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第十章 平面应力状态分析及常用强度理论
第一节 平面应力状态分析
第二节 常用强度理论及其应用举例
第十章 平面应力状态分析及常用强度理论
在前面几章中，要么只有正应力，要么只有切应力。如果构件不是因为横截面的强度不够而是沿斜截面破坏的,例如铸铁试件在受到压缩或扭转作用时,常会沿与轴线成45°~55°的斜截面发生破坏,如图10-1a；
而钢筋混凝土简支梁在受到外力作用时常会在轴线以下部分出现斜裂缝而导致破坏，如图10-1b所示。
如果构件横截面上的某一点,既有正应力б,又有切应力τ等,这些情况下的强度计算应该如何进行 肯定仅用前面提到的强度条件进行计算是不够的。
因此在对构件进行设计时,必须对构件的强度进行全方位的(横截面、斜截面)、综合的(对危险点同时考虑б与τ的共同作用)分析和校核,确保构件的安全，这就是学习本章应力状态分析和常用强度理论应达到的目的。
图10-1
第一节 平面应力状态分析
一、关于应力状态的基本概念
1、点的应力状态概念
构件在同一截面上，各点的应力不一定相等。例如，圆轴扭转时，横截面上各点的切应力τ的大小，是从圆心到圆边缘按直线规律变化的，在圆轴的外表面处切应力最大，而轴线处的切应力τ等于零。
直梁在弯曲时，横截面上各点正应力б的大小，随其到中性轴的距离不同而不同，在梁的中性轴上其正应力б等于零，在梁的上、下边缘处则正应力б为最大，其间沿梁的高度б成直线规律变化。
此外，在弯曲构件（图10-2a）的斜截面上，即使是同一个点A，在不同方位的截面上，应力也是不尽相同的（图10-2b、c、d、e）。
在工程力学中，把通过构件内任意一点所有截面上的应力情况的总和，称为该点的应力状态。
图10-2
2、单元体
研究点的应力状态，可以围绕所研究的点，切取一边长趋于零的微小正六面体作为研究对象，这个微小的正六面体，就称为该点的单元体。
由于单元体十分微小，故可以认为单元体各面上的应力均匀分布，大小等于所研究点在对应截面上的应力；在互相平行的截面上的应力大小也应相等。
这样，单元体上各个面上的应力，就是构件相应截面在该点处的应力。单元体的应力状态，也就代表了确定截面上相应点的应力状态。
为了应用前面几章所介绍各类变形杆横截面上的应力计算成果和便于研究，通常都是沿构件的横截面、水平纵截面、铅垂纵截面（假设构件的轴线是水平的），围绕要分析应力的点K截取单元体的。
（1）轴向拉压杆
在杆上任取一点K（图10-3a）,其单元体和面上的应力如图10-3b、c所示。
其左右面是杆横截面上K点处的微小面，故仅有正应力б=F/A，上、下面和前、后面都是杆上纵向截面上的微小面。所以没有应力。
图10－3
（2）受扭圆轴杆
在圆轴表面上任取一点K（图10-4a）,其单元体及各面上的应力如图10-4b及c所示。
其左右面是横截面上K点附近的微小面，仅有切应力，其大小等于横截面上K点的切应力，且τx =MT/WP,根据切应力双生互等定律，上、下面（纵向截面上K点附近的微小面）上，τy=τx，前、后面上没有应力。`
图10-4
（3） 横力弯曲梁
在梁上任取一点K（图10-5a），其单元体及各面上的应力如图10-5b、c所示。
在左、右截面上，既有正应力，又有切应力，其大小等于该横截面上K点处的应力，且
根据切应力双生互等定律，上、下面上的切应力τy=τx，前、后面上没有应力。
根据单元体各面上的已知应力，应用后面所要介绍的应力分析的解析法，就可以求出过K点的任意斜截面上的应力（图10-2），这就是研究点的应力状态的基本方法。
图10-5
3、主平面和主应力概念
在单元体上，若某对平面上的切应力为零，则把此对平面称为主平面，把主平面上的正应力称为主应力。
可以证明，受力构件上的任意点，均有三对相互垂直的主平面，因而就有三对相应的主应力。
主应力应按其代数值的大小编号按序排列，分别用符号б1、б2、б3表示，并规定б1≥б2≥б3。例如，某单元体上的三个主应力值为-99MPa（压应力）、0、19MPa(拉应力)，则按规定有б1=19MPa，б2=0，б3=-99MPa。
