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第十五章 静定平面刚架、拱及桁架的内力分析
第一节 静定平面刚架
第二节 三 铰 拱
第三节 静定平面桁架
第四节 静定组合结构的内力
第五节 静定结构的特性
第一节 静定平面刚架
静定平面刚架是由若干共面轴线直杆、“基础”，以刚结点联结主要而成的，无多余约束的几何不变体系。其基本特点是：全部支座反力、杆件内力都能由静力平衡方程求出；杆件的变形以弯曲为主；刚性联结的杆件之间的夹角，在结构变形过程中保持不变。
一、静定平面刚架的常见类型
静定平面刚架有悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架和多跨静定刚架四大类。
静定平面悬臂刚架是先由若干杆件以刚结点为主联结成无多余约束的几何不变体系，再用一个固定端支座联在“基础”上而成的静定平面结构。如图15-1所示火车站月台雨篷支架a、球场看台雨篷支架b和市场摊位雨篷支架c都是静定平面悬臂刚架。
a) b) C）
图15-1
静定平面简支刚架是先由若干杆件以刚结点为主联结成无多余约束的几何不变体系，再与“基础”由一固定铰支座和一可动铰支座，按两刚片规则联成的静定平面结构，如图15-2所示。
a) b)
图15-2
三铰刚架是先由若干杆件以刚结点为主联结成两个无多余约束的几何不变体系，这两个部分再与“基础”按三刚片规则联结而成的静定平面结构，如图15-3所示。
a) b)
c) d)
图15-3
二、静定平面刚架的内力计算
平面刚架杆件横截面上的内力一般有三种：弯矩M、剪力FQ和轴力FN。其全部支座反力和内力都可由静力平衡方程来求解。与第七章梁一样，可方便地画出弯矩图、剪力图和轴力图。计算刚架时，剪力、轴力的正负按以前规定确定。弯矩的正负可自行确定，但一般以刚架内侧受拉为正。
静定平面刚架的内力计算步骤是：
1．求结构的支座反力。若计算悬臂刚架时，可不求支座反力。
2．将全部刚架杆件划分为若干段 。一般分为无荷段、均载段和单个集中力作用段。
3．画弯矩图 先用截面法计算各杆端弯矩值，再画弯矩图，且弯矩图画在受拉侧。无荷段用直线连接两端弯矩即可。均载段先以虚线连接两端弯矩，再叠加等效简支梁受均布荷载的弯矩抛物线（其跨中截面值为ql2／8）。单个集中力段先以虚线连接两端弯矩，再叠加等效简支梁受集中力的弯矩三角形（集中力作用截面值为Fab／l）。逐一作出各杆段弯矩图即得全刚架弯矩图。
4．画剪力图 取杆段分析，根据杆段荷载和杆段端弯矩求出杆段端截面剪力值，并画在刚架简图相应截面的某侧。无荷段过一端剪力作出杆轴平行线，标明正负即可。均载段以直线连接两端剪力，标明正负即可。逐一作出各杆段剪力图即得全刚架剪力图。通常横杆正剪力画在上侧，竖杆正剪力可画在任一侧，但都必须注明正负。
5.画轴力图 取结点（有时也取杆段），根据已知剪力和荷载值，求出杆段端截面轴力值，并画在刚架简图相应截面的某侧。过一端轴力作出杆轴平行线，标明正负即可。逐一作出各杆段轴力图即得到刚架轴力图。通常横杆正轴力画在上侧，竖杆正轴力可画在任一侧，但应标明正负。
6．校核。取刚架的尚未分析部分（杆件、结点皆可），验算其外力、内力是否满足平衡条件。若满足，说明计算结果正确。
在此值得指出的是，，杆段端部内力常用杆段两端的双字母来作下标：截面所在端字母放在前面，另一端字母放在后面。例如，AB杆段A端横截面上的弯矩记为MAB，剪力记为FQAB，轴力记为FNAB。
图15-4
e) f) g) h)
a) b)M图 c)FQ图 d) FN图
例15-1 试绘出图15-4示悬臂刚架的内力图。
画在截面内侧。直线连接，为一矩形，即为AB杆的弯矩图。
解： 由于是悬臂刚架，计算内力时只取悬臂端，可不计算支座反力。刚架分成AB、BC两个无荷段。
（1）计算杆端截面弯矩，作弯矩图
两杆段均为无荷段，弯矩图为斜直线，应求出每杆两端弯矩。去掉支座，取上部分析，如图15-4e。设弯矩以内侧受拉为正，各内力均应画为正，下同。则对AB杆：
MAB=5-2×2=1 kN·m(内侧受拉)
同理， MBA=5-2×2=1 kN·m (内侧受拉)，画在截面内侧。直线连接，为一矩形，即为AB杆的弯矩图。
对BC杆：
MBC=-2×2=-4 kN·m(外侧受拉)
MCB=0
直线连接，即为BC杆的弯矩图。
例15-1
（2）计算杆端截面剪力，作剪力图
