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第十一章 组合变形杆的强度计算
第一节 概 述
第二节 斜弯曲计算
第三节 弯曲与拉(压)组合计算
第四节 偏心压缩与截面核心的概念
第一节 概 述
前面各章已经分别讨论了杆件在拉压、剪切、扭转和弯曲等各种基本变形情况下的强度计算。但是，在实际工程结构中，有些构件的受力情况是很复杂的，受力后的变形常常不只是某一种单一的基本变形，而是同时发生两种或两种以上的基本变形。
例如，图11—1a所示的烟囱，除因自重引起的轴向压缩变形外，还有因水平方向的风荷载引起的弯曲变形；
图11—1b所示的挡土墙，也同时受自重引起的压缩变形和土壤压力产生的弯曲变形；图11—1c所示的厂房立柱，由于受到多种偏心压力和水平力的共同作用，此立柱产生了压缩与弯曲变形的联合作用。
图11—1d所示的屋架上的檩条，由于屋面传来的荷载不是作用在檩条的纵向对称平面内，因而将由两个平面内的弯曲变形组合成斜弯曲；
图11—1e所示的圆弧梁，由于梁上的荷载没有作用在梁的纵向对称平面内，该梁同时产生扭转和弯曲变形。
上述这些构件，由于受复杂荷载的作用，同时发生两种或两种以上的基本变形，这种变形情况叫做组合变形。
图11－1
组合变形时的强度分析
组合变形时的强度分析问题，主要是应力计算。只要构件的变形很小，材料服从胡克定律，力的独立作用原理是成立的，即每一种荷载引起的变形和内力不受其它荷载的影响，因此可以应用叠加法来解决组合变形问题。叠加法的要点是：
1、将杆上复杂荷载分解为几种简单荷载。
2、分别计算每种简单荷载所对应的基本变形下的应力。
3、把每种基本荷载作用下产生的应力叠加起来就可以求出组合变形下的截面应力。
解决组合变形时强度分析问题的方法如下：
1、外力分析 首先将作用在杆件上的实际外力进行简化。横向力向弯曲中心简化，并沿截面的形心主轴方向分解；纵向力向截面形心简化。简化后的各外力分别对应着一种基本变形。
2、内力分析，确定危险截面 根据杆上作用的外力，进行内力分析，必要时绘出内力图，从而确定危险截面，并求出危险截面上的内力值。
3、应力分析，确定危险点 按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置，同时计算出危险点上的应力
4、强度分析 根据危险点的应力状态和杆件材料的强度指标按强度理论进行强度计算。
第二节 斜弯曲计算
现以图11—2a所示的悬臂梁为例来说明斜弯曲的概念及其应力计算的一般步骤。
设矩形截面的悬臂梁在自由端处作用一个垂直于梁轴并通过截面形心的集中荷载F，它与截面的形心主轴y成φ角(图11—2a)。
由于外力作用平面虽然通过截面的弯曲中心，但它并不通过也不平行于杆件的任一形心主轴，则梁不发生平面弯曲。此时，我们可将力F沿y、z两个形心主轴方向分解，得到两个分力
在Fy作用下，梁将在oxy平面内弯曲，在Fz作用下，梁将在oxz平面内弯曲，两者均属平面弯曲情况。因此梁在倾斜力作用下，相当于受到两个方向的平面弯曲，梁的挠曲线此时不在是一条平面曲线，也不在外力作用的平面内，通常把这种弯曲称为斜弯曲。
图11—2
二、内力分析
与平面弯曲情况一样，在斜弯曲梁的横截面上也有剪力和弯矩两种内力。但由于剪力在一般情况下影响较小，因此在进行内力分析时，主要计算弯矩的影响。
在分力Fy和Fz分别作用下，梁上距自由端为x的任一截面优m－m的弯矩为
Mz＝Fy x＝Fcosφ·x
My＝Fz x＝Fsinφ·x
令M=Fx，它表示力F对截面m-m引起的总弯矩。如图15-2b所示，显然，总弯矩M与作用在纵向对称平面内的弯矩Mz和My有如下关系
Mz=Mcosφ，My=Msinφ
