静定结构的基本体系。
图17-15
二、力法的基本方程
要确定基本未知量需应用到位移条件。图17-15a所示的原超静定结构B点处竖向位移为零，对比原结构与基本体系，则图17-15b所示悬臂梁B点在某一特定值x1和荷载共同作用下，其竖向位移也应为零。因此，确定多余未知力x1的位移条件应记为（设沿x1方向位移为△1）
△1 = 0 （a）
如图17-15c、d所示，若以△11和△1P分别表示悬臂梁在x1和荷载q单独作用时，B点所产生竖向位移，则按叠加原理有：
△1 =△11 + △1P = 0 （b）
再令如图17-15e图所示δ11表示 x1=1（单位多余未知力）引起B点竖向位移，对线弹性结构，则有
△11 = δ11 x1 （c）
把（c）式代入（b）式得到
δ11 x1 + △1P =0 （17-1）
上面（17-1）式就是此单跨超静定梁的力法基本方程。从上讨论可以看出，力法基本方程的物理本质是位移条件，此处具体含义是指：在多余未知力和荷载共同作用下，B点沿x1方向（竖直方向）位移为零。
要求得（17-1）式中x1，应首先求得δ11和△1P。从图17-15看出，δ11和△1P都是静定结构B点在已知外力作用下的位移计算问题，它们都可以按所学过的单位荷载法求得。
分别画出在 x1 =1和荷载q作用下的弯矩图 M1图和Mp图，如图17-16a、b所示。按图乘法可求得：
把δ11、△1P代入（d）式求得多余未知力
上式为正值，表示x1的实际方向与假定相同，即竖直向上。
多余未知力x1求出后，其余所有反力和内力从基本体系可看出都属于静定结构计算问题。绘制弯矩图则可以应用已画出的 M1、MP图，应用叠加法较方便。
即有
（17-2）
例如：A截面弯矩值为
于是可作出M图（最后弯矩图），如图17-16c所示。
图17-16
三、力法的典型方程
下面用图17-17a所示的二次超静定刚架为例，说明如何建立多次超静定结构的力法基本方程。
1、撤除原结构B端约束，以相应的多余未知力x1、x2来代替原固定铰支座约束作用，用时考虑荷载作用，可得基本体系如图17-17b所示。
2、原结构在支痤B处是固定铰支座，将不会产生水平、竖向线位移，因此，在基本体系上B点沿x1、x2方向位移也应为零。即位移条件应为
△1 = 0
△2 = 0
和上面讨论一次单跨超静定梁相彷，设单位多余未知力 x1 =1、 x2=1和荷载F分别单独作用在基本结构上时：B点沿x1方向产生位移记为δ11、δ12和△1p；沿x2方向产生的位移记为δ21、δ22和△2p（图17-17c、d、e）。
按叠加原理，基本体系应满足的位移条件可表示为：
（17-3）
这就是求解多余未知力x1、x2力法基本方程式，求解该线性方程组即可求得多余未知力。
图17-17
对于n次超静定结构，则必有n个多余未知力，相应地也就有 n个已知位移条件，假如原结构在撤除多余约束方向位移为零时，则可以建立如下n个力法方程。
………
………
（17-4）
式（17-4）就是求解n次超静定结构的力法方程式。这一组方程的物理本质仍然是位移条件，其含义是指：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，在撤除多余约束处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相应位移相等（此处为零）。
从左上到右下方对角线上系数称为主系数，它是单位多余未知力 xi =1单独作用所引起的沿自身方向位移；其他系数δij（i≠j）称为副系数，它是单位多余未知力 xj =1单独作用所引起的沿xi方向位移；最后一次△ip称为自由项，它是荷载单独作用时，所引起沿xi方向位移。
显然由物理概念可推知，主系数恒为正值，且不会为零。副系数和自由项则可能为正、负或零。而且按位移互等定理，有以下关系
上述力法基本方程组具有一定规律性，无论超静定结构是何种类型，所选择基本结构不同形式，在荷载作用下所建立的力法方程组都具有如（17-4）式相同的形式，故称其为力法的典型方程。
