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贵州省2024年初中学业水平考试全真模拟卷（二）数学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 据统计，2023年贵州省共接待游客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，长为，宽为的长方形纸上有两个半径均为的圆，随机往纸上扎针，落在圆内的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，下列结论中，一定正确是（ ）
A. B. C. D.
6. 将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 若不等式的解集为，则a必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是的内接四边形的一个外角，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 关于x一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
10. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，与位似，位似中心为点的面积为27，则的面积为（ ）
A. 48 B. 24 C. 32 D.
12. 二次函数(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①2a＋b=0；②abc＜0；③9a＋3b＋c＞0；④3a＋c＜0；⑤若m≠1，则m(am＋b)－a＜b．其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 已知，则的值为__________．
14. 若二次根式有意义，则a的取值范围是____________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若的面积是6，则k的值是__________．
16. 如图，两个长为15、宽为3的矩形纸条倾斜地重叠着．若，则重叠部分四边形的面积是__________．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解分式方程：．
18. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全．为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有名学生，现从这两个年级各随机抽取名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩按，，，四个评价等级进行整理，得到如下不完整的统计图表．
七年级成绩统计表：
评价等级 成绩x分 频数 频率
八年级测试成绩评价等级为的全部分数（单位：分）如下：
（1）表格中， ____________；
（2）八年级测试成绩的中位数是______________分；
（3）若测试成绩不低于分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强．请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？
19. 如图，已知在中，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接．
（1）若是的中点，连接，求证：与相切；
（2）若，，求边的长．
20. 如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
21. 如图，在等腰三角形中，，点P在平分线上，过点P作线段分别交，于点E，F，已知．
（1）求证：；
（2）若是的中点，求的长．
22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降金额；若不能，请说明理由．
23. 如图，在菱形中，是上的一个动点（不与、重合）．连接交对角线于，连接．
证明：；
试问点运动到什么位置时，的面积等于菱形面积的？请说明理由．
24. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标．
25. 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．
初步感知：（1）如图1，当是线段的中点时，与的数量关系为______．
深入探究：（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展应用：（3）如图3，将图1中绕点顺时针旋转，当时，求点到的距离．贵州省2024年初中学业水平考试全真模拟卷（二）数学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数比较大小，解题关键是熟记有理数比较大小的法则．根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值的大的反而小判断即可．
【详解】解：，，，，
，
，
故选：B．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 据统计，2023年贵州省共接待游客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把万表示为：的形式，其中，为整数，即可．
【详解】∵万，
∴万．
故选：D．
4. 如图，长为，宽为的长方形纸上有两个半径均为的圆，随机往纸上扎针，落在圆内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查几何概率的求法：注意圆、长方形的面积计算．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．分别求出圆和长方形的面积，它们的面积比即为针落在阴影部分的概率．
【详解】解：长方形的面积，
两个圆的总面积是：，
则针落在阴影部分的概率是；
故选D．
5. 已知，下列结论中，一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意；
B．∵，∴，原变形正确，故该选项符合题意；
C．根据，不能判定和的大小，故该选项不符合题意；
D．根据，不能判定和的大小，故该选项不符合题意；
故选：B．
6. 将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据，，求得，再根据三角形外角的性质即可求解，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
是的一个外角，
，
故选A．
7. 若不等式的解集为，则a必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，发现不等号改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，即可求出a的范围.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D.
