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第五章 梁的内力分析
第一节 平面弯曲的概念
第二节 单跨静定梁的内力及内力图
第三节 用简捷法作梁的内力图
第四节 用叠加法绘梁的弯矩图
第五节 作多跨静定梁的内力图
第一节 平面弯曲的概念
当杆件受到横向力（垂直于杆轴线的力）或在杆轴平面内的力偶作用时，杆件的轴线由直线变成曲线。这种变形称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
弯曲是工程和生活实际中最常见的一种基本变形。例如楼面梁，如图5-1a所示；
桥式吊车的横梁，见图5-1b；
机车的轮轴，见图5-1c，都是产生弯曲变形的构件。
图5-1
实际工程中，大多数的梁的横截面都有一根对称轴。梁的轴线与横截面对称轴所构成的平面，称为梁的纵向对称面。
图5-2中横向力和力偶作用于纵向对称面内时，梁的轴线弯曲成一条在此纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。本章只讨论这种平面弯曲。
梁的形式很多，按支座情况可分为如下三种基本形式的静定梁：
1、简支梁：梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，如图5-3a所示。
2、悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端自由，如图5-3b所示。
3、外伸梁：梁的支座形式与简支梁的相同，但梁的一端或两端伸出支座之外，如图5-3c所示。
图5-2
图5-3
第二节 单跨静定梁的内力及内力图
一、梁的内力--剪力和弯矩
图5-4a为一简支梁，现在分析任意一个截面m-m上的内力。首先从m-m处将梁假想地切开，取左段（也可取右段）为研究对象。左段的外力有和。截面m-m上的内力应与与一起使左段平衡。
由平衡条件，横截面上必然有一个与截面平行的内力FQ，这个力称为剪力。另外，和对截面形心之矩一般不会相互平衡，所以，在横截面上有一个作用面在纵向对称面内的力偶M与之平衡，这个内力偶M称为弯矩。
因此，一般情况下弯曲梁横截面上有两种内力：剪力FQ和弯矩M，见图5-4b。
图5-4
一、梁的内力--剪力和弯矩
在计算过程中，为保证无论取截面的左段还是右段为研究对象，所得到的同一横截面上的剪力和弯矩相同，特对剪力FQ和弯矩M的符号作如下规定：
剪力：剪力使脱离体顺时针方向转动为正，反之为负，见图5-5a。
弯矩：弯矩使脱离体产生向下凹变形的弯矩为正，反之为负，见图5-5b。
计算梁指定截面上的剪力和弯矩最基本的方法仍然是截面法。其步骤如下：
计算支座反力；（对悬臂梁可以不用求反力）
用截面法将梁从需求内力处假想地切为两段；
任取一段为研究对象，画出受力图（一般将所求截面上的剪力和弯矩都假定为正）。
建立平衡方程，求出剪力和弯矩。
图5-5
例5－1求图5-6a所示梁1－1、2－2、3－3截面上的剪力和弯矩。已知m＝12kN.m，q＝2kN/m。
（2）求1-1截面的内力。用截面法把梁从1-1截面处切成两段，取左段为研究对象，受力如图5-6b。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得
图5-6
例5－1
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算：
（1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负）
以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则向下的外力产生正剪力，反之为负。
(2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负）
以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩，反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生正弯矩，反之为负。
例5-2简支梁受集中力F＝3kN，集中力偶m＝2kN.m作用，见图5-7，试求1－1、2－2、3－3和4－4截面上的剪力和弯矩。
本例中，1-1和2-2截面分别为集中力F作用点的两侧截面。
从计算出的剪力和弯矩的数值可知，集中力F两侧的剪力值有一个突变，且突变值等于集中力F的值。而集中力作用处两侧的弯矩值相等。
3-3和4-4截面分别为集中力偶m作用处两侧的截面，从计算结果知：集中力偶作用处两侧的剪力没有变化，而弯矩有突变，其突变值等于集中力偶m的数值。
以上的结论，对于梁截面上剪力和弯矩的计算具有普遍性。
解：（1）求支座反力
∑MB＝0,　F×6-FA×8-m=0, FA=2kN
由∑Fy＝0,　,FA-F+FB=0 ,RB＝1kN
(2)计算各截面的剪力和弯矩。对1－1截面和2－2截面，取左侧计算
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