典型方程中的主、副系数和自由项都是基本结构在已知力作用下位移，均可用求静定结构位移方法求得。进而由力法典型方程求得全部多余知力。超静定结构最后弯矩图按叠加原理则可求得
（17-5）
对梁和刚架当要求剪力图和轴力图时，不妨把全部多余未知代回基本体系，按静定结构方法来计算，反而方便。
第三节 用力法计算超静定梁、刚架和排架结构
一般说来，力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：
（1）撤除多余联系，假设出多余未知力，考虑荷载，绘出基本体系；
（2）将基本体系和原结构相比较，按位移条件建立力法典型方程；
（3）绘出基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图（或写出内力表达式），用单位荷载法求出主、副系数和自由项；
（4）解力法典型方程求解全部多余知力；
（5）按叠加法或平衡条件方法作出内力图。
下面举例来说明用力法求解超静定梁、刚架和排架结构的过程。
一、超静定梁和刚架
计算超静定梁和刚架仍然遵循上面所归纳的步骤，但在计算主、副系数和自由项时，通常略去剪力和轴力影响，只计入弯矩的影响，使计算简化。而且，一般常应用图乘法求主、副系数和自由项。
例17-1 试用力法计算图17-18a所示的两端固定单跨超静定梁。 设EI=常数，绘出弯矩图。
解：（1）选取基本体系。此梁为三次超静定结构，取悬臂梁为基本结构，基本体系如图17-18b。
（2）建立力法典型方程。按原结构B端支座竖向、水平方向线位移及转角为零，故典型方程为：
（3）求典型方程系数和自由项。绘出单位弯矩图 M1 、 M2 、 M3及荷载弯矩图Mp（图17-18c、d、e、f）。按图乘法，各系数和自由项计算如下：
图17-18
例17-1：接上页
(4)求解多余未知力。将上面各系数和自由项代入典型方程。则典型方程成为
联解得：
值得指出，在小变形的条件下超静定梁若受到垂直于梁轴线的荷载，则梁沿轴线方向所受到约束反力恒为零，自然梁也不存在轴力。
（5）绘弯矩图。 按叠加法M= M1 x1 + M2 x2 + MP可以计算梁端弯矩，最后弯矩图如图17-18g所示。
例17-2 用力法计算图17-19a所示的刚架，绘出弯矩图。设各杆EI=常数。
解:
（1）选取如图17-19b所示的基本体系，显然此处选简支刚架为基本结构，超静定次数为二次。
（2）建立力法典型方程。按原结构C、D支座竖向位移为零，则有
（3）求系数和自由项。绘出 M1、 M2、Mp图如图17-19c、d、e所示。由图乘法则得：
图17-19
例17-2
(4)求解多余未知力。把上面求得主副系数和自由项代回力法典型方程，消去公因子(l3/EI)，则有
解出
（5）绘内力图。
最后弯矩图，可按叠加法求出，即M= M1 x1 + M2 x2 + MP，M图已示于图17-19f中。剪力图和轴力图的作法，只须把求得的多科未知力x1、x2代回基本体系（图17-19b），按一般静定刚架内力图作法即可求得。
例17-3 用力法计算图17-20a所示刚架，绘出弯矩M图。设EI=常数。
解：（1）取基本体系 , 如图17-20b所示。
（2）建立力法典型方程。此处按c铰处沿x1、x2方向相对线位移为零，则有
（3）画出 M1、 M2、MP如图17-20c、d、e所示，求得主、副系数和自由项为
图17-20
例17-3
（4）求解多余未知力。把上面系数和自由项代回力法典型方程，则有
144x1+1620=0
126x2=0
解出：
x1=-1620/144=-11.25kN（压力）
x2=0
（5）绘M图。由M= M1 x1 + MP可作出M图如图17-20f所示。
二、铰结排架
在单层工业厂房中常采用铰结排架结构体系。屋架（或屋面大梁）和柱顶设计为铰结，屋架对柱顶仅起联系作用。
由于屋架面内纵向刚度甚大，常简化为拉压刚度为无限大（EA=∞）的刚性链杆。
同时为支承吊车梁原故，立柱也常设计为变截面阶梯柱，上下段弯曲刚度不同。
此类结构常用力法计算，且只须绘出竖柱的内力图。
