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2024年北京市西城区高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为，则抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则( )
A. B. C. D.
4.若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是( )
A. B. C. D.
5.在中，，是的中点，则( )
A. B. C. D.
6.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，点为的中点，点为上的动点，下列说法中：
可能与平面平行；与所成的角的最大值为；与一定垂直；；与所成的最大角的正切值为．
其中正确个数为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知函数，则满足不等式的的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知二项式关于展开式中，所有项的系数之和为，设展开式中和的系数之和分别为，，若，则 ， ．
12.直线是双曲线的一条渐近线，双曲线的离心率是______．
13.若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为______．
14.若函数在上单调递增，则的最大值为______．
15.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成简称为步“雹程”“冰雹猜想”可表示为数列满足：为正整数，问：当时，试确定使得需要______步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为______．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
若，求；
求的取值范围．
17.本小题分
每年的月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了名学生，发现这些学生的课外日均阅读时间单位：分钟均在根据这名学生的课外日均阅读时间，将样本数据分组为：，，，，，，并绘制出如下频率分布表．
分组 频数 频率
求，的值；
若采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为，，的学生中抽取人，再从抽取的名学生中随机抽取名学生进行阅读经验分享，求抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于分钟的概率；
现从这名学生中评出课外日均阅读时间较长的人为“阅读达人”，请算出要成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间．
18.本小题分
如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，，，平面，，，，在上．
为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面；
实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
给定任一锐角及高，在上任取一点，联结并延长交于点，联结且延长交于点，求证：．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ若曲线在点处的切线倾斜角为，求的值；
Ⅱ若在上单调递增，求的最大值；
Ⅲ请直接写出的零点个数．
21.本小题分
数列的前项，，，组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为若只取一个数，规定乘积为此数本身，例如：对于数列，当时，，；时，，，；
若集合，求当时，，，的值；
若集合，证明：时集合的与时集合的为了以示区别，用表示有关系式，其中，，；
对于中集合定义，求用表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是抛物线上一点，所以，
所以抛物线的准线方程为，
其上一点到抛物线的焦点距离为，
则由抛物线的定义可得，
解得，即抛物线的准线方程为．
故选：．
运用抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其定义，需要学生熟练公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，
，
，
的子集个数为．
故选：．
先求出集合，，再求出，由此能求出的子集个数．
本题考查交集的子集个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由最小正周期，可得，．
的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象，
故，，，．
，．
故选：．
由题意，根据最小正周期求出，写出平移后的解析式，根据其为偶函数得到，，根据的范围即可得到答案．
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了计算能力．
可得等差数列单调递减，，，再利用等差数列的求和公式及性质即可得出结论．
【解答】
解：等差数列满足，首项，，，
等差数列单调递减，，，
，
，
则满足成立的最大正整数是．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由，可知为边的中点，所以，
是的中点，，
．
故选：．
由，可知为边的中点，又因为是的中点，向量可以用，表示出来．
本题考查平面向量基本定理，转化思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由直线：与直线：平行，
可得：，
解得，经过验证时，两条直线重合，舍去．
，
“”是“直线：与直线：平行”的充要条件，
故选：．
根据直线：与直线：平行，可得：，解出并且经过验证得出，进而判断出关系．
本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：直线经过，两点，
直线的斜率为，
则直线的倾斜角为，
故选：．
由题意，利用直线的斜率公式，直线的斜率和倾斜角的定义，得出结论．
本题主要考查直线的斜率公式，直线的斜率和倾斜角的定义，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：当为的中点时，，所以平面，正确；
当为的中点时，与所成的角为，所以错误；
因为，平面，所以，所以平面，所以与一定垂直；正确；
当为的中点时，最小且为，所以正确；
当运动到或时，与所成的最大角的正切值为，所以正确；
故选：．
利用点的特殊位置进行分析、判断．
本题考查正方体中空间位置关系，判断命题真假性的方法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由可得；由可得，综上可得．
故选：．
先画出图象，结合图象得到或，解不等式即可．
本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由已知，，，
双曲线的渐近线方程为，
即为，
圆方程为，
即，
取渐近线方程，
由得或，
不妨设，，
显然轴，
又，
即的倾斜角为，
从而．
故选：．
