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第五章失效分析基础
第一节应力、应变和构件失效
第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
每章一练
教学目标
1.熟悉应力、应变、胡克定律等基础概念
2.了解材料失效的形式和区别。
3.掌握轴向荷载作用下的材料力学性能。
4.掌握强度失效判别条件、准则及其应用。
5.了解构件失效的种类。
第一节 应力、应变和构件失效
一、应力
如图5-1所示的物体，设其处于弹性平衡状态，如用一假想的平面m-n，将其截开，分成A和B两部分。由于原物体处于平衡状态，所以A部分或者B部分在外力与截面内力的共同作用下也必定处于平衡状态，如图5-1(b)、(c)所示，所以可应用平衡条件计算截面内力。事实上，截面内力是截面各点内力的合效应，下面将讨论截面上一点的内力。
1、平均应力
根据变形体的基本假设，组成构件的材料是连续的，所以截面上点的内力应该是连续的分布在构件整个截面上。在工程实践中，杆件的承载能力是与内力集度相关的。例如，两根
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第一节 应力、应变和构件失效
材料相同、截面面积不同的等截面直杆，受同样大小的轴向拉力作用，两根杆件横截面的内力是相等的，但是截面面积小的杆件易被拉断，而截面面积大的杆件却不易被拉断。其原因就是因为截面面积小的杆件的横截面上内力分布的密集程度(简称内力集度)大。
在截面a点上取一微小面积△A，如图5 -2(a)所示，作用在微小面积△A上的总内力为△F,那么比值
称为vA上的平均应力。当内力分布不均匀时，平均应力的值随vA的大小而变化，它不能确切地反映vA点处的内力集度。
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第一节 应力、应变和构件失效
只有当vA无限趋近于零时，平均应力的极限值n才能准确地代表vA点处的内力集度，用式子表示为
p值称为a点处的应力值
2、正应力和切应力
一般地，截面一点处的应力与截面既不垂直也不相切，将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，如图5-2(b)所示。垂直于截面的应力分量称为正应力，用σ表示;相切于截面的应力分量称为切应力，用τ表示。计算时可将作用在微小面积△A上的总内力分解成垂直与平行于该微面积的力
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第一节 应力、应变和构件失效
△Fn与△Ft，从而写出
3、切应力互等原理
在某构件上绕某点取一微小的正六面体，用平面图表示，如图5-3所示。可以证明
τ = τ’ （5-1）
切应力互等定理：任意两个互相垂直的平面上，切应力总是成对出现，它们大小相等，方向相反，垂直作用于两互相垂直平面的公共棱边。
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第一节 应力、应变和构件失效
二、应变
在构件上某点处取一微小的正六面体，如图5-4( a)所示。当构件受外力作用时，微小的正六面体将产生变形。
其变形分两种情况，第一种情况是正六面体产生简单的伸长与缩短变形，如图5-4(b)所示，与x轴平行的边长，原长为dx，变形后的长度为dx +△dx，将比值
称为微小正六面体所在处的点沿x方向的线应变。第二种情况是正六面体的两个面之间原有的直角夹角产生改变，如图5-4(c)所示，这一改变量称为两个方向的面之间的角应变，或
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第一节 应力、应变和构件失效
称切应变，记作γ，即
以上两式中，线应变ε是量纲为一的量;切应变γ的单位是
度(rad)。
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第一节 应力、应变和构件失效
三、胡克定律
在应力不超过材料的比例极限σp时，杆件的纵向变形△l与轴力Fn及杆件长度l成正比，而与杆件的横截面A成反比，这一规律称为胡克定律。胡克定律可以用公式表示为
式中，E为弹性模量;EA为抗拉刚度，反映材料性质及截面形状抵抗变形的能力。
胡克定律可变为另一种形式，即在应力不超过材料的比例极限σp时，应力和应变成正比，用公式表示为
σ=Eε
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第一节 应力、应变和构件失效
应用胡克定律的条件:
等截面直杆，即A为常量;
各截面上轴力F、都相等，即F、为常量;
材料相同，即E为常量。
