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第十四章 平面体系的几何组成分析
第一节 几何组成分析概念
第二节 平面体系的计算自由度
第三节 平面几何不变体系的组成规则
第四节 平面体系的几何组成分析示例
第五节 体系的几何特性与静定性的关系
第一节 几何组成分析概念
一、名词解释
首先应明确的概念是，体系的几何形状改变与结构变形，是性质完全不同的两种概念。前者是指体系在杆件不发生变形的情况下，几何形状发生的改变；后者则指，结构在外荷载作用下，杆件产生内力，从而引起的变形。结构的变形通常是很微小的，在体系的几何组成分析中不予考虑，而把杆件视为刚体。
1．几何不变体系与几何可变体系
杆件体系按几何组成方式分类，可分为几何可变体系和几何不变体系两大类。
图14-1a所示铰接四边形ABCD是一个四链杆机构，其几何形状是不稳固的，随时可以改变其形状，这样的体系称为几何可变体系。
图14-1b所示体系与图14-1a相比，多了一根斜撑杆件CB，成为由两个铰接三角形ABC与BDC组成的体系。
如果在图14-1b所示体系上再增加斜杆AD，便形成图14-1c所示体系，是一个具有一个多余约束的几何不变体系。显然，多余约束是对形成几何不变体系的最少约束数而言的。
图14-1
第一节 几何组成分析概念
2．几何组成分析　
由生活与工作实践知，建筑结构必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系。因此，在结构设计或选择计算简图时，首先要判定体系是几何不变的或是几何可变的。工程中，将判定体系为几何不变体系或是几何可变体系的过程，称为几何组成分析或几何构造分析。
3．瞬变体系与常变体系
在图14-2a所示的体系中，杆件AB、AC共线，A点既可绕B点沿1-1弧线运动，同时又可绕C点沿2-2弧线运动。由于这两弧相切，A点必然沿着公共切线方向作微小运动。从这个角度上看，它是一个几何可变体系。当A点作微小运动至A′，圆弧线1-1与2-2由相切变成相离，A点既不能沿圆弧线1-1运动，也不能沿圆弧线2-2运动。这样，A点就被完全固定。
这种原先是几何可变，而发生微小几何变形后，再也不能继续发生几何变形的体系，称为瞬变体系。
3．瞬变体系与常变体系
即瞬变体系是几何可变体系的特殊情况，它属于几何可变体系范畴。为明确起见，几何可变体系又可进一步区分为瞬变体系和常变体系。常变体系是指可以发生较大几何变形的体系，如图14-2a所示。
在此值得提出的是：瞬变体系虽然发生微小几何变形后变成几何不变体系，但瞬变体系仍不能作为结构。如图14-2b，是瞬变体系发生微小几何变形后变为几何不变体系的情况。
取A′点为研究对象，其受力图如图14-2c所示。
由平衡条件，有
图14-2
即瞬变体系在外载很小的情况下，可以发生很大内力。因此，在结构设计中，即使是接近瞬变体系的计算简图，也应想法避免。
4．刚片与刚片系
在体系的几何组成分析中，由于不考虑杆件本身的变形，因此可以把一根杆件，或是已知几何不变部分都可看作是一个刚体，在平面体系中又将刚体称为刚片。
由刚片所组成的体系称为刚片系。也就是说，刚片可大可小，它大至地球、一幢高楼，也可小至一片梁、一根链杆。由此可知，平面体系的几何组成分析，实际上就变成考察体系中各刚片间的连接方式了。因此，能否准确、灵活地划分刚片，是能否顺利进行几何组成分析的关键。
5．实铰与虚铰
由两根杆件端部相交所形成的铰，称为实铰，如图14-3a示。
由两根杆件中间相交或延长线相交形成的铰，称为虚铰，如图14-3b、c示。之所以称这样的铰为虚铰，是由于在这个交点O处并不是真正的相铰。图14-3 b、c所示虚铰的位置是在两根链杆的交点上；在此，值得指出的是，实铰与虚铰的约束作用是一样的。
