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第十三章 影响线及其应用
第一节 概 述
第二节 用静力法绘制单跨静定梁影响线
第三节 用影响线求影响量值
第四节 最不利荷载位置的确定以及最大（最小）
影响量值的计算
第五节 简支梁内力包络图及绝对最大弯矩
第一节 概 述
在进行结构设计时，需要考虑移动荷载的作用，为叙述方便，我们把反力、内力、位移等量称为量值。结构在移动荷载作用下各量值都随荷载位置的移动而变化，如图13-1所示简支梁，汽车荷载自左向右移动时，梁的支座反力和各截面内力都将随荷载位置的变化而变化，支反力FAy逐渐变小，而FBy逐渐变大。
工程实际中为研究方便起见，先研究一个方向不变的定向单位移动荷载F=1对结构某量值的影响，再由叠加原理进一步研究实际移动荷载对该量值的影响。
当一个定向单位荷载沿结构移动时，表示某量值规律的函数图形，称为该量值的影响线。
图13-1
第二节 用静力法绘制单跨静定梁影响线
用静力法作单跨静定梁支座反力及内力的影响线，其方法是:
1、先选取坐标系，将单位荷载布置在梁的任意x位置。
2、根据静力平衡方程建立所研究量值与x之间的影响线方程；
3、再由影响线方程绘制量值影响线。
一、支座反力的影响线
图13-2a所示为一简支梁AB，当单位竖向荷载F=1在梁上移动时，试讨论支座反力FAy、FBy的变化规律。
取A点为支座原点，建立xAy坐标系，将移动荷载F=1暂固定在x位置，由平衡方程可求出支座反力
（0≤x≤l）
（0≤x≤l）
上式两方程分别称为支座反力FAy和支座反
力FBy影响线方程。由影响线方程分别作量值
FAy和FBy的影响线，如图13-2b、c所示。
图13-2
二、剪力影响线
用静力法作梁的剪力影响线仍需列出影响线方程。现作指定截面C的剪力FQC的影响线。
如图13-3a所示，当F=1作用在C点以左或以右时，剪力FQC的影响系数具有不同的表达式，应分别考虑。
当F=1作用于CB段时，其影响线方程为
（a≤x≤l）
当F=1作用于AC段时，其影响线方程为
（0≤x≤a）
由影响线方程分别画出FQC的影响线如图13-3d所示。
由影响线方程可以看出，CB段内，FQC的影响线与FAy的影响线相同。而AC段内，FQC的影响线与FBy的影响线形状相同，但正负号相反。
因此作CB段影响线时，可先作FAy的影响线，然后保留其中的CB段。C点的竖距可按比例关系求得为b/l。
同理作AC段的影响线时，可先作FBy的影响线且画在基线下方，然后保留其中的AC段。C点的竖距可按比例关系求得为-a/l。
可见在C截面FQC影响线有突变，突变值为单位力F=1。
图13-3
三、弯矩影响线
作梁C截面的弯矩影响线方法步骤和剪力影响线基本相同。
当F=1在CB段移动时，取AC段为隔离体，由平衡条件∑MC=0，可得影响线方程为
MC=FAya （a＜x≤l）
当F=1在AC段移动时，取CB段为隔离体，由平衡条件∑MC=0，可得影响线方程为
MC=FByb （0≤x≤a）
依据影响线方程画出影响线图，如图13-3e所示。
由MC的影响线方程可见，AC段MC影响线的纵坐标是支座反力FBy影响线纵坐标的b倍，CB 段MC影响线的纵坐标是支座反力FAy影响线的a倍。
因此，作AC段MC的影响线时，可以利用FBy影响线扩大b倍，然后保留其中AC部分即为MC影响线的AC段；
作CB段MC的影响线时，利用FAy影响线扩大a倍，然后保留其中CB部分即可，如图13-3e所示。
从图13-3e不难看出，MC影响线在C点的纵距为ab/l。
因此，MC影响线是一个顶在C的三角形，由图可以看出，当F=1作用于C点时MC是最大值。
具体作法是：先画一基线，在C点作竖标ab/l,用直线连接基线两端，所得三角形即为MC的影响线。
图13-3
Mc影响线和M图比较
值得注意的是，弯矩影响线与集中永久荷载作用下梁的弯矩图在外形上有相似之处，但它们的意义有本质的区别。
图13-4a为Mc影响线，图13-4b为M图，它们都是三角形，但意义不同，见表13－1。