两杆段均为无荷段，剪力图为杆轴平行线，每杆只求一端剪力即可。取AB杆（也可取图e所示整个上部）分析，如图15-4f（计算剪力时，图中可不画轴力，下同）。则：
不用画图。同理，取BC杆分析，则FQBC=2kN·m，画在上侧并作杆轴平行线，即为BC杆剪力图。
（3）计算杆端截面轴力，作轴力图
轴力每杆只求一端即可。取结点B分析，如图15-4g，则
（4）结果校核
取尚未用过的图15-4g所示带B结点的BC杆分析，画出受力图（注意：此时内力已知了，可不设为正而按实际画，以后不再说明）。对B点取矩：ΣMB＝5－2×2－MBA＝5－2×2－1＝0，在竖向投影ΣFy＝－FNBA－2＝－（－2）－2＝0可证结果。也可由A结点上力偶矩平衡ΣM＝5－MBA－MBC＝5－1－4＝0判断计算结果无误。
，FNBA=－2kN（受压），平行线画在BC杆内侧。
，FNBC=0，说明BC杆无轴力。
例15-2 计算图15-5示简支刚架的内力，并作出内力图。
图15-5
解： （1）求支座反力 取刚架的整体分析，受力图如图15-5a所示。
，解得FAx＝－6kN（负号表示真实方向向左）
，解得FB＝9kN
, 解得FAy＝3kN
（2）计算弯矩，作弯矩图
全刚架划分为单个集中力作用段AD、均载段DE和无荷段EB。设弯矩使刚架内侧受拉为正，由截面法计算各杆端弯矩如下：
取A截面以下外力计算，则MAD=0。取水平D截面以下外力计算MDA=－FAx×3－6×1＝－（－6）×3－6×1＝12 kN·m（内侧受拉）。据D结点平衡知：MDE= MDA=12 kN·m（内侧受拉）。取水平E截面以下外力计算：MEB=0，同理MBE=0。由E结点平衡知：MED= MEB=0。
将这些弯矩值画在刚架简图上相应截面的受拉侧，如图15-5b所示。AD段：先以虚线连成三角形，再在C截面处向内叠加Fab／l＝6×2×1／3＝4 kN·m，然后将此点与MAD=0、MDA＝12 kN·m二点分别以直线连接即得该段弯矩图。DE段：同样先以虚线连成三角形，再在跨中截面向下叠加ql2／8＝3×42／8＝6 kN·m，此点与MDE=12 kN·m、MED=0以抛物线连接即得该段弯矩图。EB段无弯矩图。全刚架弯矩图如图15-5b所示。
（3）计算剪力，作剪力图
取AD段分析，受力图如图15-5e。由ΣMD＝0：MDA＋6×1－FQAD×3=0，得FQAD=6kN（也可取A结点分析得此结果更简便）。在A截面画出FQAD并作AC杆轴平行线至C截面，向右突变6 kN，已与CD杆轴线重合，即该段剪力图为杆轴线。
DE段为均载段，剪力图为斜直线。取DE分析，受力图如图15-5f所示。由ΣMD＝0：－FQED×4－12×2－MDE=0，得FQED=－9kN（也可用叠加法得此结果更简便）。由ΣFy=0,FQDE－12－FQED=0，得FQDE=3 kN。将此二剪力标出并直线连接即得该段剪力图。
EB段无剪力，即不受剪。全刚架剪力图如图15-5c所示。
（4）计算轴力，作轴力图
取D结点分析，受力图如图15-5g。由ΣFx＝0：FNDE－FQDA＝0，得FNDE＝0。ΣFy＝0：－FNDA－FQDE＝0，得FNDA＝－FQDE＝－3kN。标出FNDA，作AD杆轴平行线，即为该杆轴力图。DE杆无轴力图。
同理，取E结点分析可知，FNEB＝－9kN，标出之并作EB段平行线，即为该段轴力图。全刚架轴力图如图15-5d所示。
（5）结果校核
取尚未用过杆CD段分析，画出受力图,此时其上内力都已知，验算ΣFx、ΣFy和ΣMC是否为0，即可判断结果正误（此略，读者自己完成）。
例15-3 试计算并作出图15-6所示三铰刚架的弯矩图。
解： 计算三铰刚架必须先求出支座反力。
（1）求支座反力 三铰刚架的支座反力分成两步计算：
1)取刚架整体分析，如图a，则
①
②
③
图15-6
（2）计算弯矩值，作弯矩图
将刚架划分为AD、DC、CE和EB四段，只有DC是均载段，其它三段无荷载。
AD段：MAD=0。再取水平D截面以下外力计算MDA＝－FAx×8＝－10×8＝－80 kN·m（外侧受拉）。画出MDA并与A点连线即为该段弯矩图。
EB段：MBE=0。再取水平D截面以下外力计算MEB＝－FBx×8＝－10×8＝－80 kN·m（外侧受拉）。画出MEB并与B点连线即为该段弯矩图。