通过分析知道，主应力就是过某确定横截面上一点处所有斜截面上的正应力的极值。
4、应力状态的分类
为了便于分析和研究，通常根据单元体上主应力的情况，把应力状态分为如下三类：
（1）单向应力状态 当单元体上只有一对主应力不为零时，称为单向应力状态（图10-6a、d）。例如，拉、压杆及纯弯曲变形直梁上各点（中性层上的点除外）的应力状态，都属于单向应力状态。
（2）双向应力状态 当单元体上有两对主应力不为零时，称为双向应力状态（图10-6b、e）。
（3）三向应力状态 当单元体上三对主应力均不为零时，称为三向应力状态（图10-6c）。
在应力状态里，有时会遇到一种特例，即单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力（图10-6f），称为纯剪切应力状态。
三向应力状态又称空间应力状态，双向、单向及纯剪切应力状态又称为平面应力状态，处于平面应力状态的单元体可以简化为平面简图来表示（图10-6d、e）。
图10-6
二 平面应力状态分析的解析法
1、用解析法求任一斜截面上的应力
图10-7a表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。
假定在一对竖向平面上的正应力为бx、切应力为τx和在一对水平平面上的正应力为бy、切应力为τy的大小和方向已经求出，现在要求求出在这个单元体的任一斜截面e-f上的应力的大小和方向。
由于习惯上常用α表示斜截面e-f的外法线n与x轴正向间的夹角，所以又把这个斜截面简称为“α截面”，并且用бα和τα表示作用在这个截面上的应力（参见图10-7a、b、c）。
图10-7
应力б、τ和角度α的正负号规定
应力б、τ和角度α的正负号规定如下：正应力б以拉应力为正，压应力为负；
切应力τ以绕单元体内的任一点是顺时针转时为正，是反时针转时为负；
角度α以从x轴的正向出发量到截面的外法线n处是反时针转为正，是顺时针转为负。
按照上述的规定可以判断，在图14-7中的бx、бy和бα是正值；τx和τα是正值；τy是负值；α角是正值。
图10-7
截面法计算单元体上任一斜截面e-f上的应力(1)
假想用一平面沿e-f将单元体截开，取bef为分离体。如图10-7b、c、d。假设斜截面上的未知应力бα和τα为正值。
设斜截面e-f的面积为dA，则截面eb和bf的面积分别是dAcos和dAsin。分离体bef的受力图如图10-7d所示。取n轴和t轴如图10-7d，则可以列出分离体的静力平衡方程如下：
由ΣFn=0，得到
бαdA+(τxdAcosα) sinα-(бxdAcosα) cosα+(τydAsinα) cosα-(бydAsinα) sinα=0 ①
由ΣFt=0, 得到
ταdA-(τxdAcosα) cosα-(бxdAcosα) sinα+(τydAsinα) sinα+(бydAsinα) cosα=0 ②
并利用切应力双生互等定律
|τy|=τx ③
截面法计算单元体上任一斜截面e-f上的应力(2)
将式③代入式①和式②，经简化整理后，得
бα=бxcos2α+бysin2α-2τxsinα cosα ④
τα=(бx–бy)sinα cosα+τx(cos2α-sin2α) ⑤
利用三角函数关系
⑥
将式⑥代入式④、式⑤，经整理简化后，得
式（10-1）和（10-2）就是对处于平面应力状态下的单元体，根据已知бx、бy、τx，求任意斜截面α（α=0°~360°）上бα和τα的基本解析公式。
（10-1）
（10-2）
例10-1 图10-8a所示为一平面应力状态情况，试求与x轴成30°角的斜截面上的应力。
解:
由图10-8a和关于应力分析的有关正负号规定，有
将上述数值直接代入公式（10-1）和式（10-2），得
图10－8
б30°为负值，说明它与图10-8b上所设的应力方向相反，即为压应力。τ30°为正值，说明它与图10-8b上所假设的方向相同，为正切应力。
2、主应力和最大切应力