8. 如图，是的内接四边形的一个外角，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，利用圆内接四边形的性质求得即可．
【详解】∵圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
9. 关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
故选：C．
10. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数和反比例函数的图象和性质，由反比例函数的图象位于第二、四象限，可判断出，进而可判断二次函数的图象开口向下，再根据对称对称轴即可判断出对称轴在y轴的右侧，即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴
∴二次函数的图象开口向下，
由∵对称轴，
∴对称轴在x轴的正半轴，
故选：A
11. 如图，与位似，位似中心为点的面积为27，则的面积为（ ）
A. 48 B. 24 C. 32 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查位似的性质、相似三角形的性质．
由得到，从而得到与的相似比为，，进而即可解答．
【详解】∵，
∴，
∵与位似，
∴，且与的相似比为，
∴，
∴．
故选：A
12. 二次函数(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①2a＋b=0；②abc＜0；③9a＋3b＋c＞0；④3a＋c＜0；⑤若m≠1，则m(am＋b)－a＜b．其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=1，可对①②进行分析判断；把代入解析式，根据函数图象可对③进行判断；当当 时， ，再根据对称轴可对④进行判断；根据函数的性质可对⑤进行判断．
【详解】解：①∵对称轴是直线x=1，
∴ ，
∴ ，故正确；
②∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴abc＜0，故正确；
③把代入解析式， ，
根据图象 时， ，
∴9a＋3b＋c＞0错误；
④当 时， ，
∵，
∴ ，故正确；
⑤ ，
,
，
当 时， 为最大值，
∵ ，
∴，故m(am＋b)－a＜b正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 已知，则的值为__________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，先提公因式化简式子再代入计算即可．
【详解】解：
故答案为：2024．
14. 若二次根式有意义，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若的面积是6，则k的值是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式．设点A即可得到点B的坐标，利用平行四边形的性质可列出方程，求解即可．
【详解】解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积是6，
∴，
解得．
故答案为：4．
16. 如图，两个长为15、宽为3的矩形纸条倾斜地重叠着．若，则重叠部分四边形的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明四边形是平行四边形，作于点，于点，则，再证明，则，由，，得，则，所以，求得，即可求得四边形面积的是，得到问题的答案．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
作于点，于点，
则，
两个矩形的宽都是3，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查含锐角三角形函数特殊值的运算，分式方程，解题的关键是掌握特殊三角形函数值，实数的运算，负整数次幂，零次幂的运算，解分式方程，即可．
（1）根据，，，进行计算，即可；
（2）等式两边乘以公分母，然后去小括号，移项，最后系数化为，即可．
【详解】（1）
；
（2）
解：等式两边乘以公分母，得
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解．
18. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全．为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有名学生，现从这两个年级各随机抽取名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩按，，，四个评价等级进行整理，得到如下不完整的统计图表．
七年级成绩统计表：
评价等级 成绩x分 频数 频率
八年级测试成绩评价等级为的全部分数（单位：分）如下：
（1）表格中， ____________；
（2）八年级测试成绩的中位数是______________分；
（3）若测试成绩不低于分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强．请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？
【答案】（1）
（2）
（3）估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有人
【解析】
【分析】（1）七年级随机抽取名学生参加，根据频数分布表可知的人数，由此即可求解；
（2）根据扇形图的比例，分别算出的人数，再根据中位数的定义即可求解；
（3）根据样本的频率估算总体的数量的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：七年级成绩分组中，组有人，组有人，组有人，
∴组的人数为（人），即，
故答案：．
【小问2详解】
解：八年级的成绩分组中，组占，组占，组占，组占，
∴组有人，组有人，组有人，组有人，
根据中位数的定义可知，八年级成绩的中位数落在组的第名学生的成绩上，
∴八年级成绩的中位数是，
故答案为：．
【小问3详解】
解：七、八年级各有名学生，七年级测试成绩不低于分的人数有人，八年级测试成绩不低于分有人，
∴估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有（人）．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握根据频率计算总体数量，中位数的概念等知识是解题的关键．
19. 如图，已知在中，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接．
（1）若是的中点，连接，求证：与相切；
（2）若，，求边的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆，相似三角形的知识，解题的关键是掌握切线的性质，圆的基本性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，即可．
（1）连接，根据，则，再根据是圆的直径，则，根据是的中点，则，根据等边对等角，等量代换和切线的判定，即可；
（2）根据勾股定理求出，再根据相似三角形的判定，即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
∵，
∴．
∵是的中点，为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵为的半径，
∴与相切．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，延长CE交AB于G，根据题意得，，，，，，，．根据矩形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，延长交于G．
由题意：，，，，，，．
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
在中，，，
设，．
∵，，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴，．
∴．
所以，教学楼的高度约为.
