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第十章平面体系的集合组成分析
第一节结构组成的集合规则和分析方法
第二节体系的几何组成与静定性的关系
每章一练
教学目标
1.掌握结构组成的集合规则。
2.掌握结构组成的分析方法。
3.了解体系的几何组成与静定性的关系。
第一节 结构组成的集合规则和分析方法
一、几何不变体系和几何可变体系
在荷载作用下，不考虑材料的变形时，结构体系的形状和位置都不可能变化的结构体系，称为几何不变体系，如图10-1所示，形状和位置可能变化的结构体系，称为几何可变体系，如图10-2所示。
显然，几何可变体系是不能作为工程结构使用的，工程结构中只能使用几何不变体系。
铰接三角形是结构中最简单的几何不变体系，这是因为组成三角形的三条边一旦确定，那么这三条边组成的三角形是唯一确定的，因此铰接三角形是几何不变体系。如果在铰接三角形上任意减少一个部分，如将图10-3(a)铰接三角形ABC
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
拆开，体系就成了几何可变体系，因此铰接三角形是几何不变体系中最简单的。以上称为铰接三角形规则，是对结构进行组成分析最基本的规则。
如果在铰接三角形上再增加一根链杆AD，如图10-3(b)所示，体系ABCD仍然是几何不变体系，从维持几何不变的角度来看，有的约束是多余的(如AD或AC等链杆)，这些约束称为多余约束。因此在几何不变体系中又分无多余约束几何不变体系和有多余约束几何不变体系。
综合上述，可以得出对结构组成分析的基本规则。
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
二 、结构组成分析的基本规则
1、二元体规则
在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个节点，这种结构叫做二元体结构(图10-4)。于是铰接三角形规则可表达为二元体规则:一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。
2、两刚片规则
若将铰接三角形中的杆AB和杆BC均视为刚片，杆AC视为两刚片间的约束(图10-5)，于是铰接三角形规则可表达为，两刚片规则:两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
可组成几何不变体系，且无多余约束。
图10-6 (a)表示两刚片用两根不平行的链杆相连，两链杆的延长线相交于A点，两刚片可绕A点做微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一个铰把两刚片相连。当然，实际上在A点没有铰，所以把4点叫做“虚铰”。如在刚片I，II之间加一根不通过A的链杆3(图10-6(b))，就组成几何不变体系，且无多余约束。
3、三刚片规则
若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片(图10-7)，则有三刚片规则:三刚片间用不在同一直线上的三个铰两两相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
根据上述简单规则，可逐步组成更为复杂的几何不变体系，也可用这些规则来判别给定体系的几何不变性。在上述组成规则中，都提出了一些限制条件。如果不能满足这些条件，将会出现下面所述的情况。
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
三、瞬变体系
如一个点与一个刚片用两根共线的链杆相连，如图10-8，从约束的布置上就可以看出是不合理的，因为两链杆都在同一水平上，因此，对限制A点的水平位移来说具有多余约束，而在竖向却没有约束，A点可沿竖向移动，体系是可变的。不过当铰A发生微小移动至A’时，两根链杆将不再共线，运动将不继续发生。这种在某一瞬间可以发生微小位移的体系称为瞬变体系，有时瞬变体系在受力时会对杆件产生巨大的内力，使构件发生破坏，因此瞬变体系不能作为结构使用。
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
如图10-9 (a)所示的两个刚片用三根链杆相连，链杆的延长线全交于O点，此时，两个刚片可以绕O点作相对转动，但在发生一微小转动后，三根链杆就不再全交于一点，从而将不再继续作相对转动，故是瞬变体系。又如图10-9(b)所示的两个刚片用三根相互平行但不等长的链杆相连，此时，两个刚片可以沿着与链杆垂直的方向发生相对移动，但在发生一微小转动后，三根链杆就不再全交于一点，从而将不再继续作相对转动，故是瞬变体系。又如图10-9(b)所示的两个刚片用三根相互平行但不等长的链杆相连，此时，两个刚片可以沿着与链杆垂直的方向发生相对移动，但在发生一微
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
小移动后，此三根链杆就不再互相平行，故这种体系也是瞬变体系。应该注意到，若这三根链杆等长并且是从其中一个刚片沿同一方向引出时，如图10-9(c)所示，则在两个刚片发生相对移动后，这三根链杆仍保持相互平行，则运动将继续发生，这样的体系就是几何可变体系。
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
四、结构组成的分析方法
几何不变体系的组成规则，是进行结构组成分析的依据。对体系重复使用这些规则，就可判定结构体系是否是几何不变体系及有无多余约束等问题。分析时，一般先从能直接观察出的几何不变部分开始，应用组成规律，逐步扩大不变部分直至整体。在前面学习中遇到的结构大部分是无多余约束的几何不变的结构体系，如简支结构、悬臂结构和三铰结构等。很多结构体系中有一部分结构和基础组成上述结构，这部分结构通常称为结构体系的基本部分，这是应该首先观察出来的。其他部分称为附属部分，可以通过应用组成规律对其进行判断。对于较复杂的结构体系，为了便于分析，可先拆除
