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第四章 轴向拉（压）杆及受扭杆的内力计算
第一节 杆件变形的形式及基本假设
第二节 轴向拉（压）变形与扭转变形实例
第三节 轴向拉（压）杆的内力及轴力图
第四节 受扭杆的内力及扭矩图
一、变性固体及其基本假定
理想变形固体是指，对实际变形固体材料作出一些假设，将其理想化。理想变化固体的基本假设有：
（1）连续均匀假设。连续是材料内部没有空隙，均匀是指材料的性质各处相同。连续均匀假设，即认为物体的材料无空隙的连续分布，且各处性质相同。
（2）各向同性假设。即认为材料沿不同方向的力学性质均相同。具有这种性质的材料称为各向同性材料，而各方向力学性质不同的材料称为各向异性材料。
按照上述假设理想化了的变形固体，称为理想变性固体。刚体和理想变性固体都是工程力学研究中，必不可少的理想化的力学模型。
第一节 杆件变形的形式及基本假设
变形固体受力作用产生变形。撤去荷载可完全消失的变形，称为弹性变形。撤去荷载不能恢复的变形，称为塑性变形或残余变形。
在多数工程问题中，要求只发生弹性变形。
工程中多数构件在荷载作用下产生的变形量与其原始尺寸相比很微小时，称为小变形，否则称为大变形。
小变形构件的计算，可采取变形前的原始尺寸并略去某些高阶微量，以达到简化计算的目的。
一、变性固体及其基本假定
二、杆件的外力与变形特点
1、轴向拉伸与压缩
受力特点：杆件受到与杆轴线重合的外力作用。
变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短
产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉杆。图4-1所示屋架中的弦杆、牵拉桥的拉索、闸门启闭机的螺杆等均为拉杆。
图4-1
2、剪切
受力特点：杆件受到垂直杆轴方向的一组等值、反向、作用线相距极近的平行力作用。
变形特点：二力之间的横截面产生相对错动变形。
产生剪切变形的杆件通常为拉杆的连接件。如图4-2所示螺栓、销轴连接中的螺栓销钉，均产生剪切变形。
图4-2
二、杆件的外力与变形特点
(c
图4-3
（a
（b
3、扭转
受力特点：杆件受到垂直秆轴平面内的力偶作用。
变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。
产生扭转变形的杆件多为传动轴，房屋的雨棚梁等也发生扭转变形，如图4-3所示。
二、杆件的外力与变形特点
4、弯曲
弯曲变形的受力特点：杆件受到垂直杆轴方向的外力，及在弯曲平面内作用着外力偶。
弯曲变形的变形特点：杆轴由直变弯。
发生弯曲变形为主的杆件称为梁。工程中常见梁的横截面多有一根对称轴，各截面对称轴形成一个纵向对称平面。若荷载与约束反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线也在该平面内弯成一条曲线，这样的弯曲称为平面弯曲，如图4-4所示。
图4-4
二、杆件的外力与变形特点
表4-1 四种基本变形的受力特点和变形特点
第二节 轴向拉（压）变形与扭转变形实例
一、轴向拉（压）变形及实例
轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压，这是实际生活和工程中最常见的一种基本变形。
其受力特点是外力(或外力的合力)与杆件的轴线重合，如图4-5a所示。当然,杆件上受到的外力还可以是很多个，如图4-5b所示
轴向拉压的变形特点是：杆件发生轴向拉伸时——纵向伸长而横向缩小，杆件发生轴向压缩时——纵向缩短而横向扩大，见图4-6虚线所示。
图4-5
图4-6
一、轴向拉（压）变形及实例
工程中有许多产生轴向拉伸和压缩变形的实例。
例如，桁架式屋架的每一根支杆都是二力杆，均发生轴向拉伸或压缩变形，见图4-7a。
立交桥的支柱也是发生轴向压缩变形，见图4-7b。起吊和悬挂物体所用的绳索、工程中的很多柱、悬拉桥上的钢绳或拉杆、汽缸中的活塞杆等等都是发生轴向拉压的杆件。
图4-7
二、扭转变形及实例