Mz和My将分别使梁在oxy和oxz两个形心主惯性平面内发生平面弯曲。因此，斜弯曲即为两个平面内的平面弯曲变形的组合。
三、应力分析
应用平面弯曲时的正应力计算公式，即可求得截面m-m上任意一点K(y，z)处由和所引起的弯曲正应力，它们分别是
根据叠加原理，梁的横截面上的任意点K处总的弯曲正应力为这两个正应力的代数和，即
（11-1）
上式中的和，分别为梁的横截面对形心主轴z和y的形心主惯性矩。
正应力的正负号，根据弯矩引起的正应力是拉应力还是压应力来决定。以正号表示拉应力，负号表示压应力。
四、确定危险截面，进行强度计算
显然，对图11－2a所示的悬臂梁来说，危险截面就在固定端截面处，其上My和Mz同时达到最大值。至于危险点也不难看出，就是E、F两点（图11-2b），其中E点有最大拉应力，F点有最大压应力，并且都属于单向应力状态，其应力可以直接代数和相加。若材料的抗拉压强度相等，强度条件可表示为
式中，Mmax是构件危险截面上的最大总弯矩。由式(11—2)进行强度计算，在设计截面尺寸时，除了要知道Mmax 、[б]和φ外，还存在Wz和Wy两个未知量。因此还要预先假设一个的比值Wz / Wy ，然后根据强度条件式(11—2)计算出杆件所需的 Wz和Wy值，进而确定出截面的尺寸。一般说来，要使得所设计的截面既满足强度条件， бmax和[б]又相差不大，需试算几次才能求得最后的结果。
对于矩形截面，因为 ，故在设计截面时，总是先假设截面高度
h和截面宽度b的一个比值。
对于工字钢截面，从型钢表可知的Wz/Wy比值约在5～15之间，因而设计截面时可在此范围内假设(一般可先其比值为假设为8～10为宜)。
(11－2)
例11-1 一屋架上的木檩条采用100mm×140mm的矩形截面，跨度4m，简支在屋架上，承受屋面分布荷载q＝1 kN／m(包括檩条自重)，如图11—3所示。设木材的许用应力[б]＝10MPa，试验算檩条的强度。
解 (1)内力计算 把檩条看作简支梁，在分布荷载作用下，跨中截面为危险截面，最大弯矩为
图11—3
(2)截面几何性质的计算 由已知截面尺寸可算得
(3)强度校核根 据强度条件式(11—2)，可算得檩条的最大正应力为
故认为檩条的强度条件满足要求。
例11—2 矩形截面悬臂梁如图11—4所示，已知F1=0．5kN，F2=0．8kN，b＝100mm，h＝150mm。试计算梁的最大应力及所在位置并进行粱的强度校核。已知梁的材料是木材，其许用应力为。
解：此梁受铅垂力F1与水平力F2共同作用，产生双向弯曲变形，其应力计算方法与前述斜弯曲相同。该梁的危险截面为固定端截面，最大内力计算如下：
(1) 内力的计算
a） b）
图11－4
(2)危险点的应力的计算
根据弯矩作用情况分析可知，固定端截面上的d点产生最大单向拉应力，固定端截面上的b点产生最大单向压应力，是两种平面弯曲的叠加，其计算结果如下：
1）抗弯截面模量Wz及Wy的计算
2）最大拉应力和最大压应力的计算
(3) 粱的强度校核。
由于
故粱的强度足够，满足强度要求。
例11—3 如图11—5所示，悬臂梁由25b工字钢制成，承受的荷载如图。试求梁的最大拉应力和最大压应力。已知
图11—5
解: (1)外力分析 该悬臂梁除在纵向主惯性平面内有均布荷载q作用外，在自由端还有集中力F(φ＝30o)作用，因此首先要将F分解为梁的两个主惯性平面内的两个分力
(2)内力分析 显然，该梁在固定端截面上将有最大弯矩。在q和F作用下,其固定端截面上的弯矩为
(上边缘受拉)
在Fz的作用下，其固定端截面上的弯矩为
(A、D处受拉)
(3)应力计算 由附录中的型钢表查得25b工字钢的
用叠加法计算固定截面上A、B、C、D四点处的正应力分别为
梁内最大拉应力发生在固端截面上的A点处，最大压应力发生在同一截面的C点处（图11-5）。