图14-3
第2章研究了结构计算简图的画法，它的简化原则是：
1．基本正确地反映结构的实际受力情况，使计算简图确保结构设计的精确度；
2．分清层次，略去次要因素，便于分析和计算。
当学习了几何组成分析后，还应再加一条，那就是结构计算简图必须是几何不变的。也就是说，对体系进行几何组成分析的目的为：
（1）判断所采用的体系是否为几何不变体系，以决定其是否可以作为结构使用。
（2）研究结构体系的几何组成规律，以便合理布置构件，保证所设计的结构安全、实用、经济；
（3）根据体系的几何组成，确定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择合适的计算方法和计算程序。
二、几何组成分析的目的
第二节　平面体系的计算自由度
一、自由度与约束
1．自由度
为了分析体系是否几何不变，可先计算其自由度。所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用以完全确定其位置所需的独立几何坐标的数目。
例如，一个点A在平面内运动时，可以完全确定其位置的独立坐标，是该点的两个独立的坐标变量ｘ和ｙ（图14-4a）,所以一个点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内运动则有三个自由度，这是因为刚片的位置，可以由刚片上任意一点A的ｘ和ｙ坐标，以及刚片上任一直线AB的倾角φ （图14-4b）来确定。
2．约束
　约束是能够减少自由度的装置。如果能减少一个自由度，就叫一个约束；如果能减少两个自由度，就叫两个约束。约束亦叫联系。体系最常用的约束或联系为链杆和铰。
图14-4
链杆 链杆是两端以铰与别的物体相联的刚性杆，如图14-5a所示的AC杆就是链杆。它的一端以铰与刚片相联，另一端以鉸与基础相联。
一个链杆能减少几个自由度呢？只要比较一下刚片在未联链杆之前的自由度和联结链杆之后的自由度就清楚了。
刚片在未联结链杆前有３个自由度，联结后自由度等于 ２（ φ1及φ2 ），可见一根链杆能减少一个自由度，一根链杆相当于一个约束。
在此特别指出的是，链杆不一定是直杆，曲杆、折杆都行，关键是两头铰结中间不受力。
单铰 在只讲铰，没有具体讲什么铰时，一般指的是单铰。所谓单铰，是指联结两个刚片的铰。
图14-5b所示，用一个单铰A将刚Ⅰ和刚片Ⅱ联结起来。如前所述，刚片Ⅰ的位置由A点的坐标ｘ和ｙ及倾角φ1三个坐标确定；刚片Ⅱ相对于刚片Ⅰ而言，其位置只需通过倾角φ2确定。
就是说，两个刚片之间无单铰联结时，在平面内有6个自由度，用一个单铰相联后自由度减为4。也就是说，一个单铰相当于两个约束。
图14-5
一、自由度与约束
二、刚架与桁架的计算自由度
平面体系的自由度，等于各杆件自由度的总和，减去约束总和。
1．刚架
刚架是由若干刚片，彼此主要用刚结点相联，并用支座链杆与基础相接而组成的结构。设其刚片数为m，单铰数为h，支座链杆数为r。当各刚片都自由时，它们所具有的自由度总数为3m；而现在加入的约束总数为（2h+r）,因每个约束只能使体系减少一个自由度，则刚架自由度的计算公式为
（14－1）
在计算体系的计算自由度时，经常遇到将复铰换算单铰的情况。所谓复铰是指由两个以上的杆件所组成的铰。
在计算体系的计算自由度时，经常遇到将复铰换算单铰的情况。所谓复铰是指由两个以上的杆件所组成的铰。组成复铰的杆件数设为n，则将复铰换算成单铰的公式为
（14－2）
例14-1试计算图14-7所示体系的计算自由度数。
解：解题思路为：数刚片数与支链杆数，计算单铰数，代入公式（14-1）。