表13－1：Mc影响线和M图比较
Mc影响线 M图
荷载 F=1无单位 F为真实值
位置 荷载位置移动 荷载位置固定
图形 描绘固定截面弯矩变化规律 描绘所有截面弯矩的变化规律
纵距 F=1作用在该点时，指定截面的弯矩 真实的F作用在固定位置时该截面的弯矩值
顶点 发生在与固定截面对应的位置 发生在F作用处对应的位置
图13-4
第三节 用影响线求影响量值
影响线是研究移动荷载作用下结构计算的基本工具，应用它可确定一般移动荷载作用下某量的影响量值，下面我们分别讨论集中荷载和分布荷载作用对量值的影响。
一、集中荷载作用
设图13-12a所示简支梁，受到一组平行集中荷载F1、F2、F3的作用，其剪力FQC影响线如图13-12b所示，设y1、y2、y3代表荷载F1、F2、F3所对应剪力FQC影响线的竖标，依据影响线的定义和叠加原理，该组荷载作用时FQC的值为
一般情况下，结构在一组平行荷载F1、F2、F3、．．．、Fn共同作用下某量值S的计算式为
图13-12
（13-1）
二、均布荷载
梁上有固定的均布荷载作用时，也可利用影响线求量值。如图13-7a所示，此时可将均布荷载分解为无数多个微小的集中荷载qdx。由式（13-1）知，微小的集中荷载qdx对量值的影响为ds=qdxy，其中y表示影响线上与qdx对应的纵坐标，如图13-7b所示。对此在mn区间积分即得均布荷载作用对量值的影响
式中，A表示影响线在均布荷载作用范围内的面积，该面积依据影响线的正负号取代数值，如图13-7b所示截面C剪力值为
FQC=qA=q(A2-A1)
若梁上有多个集中荷载和均布荷载共同作用时，则对量值的影响为
（13-2）
（13-3）
图13-7
例13-2 试用影响线求图13-8a所示外伸梁C截面的弯矩值。
解 （1）作MC影响线，求各有关y值，如图13-8b所示。
（2）求MC 由式（13-3）
图13-8
第四节 最不利荷载位置的确定以及最大（最小）影响量值的计算
一、移动集中荷载
对于移动集中荷载，依据式S=∑Fiyi可知，当∑Fiyi为最大值时，相应的荷载位置即为S的最不利荷载位置，可以证明，此时必有一集中荷载位于影响线顶点，通常将该荷载称为临界荷载，用Fk表示。下面分几种情况进行分析。
1、若有两个移动集中荷载
F 1 、F 2共同作用，最不利荷载位置是其中一个数值较大的荷载位于影响线最大竖标处，而把另一个荷载放在影响线的坡度较缓的一边，如图13-9所示。当二荷载位置位置变换时，则须分别将二荷载置于影响线顶点，分别计算量值进行比较方能确定。
图13-9
令 △S=∑Fi△yi称为量值的增量
因
一、移动集中荷载
2、若移动集中荷载是一组荷载，最不利荷载位置时无法直接判断的。下面以图13-10多边形影响线为例，说明最不利位置的确定方法。设图示为一组集中荷载，荷载移动时其间距和数值不变。依据量值S的公式及叠加原理有
S 1=F1y1 + F2y2 + … + Fnyn= ∑Fiyi
式中，F1、F2、…、Fn分别表示各区段荷载的合力，y1、y2、…、yn分别表示各区段移动荷载的合力对应的影响线竖标。
如集中荷载组向右移动一距离△x,竖标增量为△y，则量值S将变为
S 2=F 1（y1+△y1）+ F 2（y 2+△y 2）+…F n（y n+△y n）= S 1+∑Fi△yi
则有
图13-10
一、移动集中荷载
3、由前分析可知，使S称为极大值临界位置，必须满足如下条件：荷载自临界位置向右或向左移动时，△S值均应减少或为零，即
由此可得：使S值为极大值时应满足
荷载稍向右移 ΣFitanαi≤0 （13-4）
荷载稍向左移 ΣFitanαi ≥0
同理：使S值为极小值时应满足
荷载稍向右移 ΣFitanαi ≥0 （13-5）
荷载稍向左移 ΣFitanαi ≤0
上述二式称为临界荷载位置的判别式。
确定荷载最不利位置的步骤
1）从荷载中选定一力Fk，使其位于影响线的顶点。
2）当Fk在顶点稍左或稍右时，分别求出ΣFitanαi的数值。如