例17-4 试用力法计算图17-21a所示铰结排架结构弯矩图。设阶梯柱上下段的弯曲刚度分别为EI1和EI2，且EI2=7EI1。已知柱子受到吊车传来水平制动力F=20kN。
解:（1）切断刚性链杆CD，以一对轴力为多余未知力x1，选取如图17-21b所示的基本体系。
（2）建立力法方程：比较原结构和基本体系，则因CD为连续杆件故切口处相对轴向线位移应为零，即有
（3）求系数和自由项。绘出 M1、MP图分别如图17-21c、d所示。按阶梯柱弯曲刚度不同分段图乘，则可得：
图17-21
例17-4
（4）求解多余未知力
（5）绘内力图，按叠加法M= M1 x1 + MP 可以作出立柱的弯矩图如图17-21e所示。
由上看出排架的计算原理与用力法计算超静定梁、刚架是相似的，其特点是因为阶梯柱的弯曲刚度上下段是不同的，因此在用图乘法求系数和自由项时应分段图乘。
第四节 用力法计算超静定桁架和组合结构
一、超静定桁架结构
由于桁架结构是由两端带铰的链杆组成，其特点是桁架结构中各杆仅有轴力FN，故基本结构中的位移都是由于杆件轴向变形引起的，则力法典型方程中的系数和自由项，应按静定结构位移计算章节中关于桁架的公式计算
例17-5 试用力法计算图17-22a所示的超静定桁架。设各杆EA=常数，求出各杆的轴力。
解: （1）切断上弦杆，以一对多余未知力x1代替其作用效应，同时考虑荷载F，建立基本体系如图17-22b所示。
（2）建立力法典型方程：切口处原为连续杆件截面，则其相对轴向线位移应为零，于是力法方程为
（3）计算系数、自由项：首先应用结点法计算出在 x1 =1和荷载F分别单独作用下各杆内力值，已示于图17-22c、d中，请读者加以校核。按桁架位移计算公式则有：
图17-22
例17-5 ：续
（4）求解多余未知力
（压力）
（5）计算各杆最后内力：
利用叠加法较方便，按已经计算出的各杆 FN1值和FNP值，则各杆轴力为
各杆轴力值如图17-22e图所示。其中各值来历举例如下：
（拉力）
（拉力）
二、超静定组合结构
组合结构是由不同工作特性的基本构件组成，既含有链式杆，又含有梁式杆。
所以在计算力法典型方程中的系数和自由项时，对链杆系统只考虑轴力影响，对梁式杆系统通常略去轴力及剪力微小影响，只考虑弯矩影响。即应为：
上式中第一个集和号是对全部梁式杆求和，第二个集和号是对全部链式杆求和。
例17-6 试用力法计算图17-23a所示组合结构，绘出梁AB的M图，求出各链杆的轴力。已知：梁式杆EI=1.5×104kN·m2；链杆AD和BD的EA1=2.6×105kN；链杆CD的EA2=2.0×105kN。
解:（1）切断CD链杆，建立基本体系如图17-23b所示。
（2）建立力法典型方程：按切断口处相对轴向线位移为零条件，则
（3）计算系数及自由项：首先计算出 x1 =1及荷载分别单独作用下各链杆的轴力和梁AB弯矩图，分别示于图17-23c、d中 。则有
图17-23
例17-6
（4）计算多余未知力
（压力）
（5）计算内力：按叠加法
最后求得梁AB的弯矩图及链杆轴力值示于图17-23e、f中。
第五节 对称性利用
一、结构及荷载对称性
工程结构中出于受力及美观考虑，很多结构都具有对称性，如图17-24所示对称结构。
所谓对称结构是指：1）结构的几何形状尺寸和支座支承条件对某一轴呈对称；2）杆件截面几何性质及材料性质也对该轴呈对称。图17-24中各结构都是轴对称结构，今后简称为对称结构。虽然，沿对称轴对折，则结构的对称部份应完全吻合相同。图a、b仅有一个对称轴y-y，而图c、d则有两个对称轴x-x及y-y。
作用在结构上的荷载有时也具有对称性。例如图17-25a所示的荷载，沿对称轴对折后左右两荷载作用点、量值大小和方向三要素完全一致，今后称此类荷载为正对称荷载；反之，如图17-25b所示荷载沿对称轴对折后，作用点、量值相同，但方向相反，称此类荷载为反对称荷载。
值得指出：作用在结构上任意荷载都可以分解为正对称荷载及反对称荷载的组合，如图17-25c所示。
图17-24
图17-25
二、选取对称基本结构
1、对称结构承受正对称荷载