图14-7a所示体系刚片数为5，其单铰数为：结点A为单铰，结点B为复铰，换算成单铰数为3－1＝2，结点C为半铰（即一杆端部与另一杆中间相交，相当于一个单铰），即共有单铰数为4，支承链杆数为7，由式（14-1），可得计算自由度为
图14-7
图14-7b所示刚片数为4，单铰数为3，支承链杆数为4， 由式（14-1）可得计算自由度数为
2．桁架
平面桁架中，每个杆件的两端均有一铰（不分单铰或复铰）与其相邻的杆件相连接。
设桁架铰结点数为j（包括支座结点），杆件数为b，链杆数为r。如各铰结点间无杆件连接，则j个铰结点数应有个自由度2j，结点之间每一根链杆和每一根支链杆，各相当一个约束，故约束总数为(b+r)，因此平面桁架计算自由度的计算公式为
（14-3）
例14-2 试计算图14-8所示体系的计算自由度数。
解：此体系结点数j=7，杆件数b＝12，支链杆数r=3。按式（14-3）计算，得　
若用式（14-1）计算，m=17，h=17，r＝3，可得计算自由度为
显然比（14-3）计算较复杂。所以计算桁架的计算自由度时，一般用式（14-3）。
由上面三例计算知，按式（14-1）、（14-3）计算体系的计算自由度，所得结果有以下三种情况：
W＝0　表明体系具有几何不变的必要条件。
W＞0　表明体系缺少必要的约束，此体系必是几何可变的。
W＜0　表明体系具有多余约束，具有几何不变的必要条件。
由此可知，一个几何不变体系必须满足计算自由度W≤0的必要条件。但只满足必要条件不足以说明此体系一定是几何不变的，这是因为，尽管约束的数目足够，甚至还有多余约束，但由于布置不当，体系仍有可能是几何可变的。
图14-8
如图14-9所示的两个体系，杆件、约束数均相同，计算自由度，显然图14-9a是几何不变体系，而图14-9b是几何可变体系。
由此可知，欲判断体系的几何不变性，一方面要检查是否符合W≤0的条件，另一方面还需检查杆件排列方式是否符合几何不变的组成规则，而且主要是后者。
对于几何组成分析，目前常采取的做法是：
对于杆件结构，当杆件较少时一般不计算计算自由度，而直接进行几何组成分析；对于杆件较多的杆件结构，当不便进行几何组成分析时，先计算计算自由度，
当符合W≤0条件后，再进行几何组成分析；
若不满足条件W≤0，那就不必再进行几何组成分析了，可直接判定为几何常变体系。
在实际工作中，对于比较简单的体系，一般不用计算计算自由度，而直接进行几何组成分析。
图14-9
第三节　平面几何不变体系的组成规则
二元体:用两根不共线的链杆构成的铰结点Ｃ的装置（如图14-11a中AC、CB组合。
规则Ⅰ（二元体规则）　在已知体系上，增加或撤去二元体，不影响原体系的几何不变性。换言之，已知体系是几何不变的，增加或撤去二元体，体系仍然是几何不变的；已知体系是几何可变的，增加或撤去二元体，体系仍然是几何可变的。
若将图14－11a中的AC杆视为刚片，则变成如图14－11b所示的体系。
规则Ⅱ（两刚片规则） 两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连接，所构成的体系是几何不变的，且无多余联系。
因一个铰相当于两根链杆，图14-11b又可变为图14-11c所示体系。
规则Ⅲ（三刚片规则）三刚片用三个不在同一直线上的铰，两两相连接，所构成的体系是几何不变的，且无多余联系。
若再将图14-11b中BC杆视作刚片，则变成如图14-11d所示的体系。
图14-11
如对图14－12a所示体系进行几何组成分析，该体系有5根支链杆与基础相连，故将基础作为刚片分析较容易。
先考虑刚片AB与基础连接，显然它符合两刚片规则的另一种形式（图14-12b），故它是几何不变的。
现将它们合成一个大刚片（图14-12c），然后考察刚片CDE视为刚片Ⅲ（图14-12d），三刚片用三个不在同一直线上的铰相连接同，符合三刚片规则，故知该体系是几何不变的。