CE段：因C点为铰，故MC=MCD= MCE =0。结点E上力偶矩平衡，故MEB＝MEC＝－80 kN·m（外侧受拉）。画出MEC并与C点连线即为该段弯矩图。
DC段：结点D上力偶矩平衡，故MDA＝MDC＝－80 kN·m（外侧受拉）。画出MDC并与C点虚线连接，再在中点向下叠加ql2／8＝20×42／8＝40kN·m，此点与MDC、C点以抛物线连接即得该段弯矩图。全刚架弯矩图如图15-6b所示。
（3）计算剪力，作剪力图
AD，BE，CE段无荷载，其剪力图均为杆轴平行线，DC是均载段，剪力图为斜直线。取由A截面以下外力可简便得到：FQAD＝－FAx＝－10 kN。同理，FQBE＝FBx＝10 kN。由此，可作出AD，BE段剪力图（如图15-6d）。取DC段分析，受力图如图15-6e，则由ΣMC＝0：－MDC－FQCD×4－（20×42）／2＝0，得FQCD＝－20 kN。由ΣFy＝0： FQDC－20×4－FQCD＝0，得FQDC＝60kN。画出FQDC、FQCD并连成直线即为DC段的剪力图。过FQCD作杆轴平行线至E截面即为CE段的剪力图。全刚架剪力图见图15-6c。
（4）计算轴力，作轴力图
只有DC是均载段且为横向荷载，AD、BE、CE三杆段上均无荷载（即各杆均无斜向分布力），故各杆轴力图均为杆轴平行线。
取D结点分析，受力图如图15-6f。由ΣFx＝0：FNDE－FQDA＝0，得FNDE＝FQDA＝－10 kN。ΣFy＝0：－FNDA－FQDC＝0，得FNDA＝－FQDC＝－60kN。标出FNDA、FNDE，作杆轴平行线，即得此二杆轴力图（见图15－6d）。同理，取E结点分析，得FNEB＝－10 kN，画出之并作BE杆轴的平行线，即得BE杆的轴力图。全刚架轴力图见图15-6d。
（4）结果校核
计算过程未涉及DE部分的平衡，可用其校核计算结果。其受力图如图15-6g，各内、外力均已知。ΣFy＝FQDC＋FQEC －20×4＝0，可见计算结果正确。也可计算ΣMD＝MDC－MEC ＋FQEC×8－20×42＝80－80＋20×8－160＝0，可见计算结果正确。
第二节 三 铰 拱
一、拱的概念
拱是土木工程的结构类型之一，图15-7为工程中的三种典型拱计算简图。拱结构必须具备两大特点：①含有拱形杆——称为构造特点；②在竖向荷载作用下会产生水平反力——称为受力特点。
工程上常将拱在竖向荷载作用下产生的水平反力叫做水平推力（如图15-7中的FAx、FBx）。
如图15-7a所示，拱结构的最高点称为拱顶，拱形杆称为拱身，支座联结处称为拱趾（或拱脚）。两支座的水平距离称为拱跨。拱顶到两拱趾连线的垂直距离f称为拱高（或矢高）。拱高与跨度之比称为拱的高跨比（或矢跨比）。拱的高跨比对拱的主要受力性能影响甚大。图15-7a所示拱称为三铰拱，是无多余约束的几何不变体系，为静定结构。图15-7b所示拱称为两铰拱，是多余一个约束的几何不变体系，故为一次超静定结构。图15-7c所示拱称为无铰拱，是多余三个约束的几何不变体系，故为三次超静定结构。本节我们只讨论三铰拱。
图15-7
二、三铰拱的计算(1)
以图15-8a所示三铰拱为例来讨论三铰拱的计算，已知其拱轴抛物线方程为y＝4fx(l－x)/l2。此处所讨论的必须是两支座铰位于同一水平线、第三铰位于拱顶的三铰拱。
1．三铰拱支座反力的计算
三铰拱的支座反力计算方法与三铰刚架同。先取整体分析，受力图如图15-8a所示。
图15-8
三铰拱的计算(2)
由平衡条件解得（求解过程繁琐，此略）：
然后再取半拱分析，如图15-8 f 所示。对点4取矩，可得：
为了得到三铰拱支座反力计算的简便方法，我们取一与三铰拱跨度相同、荷载相同的简支梁（称为该三铰拱的代梁）来分析，如15-8b所示。由平衡条件易得：
M0C= F0Ay×6－F×3= 105×6－100×3=330 kN (8)
将代梁支座反力F0Ay、F0By与三铰拱支座反力比较，可得：
(1)
(2)
故可令 FAx = FBx
(3)
FAx = FBx= FH
(4)
(5)
(6)
(7)
(15-1)
三铰拱的计算(3)
代入式⑤得：
(9)
比较式的⑧、⑨可得：
（15-2）
可以证明，式（15-1）、（15-2）对所讨论类型的任何三铰拱都适用。
2．三铰拱内力计算
由于拱的轴线是曲线，故拱的横截面方位是不断变化的，而不象水平梁的横截面那样总是坚直的。因此，拱即使只受竖向荷载作用，横截面上也可能同时产生三种内力：弯矩，剪力和轴力。这一点与平梁横截面只有弯矩和剪力有较大差异，倒有点类似斜梁。