必须同时符合以上三个条件才可以使用公式 ，否则应分别计算，然后再叠加。由应力一应变关系曲线中的直线段可以看出，弹性模量E为直线段的斜率，其值随材料的不同而不同。材料的弹性模量可由试验测得，它不仅是材料本身所具有的力学性质，而且反映材料抵抗弹性变形的能力。E值越大，变形越小，表明材料抵抗变形的能力越强。弹性模量的单位和应力的单位相同。
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第一节 应力、应变和构件失效
例5-1 如图5-5(a)所示的阶梯形钢杆，AB段横截面面积4=500mm2, BC段横截面面积A2=200GPa，材料的弹性模量E=200GPa，试求该钢杆的变形。
解：(1)计算A端的约束反力。
选取阶梯形钢杆为研究对象，进行受力分析，如图5-5(b)所示。
由∑Fx=0可得
FAx+10-30=0，FAx=20kN
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第一节 应力、应变和构件失效
(2)由于不同时满足胡克定律的三个应用条件，所以应分别计算AB段和AC段的变形lAB、lAc，然后叠加。
计算结果为负值，说明钢杆总长度被压缩0. 015mm
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第一节 应力、应变和构件失效
四、构件失效
1、构件失效的概念
取两根完全相同的弹簧，一根挂一重量小的重物，另一根挂一重量比较大的重物(超过弹簧的弹性极限)，取下重物后，挂重量较小的弹簧能恢复原状，而挂重物较大的弹簧却不能再继续使用，这就是弹簧的失效。
设计构件或元件时，都要根据设计要求，使它们具有确定的功能。在某些条件下，例如过大的荷载或过高的温度，构件或元件有可能丧失它们应有的功能，此即构件或元件的失效。因此，构件失效是指由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。
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第一节 应力、应变和构件失效
2、构件失效的种类
构件或元件在过高温度、过大荷载作用下的失效，主要表现为强度失效、刚度失效以及失稳或屈曲失效。
(1)强度失效由于材料屈服或断裂引起的失效，称为强度失效。强度是指构件抵抗破坏的能力。如果材料的强度不足，将造成桥梁断裂、房屋中的楼板断裂等现象。
(2)刚度失效由于构件过量的弹性变形引起的失效，称为刚度失效。刚度是指构件抵抗变形的能力。例如，楼板梁在荷载作用下产生过大的变形时，依附于其上的抹灰层就会开裂、剥落;桥梁产生过大变形，汽车在桥面上行驶会产生跳动，引起振动等。
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第一节 应力、应变和构件失效
(3)失稳或屈曲失效由于构件形状突然转变而引起的失效，称为失稳或屈曲失效。例如，一细长杆，当压力不大时，杆件可以保持直线形状且平衡;当压力增加到超过其极限值时，杆件不能继续保持直线形状，突然从直线形状变成弯曲形状，如图5-6所示。
不同构件对强度、刚度、稳定性的要求是不同的，其中强度条件占主导地位，必须首先满足。
3、材料失效的两种形式
把材料失去继续承受荷载的能力称为材料的失效。在做低碳钢Q235拉伸实验时，外力F在强化阶段达到最大值此后至拉断过程中外力F逐渐减小，说明试件逐渐失去抵抗能力。
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第一节 应力、应变和构件失效
从低碳钢Q235和铸铁的拉伸实验可以分析出材料的破坏特征:
低碳钢的拉伸应力一应变曲线有屈服阶段，说明在破坏之前有很好的塑性变形;
铸铁的拉伸应力一应变曲线没有屈服阶段，破坏是突然的、瞬间的。
从试验还可以看出:低碳钢有很好的塑性变形，这类材料称为塑性材料，例如铝合金、铜等;铸铁的变形很小，而且变形和断裂儿乎同时发生，这类材料称为脆性材料。因此，材料的失效分为塑性破坏和脆性破坏。
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第一节 应力、应变和构件失效
塑性破坏是指材料在破坏之前有明显的变形，从发生到最后的破坏，要持续较长时间，且承受荷载的能力还有所增加。低碳钢Q235拉伸实验进人屈服阶段后，应力-应变曲线尚有上升阶段。
脆性破坏是指材料在破坏之前既没有明显的变形，也没有明显的预兆，破坏瞬间发生。例如铸铁。
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
一、材料的拉伸实验