图14-12
如图14－13a所示，三根链杆同时交于O点，这样A、B两刚片可以绕O点作微小的相对转动，当转动一个小角度后，这三根链杆不再同时相交一点，则不再产生相对转动，故它是瞬变体系。
若三根链杆相互平行，但不等长（图14-13b），则仍为瞬变体系。其理由为，当三根不等长链杆相互平行时，我们也可以认为这三根链杆也同时相交一点，不过交点在无穷远处而已。若B刚片相对A刚片发生转动，三根平行链杆不再平行了，也不相交一点了，故此体系也为瞬变体系。
若三根链杆平行，且等长（图14-13c），则A、B两刚片发生相对运动后，此三根链杆仍相互平行，即在任何时刻、任何位置，这三链杆都是平行的，所以在任何时刻都能发生相对运动，因此它为常变体系。
若两刚片用一铰与通过此铰的链杆相连接（图14-13d），则A点可作上下微小运动，当产生微小运动后，链杆CA不再通过B点，符合两刚片规则，仍是几何不变的，故知此体系为瞬变体系。
现在再研究连接三刚片的三个铰在同一直线上的情形。如图14-13e所示，三刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，用同一直线上的A、B、C三铰相连接，则铰A将在以B点为圆心，以BA为半径；及以C为圆心，以CA为半径的两圆弧的公切线上，而A点即为公切点，所A点可以在此公切线上作微小的上下运动。当产生一微小的运动后，A、B、C三点不在同一直线上，故不会再发生运动，根据瞬变体系定义，所以它是一个瞬变体系。
图14-13
第四节　平面体系的几何组成分析示例
1．当体系上有二元体时，应首先去掉二元体，然后再进行几何组成分析。
例如图14-14节点F处有一个二元体D－F－E，拆除后，节点E处暴露出二元体D－E－C，再拆除后，又可在节点D处暴露二元体，A－D－C，剩下为铰接三角形ABC。所以它是几何不变的，故原体系为几何不变体系。
2．当体系用三根支链杆按规则Ⅱ与基础相连接时，可以先去掉三根支链杆，只对体系本身进行几何构成分析
如图14-15a所示体系，可先去掉三根支链杆变成图14-15b所示体系，然后再对此体系进行几何构成分析。
根据两两相交原则，划分成图14-15c所示的刚片体系，根据规则Ⅲ，此体系是几何不变的，且无多余联系。故原体系也是几何不变的，且无多余联系。
图14-14
图14-15
第四节　平面体系的几何组成分析示例
3．利用等效代换进行几何构成分析
对图14-17a所示体系作几何构成分析，由观察可见，T形杆BDE可作为刚片Ⅰ。折杆AD也是一个刚片，但由于它只用两只铰A、D分别与地基和刚片Ⅰ相连，其约束作用与通过A、D铰的一根直链杆完全等效，如图14-17a中虚线所示。
因此，可用直链杆AD等效代换折杆AD。同理，可用链杆CE等效代换折杆CE。于是，图14-17a所示体系可由图14-17b所示体系等效代换。
由图14-17b可见，刚片Ⅰ与地基用不交于同一点的三根链杆AD、BH、EC相连接，根据两刚片规则，组成几何不变体系，且无多余联系。
图14-17
4．有一个无限远虚铰的分析方法
由两根杆件延长线相交形成的铰，称为虚铰。如进一步细分，虚铰又分为有限远虚铰和无限远虚铰。
图14-18所示杆件AB、CD延长线所形成的虚铰K，即为有限远虚铰，两平行杆EF、GH在无限远处形成的虚铰为无限远虚铰。
实践证明，有限远虚铰和无限远虚铰在几何组成分析中作用是相同的。
在图14-19a所示体系中，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别用A、B、C三铰两两相连，其中虚铰A为无限远虚铰。
分析时，可将刚片Ⅲ以链杆BC代替，于是图14-19a变成图14-19b所示的休系。由规则Ⅱ知，此体系是几何不变的，且无多余联系。