分析图15-8a所示三铰拱中任一横截面K，其位置坐标为（x，y）,该处拱轴的切线与x轴正向夹角为φ。设该横截面上弯矩为Ｍ（以使拱内侧受拉为正），剪力为FQ（以使脱离体有顺时针转动趋势的为正），轴力为FN（以使截面受压为正）。取K以左部分（ＡK段）分析，受力图如图15-8g。
三铰拱内力计算
(1)弯矩的计算
由AK部分平衡条件ΣMK=0得：M+FAx·y+FAy·x=0，解得：M=FAyx-FAxy。因FAyx=F0Ayx，为代梁上与K对应的K0截面上的弯矩M0，而由式④知FAx= FH，故
（15－3）
可以证明，该式也适用于所讨论类型三铰拱的任何情况。
(2)剪力的计算
由AK部分平衡条件可解得FQ=FAycosφ-FAxsinφ ，同样因FAy=F0Q ，FAx＝FH，故
(15－4)
同样可以证明，该式对三铰拱任何情况都适用。
(3)轴力计算
由AK部分平衡条件可解得FN=FAysinφ+FAxcosφ，同样因FAy＝FQ0，FAx＝FH，于是：
（15－5）
也可以证明，该式对所讨论类型三铰拱任何情况都适用。
3．三铰拱内力图绘制
绘制三铰拱内力图的步骤是：
（１）将拱跨等分为若干段，段长以1-２m左右为宜，集中力或集中力偶作用点、均布荷载起止点一般也应作为分段点。
（２）按公式（15-1）~（15-5）列表计算出各分段点处拱横截面内力值。
（３）绘制拱内力图。
拱内力图有两种绘制方式：一是以拱轴线为基线绘制。此时内力值必须在横截面延长线上点绘。因此内力分布线不像梁或刚架是平行，而是呈扇形的。二是以代梁为基线绘制，即把算出的内力值点绘在代梁对应横截面位置，作出内力图。当然它并不是代梁的内力图。
三铰拱内力图绘制（2）
本例将拱分为八等分，每段1.5m。各等分点拱横截面上的内力计算结果见表15－1。为简便起见，本例在代梁在基线上绘制出拱的弯矩图、剪力图和轴力图，分别如图15－8c、d、e。图15－8b是代梁自身的弯矩图，与拱的弯矩图15－8c比较，两者的差别是很大的。读者可以试以拱轴为基线作出拱的内力图，与图15－8c、d、e比较。
为了说明拱内力的计算方法和表中数据的得出过程，在此以典型的1、2横截面内力计算为例介绍。
横截面1：是普通横截面，其横坐标x1＝1.5m。由拱轴线方程计算出纵坐标为：
y1＝4fx1(l－x1)/l2＝4×4×1.5×(12－1.5)／122＝1.75m
其切线斜率为
所以φ1＝45°，sinφ1＝cos φ1 ＝0.707。因M01＝105×1.5＝157.5kN·m，F0Q1＝105kN，根据公式15－3、15－4、15－5求得该截面弯矩、剪力和轴力分别为：
M1＝M01－FH y1＝157.5－82.5×1.75＝13.1kN·m
F Q 1＝F0Q1cos φ1 －FHsin φ1 ＝105×0.707－82.5×0.707＝15.9kN
FN1＝F0 Q 1sin φ1 ＋FHcos φ1 ＝105×0.707＋82.5×0.707＝132.5kN
三铰拱内力图绘制（3）
横截面2：为集中力作用截面，横坐标x2＝3.0m。由拱轴线方程计算出纵坐标为：
y2＝4fx2(l－x2)/l2＝4×4×3.0×(12－3.0)／122＝3m
同上可计算出其切线斜率为 tanφ2＝0.667，所以φ2＝33.690，sinφ2＝0.555 cosφ2＝0.832。由于有集中力作用，横截面左右两侧的剪力与轴力不会相等，而有突变，故应分别计算。对代梁：M02＝105×3.0＝315kN·m，F0Q2左＝105kN，F0Q2右＝105－100＝5kN。根据公式求得该截面弯矩、剪力和轴力分别为：
M2＝M02－FH y2＝315－82.5×3＝67.5kN·m
FQ2左＝F0Q2左cosφ2－FHsinφ2＝105×0.832－82.5×0.555＝41.6kN
FQ2右＝F0Q2右cosφ2－FHsinφ2＝5×0.832－82.5×0.555＝－41.6Kn
FN2左＝F0Q2左sinφ2＋FHcosφ2＝105×0.555＋82.5×0.832＝126.9kN
FN2右＝F0Q2右sinφ2＋FHcosφ2＝5×0.555＋82.5×0.832＝71.4kN
表15-1 三铰拱内力计算表
三、三铰拱的合理拱轴线
由前部分可知，三铰拱横截面上一般存在着三种内力：弯矩、剪力和轴力。弯矩的存在，使拱横截面上的正应力分布不均匀，材料不能同等程度地发挥作用。