21. 如图，在等腰三角形中，，点P在平分线上，过点P作线段分别交，于点E，F，已知．
（1）求证：；
（2）若是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
（1）先利用角平分线的定义得到，再根据相似三角形的判定可证得结论；
（2）利用等腰三角形的性质得到，再由已知求得，，，再利用相似三角形的性质得求解即可．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴ ，又，
∴；
【小问2详解】
解：∵，平分，，
∴，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，则，
∴．
22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降金额；若不能，请说明理由．
【答案】(1)每件衬衫降价20元；(2)在这次活动中，平均每天不能获利1500元
【解析】
【分析】（1）设每件衬衫降价x元，每件盈利为（40-x）元，销售量为（20+2x）件，两者之积为1200元，列方程求解，尽快减少库存，取较大的解.
（2）将（1）方程中1200换成1500，看方程是否有解.
【详解】解：(1)设每件衬衫降价x元.
由题意得：(40-x)(20+2x)=1200
即x2-30x+200=0
∴x1=10(舍去)，x2=20，
∴每件衬衫降价20元.
(2)由题意得：(40-x)(20+2x)=1500
即x2-30x+350=0
b2-4ac=302-4×1×350=-500<0，
∴方程没有实数根
∴在这次活动中，平均每天不能获利1500元.
【点睛】本题考查一元二次方程应用，营销问题，关键是掌握关系式：单件利润×销售量=总利润，找到单件利润和销售量的表达式是关键.
23. 如图，在菱形中，是上的一个动点（不与、重合）．连接交对角线于，连接．
证明：；
试问点运动到什么位置时，的面积等于菱形面积的？请说明理由．
【答案】证明见解析；点运动到中点时，的面积等于菱形面积的；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，即可证得∠CDE=∠APD，△CDE≌△CBE，继而证得结论；
（2）首先连接BE，由等高三角形的面积比等于对应底的比，可证得S△ADP=S△ABD，继而证得结论．
【详解】解：证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
点运动到中点时，的面积等于菱形面积的．
理由：连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标．
【答案】（1），
（2）满足条件的点D的坐标为或或
【解析】
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合
（1）用待定系数法求二次函数的解析式，另可求出B的坐标；
（2）求出点C的坐标，因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，
代入表达式，得，
解得，
∴二次函数的表达式为．
在中，
当时，则，
解得，
【小问2详解】
如图，当点D在x轴上方时，连接，过点D作于点E．
∵当时，，
．
当时，，
当时，，
解得或，
∴点D的坐标为．
当点D在x轴下方时，，
解得或，
∴点D的坐标为或．
综上所述，满足条件的点D的坐标为或或
25. 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．
初步感知：（1）如图1，当是线段的中点时，与的数量关系为______．
深入探究：（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展应用：（3）如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，当时，求点到的距离．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查菱形，全等三角形的，等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可．
（1）连接，根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据菱形的性质，求出，；根据等边三角形三线合一，，求；再根据，求出，则，再根据等边三角形的判定，即可．
（2）连接，根据菱形的性质，得，根据等边三角形的判定，则
，都是等边三角形，求出，，根据全等三角形的判定，则，推出，再根据等边三角形的判定和性质，即可；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，当时，
，根据勾股定理，求出，；根据等腰直角三角形的性质，求出，根据全等三角形的判定和性质，则，得，根据，，即可．
【详解】（1），
证明如下：连接，
∵四边形菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，同理，是等边三角形，
∵是线段的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
（2）成立．
理由：如图，连接．
∵四边形是菱形，
∴．，
∵，
∴，都是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴
∴
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴．
（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接．
∵时，
∴，
∴
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为．

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