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
不影响几何不变性的部分(如二元体);对于形状复杂的构件，可用直杆等效替代，使问题简化。
例10-1 试对图10-10所示结构，进行组成分析。
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第一节 结构组成的集合规则和分析方法
解:通过直接观察可以看到杆ABC是简支结构，杆ABC由铰A、链杆B和基础相连，由二刚片规则，杆ABC和基础组成无多余约束的几何不变体系，从而形成扩大基础I。杆CDE由铰C、链杆D和扩大基础相连，由二刚片规则，杆CDE和扩大基础组成无多余约束的几何不变体系，使基础进一步扩大为且，最后杆EF和链杆F作为二元体，因此整个结构是几何不变体系且无多余约束。此例中杆ABC是结构的基本部分，其他是结构的附属部分。
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第二节 体系的几何组成与静定系的关系
所谓体系即物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统。当系统平衡时，组成系统的每个物体也必将处于平衡状态。一般而言，系统由n个物体组成，如每个物体都是受平面一般力系作用，则共可列出3n，个独立的平衡方程。
系统中如所研究的平衡问题未知量大于独立的平衡方程数目，仅用平衡方程就不可能全部解出，这类问题称为超静定问题，这类结构称为超静定结构
如未知量均可用平衡方程解出的系统平衡问题，称为静定问题，这类结构称为静定结构
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第二节 体系的几何组成与静定系的关系
我们也可以通过结构几何组成分析对静定结构和超静定结构重新加以认识:
无多余约束的几何不变体系组成的结构是静定结构，这是因为体系的约束刚好限制了体系所有可能运动方式，体系的平衡方程数目和约束数目刚好相等，因此未知量均可用平衡方程解出。
有多余约束的几何不变体系则不能用平衡方程全部解出结构的未知量，是超静定结构，多余约束的个数就是超静定结构的超静定次数，求解时必须通过其他条件补充相应的方程进行求解。
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每章一练
1、什么是几何可变体系和几何瞬变体系 这两种体系为何不能用于工程结构
2、可以承受荷载的结构必须是什么体系
3、三刚片规则中，连接三刚片的三个铰应满足什么要求
4、二刚片规则中，用两根链杆替代铰，那么连接二刚片的三链杆应满足什么要求，才能使二刚片组成几何不变体系
5、从几何组成分析上来看，静定结构和超静定结构有何异同点
6、试对图10-16所示各梁进行几何组成分析。
7、试对图10-17所示各刚架进行几何组成分析。
8、试对图10-18所示各析架进行几何组成分析。
9、试对图10-19所示各拱结构进行几何组成分析。
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图10-1 几何不变体系
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图10-2 几何可变体系
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图10-3(a) 铰接三角形
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图10-3(b) 铰接三角形
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图10-4 二元体结构
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图10-5 两钢片间的约束
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图10-6 两钢片组成几何不变体系
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图10-7 三钢片组成几何不变体系
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图10-8 不合理约束布置
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图10-9(a)(b)
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(a)、(b)瞬变体系;
图10-9(c)
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(c)几何可变体系
图9-16 第6题图
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图10-17 第7题图
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图10-18 第8题图
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图10-19 第9题图
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