材料的力学性能由试验测定。拉伸试验是研究材料力学性能最基本、最常用的试验。为了使不同材料的试验结果能够互相比较，试验时首先要把待测试的材料加工成试件。试件如 图5-7所示，试件中段用来测量变形的长度l0称为标距，其中圆截面长试件其工作段长度l0=10d0，短试件l0= 5d0如 图5-7(a)所示，分别称为10倍试件或5倍试件;矩形截面工作长度l0=1. 3 或l0=5. 65 ，A0为横截面面积如图5-7(b)所示。金属材料的压缩实验，一般采用短圆柱形试件，其高度为1. 5~3d0倍如图5-7(c)所示。
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
二、低碳钢在拉伸时的力学性能
常温、静载下的低碳钢单向拉伸试验，可在万能材料试验机上进行。试验时采用国家规定的标准试件，如图5-9所示。标准试件中间部分是工作段，其长度Z称为标距。常用截面有圆形和矩形，规定圆形截面标准试件的标距L与直径d的比值为L=10d或L=5d。而矩形截面标准试件的标距L与截面面积A的比值为l=11.3 或l=5. 65 。
1、拉伸图与应力一应变图
将低碳钢的标准试件夹在万能材料试验机上，开动试验机后，试件受到由零缓慢增加的拉力F作用，同时试件逐渐伸长，直至拉断为止。以拉力F为纵坐标，以纵向伸长量△l为
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
横坐标，将F和△l的关系按一定的比例绘制的曲线，称为拉伸图(或F-△l图)，如图5-10(a)所示。一般材料试验机上都有自动绘图装置，试件拉伸过程中能自动绘出拉伸图。
为了消除试件尺寸的影响，反映材料本身的性质，将纵坐标F除以试件横截面的原始面积A，得到应力σ;将横坐标△l除以原标距l，得到线应变ε，这样绘制的曲线称为应力一应变图，如图5-10(b)所示。
2、拉伸过程的四个阶段
低碳钢的应力一应变图反映出的试验过程可分为四个阶段，各阶段有其不同的力学性能指标。)
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
(1)弹性阶段
在试件的应力不超过b点所对应的应力时，材料的变形全部是弹性的，即却除荷载时，试件的变形将全部消失。
弹性阶段最高点b相对应的应力值σe.称为材料的弹性极限。
在弹性阶段内，初始一段是直线Oa，它表明应力与应变成正比，材料服从胡克定律。
过a点后，应力一应变图开始微弯，表示应力与应变不再成正比。
应力与应变成正比关系最高点a所对应的应力值 σa，称为材料的比例极限。建筑中最常用的Q235钢比例极限约为
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
200MPa
图中直线Oa与横坐标ε轴的夹角为α，材料的弹性模量E可由夹角的正切表示，即
(5-2)
弹性极限σe和比例极限σa两者意义虽然不同，但数值非常接近，工程上对它们不加严格区分，通常近似地认为在弹性范围内材料服从胡克定律。
(2)屈服阶段
当应力超过b点所对应的应力后，应变增加很快，应力仅在很小范围内波动，在σ-ε图上呈现出接近于水平的“锯齿”形段bc。
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
此阶段应力基本不变，应变显著增加，称为屈服阶段(也称流动阶段)。
屈服阶段中的最低应力称为屈服点，用σs表示。Q235钢的屈服点约为235 MPa。
材料到达屈服阶段时，如果试件表面光滑，则在试件表面上可以看到大约与试件轴线成45o的斜裂纹线，如图5-11所示，这种斜裂纹线称为滑移线。这是由于在45o面上存在最大切应力，造成材料内部晶粒之间相互滑移所致。
(3)强化阶段
过了屈服阶段以后，材料重新产生了抵抗变形的能力，体现在σ-ε图中曲线开始向上凸如图5-9(b)中的cd段，它表
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
明若要试件继续变形，必须增加应力，这一阶段称为强化阶段。
曲线最高点d所对应的应力称为强度极限或抗拉强度，以 σb表示。Q235钢的强度极400MPa。
(4)颈缩阶段
当应力到达强度极限之后，在试件薄弱处将发生急剧的局部收缩，出现“颈缩”现象(图5-12)。
由于颈缩处截面面积迅速减小，试件继续变形所需的拉力F也相应减少，用原始截面面积A算出的应力值也随之下降，曲线出现了de段形状，至e点试件被拉断。
上述低碳钢拉伸的四个阶段中，有两个有关强度性质的指
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
标，即屈服点σs和强度极限σb。
当应力达到 σs时，杆件产生显著的塑性变形，使得杆件无法正常使用;
当应力达到 σb后，杆件出现颈缩并很快被拉断。
3.塑性指标