对称刚架承受一对正对称竖向集中力情来讨论。为保持其对称性，在对称轴上c点切开，选取左右两个独立对称的悬臂刚架为基本结构，基本体系如图17-26b，按c截面位移连续条件，力法典型方程为：
（a）
画出 M1、 M2、 M3、Mp图如图17-26c、d、e、f所示。显然， M1、 M2、Mp图是正对称的， M3图是反对称的。据此可以求得
代入上面（a）式，考虑到δ33≠0则有
，x3 = 0
(b)
由上式联解出x1和x2，按叠加法求出M= M1 x1 + M2 x2 + MP，弯矩图也必然呈正对称性。
结论：对称结构受到对称荷载作用，若在对称轴处切开选取对称的基本结构，则在该截面上将仅有正对称的多余未知力（x1和x2），反对称的多余未知力（x3）必然为零，而且结构的内力和位移亦将是正对称的。
图17-26
2、对称结构呈受反对称荷载
现用图17-27a同一对称刚架呈受反对称竖向集中情况来讨论。
仍然在对称轴上c点切开，多余未知力编号同上，则 M1、 M2、 M3图仍同上面图17-26c、d、e图所示。但由于荷载不同，则Mp图如图17-27b，呈反对称。则必然有
代入上面力法典型方程（a）式得到
(c)
由上式可解得：x1=0，x2=0，x3=—Δ3P/δ33。按 M= M3 x3+Mp，可推知M图也必然呈反对称。
综上分析可得结构：对称结构受到反对称荷载作用，若在对称轴处切开选取对称的基本结构，则在该截面上将仅有反对称的多余未知力（x3），对称的多余未知力（x1，x2）必然为零，而且结构的内力和位移亦将是反对称的。
图17-27
三、选取等代结构代替原结构
当对称结构承受对称或反对称荷载作用时，可以截取原结构半部份（或四分之一部份）来分析，并称此为原结构的等代结构，正确地选取等代结构要视跨度布置及荷载情况而定。
1、奇数跨对称结构
（1）承受正对称荷载作用
图17-28a所示单跨门式刚架承受正对称荷载作用。从上面讨论可知，其内力和位移也应呈正对称。在对称轴上c截面，从受力角度看仅有轴力和弯矩，没有剪力；从变形角度看将不会产生水平线位移和转角。因此取其一半来计算时，在c处可设想有一个定向支座，来模拟原结构的传力和变形机制，自然是恰当的，从而可得到如图17-28b所示的等代结构。
（2）承受反对称荷载作用
图17-28c所示的单跨刚架承受反对称荷载作用。从上讨论可知，其内力和变形也应呈反对称。同样在对称轴上c 截面，从受力角度将仅有剪力，没有轴力和弯矩；从变形解放看将不会产生竖向线位移。因此取其一半来计算时，在c处可设想有一个由竖向链杆所构成活动铰支座，以此来模拟传力和变形机制，从而可得如图17-28d所示的等代结构。
图17-28
2、偶数跨对称结构
（1）承受正对称荷载作用
图17-29a为在正对称荷载作用下两跨刚架，在对称c截面从受力看必然有轴力、弯矩，同时中间立柱将产生竖直反力；从变形角度看将不会产生水平线位移和转角，同时略去中间立柱微小轴向变形，可以认为c点也不产生竖向线位移。因此可将c处改为固定端支座，截取一半得到如图17-29b所示等代结构。
（2）承受反对称荷载作用
图17-30a为反对称荷载作用下两跨刚架，可以设想中间立柱CD为相距为零的上下刚结的分柱组成，分柱抗弯刚度为EI/2，如图17-30b所示。现按三跨（奇数）结构取一半，则得图17-30c所示半部结构。若略去中柱轴向变形，最后可得等代结构计算简图如图17-30d所示。值得指出，原立柱内力为两分柱内力之和。因左右两分柱弯矩、剪力相同，轴力绝对值相同符号相反，故原中柱CD弯矩、剪力为分柱值的俩倍，轴力值相互抵消为零。
按上述讨论取出等代结构后，即可按力法计算出内力图，再按对称关系可以绘出另一半内力图。
图17-29
图17-30
例17-7 试利用对称性计算图17-31a所示刚架弯矩图。
解: 此刚架为承受正对称荷载的对称刚架，现用选取对称基本结构方法计算。
（1）选取基本体系：撤除中间铰c，可判定反对称的多余未知力x2=0，为一次超静定结构，基本体系如图17-31b。
（2）建立力法典型方程：
（3）求系数、自由项：画出 M、Mp图如图17-31c、d所示。则有