（1）主应力的求法及其主平面位置的确定
根据斜截面上的正应力бα和切应力τα的公式（10-1）和公式（10-2），бα和τα都是斜截面位置角α的函数，利用函数极值的方法，可以求出бα和τα的极大值、极小值，以及它们所在的截面位置。
将式（10-1）对α求导数
令此导数等于零，可求得бα达到极值时的α值，并以αo表示此值，得
⑨
由式（10-2）知道，上面等式的左边刚好等于τα，这就说明，当τα等于零时，正应力有极值，亦即为主应力，τα=0所在的平面位置即为主平面。对式⑨进一步简化，就得出求主平面位置的方程如下：
（10-3）
由式（10-3）可以看出，αo 有两个根。因为
说明αo和αo+900都能满足式（10-3），这就是说，处于平面应力状态的单元体上有两个主平面，并且这两个主平面是互相垂直的。
主应力数值的计算公式
式（10-3）可以求出主应力所在的截面位置αo的数值，并且αo所在平面上的正应力就是主应力，用符号бzy代表主应力，将αo的数值和бα=бzy代入求任意斜截面上正应力的公式（10-1）并经整理简化后，即有
整理后，就得到计算两个主应力的计算公式如下
利用式（10-4），在已知бx、бy及τx的情况下，就可以很方便的求出两个主应力б1和б1，并且б1与б1分别作用在两个互相垂直的主平面上。
（2）最大切应力及其作用面位置
首先用解析法来确定最大切应力τmax所在的平面位置。将（10-2）对α求导并令其等于零，有
⑩
即
如果用ατ表示最大切应力所在平面的外法线与x轴之间的夹角，则可由上式得出
（10-6）
将式（10-6）与式（10-3）的 进行比较，可以知道
即
这说明最大切应力所在平面位置应与主平面相交成45°角。
最大切应力的计算公式。
式（10-6）可以求出ατ的数值。将ατ的数值代入式（10-1）可以得到在最大切应力作用平面ατ上的正应力为：
将这个бα之值代入求切应力的公式（10-2）式，求得的τα值即为最大切应力τmax，因此有
或
将式（10-7）与式（10-4）进行比较，可以看出最大切应力与主应力在数值上的关系是
公式表明，单元体上的最大切应力的数值等于最大主应力与最小主应力之差的一半。当单元体上的三个主应力按代数值排列是б1≥б2≥б3时，则最大切应力的计算公式应该写为
（10-8）
式（10-7）和式（10-8）都是计算最大切应力的公式，算得的结果有正、负两个数值。这说明最大切应力是成对出现的，它们的数值相等，正负号相反，作用面互相垂直，符合切应力双生互等定理。
（10-7）
例10-2 图10-9中所示的单元体，是从某受力构件中K点处截取出来的。已知бx=25 Mpa , τx= -130 Mpa , бy = -125 MPa。用解析法求出该单元体的主应力大小和方向，并求出最大切应力。
解: 由解析法可直接求得结果如下。
将 бx=25 Mpa , τx= -130 Mpa , бy = -125 MPa ，代入式（10-3）、式（10-4）、式（10-7）便可求出主应力的大小、方向和最大切应力。即
图10-9
即
解得
由于бx>бy，故α0=30°应为б1与бx之间的夹角，α0为б3与бx轴之间的夹角，α0 与α0均由x轴反时针方向旋转即可得出б1与б3的主应力方向，如图10-9所示。
τmax的作用面由x轴逆时针方向旋转ατ=75°即可得到，图中未绘出。
三、主应力轨迹线的概念
对于一个平面结构来说，我们可以求出其中任意一点处的两个主应力，这两个主应力的方向是互相垂直的。掌握构件内部主应力方向的变化规律，对于结构设计来说是很有用的。
例如在设计钢筋混凝土梁时，如果知道了梁中主应力方向的变化情况，就可以判断梁上可能发生的裂缝的方向，从而恰当地配置钢筋，更有效的发挥钢筋的抗拉作用。
在结构设计中，有时需要根据构件上各计算点的主应力方向，绘制出两组彼此成正交的曲线，在这些曲线上任意一点处的切线方向就是在该点处的主应力方向，这种曲线叫做主应力轨迹线。其中的一组是б1的轨迹线，另一组是б3的轨迹线。