试件在外力的作用下超过屈服点后，试件(图5-12)的变形包含弹性变形和塑性变形两部分。试件断裂后，弹性变形随着荷载的消失而消失了，塑性变形则仍然存在。试件断裂后所遗留下的塑性变形大小，常用来衡量材料的塑性性能。塑性指标有两个:
(1)伸长率 试件拉断后的标距长度l1减去原来的标距长度l除
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
以标距长度l的百分比称为材料的伸长率δ，即
(5-3)
Q235钢的伸长率δ约为20%-30%。
(2)截面收缩率 试件拉断后断裂处的最小横截面面积用A1表示，则比值
(5-4)
称为截面收缩率。Q235钢的截面收缩率Ψ约为60%-70%.
4.冷作硬化
在试验过程中，如加载到强化阶段某点f时(图5-13)，将荷载逐渐减小到零，可以看到，卸载直线fO1，基本上与弹性
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
阶段直线Oa平行。f点对应的总应变为Og，回到O1时所消失的部分O1g为弹性应变，不能消失的部分001为塑性应变。
如果卸载后立刻再加荷载，则σ-ε曲线将基本上沿着卸载时的同一直线O1f上升到f点， f点以后的σ-ε曲线与原来的σ-ε曲线相同如图5-13(b)所示。比较图5-13(a)与图5-13(b)，可见卸载后再加载，材料的比例极限与屈服点都得到了提高，而塑性将下降。这种将材料预拉到强化阶段，然后卸载，当再加载时，比例极限和屈服点得到提高而塑性降低的现象，称为冷作硬化。工程中常利用冷作硬化来提高钢筋的屈服点，达到节约钢材的日的。
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
三、铸铁在拉伸时的力学性能
图5-14是铸铁拉伸时的σ-ε曲线。它的伸长率约为0.4%是典型的脆性材料。图中没有明显的直线部分，没有屈服阶段，断裂时的应力就是强度极限σb ，它是脆性材料衡量强度的唯一指标。强度极限σb可以看成被拉断时的真实应力，因为脆性材料的试件被拉断时，其横截面的缩减极其微小。
脆性材料的弹性模量是用割线代替σ-ε图曲线，以割线的斜率tanα为近似的E值，称为割线弹性模量。铸铁的割线弹性模量E为115~160 GPa。
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
四、材料在压缩时的力学性能
金属材料压缩试验所用的试样为圆柱形的短柱体，高为直径的1. 5~3. 0倍;非金属材料(如混凝土、石料等)试样为立方块，分别如图5-15(a) ,(b)所示。试样高度不能太大，这样才能避免试件在试验过程中被压弯失稳。
1、低碳钢的压缩试验
图5-16中的虚线为低碳钢压缩试验的σ-ε曲线，实线为低碳钢拉伸时的σ-ε曲线。比较两曲线可以看出：
在屈服阶段以前，两曲线重合，低碳钢压缩时的比例极限、屈服点、弹性模量均与拉伸时相同
过了屈服点之后，试件越压越扁，压力增加，其受压面积
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第二节 轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效
也增加，试件只压扁而不破坏。
因此，不能测出低碳钢压缩时的强度极限。
可见，低碳钢的力学性能，通过拉伸试验即可测定，一般不需要作压缩试验。
2、铸铁的压缩试验
图5-17所示是铸铁压缩时的σ-ε曲线，整个图形与拉伸时相似，但压缩时的伸长率比拉伸时大，压缩时的强度极限也比拉伸时大，约为拉伸时的4 ~5倍。其他脆性材料也具有类似的性质。所以，脆性材料用于受压构件较为适合。
铸铁试样受压缩而破坏时，破坏面与轴线大致成45o-55o，这是因为在45o-55o面上存在最大切应力。这也说明铸铁抗剪强度低于抗压强度。
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
一、极限应力和安全储备
通过实验可以知道，一承受简单拉伸和压缩的杆件，在截面上的应力到达某一数值时就会发生断裂和过大的变形，这在工程上是不容许的。为了保证杆件的安全性、适用性、耐久性，必须控制最大的应力，使其小于或等于某个容许值。
实验结果表明，如果脆性材料的应力达到材料的强度极限，构件就会破坏;而塑性材料到达屈服点，就会产生较大的塑性变形使构件破坏。为了保证结构正常工作，结构中的实际应力必须低于应力值σb或σs但在结构设计中，有很多因素是难以估计的，比如:
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
在荷载方面，对处于复杂应力状态的结构，无法全都进行精确计算;
在制造工艺方面，难以确保同一种材料具有完全相同的性质;