但设计拱时可以让拱横截面形心纵坐标y取某一适当值，从而使其弯矩取零，剪力亦随之取零（读者可自己去验证此结论），于是横截面上只有轴力。如果全拱各横截面上弯矩均为零，则全拱各横截面上内力都只有轴力（为压力），故横截面上只有均匀分布的压应力，各处材料能同等程度地起作用，且拱不会横向开裂。这时的拱轴线称为合理拱轴。
具有合理拱轴线的拱，可采用抗压能力强而抗拉能力弱的砖、石和砼砌块等等脆性材料砌筑而成，从而扬长避短，充分发挥这些材料的作用。
为了确定合理拱轴线方程，可令公式（15-3）中M=0，则y=M0／FH，其中为代梁任一横截面的弯矩，它是截面位置坐标x的函数。而推力FH由荷载与拱高决定，对同一拱而言为定值。因而此式表明了合理拱轴线纵坐标y随截面位置坐标x而变化的规律y=y(x)，可写成如下形式：
（15-6）
式（15-6）称为合理拱轴线方程。
图15-9
例15-4 试确定图15-9所示对称三铰拱在均布线荷载q作用下的合理拱轴线。
解： 由式（15-6）知，要确定y(x)必先求出推力FH和代梁弯矩方程M0(x)。而由式（15-2）知，要求FH就应先求出代梁上与三铰拱顶铰C对应截面的弯矩M0C。因此，先画出该三铰拱的代梁，如图15-9b所示，跨中截面弯矩为M0C=ql2／8代入式（15-2）得
(a)
而代梁弯矩方程为
（b）
将式（a）、（b）代入式（15－6）得
（c）
上式就是对称三铰拱在均布线荷载作用下的合理拱轴线方程，它是一条二次抛物线。
例15-5 试确定图15-10所示三铰拱在沿拱轴曲率半径方向的均布荷载q作用下的合理拱轴。
解： 要成为合理拱轴，拱各横截面上应只有轴力而无剪力与弯矩。在拱中取出一微段ds分析，其受力图如图15-10b。设其两端截面轴力分别为FN和FN+dFN，则由微段平衡，可得ΣMo=0（微段上所有各力对曲率中心O的力矩代数和零）。
设微段曲率半径为ρ，则因微段上荷载合力q.ds通过曲率中心，故有
由此解得dFN =0，故
FN=常量 (a)
即全拱各截面轴力相等。
以微段左端为原点建立直角坐标系mKn。则由微段平衡知，微段上所有外力在m轴上投影代数和为零，即 ΣFm=0 。因dFN =0，故有
因dφ是微量 ，故sindφ≈dφ，cosdφ/2=1。而ds=ρdφ，所以得
ρ＝FN／q ( b )
由式(a)得知FN为常数，而由题设条件知全拱荷载q为常数，故由式(b)知：全拱曲率半径ρ也为常数，即
ρ=常数 （c）
这就是在题设条件下的合理拱轴方程。它是一个以极坐标表示的圆方程，说明在题设条件下的合理拱轴为一圆弧。
图15-10
第三节 静定平面桁架
一、桁架的特征及分类
桁架是土木工程中广泛使用的一种结构型式，尤其被用作大跨度结构。图15-12a、b、c都为桁架实例，其中图a为钢屋架，图b为钢筋混凝土屋架，图c为钢桁架桥梁。
桁架的特点是：杆件都是直杆，荷载都作用于结点上，结点“刚性”相对较低（可能是结点部位强度不足导致），阻止不了外荷载作用引起的结点上各杆件之间夹角的变化。在这种情况下，结构试验和理论分析都表明，各杆的内力主要是轴力，弯矩和剪力则相对很小，可以忽略。因此桁架的计算简图可以这样来假定：桁架全部杆件都是等截面二力杆，所有结点都是理想铰结点（光滑无摩擦），结点上各杆轴线汇交于铰心，其所受外力全部作用在铰结点上。
图15－12
静定平面桁架
静定平面桁架则是所有杆件的轴线都位于同一平面内的无多余约束的桁架结构。图15-12a、b、c中的实际桁架在计算时都简化成静定平面桁架，其计算简图分别如图15-13a、b、c所示。一个平面桁架常叫一榀。图15-12c所示实际桁架就是由两榀图15-13c简图所示桁架通过上部的横向联系、纵向联系和底部的横梁、纵梁、轨枕等联结而成的。
桁架中的杆件可按所处位置分为弦杆（即上下外围杆，上边的叫上弦杆，下边的叫下弦杆）和腹杆（即上下杆弦内的杆，倾斜的叫为斜杆，竖直的叫竖杆）。弦杆上两相邻结点间的区间叫节间，其长度称为节间长度（见图15-13c）。
图15-13
常见静定桁架形式
图15-14所示为常见静定桁架形式。
平面桁架按外轮廓形状可分为平行弦桁架（上下弦平行，如图15-14a）、三角形桁架（上弦呈人字坡，下弦水平，如图15-14b）、折线形桁架（上弦呈折线，下弦水平，如图15-14c）、抛物线桁架（上弦节点位于一抛物线上，下弦水平，如图15-14g）和其它桁架（如图15-14d、e、f、h）。