（4）求多余未知力：
（5）绘制最后弯矩图：M= M1 x1 + MP，如图17-31e所示。显然最后弯短M图也是对称的。
图17-31
例17-8 试利用对称性计算图17-32a所示闭合刚架弯矩图。
解：该闭合刚架为承受对称荷载且具有两个对称轴的结构，按上面分析可取四分之一部份做为等代结构来计算较方便，如图17-32b所示。
（1）选取基本体系如图17-32c。
（2）建立力法典型方程：
（3）求系数和自由项：画出 M1、Mp图如图17-32d、e所示。则有
（4）求多余未知力：
（5）最后弯矩图：按M= M1 x1 + MP可作出ABC部份弯矩图，按对称性可绘出全部刚架的最后弯矩图如图17-32f所示。
图17-32
例17-9试利用对称性计算图17-33a所示刚架结构，绘出M图，设EI=常数。
解: 该刚架结构对称，承受反对称荷载，可取如图17-33b所示一半作为等代结构。
（1）选基本体系如图17-33c所示，为一次超静定结构。
（2）力法典型方程：
（3）求系数和自由项：绘出如图17-33d、e所示的 M1、Mp图，则有
（4）求多余未知力：
（5）绘最后弯矩图：按叠加法M= M1 x1 + MP，可得左半刚架的弯矩图如图17-33f所示。绘全刚架弯矩图时，应考虑到在反对称荷载作用下弯矩应呈反对称分布，且中柱弯矩值应为其二倍，故最后弯矩图如17-33g所示。
图17-33
第六节 超静定结构位移计算与最后内力图校核
一、超静定结构位移计算
超静定结构在荷载作用下，也必然产生变形和位移。工程设计中当需要对超静定结构进行刚度校核时，就必须计算其位移。在静定结构求位移章节中所介绍的“单位荷载法”对超静定结构仍然是适用的。
例如：对梁和刚架，当不计算剪力和轴力影响时结构上任一点k的位移为
这一结论无论对静定梁、刚架，还是对超静定梁和刚架都是正确的。由于力法的基本原理可知，基本结构在荷载和多余未知力共同作用下所形成的基本体系，与原结构是相当的，当应用力法方程把多余未知力求出以后，基本体系的内力和位移也就是原结构的内力和位移。
也就是说求原超静定结构位移问题，可以归结为求基本体系的位移问题。
而且原超静定结构的内力和位移并不因所选取的基本结构不同而改变，所以在应用“单位荷载法”求位移时，虚拟单位力可以施加在任何一种基本结构上，作为虚拟状态。
求跨中c点的竖向位移Δcr
图17-34a所示的单跨超静定梁为例，说明如何求跨中c点的竖向位移Δcr。该梁的最后弯矩图就是实际的荷载弯矩图Mp，示于图17-34a中。
选用简支梁为基本结构，建立虚拟状态画出弯矩图 M1如图17-34b。则有
若另选悬臂梁为基本结构，建立虚拟状态画出弯矩图 M2如图17-34c。则
由上计算表明，选用不同的基本结构建立虚拟状态求得的位移是一致的。同时也看出超静定梁的刚度较大，跨中挠度仅为同跨同荷载简支梁挠度的五分之一。
综上所述计算超静定结构位移的步骤应为：
（1）解算超静定结构，绘出最后弯矩图，并把它视作荷载弯矩图。
（2）任选一种基本结构，加上虚拟单位力，绘出虚拟状态弯矩图；
（3）按图乖法（或积分法）就可以求出指定的超静定结构位移。
图17-34
二、最后内力图的校核
用力法计算超静定结构步骤多，尤其当超静定次数较高时易出错。最后内力图又是设计截面的依据，应加以校核。正确的内力图应同时满足平衡条件和位移条件，因此校核工作也应涉及到这两个方面。
1、平衡条件校核
正确的内力图应满足平衡条件，即从结构中截取任何一部分为隔离体，其受力应满足平衡条件。通常截取刚结点来检查M图，截取部份杆件来检查FQ和FN图，同静定结构校核方法一样。
如图17-35a所示的超静定刚架，设选取图17-35b所示基本体系，应用力法已算得：x1=9/10F, x2=3/80Fl并用叠加法（或返回基本体系）求得M、FQ、FN图如图17-35c、d、e所示。
图17-35
二、最后内力图的校核
平衡条件校核如下：
截取结点C：画出截面上弯矩，剪力和轴力暂不画。显然：
截取出CB杆（连同所受荷载）：画出截向剪力和轴力，弯矩暂不画。显然：
说明内力图满足平衡条件。