在内力计算方面，土木工程力学的理论是建立在一系列的基本假定之上的，理论计算与实际的结果很难精确吻合。
所以，在σ-ε图中的应力特性点是不能直接作为最大应力的界限值。工程中，称材料到达危险状态时的应力值为极限应力，记作σ0为了保证构件的正常使用，即各构件不发生断裂以及不产生过大的变形，就要求工作应力要小于极限应力 σ0 。
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
通过材料的力学试验，我们知道，脆性材料没有屈服阶段，并且从加载到破坏变形很小，因此可用强度极限σb作为极限应力σ0，即σb=σ0。而塑性材料在其屈服阶段将产生较大的塑性变形，为r保证构件的正常使用，应取它的屈服点σs作为材料的极限应力σ0，亦即σ0=σs。
对于屈服阶段不十分明确而塑性变形又较大的材料，取名义屈服应力σ0.2作为材料的极限应力σ0。名义屈服应力是指材料产生0. 2%的塑性变形所对应的应力值。
为r保证安全，我们给材料以必要的强度储备，将σ0除以一个大于1的安全因数n，得到材料的许用应力[σ]，即
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
[σ]= σ0/n (n>1)
对于脆性材料
σ0=σb
对于塑性材料
σ0=σs或σ0= σ0.2
在常温静载下，塑性材料的安全因数一般取1. 4~1. 8，脆性材料的安全因数取2~3。
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
二、强度条件
为了保证构件正常使用，必须使工作应力满足不等式，即
σ≤[σ] (5-5)
该不等式称为构件的强度条件。式中， σ是工作应力，[σ]是许用应力。
在该强度条件下，可进行以下三方面的计算:
强度校核即σ≤[σ];
进行截面设计，在满足以上的强度条件下进行截面设计。由于杆的受力不同，其应力的计算公式也不相同，详细内容将在本章后面各节讨论，并给出其计算公式;
进行荷载设计，在满足以上的强度条件下进行荷载的设计。
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
三、不同强度失效判别的准则和强度条件
在常温静载下，材料的破坏大致可分为两大类:一类是脆性断裂(破坏时无明显的塑性变形)。一类是屈服或剪断(破坏时有明显的塑性变形)。由此提出了以下的假说，经过实践的验证，认为是较符合实际的，这些假说称为强度失效的判别准则。
1、最大拉应力准则
该准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生脆性断裂，则主拉应力σ1达到了轴向拉压时的最大应力σ0(脆性材料的危险应力为σb)。破坏的条件为
σ1= σ0
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
强度条件为
σ1≤[σ] (5-6)
式中， σ1是材料在复杂应力状态下的最大拉应力;[σ]是材料在轴向拉压时的许用应力。
实验证明该理论适合于脆性材料。
2、最大拉应变准则
该准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生脆性断裂，则危险点的最大拉应变ε1达到了材料在轴向拉压时的最大拉应力ε0。破坏的条件为
ε1 = ε0
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
由广义胡克定律，复杂应力状态下的应变，由主应力表达为
破坏的条件改为
σ1-μ(σ2+σ3)= σ0
强度条件为
σ1-μ(σ2+σ3) ≤[σ] (5-7)
实验证明该理论适合于脆性材料。
3、最大切应力理论
该准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生屈服(或剪断)，其原因是由于最大的切应力τmax达到了某
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
个共同的极限值τ0max ，则破坏的条件为
τmax=τ0
材料在复杂应力状态下的最大切应力为
材料在轴向拉压破坏时的最大切应力为
破坏条件一般由主应力来表达为
σ1-σ3= σ0
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
强度条件为
σ1-σ3 ≤[σ] (5-8)
实验证明该理论适合于塑性材料。
4、形状改变比能准则
形状改变比能准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生屈服(或剪断)，只要最大形状改变比能ux达到了轴向拉压破坏时的最大形状改变比能u0x，即认为材料被破坏。形状改变比能ux是材料单位体积内所储存的一种由形变而产生的能量。复杂应力状态下的形状改变比能为