图5-7
二、剪力图和弯矩图
（一）、剪力方程和弯矩方程
上节的计算表明，一般情况下，梁上各截面的剪力和弯矩值是随截面位置不同而变化的。如果把梁的截面位置用坐标x表示，则剪力和弯矩是x的函数，即
FQ＝FQ（x）
M＝M（x）
上式称为剪力方程和弯矩方程。
（二）、剪力图和弯矩图
分别绘出剪力方程和弯矩方程所表达的函数关系的函数图形，就是剪力图和弯矩图。即以梁的轴线为x轴，纵坐标分别表示各截面的剪力值和弯矩值。
例5-3悬臂梁AB，自由端受F力作用，试作剪力图和弯矩图，见图5-8a。
解：（1）列剪力方程和弯矩方程
以梁左端为坐标原点，在距原点为x处取一截面，求出该截面的剪力值和弯矩值，即剪力方程和弯矩方程为：
FQ（x）＝-F (0M（x）＝-Fx (0≤x2）作剪力图和弯矩图
FQ（x）为一常数，所以函数图形为一水平直线，见图5-8b，
M（x）为一次函数，图形为斜直线，现求两点的值作此直线：
当x＝0时， MA＝0；当x=l时，MB=-Fl。连接A、B两点的弯矩值得M图，见图5-8c。
注意：对于土建类，M轴通常以向下为正。（这样画出的弯矩图正好在梁弯曲时受拉的一侧）
图5-8
例5-4简支梁受集度为q的均布载荷作用，见图5-9a，试作出其剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力。由于梁的对称性可得
（2）列剪力方程和弯矩方程
以梁左端A为原点，距原点为x处截面的剪力和弯矩为：
(3)作剪力图和弯矩图。剪力方程为一次函数，现求两点作图：
当x=0时
当x=l时
可得剪力图，见图5-9b。
弯矩方程为二次函数，其图形为二次抛物线，至少需求三点，
即两端点A、B点和抛物线顶点（此时顶点在跨中C点）。
当x＝0时
当x＝l时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图5-9c。
图5-9
例5-5一简支梁在C处受20kN的集中力作用，见图5-10a，试作此梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力。
∑MC＝0 -FA×-12-12×2=0, RA=-8kN
∑MA＝0 -12×5+FB×3=0, RB=20kN
(2)列剪力方程和弯矩方程。
整个AB梁应分别分为AC段和CB段列方程
AC段：取距原点为x1处的任意截面，x1取值范围是从0到3m。
AC段剪力图为水平直线，弯矩图为一斜直线。
当x1＝0时　MA＝0
当x1＝3m时
CB段：仍取距原点为x2处任意截面，x2的取值范围是从3m到5m
CB段剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
当x2＝3m时
当x2＝5m时
CB段和AC段的剪力图和弯矩图如图5-10b、c所示。
图5-10
第三节 用简捷法作梁的内力图
利用剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图，过程比较繁琐，而且很容易出错。下面我们用另一种方法：即利用弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系得出有关的结论来绘制剪力图和弯矩图。
首先，简单推导一下弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系。
对图5-11的弯曲梁，取任意分布载荷q(x)段上的一微段，微段长dx，距离坐标原点为x处。
微段左侧截面处的剪力为FQ(x)，弯矩为M(x)。右侧截面处剪力和弯矩分别较左侧有一个增量，即分别为FQ(x)+d FQ(x)和M(x)+dM(x)。微段上的外载荷q(x)可以看成是均匀分布的。整体平衡，取出的微段在外力和内力的共同作用下也应该处于平衡状态。平衡方程为
ΣFy=0，FQ(x)+q(x) dx-[ FQ(x)+d FQ(x)]=0 (1)
ΣMC=0，-M(x)- FQ(x) dx-q(x) dx dx +M(x)+dM(x)=0 (2)
（5-1）
略去高阶微量
（5-2）
（5-3）
图5-11
（5-1），（5-2），（5-3）表明：剪力方程对x的一阶导数等于载荷集度。弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程。弯矩方程对x的二阶导数等于载荷集度。利用以上微分关系，得到载荷布置情况与相应区段剪力和弯矩的变化关系：
（1）如果梁的某一区段没有任何载荷，
a、剪力图应是一条水平直线。
b、FQ(x)=常数，弯矩图是一条斜直线。
（2）如果梁的某一区段内有均布载荷，
a、剪力图为斜直线。
b、弯矩图为二次抛物线图形。抛物线的极值点发生在M’（x)=0即FQ(x)=0处。所以剪力为零的点是弯矩的极值点。
用简捷法作梁的内力图
利用以上得出的结论，可以比较方便的绘出剪力图和弯矩图。
首先将梁分段：无载段和均载段
对于无载段,由于剪力为常数,可求出该段上任一截面上的剪力即可绘出该段的剪力图.无载段的弯矩是线性函数，可求出该段端部两点的弯矩值而绘出该段的弯矩图.