图14-18
图14-19
例14-3 试对图14-21a所示体系进行几何组成分析。
解：1.自由度计算
铰结点j＝７个，链杆b＝11个，支链杆r＝３个
代入公式（14-3）得
W＝2×7－11－3＝0
即体系具有几何不变的必要秘条件。
2.几何组成分析
先去掉二元体，再用两刚片规则分析。
首先将二元体A-C-D、F-G-B、D-F-B去掉，如图14-21b所示，再将AEBD及其基础作为刚片，利用两刚片规则，判定此体系是几何不变的，且无多余联系。
这是完整的几何组成分析过程，对于简单问题不必要计算自由度，只进行几何组成分析就行了。
图14-21
例14-4 试对图14-22所示体系进行几何组成分析。
解：先划分三个刚片，再进行连接分析。
分别将图14-22中的AC、BD、基础分别视为刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，刚片Ⅰ和Ⅲ以铰A相连，刚片Ⅱ和Ⅲ用铰B连接，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ用CD、EF两链杆相连，相当于一个虚铰O。
连接三刚片的三个铰A、B、O不在一直线上，符合三刚片规则，故体系为几何不变体系，且无多余约束。
图14-22
例14-5 试对图14-23所示体系进行几何组成分析。
解：将AB视为刚片与地基用三根链杆相连接，符合两刚片规则，则为几何不变体。
在其上增加二元体A-C-E、B-D-F，又成为一个大的几何不变体，显然CD链杆是多余约束。故此体系是几何不变的，且有一个多余约束。
图14-23
例14-6 试对图14-24所示体系进行几何组成分析。
解：利用两两相交原则画出三个刚片，找出刚片间约束, 将ADEB、CF杆及基础分别看刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，三刚片分别由O1、O2、A铰相连，三铰不共线，根据三刚片规则，知该体系几何不变，且无多余联系。
例14-6
图14-24
第五节 体系的几何特性与静定性的关系
1、无多余约束的几何不变体系是静定结构。
其静力特征是：在任意荷载作用下，所有内力与支座反力都可由平衡条件求出，且其值是唯一的。
例如，图14-25a所示简支梁，是一个无多余约束的几何不变体系，其每个约束都是必要约束，无论去掉哪一个约束，体系就成为几何可变体系，在外力作用下就会发生这动。
因此，约束反力，就是阻止物体发生运动的条件，使物体达到平衡，也就是运用平衡条件求出约束反力。
例如，图14-25a去掉支杆B，代以支反力FB（图14-25b），这种体系就可绕A点转动，其支座反力FB可由平衡条件确定：
FB = Fa∕Ｌ
图14-25
2、有多余约束的几何不变体系是超静定结构。
其静力特征是：仅由平衡条件，不能求出全部内力及约束反力。例如，图14-26a所示梁有一个多余约束，去掉支座B后（图14-26c），仍保持几何不变。
因此，FB 不能仅由平衡条件确定。要想确定它，还须考察变形连续条件。
3、瞬变体系，在一般荷载作用下，在原位置是不能平衡的；但当发生微小的变形后，是可以平衡的，但要产生很大内力，这种体系是不能作为结构的。但在特殊力作用下，瞬变体系也能平衡，且其内力是超靜定的，如图14-27所示。
4、常变体系，在一般荷载作用下是不能平衡的，如图14-28a所示。其内力与约束反力由运动方程确定，这里不予研究。但在特殊力作用下，常变体系也能平衡，且其内力是静定的，如图14-28b所示。
图14-26
图14-27
图14-28

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