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第三节安全储备、强度条件和强度失效判别
轴向拉压破坏时的形状改变比能为
破坏条件用主应力表达为
强度条件为
(5-9)
实验证明该理论适合于塑性材料。
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每章一练
1、图5-18所示结构，已知各杆直径d，夹角α,荷载F，能否求出各杆的内力及应力
2、下列概念有何区别，试说明之。
(1)内力和应力。
(2)失效应力和许可应力。
(3)屈服点σs和名义屈服应力σ0.2
3、横截面面积不相同的两根杆件，受相同的轴力作用时，截面各点的正应力是否相等
4. 图5 -19所示轴向拉压杆，AB段横截面面积A2=800 mm2，BC段横截面面积为A1=600mm2。试求各段的工作应力。
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每章一练
5、设计时，安全因数取得越大，是否就越合理？
6、试指出图5 - 20所示杆各段发生的基本变形的种类。
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图5-1 界面内力图
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图5-2(a) 正应力和切应力图
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图5-2(b) 正应力和切应力图
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图5-3 微小正六面体
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图5-4 线应变和切应变图
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图5-6 杆件的失稳
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图5-7 试件的国标划分
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图5-9 低碳钢单向拉伸试验标准试件
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图5-9 低碳钢单向拉伸试验标准试件
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图5-10 拉伸图
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图5-11 材料的屈服阶段
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图5-12 材料的劲缩阶段
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图5-12 材料的劲缩阶段
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图5-13 冷作硬化现象
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图5-13 冷作硬化现象
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图5-14 铸铁拉伸时的σ-ε曲线
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图5-15 压缩试验试样
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图5-16 低碳钢压缩、拉伸试验的σ-ε曲线
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图5-17 铸铁压缩时的σ-ε曲线
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图5-18 第1题图
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图5-19 第4题图
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图5-20 第6题图
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