ΣFitanαi变号（或为零），则此位置即为临界位置。若ΣFitanαi不变号，说明该位置不是临界位置，可重新选定。
3）找出所有临界位置，并计算出相应的各个影响量值经比较绝对值较大者即为最大（或最小）影响量值，它所对应的移动荷载位置称为最不利位置。
当影响线为如图13-11所示三角形时，临界位置判别式位置会得到简化。
因
首先置临界荷载Fk在影响线顶点，然后 令其左移或右移，按上面一般判别式（13-4）、式（13-5），则可得三角形影响线适用的临界位置简化判别式。
图13-11
（13-6）
图13-12
第五节 简支梁内力包络图及绝对最大弯矩
设计移动荷载作用下的简支梁时，需要知道各截面的内力最大值。反映全梁各截面可能产生内力最大值范围的图形称为简支梁的内力包络图。
绘制简支梁的内力包络图时，一般现将梁等分为6~10等份。现以图13-12a为例加以说明，并作出各等分点截面上弯矩和剪力的影响线，然后分别计算出各等分点截面上的最大（最小）弯矩值和剪力值。
依据计算的结果，按一定的比例，将各截面的最大（最小）弯矩值，剪力值分别标在图上，并连以曲线，分别为弯矩包络图和剪力包络图，如图13-12b、c所示。
需要指出的是，上述弯矩包络图和剪力包络图仅考虑移动荷载的作用，结构设计时，还需将其恒载作用下的内力图与之相叠加。恒载与活载共同作用下的内力包络图才是结构设计的依据。
二、简支梁的绝对最大弯矩
弯矩包络图是将各截面最大弯矩连成的曲线。弯矩包络图上的最大竖标是整个梁上各截面中最大弯矩中的最大值，称之为绝对最大弯矩Mmax。Mmax是考虑移动荷载作用时结构设计的重要依据。绝对最大弯矩发生在跨中截面附近，通常不采用画弯矩图来确定Mmax，这种方法工作量大，且精确度不高。
如图13-13a所示，以整梁为研究对象，设相应最大弯矩Mx发生在临界荷载作用的截面x处，FR代表梁上所有荷载的合力，设其位于FK的右侧a处，此时取a为正值，反之为负值。由∑MB=0得
下面介绍一种解析法，以求最大弯矩值。在移动荷载作用下确定最大弯矩，需要知道绝对最大弯矩发生的位置和发生绝对最大弯矩的最不利荷载位置，即有两个因素
影响简支梁的绝对最大弯矩。由于梁的弯矩图的顶点总是集中荷载作用处，可以断定Mmax必发生在某集中荷载作用下，计算时，可在移动荷载中假定某一荷载为临界荷载Fk，可用求弯矩极值的方法确定产生相对最大
弯矩的截面位置。
图13-13
二、简支梁的绝对最大弯矩
如图13-13b所示，以x的左段梁作为研究对象。列平衡方程得
式中，MK表示FK以左梁上所有荷载对FK作用点的力矩之和，当梁上移动荷载的数量不变时，合力FK和MK均为常数。
为求Mx的极值 令
（13-7）
由此可得最大弯矩的位置
这表明，当FK与合力FR对称于梁的中点时，FK上下截面的弯矩达到最大值。则最大弯矩为
（13-8）
在移动荷载作用下，可选若干个可能的临界荷载，逐一计算对应的最大弯矩，从中计算梁的绝对最大弯矩，简支梁的绝对最大弯矩一般发生在梁跨中点附近，为简化计算，可取梁跨中点截面产生最大弯矩时的临界荷载作用为计算绝对最大弯矩的临界荷载FK。一般情况下结果是相当接近的。
图13-13
例13-3 试求图13-14a所示简支梁在两台吊车作用下的绝对最大弯矩。已知F1=F2 =F3=F4=330KN。
解 （1）考虑4个荷载全部作用在梁上的情况，此时
FR=330kN×4=1320kN
将FR与F2对称放在梁中点C两侧，如图13-14b所示，F2点即是可能发生绝对最大弯矩的截面，其值为
（2）考虑3个荷载（F2、F3、F4）在梁上的情况，此时
FR=330kN×3=990 kN
a=1.25m
将FK、F3对称放在梁中点C两侧（图13-14c），则荷载作用点是可能发生绝对最大弯矩的截面，其值为
通过比较可知，图13-14c所示的状态荷载F3作用点上发生绝对最大最大弯矩，其值为Mmax=1968kN·m。
图13-14

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