对于均载段(均布载荷作用段),剪力为线性函数,可求出该段上端部两点的剪力而绘出该段的剪力图。弯矩为二次抛物线，一般找三点：该段端部两点的弯矩值和极值点处的弯矩值，用光滑的二次抛物线图形绘出弯矩图。极值点发生在剪力为零处。
通过上面的讨论和进一步理论分析绘制剪力图和弯矩图可以利用以下结论直接求出控制点处的剪力值和弯矩值，进而绘出剪力图和弯矩图。
根据梁上承受载荷的情况，可分为无载段和均载段。
无载段上，剪力为常数（即为水平直线），弯矩为线性函数（即为斜直线）。
均载段上，剪力为线性函数（即为斜直线），弯矩为二次函数（即为二次抛物线）。
集中力作用处，剪力要突变，突变之值等于集中力的值。
集中力偶作用处，弯矩要突变，突变之值等于集中力偶之值。
例5-6 图5-12a所示简支梁，受20kN.m的集中力偶作用，试作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力
根据平衡条件得
（2）求控制点处的剪力值和弯矩值：AC和BC段均为无均布载荷段。各段求一个截面的剪力和两个截面的弯矩。
AC段:
BC段:
（3）作剪力图和弯矩图，见图5-12b、c。
由于集中力偶作用，C处左、右两截面弯矩不相等。要分左、右分别求出弯矩。
图5-12
例5－7 图5-13a所示外伸梁。集中力F＝40kN，均布载荷q＝10kN/m，绘出梁的剪力图，弯矩图。
解：（1）求支座反力
（2）求控制点的剪力值和弯矩值
（3）作剪力图和弯矩图
由于BD段上受均布载荷，弯矩图为二次抛物线（由于在BD段中无剪力等于零的点，而在D点处剪力等于零，故D点实际上是二次抛物线的顶点，即，抛物线应该在D点处和X轴相切），因此计算了三点的弯矩，其中E为BD的中间。将三点用一光滑曲线连接，得到BD段的弯矩图。全梁的剪力图和弯矩图如图5-13b、c所示。
图5-13
例5-8 绘出图示5-14a所示梁的剪力图和弯矩图.
解: (1)计算支座反力
由ΣMA=0和ΣMB=0求得 FAy=30kN FBy=10kN
(2)分CA、AB两段求各控制点的内力值：
CA段(无载段)
F QC右=-20kN MC=0 MA=-20×2=-40kN M
CA段的剪力图是水平直线，弯矩图是斜直线，求出了控制点的剪力值和弯矩值后，可以很容易作出其剪力图和弯矩图
AB段(均载段)
求出AB段两端的剪力：FQA右=(-20+50)kN=30kN FQB左=-RB=-10kN
求出AB段两端的弯矩：MA=-40kN M MB左=0
由于弯矩图是二次抛物线，还应求出极值点处的弯矩：
极值发生在剪力为零处。首先求出极值点位置D，极值点位置可通过剪力图求得：图中设BD=x，根据相似三角形的比例关系有
然后求出极值点处的弯矩 MD右 =FB×1-q×1×0.5=5kN M
最后得到的剪力图、弯矩图如图5-14b、c所示
图5-14
第四节 用叠加法绘梁的弯矩图
在小变形的条件下，结构在多个荷载作用下产生的某量值（包括反力、内力、变形等）等于每一个荷载作用下产生的该量值的叠加，这就是叠加原理。
叠加原理反映了荷载对构件影响的独立性。
用叠加法作梁的弯矩图：首先作出梁在每一个简单荷载作用下的弯矩图，然后将每一处的弯矩值利用梁在每一个简单荷载作用下的该处弯矩值相叠加而求得。
对某些梁段，用叠加原理来绘制弯矩图比较简便。
例5-10用叠加法作图5-18a所示简支梁的弯矩图。
解：在F和M0的单独作用下梁的弯矩图，如图5-18b、c所示。
现作在F和M0的共同作用下梁的弯矩图：
1、先作单独在M0作用下的弯矩图。
2、以该弯矩图中ef为基准线，叠加上在F单独作用下的弯矩图。
其中图b是负弯矩，在上方，图c是正弯矩，在下方，叠加后，重叠的部分正负抵消，叠加后的弯矩图如图所示。
图5-18
即使对于图像5-19a中CD段也可以利用叠加法绘制弯矩图。