图15-14
二、静定平面桁架的内力计算
桁架内力就是指桁架各杆的内力。由于桁架各杆都是二力杆，内力只有轴力，故桁架内力也就是指各杆的轴力。
桁架内力计算的方法有结点法、截面法。
1.结点法
这种方法是取桁架的铰结点为分析对象，画出其受力图，并据此建立平衡方程来求解桁架杆件的轴力。由于桁架的外力（荷载和支座反力）都作用于结点上，而各杆件轴线又都汇交于铰心，故铰结点所受的各力（不论是荷载、支座反力，还是杆件轴力）构成一平面汇交力系。因此，以铰结点为分析对象时，最多只能求出两个未知轴力。故用结点法计算桁架内力时，所选取的分析结点上未知力不能超过两个。另外，画受力图时，未知轴力必须设为拉力，以避免所得轴力正负号与轴力拉压性质相矛盾的情况。
例15-6 试计算图15-15所示静定平面桁架各杆的轴力。
图15－15
解： 这是一个简支平行弦桁架。在求解前，任一结点上未知力都不止两个。如A结点上两个支座反力及杆AC与杆AD的轴力都未知，有四个未知力。B结点上有一个支座反力及杆BC与BF的两个轴力共三个未知力。
D、E、F结点各有三个未知轴力杆。C结点五个杆轴力都未知。因此，通过分析，本题应先取整体为分析对象，求出三个支座反力。然后再取结点分析，求杆件轴力。
(1)求支座反力 取整个桁架为分析对象，画出受力图如图15-15a。列出平衡方程
解得
例15-6
(2)求桁架内力 由于该桁架结构及其荷载都正对称，故只需计算一半桁架杆件。另一半桁架的杆件轴力由对称性即可得到。也就是说，这里只需计算AC、AD、CD、DE和CE五杆的轴力。
1）先取结点A分析，受力图如图15-15b，则
因
故解得
2）再取结点D分析，受力图如图15-15c同理可解得
3）取结点E分析，受力图如图15-15d，解得
由对称性可得
计算出的桁架各杆件轴力通常标注在桁架简图上的相应杆件旁，如图15-15e所示。
2.零杆与等力杆
（1）零杆 桁架中轴力为零的杆称为零杆。例题15-6中DC、EC、FC三杆均为零杆。从理论上讲，零杆不承受力作用，是多余的。而实际上，静定桁架的零杆是绝对不能省略的，超静定桁架的零杆有的也不能省略。一方面，实际桁架中“零杆”轴力并非为零。因为实际桁架有许多“先天缺陷”，与计算简图所表达的理想模型之间有一定差距。另一方面，零杆可能是使桁架结构体系在构造上保持几何不变的必要约束，是不可或缺的。当然，在超静定桁架中，若零杆恰好是多余约束，则可以去掉。
在桁架内力计算时，如果预先不计算即能判断出零杆，则可以简化计算过程。下面介绍几种特殊结点上的零杆判定规律。
1）V结点不受外力时，两杆均为零杆。所谓Ｖ结点，即二元体结点，因其像某个方位的“V”字而得名。如图15-16a所示，取V结点分析。由 得 。因，故。由 得 将代入得。
图15-16
零杆
２）V结点上受一外力作用，且外力沿其中一杆，则另一杆必为零杆。外力所沿的杆有轴力，且轴力绝对值于外力的大小，轴力是拉或压相应于外力使结点的运动趋势是离开或压紧该杆。
如图15-16b，“V”结点受沿杆2的外力FP作用。取结点分析，由得 。同样，因，故。由 得，
将代入，得（拉，FP使结点有离开2杆的趋势）
3）y结点不受外力时，则支杆必为零杆。所谓y结点，是指三杆汇交于一结点，且其中二杆共线，形成某一方位的“y”字，如图15-16c。取结点分析，由ΣFY=0 得FN2sinθ=0。同理，因sinθ≠0 ，故FN2 =0 。
图15-16
图15-17
等力杆
（２）等力杆 桁架中，轴力绝对值相等的杆称为等力杆。例题15-7中ＡＣ杆与ＢＣ杆、AD杆与ＢF杆、ＤＥ杆与ＥＦ杆、ＤC杆与CＦ杆均分别为等力杆。在桁架内力计算时，若能先判定出等力杆，同样能简化计算过程。如在例题15-6中，根据对称性判断出等力杆后，使计算工作量节省了一半。
下面介绍几种特殊结点上等力杆的判定规律。
1）X结点不受外力，则每对共线杆都为等力杆，且每对等力杆的轴力拉、压性质相同。所谓X结点，是指四杆交于一结点，且两两共线，形成某一方位的“X”字。
如图15-17a，取X结点分析，由ΣFy=0　得
故FN3=FN4，说明3、４杆为等力杆，且轴力符号相同。
又由
得故FN1=FN2，说明１、２杆为等力杆，且轴力符号相同。
等力杆