杆件受到一对等值、反向、作用面与杆件轴线垂直的力偶作用时，杆件的横截面发生的绕轴线的相对转动，称为扭转变形。
发生扭转变形的杆件的横截面可以是各种形状的，但实际工程中大多数发生扭转变形的杆件其横截面都是圆形，这种杆件称为圆轴。
本书主要圆轴扭转。其变形特点是各相邻横截面绕轴线发生相对转动的错动，且其横截面的形状不变。
两横截面间相对转动的角度称为扭转角，见图4-8。
各种机械的传动轴是扭转变形最常见的工程实例。另外拧螺钉的改刀、攻丝杆、方向盘的转轴等等也发生扭转变形，见图4-9。
图4-9
图4-8
第三节 轴向拉（压）杆的内力及轴力图
一、内力的概念
内力是材料力学中的一个重要的概念。所谓内力，从广义上讲，是指物体内部各粒子之间的相互作用力。正因为这种内力的存在，物体才能“凝聚”在一起而成为一个整体。显然，即使无外力作用时，这种相互作用力也是存在的，因而,这种内力也叫广义内力。
在外力的作用下，物体内部粒子的排列发生了改变，粒子间相互的作用力也发生了改变。这种由于外力作用而产生的粒子间作用力的改变量，称为附加内力。
材料力学中所研究的正是这种附加内力(简称为内力)。这种内力越大，变形也越大，当内力超过一定限度时，物体就会发生破坏。因此，杆件内力的计算及内力在杆件内的分布情况，是解决杆件强度、刚度和稳定性的基础。
材料力学通常研究的是杆件横截面上的内力。
二、截面法
研究内力的方法是截面法。内力是“隐藏”在物体内部的，如果假想地用一个截面把物体“切开”，把物体分成两部分，“切开”处物体的内力就暴露出来了。就可以取其中的某一部分来研究。
具体方法是：要计算某个横截面上的内力，就假想地从该截面处将杆件切为两段。
任取一段为研究对象，在所有外力和切开截面上的内力共同作用下，该段处于平衡状态，进而通过平衡方程求出杆件的内力。
图4-10a所示的拉杆。
要计算m-m截面上的内力。假想将杆从m-m处截开。选左段为研究对象。左段所受的外力只有F，m-m截面上的内力应该和F平衡。
内力应和F共线。所以轴向拉压杆件横截面上的内力是通过截面形心并和截面垂直的一个力，见图4-10b。这个力称为轴力，用FN表示。由图有：FN-F=0，即FN=F
一般规定：杆件的轴力是拉力时为正，杆件的轴力是压力时为负。在画受力图时拉力的箭头离开截面，压力的箭头指向截面。
若选用右段分析，也可以得到相同的结果。见图4-10c。
因此，在用截面法计算杆件的内力时，可以取左段也可以取右段来研究。关键要看取哪一段计算时比较方便。
截面法计算轴力的步骤为：
(1) 用一截面面在所求内力处假想地将杆件切开，分为两部分。
(2) 任取其中一部分为研究对象，画出其受力图(轴力一般假设为正---拉力)。
(3) 利用平衡方程求出内力。
图4-10
例4－1求图4-11a中1-1、2-2截面上轴力。
解：(1)求1-1截面上的轴力。从1-1截面处假想地将杆切开，取左段为研究对象，受力如图4-11b所示。由平衡条件得
∑Fx＝0
此处计算出的轴力是负的，说明图4-11b中假设反了，即应该是压力。
(2)求2-2截面上的轴力。从2-2截面处假想地将杆截开，取左段为研究对象，受力如图4-11c所示。由平衡条件得
∑Fx＝0
用截面法，可求出任意截面的轴力。很容易得出：AB段内各截面的轴与FN1-1相等，BC段内各截面的轴力同FN2-2相等。
图4-11
三、轴力图
杆件的截面上的轴力一般是随截面位置变化而不同的，为了清楚地表达杆件各截面的轴力随截面位置的变化情况，通常用轴力图来直观表达杆件各截面的轴力随截面位置的变化规律。
1、用平行于杆轴线的坐标轴表示截面的位置，垂直于杆轴线的坐标轴表示轴力的大小。
2、标明＋、－符号，按一定比例绘出图形。
3、这个图形叫轴力图。
在实际画杆件轴力图时，由于不同截面的轴力相差可能很大，轴力值纵坐标可能无法准确地按比例绘制，可以画出示意性的高度，关键要在图形上标明其轴力值。
例4－2图4-12a所示杆件，绘出轴力图。
解：上例计算表明：各截面轴力的大小仅与杆件上所受外力的大小和各外力的作用点有关，与截面面积的变化无关。BD段仅在B、D两处有外力。虽然BC段和CD段截面有变化，但是BD段各截面的轴力是相等的。即：BD段中只需计算一个截面即可。