第三节 弯曲与拉(压)组合计算
若杆件同时受到横向力和轴向拉(压)力的作用，则杆件将发生弯曲与拉伸(压缩)组合变形。现以图11—6a所示AB杆为例，说明弯曲与拉伸(压缩)组合变形时杆件的强度分析方法。
图11—6
一、外力分析，确定杆件有几种基本变形
由图可见，两端铰支的AB杆在均布横向荷载q的作用下产生弯曲变形，又在轴向力F的作用下将产生轴向拉伸变形。因此，AB杆同时发生弯曲与拉伸两种基本变形。
二、内力分析，确定危险截面
根据AB杆所受的外力，可以绘出轴力图和弯矩图如图11—6b、c所示。所以，杆件中点处的截面，在该截面上同时作用有两种内力，其值均达到最大值，是此梁的危险截面，记为截面C,如图11—6d所示。其弯矩值为
三、应力分析，确定危险点
在危险截面C上，轴向力FN引起的正应力如图11—6e所示沿截面是均匀分布的，其值为
弯矩Mmax所引起的正应力如图11—6f所示沿截面高度按直线规律分布。其值为
应用叠加法，截面上任意点处的正应力处于单向应力状态，按代数和计算其应力大小为
(11—3)
正应力分布规律如图11—6g所示。显然，最大正应力和最小正应力将发生在离中性轴最远的下边缘和上边缘处，其计算式为
四、强度计算
由于危险截面的上、下边缘处均为单向应力状态，所以弯曲和拉伸(压缩)组合变形时的强度计算可用下式表示
(11—4)
对于抗弯刚度较大的杆件，由于横向力引起的弯曲变形(挠度)与横截面尺寸相比很小，因此在小变形情况下可以不必考虑轴向力在横截面上引起的附加弯矩的影响，用叠加法计算。
若杆件抗弯刚度较小，梁的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，轴向力在横截面上将引起较大的附加弯矩，其影响就不可不计，此时叠加法不能应用，而应考虑横向力和轴向力间的相互影响。
例11—4 设图11—7所示简易吊车在当小车运行到距离梁端D还有0．4m处时，吊车横梁处于最不利位置。已知小车和重物的总重量F=20kN，钢材的许用应力[б]=160MPa，暂不考虑梁的自重。按强度条件选择横梁工字钢的型号。
图11—7
解 (1)外力计算 吊车横梁的受力图如图11-7b所示。由静力平衡方程求得
(2)内力计算
根据横梁所受的外力，作出轴力图和弯矩图分别如图11-7c、d所示。由此可见，B左截面是危险截面，因为该截面上轴力和弯矩同时达到最大值。在该截面上有轴力FN=49.7kN，弯矩M=-30kN·m。因此，横梁是受弯曲与压缩的组合作用。
(3)按照强度条件进行截面设计。 根据强度条件，B左截面上的最大压应力应满足
由于式中A和Wz都是未知的，初选截面时可以只考虑弯矩的影响。
例11—4:2
得
因考虑轴力影响，可选大一点的截面，选择20a号工字钢:
然后根据式(11—4)进行强度校核，这时
所以20a号工字钢满足强度要求。
根据弯、压组合应力进行强度校核。即先由
例11—5 一桥墩如图11—8所示。桥墩承受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压力Fo=1920 kN，桥墩墩帽及墩身的自重F1=330 kN，基础自重F2=1450kN，车辆经梁部传下的水平制动FT=300kN。试绘出基础底部AB面上的正应力分布图。已知基础底面积为b×h=8m×3．6m的矩形。
图11—8
解: (1)内力计算 基础底部截面上有轴力和弯矩，其数值分别为
(2)应力计算 由轴力FN在基础底部产生的正应力为
由弯矩在基础底部截面的右边缘和左边缘引起的正应力为
所以在基础底部的左、右边缘处的正应力分别为
基础底部截面上正应力分布规律如图11—8b所示。
第四节 偏心压缩与截面核心的概念