在图10-10中表示出了绘制梁主应力轨迹线的方法。首先如图10-10a所示，对梁取若干个横截面，并且在每个横截面上选定若干个计算点，然后求出每个计算点的主拉应力б1和主压应力б3的大小和方向，再按照各点处的主应力方向勾绘出梁的主应力轨迹线如图10-10b所示，其中的实线是主拉应力б1的轨迹线，虚线是主压应力б3的轨迹线。
图10-10
梁的主应力轨迹线
通过对梁的主应力轨迹线的分析，可以看出，对于承受均布荷载的简支梁，在梁的上、下边缘附近的主应力轨迹线是水平线；在梁的中性层处，主应力轨迹线的倾角为45°，如果是钢筋混凝土梁，水平方向的主拉应力б1可能使梁发生竖向的裂缝，倾斜方向的主拉应力б1可能使梁发生斜向的裂缝。
因此在钢筋混凝土梁中，不但要配置纵向受拉钢筋，而且常常还要配置斜向弯起钢筋（如图10-10c）。
同样，可以绘出受集中荷载作用的悬臂梁的主应力轨迹线及钢筋混凝土的配筋如图10-11a、b所示。
图10-11
第二节 常用强度理论及其应用举例
一、强度理论的概念
通过大量的工程设计和结构建筑实践表明，仅用单一独立的强度条件:
бmax≤[б] 和 τmax≤[τ]
对构件进行强度计算远远是不能满足机械、电力和土木工程构件设计需要的，亦即使构件分别满足了上述两种强度条件，构件受力后也可能还会发生破坏。
对于前面所述的正应力强度条件，它只适合材料处于单向应力状态的情况（图10-12a），而对于切应力强度条件，则它只适合于材料处于纯剪切应力状态的情况（图10-12b）。而对处于复杂应力状态中的情况（图10-12c、d、e的单元体）则是不适用的。
图10-12
强度失效判别准则
人们通过丰富的建筑实践和科学实验，发现构件的破坏形式可以归结为两类：一类是断裂破坏,一类是屈服破坏(或剪切破坏)。许多实验表明，断裂破坏常常是拉应力或拉应变所引起的。
例如，铸铁试样拉伸时沿横截面断裂，扭转时沿与轴线约成45°倾角的螺旋面断裂。砖、石试件受压时沿纵截面断裂，它们都与最大拉应力或最大拉应变有关。
另外，像Q235钢这样的一类塑性材料，其拉伸和压缩试件都会发生显著的塑性变形，有时并会出现明显的屈服现象，由于材料在屈服或发生显著塑性变形后构件就丧失了正常工作能力，因此，从工程意义上来说，屈服和发生显著塑性变形也就算作一种破坏。
对上述两类破坏现象的原因，人们进行了认真的分析和研究，并对两类破坏的主要原因提出了种种假说，并依据这些假说建立了相应的强度条件。通常把这些关于对材料破坏现象的原因提出的假说统称为强度理论，也称之为强度失效判别准则。
二、常用的四种强度理论简介
1、最大拉应力理论（第一强度理论）: 最大拉应力理论认为，引起材料断裂破坏的主要原因是最大拉应力。
按此理论，材料发生断裂破坏的条件为
б1 = бb
将上式右边的抗拉强度极限除以安全系数Kb，即得到按第一强度理论建立的强度条件为
б1 ≤[б] （10-9）
式中的б1为构件危险点处的最大主拉应力，[б]为材料在单向拉伸时的许用应力。
2、最大拉应变理论（第二强度理论）: 最大拉应变理论认为，引起材料断裂破坏的主要因素是最大拉应变，而且认为，无论材料处于何种应力状态，只要单元体的三个主应变中的最大主拉应变ε1达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变极限值εtmax，材料即发生断裂破坏。按此理论，材料的断裂破坏条件为
ε1 = εtmax
第二强度理论建立的强度条件
（10-10）
式中：б1、б2、б3代表构件危险点处的主应力；[б]表示材料在单向拉伸时的许用应力。
3、最大切应力理论（第三强度理论）
最大切应力理论认为，材料引起屈服破坏（剪切破坏）的主要因素是最大切应力。而且认为，无论材料处于何种应力状态，只要它的最大切应力τmax达到材料在单向拉伸屈服时的最大切应力τs时，材料即发生屈服破坏。按此理论，材料的屈服破坏条件（或屈服条件）为
τmax=τs
为此，材料的屈服破坏条件又可以写为
或者
б1-б3=бs
将上式右边材料的屈服极限бs除以安全系数Ks后，即可得到按照第三强度理论建立的强度条件为
б1-б3≤[б] （10-11）