对于图5-19a中无载段的弯矩图，仅需要求出控制点的弯矩值，连成直线即可。
对于均载段CD，可取CD为隔离体，其两端的剪力和弯矩假定如图5-19b所示，由于整体是处于平衡状态，图5-19b在外力和内力的共同作用下也处于平衡状态。此隔离体与相应简支梁（图5-19c）相比较，由静力平衡条件可知FCy=FQC，FDy=FQD,，可见二者完全相同。
图5-19c的弯矩图用叠加法很容易作出，如图5-19d所示。
该弯矩图即为图5-19a中CD段的弯矩图。这种方法称为区段叠加法。
图5-19
例5-13用区段叠加法作图5-20a所示简支梁的弯矩图
根据上面各控制点的值依次在弯矩图中作出各控制点的弯矩纵坐标。
无载段直接连成直线。
均载段CD按区段叠a加法绘出曲线部分。
最后弯矩图如图5-20b所示。
值得注意的是：此弯矩图中没有标出最大值，因为弯矩的最大值不一定发生在集中力偶或集中力处而是发生剪力等于零的截面。
解：（1）求支反力，由
ΣMA=0求得 FBy=70kN
ΣMB=0求得 FAy=70kN
（2）求有关控制点的值
MA= FAy×0=70×0=0kN.m
M左D= FAy×4-q×4×2=70×4-20×4×2=120kN.m
M右D = FAy×4-q×4×2-M=70×4-20×4×2-40=80kN.m
ME= FBy×1=70×1=70kN.m
MB= FBy×0=70×0=0kN.m
图5-20
第五节 作多跨静定梁的内力图
多根杆段之间用铰相联，再通过一些支座与地基相联组成的静定梁，称为多跨静定梁。
图5-21b是公路桥图5-21a所示多跨静定梁的计算简图。
多跨静定梁可分为基本部分和附属部分。
1、基本部分：不依赖于其他部分而本身能独立承受荷载维持平衡的部分。图5-21b中的AB和CD（在竖向荷载作用下能独立平衡）。
2、附属部分：只有依赖于其它部分才能承受荷载而处于平衡的部分。即该部分在去掉与其他部分的联系之后（与基础的联系不去掉）本身不能独立维持平衡。如图5-21b中的BC,它需要依赖其它部分才能维持平衡。
3、反映多跨静定梁各部分之间的依存关系，可以画出其层次图。把基本部分画在最下层，附属部分画在它所依赖部分的上层。如图5-21c所示。
4、在计算多跨静定梁所有的约束反力时，应先计算附属部分，再计算基本部分，而每一部分的剪力图和弯矩图与单跨静定梁的剪力图和弯矩图的绘制方法相同。
图5-21
例5-13作图5-22a所示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。
解：先作出多跨静定梁的层次图和层次图受力图
从图中容易判定AB为基本部分，BC为附属部分
层次图和受力图如图5-22b、c所示。
（1）计算反力 如图5-22c所示，由各段梁的平衡可求出
FAy=-4kN，FAX=0，MA=6kN.m，
FBy=-4kN，FCy=16kN
（2）作剪切图和弯矩图 分别画出AB、BC和CD的剪力图和弯矩，即组成了整个多跨静定梁的剪力图和弯矩图，如图5-22d、e所示。
图5-22
例5-14 作图5-23a所示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。
解：先作出多跨静定梁的层次图和层次图受力图如图5-23b、c所示。
（1）计算反力 如图5-23c所示，由附属部分开始计算，由对称性可得
FDy=FCy=30kN
再计算基本部分AC梁的反力。由ΣMB=0和ΣMA=0可得到
FAy=25kN，FBy=85kN
（2）作剪切图和弯矩图 各支座反力（包括C处的约束反力）求出之后，分别画出AB段、BC段和CD段的剪力图和弯矩，即组成了整个多跨静定梁的剪力图和弯矩图，如图5-23d、e所示。
图5-23

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