如果压力的作用线平行于杆的轴线，但不通过截面的形心，则将引起偏心压缩。偏心压缩实际上仍是弯曲与压缩的组合变形问题。为了说明这类问题的具体计算方法，以下分别介绍单向偏心压缩和双向偏心压缩的应力计算。
一、单向偏心压缩的应力计算
1．外力分析
图11—9a表示一偏心压缩的杆件。外力F作用点在截面的一根形心主轴上，其作用点到截面形心0的距离e称为偏心距。由于外力作用在一根形心主轴上而产生的偏心压缩，称为单向偏心压缩。
为了分析图11—9a所示杆件的内力，可将偏心力F向截面形心简化，其简化结果形成如图11—9b所示的两种荷载的共同作用，即一个通过杆轴线的压力F和一个力偶矩M=Fe。用截面法可求得该杆件任意截面上的内力，如图11—9c所示，横截面上有轴力FN=-F，弯矩MZ=m=Fe。
图11—9
2．应力计算
根据叠加原理，将轴力FN引起的正应力бN=FN/A和弯矩MZ引起的正应力бm=±MZy/IZ相加，就可以得到这种单向偏心压缩时杆件中任意横截面上任一点的正应力计算式
考虑到MZ=Fe故有
（11-5）
上式中F、y、e均代人绝对值，正负号均可由观察变形确定。显然，最大正应力和最小正应力分别发生在横截面的左、右两条边缘线上，其计算式分别为
(11-6)
图11—9
2．应力计算
由图11—9d可以看出：单向偏心压缩时，距偏心力F较近的一侧边缘BB`处总是产生压应力，其值为:
而最大正应力:
总发生在距偏心力较远的那侧边缘AA‘处，其值可能是压应力(图11—10a)，也可能是拉应力(图11-10c)或等于零(图11-10b)。若将面积A＝bh和抗弯截面模量 代入式(11—6)即得
（11－7）
a） b) c)
图 11－10
例11—6 图11-11所示矩形截面柱，柱顶有屋架传来的压力F1=200 kN，牛腿上承受吊车梁传来的压力F2=90kN，F2与柱轴线的偏心距e=0.2 m。已知柱宽b=200 mm，求：
（1）若h=300 mm，柱截面中的最大拉压力和最大压应力。
（2）要使柱截面不产生拉应力，选择截面高度h。在所选的h尺寸下，柱截面中的最大拉应力和最大压应力。
图11-11
【解】（1）求бmax和бmin
将荷载力向截面形心平移，得柱的轴心压力为
F=F1 + F2=290 kN
截面的弯矩为
所以
бmax为拉应力
бmin为压应力
例11—6：（2）求h及бmax
（2）求h及бmax
要使截面不产生拉应力，应满足
即
解得 h≥372.4 mm
取 h=380 mm
（3）当h=380 mm时，求截面的最大应力бmax和最小应力бmin
现在，整个截面上均为压应力
二、截面核心的概念
由式（11-6）知， 单向偏心受压柱的最大拉应力公式是
如果 时，则横截面上将出现拉应力，这对用脆性材料制作的柱，如砖石、石柱、混凝土柱是不利的。最好使横截面不出现拉应力，这样必须使
或使偏心矩e为
（11-8）
对于直径为d 的圆形截面
所以
上式说明，当压力F的作用点位于截面核心以内时，柱截面上将不会出现拉应力。在力学中，将偏心压缩不产生拉应力的外力作用范围，称为截面核心，如图11-12a阴影所示。
图11-12
二、截面核心的概念:矩形截面
对于矩形截面，其截面核心如图11-12b所示的阴影菱形。当力F 作用在Z 轴上时，将
代入式（11-8）得
同理，当力F作用在轴上时，将
代入式（11-8），得
通过以上分析可以看出，截面核心的形状、尺寸与压力F 的大小无关，只与柱的横截面形状和尺寸有关。
这样，可先根据截面的形状和尺寸，确定截面核心的范围，然后只要使力F 的作用点在截面核心之内，就可达到使整个截面不出现拉应力的目的。
图11-12

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