2）K结点不受外力，则同侧两杆为等力杆，且轴力符号相反。所谓K结点是指四杆汇交于一结点，其中两杆共线，另两杆位于同侧且与两共线杆夹角相等，形成某一方位的“K”字。如图15-17b，取K结点分析，由ΣFy=0得FN1cosθ+ FN2 cosθ=0 故FN1=-FN2，说明1、2杆为等力杆且轴力符号相反。
3）Y结点不受外力，则两对称杆为等力杆，且轴力符号相同。所谓Y结点是指三杆汇交于一结点，其中两杆与第三杆夹角相同，形成某一方位的“Y”字。如图15-19a，取Y结点分析，由ΣFy=0 得 FN1sin(180-θ)- FN2 sin(180-θ)=0 故FN1=FN2，说明1、2杆为等力杆且轴力符号相同。
3．截面法
这种方法是用一截面（可为平面，也可为曲面）截取桁架的一部分为分析对象，画出其受力图，并据此建立平衡方程来求解桁架杆件的轴力。截面法的分析对象是桁架的一部分，它可以是一个铰或一根杆，也可以是联系在一起的多个铰或多根杆。所谓“截取”，就是要截断所选定部分与周围其余部分联系的杆件并取出分析对象。
如果截面法只截取了单个铰为分析对象，则其受力图与结点法相似。其差别有两点：1）结点法的分析对象是光光的理想铰，而截面法截取出的铰上却留有余下的短杆段。2）结点法受力图画出的是杆件对铰的约束（反）力，因其与相应杆件的轴力大小相等、拉压性质相同，故有时不加区分地把计算出的杆件约束力“当作”杆件轴力。而截面法受力图画出的是被截断杆件的轴力，计算结果就是杆件轴力，显得更直接。
不过，截面法截取的分析对象通常不宜是单个铰，而应是含有铰和杆件的更大的部分，这样才能发挥自身的优势。这种情况下，所取分析对象受的力系通常是平面一般力系，故最多可求解出3个未知力。因此，一般情况下截面法所取的分析对象上未知轴力不宜超过3个。截面法通过选择适当方位的投影轴与矩心，可使一个平衡方程只含1个未知量，能简化计算过程。
如果截面法分析对象上未知轴力超过了3个，则除特殊力系（如含有n个未知力的平面力系中n－1个未知力汇交于一点或相互平行）外，一般要另取其它分析对象同时分析，建立含三个以上方程的联立方程组来求解。在计算桁架时应尽量避免这种情况出现。
例15-7 已知桁架荷载及尺寸如图15-18所示。试计算杆件1、 2 、3 的轴力。
图15-18
解：这是一个简支桁架，应先求出支座反力。否则，无论取哪个结点，未知力都超过2，不能求解。
（1）求支座反力 取桁架整体分析，画出受力图如图15-18a。由平衡得
解得
解得
验算：
说明约束力计算无误
（2）求杆件轴力 用m－m截面将1、2、3杆截断，取桁架左部分为分析对象，画出受力图如图15-18b所示。建立平衡方程
ΣME＝0 －12×6＋10×3－FN1×2＝0
解得：FN1＝－21kN（压力）
ΣMC＝0 －12×7.5＋10×4.5＋FN3×2＝0
解得：FN3＝22.5kN（拉力）
ΣFy＝0 12－10＋FN2sinα＝0
因sinα＝4／5，解得 FN2＝－2.5kN（压力）
例15-8 求图15-19a所示桁架中杆ED的轴力。已知ABCD为正方形，EF//AC，FG//AB，C、E、G、B四点共线，荷载F竖直向下。
解： 通过认真分析，以图示闭合截面截取三角形EFG为分析对象，画出受力图如图15-19b。延长FNAF的作用线交EG杆于O。由几何关系知，O为等腰直角三角形EFG斜边的中点。设∠EDC=θ，由平衡条件
代入
本例所截取的分析对象上，有4个未知力，我们仍然求出了所需的杆件轴力。这是因为除欲求的未知轴力FNED外，其余三个未知轴力汇交于O，在以O点为矩心的力矩平衡方程中只含未知轴力FNED。
图15-19
例15－9
例15-9 求上例桁架中杆EG的轴力。
解： 以水平截面截取桁架的上半部分为分析对象，画出受力图如图15-20。
设∠FEG＝φ，由平衡条件ΣFx＝0得 FNEG sinφ＝0。
因sinφ≠0，可得 FNEG＝0。
本例所截取的分析对象上面，也有4个求知轴力。我们仍然求出了所需的杆件轴力。这是因为除欲求的未知轴力FNEG外，其余三个未知轴力相互平行。一般地，若力系中有n个未知力，其中n－1个相互平行，则列出力系在平行方向的投影平衡方程必能求解出第n个不平行的未知力。
图15-20
图15-21
4.结点法与截面法的联合应用
结点法和截面法各有优点。两种方法联合应用，会相得益彰，使桁架杆的轴力计算变得更加方便、快捷，灵活、高效。
例15-11 试求图15-21所示桁架中杆件1、2、3和4的轴力。