2、位移条件校核
仅满足平衡条件尚不能说明内力图就一定正确，还应对多余未知力的正确性加以校核。从力法原理可知，多余未知力是由力法方程（位移协调条件）求得的，所以还需应用位移条件来对其加以校核。
具体做法为：把最后弯矩图视作为实际荷载弯矩图，检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相符合。
例如：图17-35a中A端为刚性固定端，现在应用求超静定结构位移方法求其转角φA选用简支刚架基本结构，加单位力偶画出虚拟状态弯矩图 M1图如图17-35g。则
说明满足A端转角为零位移条件。
2、位移条件校核
另选悬臂刚架，并在其上建立虚拟状态，画出虚拟弯矩图 M2如图17-35h。则有
说明满足B点在水平方向位移条件，B点刚性链杆支承，限制其水平位移。
一般说来对于n次超静定结构只须抽查1~2个位移条件即可，因为各多余未知力之间，与荷载一起同时满足平衡条件，量值上相互制约。而且建立虚拟状态所选用的基本结构也不一定与求解原超静定时所选的基本结构相同，可任选一种基本结构。
第七节 支座移动时超静定结构内力计算
由于超静定结构从几何构造上来说具有多余约束，因此当支座移动时（产生线位移或角位移），将导致结构产生内力，这是超静定结构的一个重要特性。
用力法计算超静定结构基本原理与步骤仍同一般，仅力法典型方程中的自由项计算不同。
例17-10 图17-36a等截面单跨超静定梁，已知支座B下沉的竖向位移为Δ，试求该梁的弯矩图和剪力图。
解：（1）基本体系：此梁为一次超静定结构，取简支梁为基本结构，基本体系如图17-36b所示。
（2）建立力法典型方程：按基本体系中xI方向位移与原结构相同，则有
上式中Δ1C是基本结构因支座移动引起的x1方向位移。
（3）求系数和自由项：按图17-36c、d，则有
（4）求出多余未知力：
（5）画最后弯矩、剪力图：
因为基本结构是静定结构，支座移动不引起内力，所以最后弯矩仅由多余未知力引起，则M= M1 x1=3EIΔ M1/l2,M绘在图17-36e中。当弯矩图求得后，按一般平衡条件即可绘出剪力图如图17-36f。
图17-36
例17-11 图17-37a所示两端固定等截单跨超静定梁，设A端支座发生了转角φ，试用力法求其弯矩、剪力图。
解：（1）基本体系：取简支梁为基本结构，与讨论荷载作用时一样，同理可证x3=0，只需求出x，及x2即可，基本体系如图17-37b所示。
（2）力法典型方程：基本体系与原结构相比较，可列出
（3）求系数、自由项：画 M1、 M2图，并求出相应反力，示于图17-37c、d，可以计算出
（5）最后内力图：由M= M1 x1 + M2 x2可求得弯矩图，按一般方法可求得剪力图，分别绘在图17-37e、f中。
（4）求多余未知力：把系数和自由项代入力法典型方程，可解答
图17-37
第八节 超静定结构的特性
超静定结构与静定结构相比具有一些重要特性，深刻认识理解这些特性对工程实践是十分有意义的。
1、在超静定结构中，除荷载作用外，支座移动、温度变化、材料收缩等因素都会在结构中引起内力。这是因为超静定结构存在多余联系，当受到这些因些影响而发生位移时，将受到多余联系的约束，因而相应地产生内力。工程中，连续梁可能由于地基的不均匀沉降而产生有害的附加内力。反之，在桥梁施工中可以通过改变支座高度来调整其内力，以得到合理分布。
2、超静定结构内力仅由平衡条件无法完全确定，还必须考虑位移条件才能得出解答，故与结构的材质和截面尺寸有关。所以设计超静定结构时应当先参照类似结构或凭经验初步拟定各杆截面尺寸或其相对值，按解超静定结构方法再加以计算，然后按算出内力选择截面，反覆修正调整，直至满意为止。
3、超静定结构由于具有多余联系，内力分布较均匀，变形较小，整体刚度比相应静定结构大。
4、从军事及抗震方面看，超静定结构具有较强防御能力，这是因为超静定结构在多余联系破坏后，仍能维持几何不变，而不致于马上坍塌。

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