（1）求截面1－1、2－2、3－3的轴力。用假想的截面分别将杆件从1-1、2-2、3-3处切开，取右段为研究对象，其受力图如图4-12c、d、e所示
对图4-12c ∑Fx＝0 FN1-1-30=0
FN1-1=30kN （拉力）
对图4-12d ∑Fx＝0 -FN2-2-15-20=0
FN2-2=-19-20=-35kN（压力）
对图4-12e 　∑Fx＝0　–FN3-3-20=0 FN3-3=-20kN（压力）
（2）绘出轴力图见图4-12b　
图4-12
第四节 受扭杆的内力及扭矩图
同轴向拉压一样，研究圆轴扭转的强度和刚度问题，首先得讨论圆轴扭转的内力，显然，扭转的内力与圆轴受到的外力偶有关。
一、外力偶的计算
在工程中的传动轴常常并不直接给出外力偶，而是给出轴的转速n和所传递功率N。根据运动力学的知识可以导出功率、转速、力偶之间的关系如下：
(4-1)
式中T--外力偶的力偶矩大小，单位是：N.m；
　P--传递功率，单位是：kW(千瓦)；
　n--轴的转速，单位是：r/min(转/分)。
二、扭转的内力--扭矩
圆轴扭转时横截面上的内力也可用截面法来计算。图4-13a所示为扭转圆轴。若要求横截面m-m处的内力，可假想从m-m处截开，任取一段为研究对象。
假若取左段为研究对象，其上的外力只有一个力偶M。左段杆在横截面上暴露出来的内力和M的共同作用下处于平衡。
因此，内力必然是一个作用面在其横截面上的力偶。这个内力偶称为扭矩，用表示，并可以通过平衡方程∑m＝0求出，见图4-13b。
由ΣM=0 得MT-T=0 即MT=T
为了便于计算和扭矩图的绘制，对扭矩的＋、－符号作了如下规定，如图4-14所示。用右手法则确定扭矩的＋、－符号，即以右手握杆，四指指向扭矩的转向，大姆指的指向与该截面外法线方向一致时为正扭矩，反之为负。
图4-13
图4-14
例4－3图4-15a所示圆轴，试1-1、2-2截面上的扭矩。
解：（1）计算1－1截面的扭矩：
假想将轴从1-1处切开，取左段为研究对象，受力图如图4-15b所示。
由平衡条件得
∑M＝0
（2）计算2－2截面的扭矩：
假想将轴从2-2处切开，取右段为研究对象见图4-15c所示。
由平衡条件得
∑M＝0　
图4-15
三、扭矩图
对于受多个外力偶作用的圆轴，为了直观地表达各个截面上扭矩的大小随截面位置的变化规律，常用扭矩图来表达。
具体画法是：以横坐标表示截面的位置，以纵坐标表示各截面扭矩的大小，并标上＋、－符号。
例4-4绘出图4-16a所示变截面圆轴的扭矩图。
解：同轴力的计算相同，扭矩的大小只与外力偶的大小和作用面有关，与截面的面积无关。该题分为两段：即AB、BD段。其中BC段和CD段内各截面的扭矩相同。
1、对1-1截面，取左段研究，受力如图4-16c。由平衡条件得
ΣM=0, 5+MT1-1=0, MT1-1=-5kN m
2、对2-2截面，取左段为研究对象，受力如图4-16d。由平衡条件得
ΣM=0, 5-8+MT2-2=0, MT2-2=3kN m
3、作出扭矩图，如图所示4-16b。
图4-16
例4-5如图4-17a所示传动轴，已知主动轮的输入功率PB=6kW，从动轮的输出功率PA=12kW，PC=4kW，PD=2kW，轴的转速n=200r/min，试画出其扭矩图。
解：（1）计算外力偶
（2）计算各段的扭矩：
AB段以1－1截面为代表截面，用截面法，取左段为研究对象，见图4-17b所示。由平衡条件得
∑M＝0　TA-MT1-1=0 MT1-1=TA=286.47（N.m)
BC段以2－2截面为代表截面，取左段为研究对象见图4-17c所示。
由平衡条件得
∑M＝0　TA-MT2-2-TB=0
MT2-2＝－TB+TA＝－572.94+286.47=-286.47（N.m）
CD段以3－3截面为代表截面，取右段为研究对象见图4-17d所示。
由平衡条件得
∑M＝0 TD+MT3-3=0 MT3-2=-TD=95.49（N.m)
（3）作扭矩图，如图4-17e所示。
图4-17

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