解： 这也是简支桁架，应先求出支座反力，再计算杆件轴力。
（1）求支座反力 取桁架整体分析，画出受力图如图15-21a，则由ΣFx=0 得 Fax=0。未知反力只剩下FAy、FB，由正对称性可得FAy=FB=2F（↑）。
（2）求杆件轴力
1）以Ⅰ—Ⅰ截面截取桁架左部份分析，受力图如图15-21b，则
解得FN1=-3F/2 (压)
代入FN1之值得
2）取结点D分析，受力图如图15-21c。因该结点是“K”形结点，且无荷载，故FN2 =-FN3。
3）以Ⅱ－Ⅱ截面截取左部分分析，受力图如图15-21d，则
将FN2 =-FN3和sinα=1/√ 5代入可解得
（取负为压力，取正为拉力）
图15-22
第四节 静定组合结构的内力
所谓组合结构是指结构体系既包含二力杆又包含受弯杆，是桁架结构与刚架结构的组合。如果这种体系又是无多余约束的几何不变体系，则称之为静定组合结构，其全部约束反力和内力均可由静力平衡方程全部求出。
图15-22所示结构均为静定组合结构，其中图a为简易斜拉桥结构，图b为加固工程中常采用的结构，图c为下撑式五角形屋架结构，图d为带拉杆的三铰拱结构。
计算组合结构的内力，也是以截面法和结点法为计算工具。具体计算时，应注意以下几点：
（1）用结点法时，不取组合结点或受弯杆端部铰结点为分析对象。因为此类结点上有梁式杆，分析起来很不方便。
（2）用截面法时，不截断受弯杆。因为受弯杆横截面上一般有剪力、弯矩和轴力三种内力，截断后未知内力太多，增加计算难度。
（3）在取脱离体时，组合结点应采用拆开的办法，二力杆可直接截断。
（4）受弯杆按梁和刚架的计算方法求内力，画出内力图（包括弯矩图、剪力图和轴力图）。二力杆求出轴力即可，也可标注在结构图中相应杆的旁边。
例15-11 试计算图15-23所示组合结构的内力。
解： 这是一个简支组合结构。应先求出支座反力，再计算杆件内力。
（1）求支座反力 取整体为分析，受力图如图15-23a，则
解得
解得
也可由结称性平衡得
（2）求二力杆的轴力 从以下三方面分析。
1）拆开铰C，截断杆DE，取其左部分结构分析，受力图如图15-23b，则
解得
解得
解得
2）取结点D分析，受力图如图15-23c，则
解得
因
解得
因
3）由对称性知：
图15-23
例15-11
（3）计算并绘制受弯杆的内力图 由于结构与荷载均对称，故只需计算并绘制一半结构的内力图即可。因此取左半结构AC分析，受力图如图15-23d，注意除横向力外还有轴向力和斜向力。内力图分为AF、FC两个均载段绘制。经计算，绘制出AC段的弯矩图，剪力图和轴力图分别如图15-23e、f和g所示。值得的是因为有轴向力和斜向力存在，故轴力不为零，有轴力图。
第五节 静定结构的特性
静定结构的特性归纳如下：
1．静定结构平衡方程有解且解答唯一。
静定结构独立平衡方程的个数恰好等于未知约束反力的个数。不难推知，计算时不管怎样截、拆静定结构，所得全部分析对象上的未知量（约束反力或内力）总个数恒与能列出的独立平衡方程个数相等。因此静定结构的静力平衡方程组存在唯一的一组解答。
2．静定结构的约束反力和构件内力与构件的材料性质和截面形状尺寸等无关。
静定结构的约束反力、内力只须用静力平衡方程即可解出。这说明它们只由静力平衡条件确定。而静力平衡条件只与结构的整体形状及尺寸、荷载等有关，而与各构件横截面形状及尺寸、材料种类等无关。因此，静定结构约束反力及构件内力的大小和方向与构件材料性质和截面形状尺寸无关。
3．静定结构不会因支座变位、温差和制造误差等因素引起支座反力和内力。
静定结构是无多余约束的几何不变体系。因此，支座变位、温差和制造误差等因素只能引起结构体系的变位而不会引起支座反力和内力，如图15-24a、b。
对于超静定结构，由于是有多余约束的几何不变体系，则这些因素会使结构构件产生变形，从而引起支座反力和内力，如图15-24c、d。
图15-24
静定结构的特性
4．静定结构的某一几何不变部分受到平衡力系作用时，则只有该部分内的构件产生内力，其余部分内力为零，且不会引起支座反力。如图15-25a、b所示。
5．静定结构的某一几何不变部分上的单个外力或外力系被代之以等效力系时，仅引起该部分内构件的内力发生变化，其余部分内力不变。如图15-26a、b所示。
图15-26
图15-25

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