这个强度理论被许多塑性材料的试验所证实，且偏于安全。又因为这个理论所提供的计算式比较简单，因此它在工程设计中得到了广泛的应用。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）
形状改变比能理论认为，形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，而且认为，不论材料处于何种应力状态，只要其材料的形状改变比能μφ达到材料单向拉伸屈服时的形状改变比能值μ时，材料便发生屈服破坏。
由于这个理论设计到材料弹性变形能的许多概念，这里就不在进行理论推导，为便于应用，现只给出理论的强度条件如下：
（10-12）
可见，第四强度理论比第三强度理论更加综合的考虑了б1、б2、б3对材料屈服破坏的影响，因此，也就更加符合塑性材料的实验结果。
5、相当应力（折算应力）
从式（10-9）~式（10-12）的形式来看，按照四个强度理论所建立的强度条件可统一写作
б*ri≤[б] （10-13）
式中б*ri是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合。
由于从式（10-13）的形式来看，这种主应力的组合б*ri和单向拉伸时的拉应力在安全程度上是相当的，因此，通常称为相当应力或折算应力。四个强度理论的相当应力如下：
（10-14）
三、强度理论适用范围及应用举例
1.强度理论的实用范围
一般来说，在常温、静荷情况下，脆性材料多发生断裂破坏，所以通常采用第一强度理论、第二强度理论 ；塑性材料多发生屈服破坏，所以通常采用第三、第四强度理论 ，且用第三强度理论偏于安全，第四强度理论偏于经济。但材料的脆性和塑性并不是固定不变的，在不同的应力状态下同一种材料可能发生不同的破坏形式。如Q235钢在单向拉伸时发生塑性屈服，但在三向拉伸时却又发生脆性断裂；又如石料这种脆性材料在三向压缩应力状态下也会产生很大的塑性变形。因此，在实践中还要根据不同的应力状态和可能的破坏形式选用合适的强度理论。
2.第三、第四强度理论在梁结构强度分析中的应用
作为第三、第四强度理论的应用，我们来导出梁结构在复杂应力状态下常用的两个强度公式。图10-13所示的平面应力状态，在受弯杆件工程设计中会经常遇到。
根据式（10-4）可以得到这种应力状态下的主应力计算公式为
将这三个主应力代入第三强度理论的公式（10-11）后，得到相应的强度条件为
（10-15）
同理，代入第四强度理论的公式（10-12），得到相应的强度条件为
（10-16）
以后在用塑性材料制成的梁或其他构件的强度设计中遇到如图10-13所示的应力状态时，我们就可以直接应用式（10-15）和式（10-16）进行强度计算。
图10－13
例10-3两端简支的工字钢梁及其上的荷载如图10-14a所示。已知材料Q235钢的许用正应力[б]=170MPa，许用切应力[τ]=100MPa。当采用32c型工字钢时，试找出粱的危险截面，并校核该处工字钢截面上K点的强度是否足够。
解:
（1）求支座反力，绘出弯矩图M和剪力图FQ
由ΣFy = 0及对称性得
由FAy、FBy及梁上荷载，可绘出弯矩图M和剪力图 FQ，如图10-14b、c所示。
（2）确定危险截面的最大内力值
由M图及FQ图可以看出，C左和D右截面的弯矩和剪力值最大，是危险截面，取C左截面进行强度计算。且
图10-14
例10-3(2)
（3）查书中末尾的附录得32c型工字钢的几何量为（图10-14d）：
32c型工字钢简化后的截面如图10－14d所示。
（4）计算32c型工字钢截面上K点的应力
将上述值代入计算б和τ的相应公式，得
32c型工字钢截面上的应力分布如图10－14e所示。
（5）用强度理论进行强度校核
按第三强度理论（公式10-15），得
按第四强度理论（公式10-16），得
所以，不论按第三或第四强度理论计算，该梁均能满足强度要求。
结论：危险截面上K点的强度满足要求，强度足够。

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