由离心率求得，求出渐近线方程，写出圆方程后，两方程联立求得交点坐标后，由直线的倾斜角可得结论．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：已知二项式关于展开式中，所有项的系数之和为，
设展开式中的通项公式为，令，求得，可得的系数为．
令，求得，可得的系数为，若，
则，即．
则由求得，，
故答案为：；．
由题意利用二项式系数的性质，求得所有项的系数之和为，再根据通项公式求得，由求得、的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，关键是掌握双曲线的离心率的计算公式，属于基础题．
根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程，结合题意可得，即，由双曲线的性质可得，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的方程为，则其渐近线方程为，
又由直线是双曲线的一条渐近线，则有，即，
则，
则双曲线的离心率；
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点，
的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去，
如图数形结合可得
故答案为：
问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点，数形结合可得．
本题考查根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并准确作图是解决问题的关键，属中档题．
14.【答案】
【解析】解在上递增，
故
即．
．
．
故答案为：
函数 在上单调递增，就是在上递增，利用子集关系，求出的范围，然后得到的最大值．
本题考查正弦函数的单调性，考查计算能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：当，可得，，，，，
，，，，，，，，
所以需要步使得；
若，则，，或，
当时，，或，
当时，，，
综上所述，可得或或，所以集合．
故答案为：；．
根据“冰雹猜想”的计算规律，由一直计算下去，直到使得，即可求解，再由，根据“冰雹猜想”的规律倒推，分类情况讨论，求得的值，即可求解．
本题考查合情推理的应用，涉及数列递推公式的应用，属于中档题．
16.【答案】解：，
由正弦定理得，即，即，
又，
由余弦定理得，即，
由得，则，
，
由余弦定理得，
又，则；
由得，
，，
，
由三角形三边关系得，代入化简得，
令，则，
，
，
的取值范围是．
【解析】由正弦定理得，即，由余弦定理得，可得，则，利用余弦定理，即可得出答案；
由得，即，，即，利用三角形三边关系得，令，则，利用二次函数的性质，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为数据在内的频数为，频率为，所以，
则，所以；
因为课外日均阅读时间在，，的学生比例为：：：：，
所以采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为，，的学生中抽取人，
日均阅读时间在，，的人数分别为，，，则课外日均阅读时间不少于分钟的人数为人，
抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于分钟的概率为；
这名学生中评出课外日均阅读时间较长的人为阅读达人，日均阅读时间在的学生人数为人，
再从日均阅读时间在的学生中选出个阅读时间较长的人即可，
设个人中阅读时间最短的是分钟，则，
所以成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间至少分钟．
【解析】根据频率与频数的关系求解，的值；
根据分层抽样的定义求出日均阅读时间在，，的人数分别为，，，再利用古典概型概率公式求解即可；
先判断“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间在内，再结合比例关系列方程求解即可．
本题考查频率分布直方图，属于中档题．
18.【答案】证明：四边形是等腰梯形，，，，
连接，，，
平面，平面，
平面．
解：平面，平面，，
，，，
，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，
设平面的法向量为，
，
令，，，，
设与平面所成角为，．
与平面所成角的正弦值为．
【解析】证明，连接，说明，然后证明平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用空间向量的数量积求解与平面所成角的正弦值．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】证明：以为原点，以与所在直线分别为，轴，建立直角坐标系，如图：
设，，，，
则所在直线的方程为，
所在直线的方程为，
联立直线，的方程，解得，
可得，
同理可得，
即有，
则．
【解析】以为原点，以与所在直线分别为，轴，建立直角坐标系，分别求得，所在直线的方程，求得交点，计算的斜率，同理可得的斜率，比较斜率的关系可得证明．
本题考查直线方程，以及直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ因为函数，则，则，
因为曲线在点处的切线倾斜角为，所以，解得；
Ⅱ设，则，令，解得，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
所以的最小值为，则的最小值为，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
故，解得，所以的最大值为；
Ⅲ当时，只有个零点；
当时，有个零点．
【解析】本题考查了导数的综合应用，主要考查了导数几何意义的应用，导数与单调性关系的应用，利用导数求解函数最值的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
Ⅰ利用导数的几何意义得到切线的斜率为，再利用倾斜角得到斜率为，列出等式求解即可；
Ⅱ设，然后利用导数求解函数的最小值，即的最小值，将在上单调递增，转化为，从而得到的取值范围，即可得到答案．
Ⅲ分和两种情况，写出零点个数即可．
21.【答案】解：当时，，
，，．
证明：当时，集合有个元素，比时的集合多了一个元素：对应的包含两个部分：
若中不含，则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项．
若中含的任何一项，除了，其余的个数均来自集合，这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项．
有关系式，其中，，．
解：由，，，
猜想．
下面证明：
易知时成立．
假设时，，
则时，
其中，，，，，为时可能的个数的乘积的和为，
，
即时，也成立，
综合知对，成立．
．
【解析】本题考查了集合的性质、数列通项公式与求和公式、数学归纳法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
当时，，由定义可得：，，的值．
当时，集合有个元素，比时的集合多了一个元素：对应的包含两个部分：
若中不含，则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项．
若中含的任何一项，除了，其余的个数均来自集合，这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项．即可证明．
由，，，猜想下面利用数学归纳法证明即可．
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