资源简介

高中数学课本题目竞赛优秀论文目录
1．研究例题从课本开始 ……………………………………………………………姚 恒
2．常教常新，细水长流 ……………………………………………………………李连方
3．流动的音符，精美的乐章 ………………………………………………………刘晓东
4．研究习题，发掘潜能，辐射整体 ………………………………………………阮正禹
5．数学思维与兵家谋略 ……………………………………………………………杨 冰
6．借题发挥，由图延展 ……………………………………………………………何蓉勇
7．一道值得进行研究性学习的好例题 ……………………………………………鲍利人
8．变式探究——从基础到能力的跨越 ……………………………………………高晓英
9．习题，在研究中升华 …………………………………………………………刘英群
10．以点带面，拓展思维 ………………………………………………………… 蒋国群
11．挖掘例题精髓，开启思维之门 ………………………………………………马敏华
12．斐波那契数列与高中数学教学 ………………………………………………葛晓荣
13．多解·探索·应用 ……………………………………………………………谢晓强
14．对一道教材习题的研究性探索 ………………………………………………张国旗
15．探索焦点三角形 ………………………………………………………………郑崇乐
16．多解·变式·应用·启示 ……………………………………………………蒋一莉
17．启发学生探究完整的世界 ……………………………………………………林毅群
18．一道课本习题潜在功能的挖掘和应用 ………………………………………李 蓉
19．意会而神领－对一个向量问题的研究 ………………………………………邵峰棋
20．一道例题的挖掘 ………………………………………………………………杨玉明
21．一道课本习题的变式教教学 …………………………………………………朱庆华
22．数学的理解——对书本一例题的再认识 ……………………………………陈雪云
研究例题从课本开始
—— 一次有意义的课本例题研究
湖州中学 姚 恒
在实验班的数学教学过程中，常常发现：大多数学生只重视课外高难度数学题目的寻找和钻研且乐此不彼，却往往忽视对课本例题的再研究，从而导致眼高手低的学习习惯。殊不知课本例题是一切题目的变化之“源”，脱离课本例题的研究而一味追求题目的“新”和“难”，实则只是无“源”之水，缘木求鱼罢了。在“教”和“学”上，如果我们都能作个有心人，留意一下课本例题，不满足于课本所给的知识，学会对课本例题的再研究和再探索，那势必会达到事半功倍的效果。下面我们以新教材高二（上）P12中例3为对象进行研究。
原题如下：已知、是正数，且，求证
1、解题方法的研究：
解题教学是数学教学中的重要组成部分，而一题多解能引导学生多层次、多角度的思考问题，揭示问题的本质，全面应用知识来分析问题与解决问题。
⑴基本方法研究：
法1、（作差法）

法2、（作商法）

法3、（综合法）

⑵发散性方法研究：
法4、由三元均值不等式可得

法5、由二元均值不等式变形得
得：
发散性方法的研究，能鼓励学生不满足于已有的解题方法，排除思维定势，广开思维方向，积极进行多途径探索，促使解题能力快速提高。
2、变式的研究
⑴变式1：（结论变化）
已知、，求证：
分析：
⑵变式2、（条件变化）
已知、，求证：
分析：
⑶变式3、（幂次变化）
①已知、，并且，求证
②已知、，并且，求证
学生对知识初步理解和掌握后，需要近一步的深化，变式教学是十分有效的手段，通过变式教学，可使学生所学的知识达到巩固与提高，在一定程度上能培养学生的创造能力。
3、结论潜在价值的研究
已知、、、，求证：
分析：

通过对知识由特殊到一般化的归纳，可以优化学生认知结构，梳理问题解决的一般思维模式，使学生认清问题的本质，跳出课本例题所给表面知识的束缚，多一点思维的广阔性，少一点雾里看花的感觉。
4、结论应用广泛性的研究
从下面几个例子中，我们体会到用好上述结论可以帮助解决一些看似比较难的竞赛题，例题如下：
例1、（1997年第26届美国数学奥林匹克试题）
对所有正实数、、，求证：

分析： （、）

例2、（第37届国际奥林匹克预选试题）
若、、为正数，且，
求证：
分析：由熟知不等式
（、）

5、课本例题知识的延伸性研究
如果我们增加上述课本例题条件中的项数把结论向课外延伸，则可以补充进三元均值不等式，而对它的研究可以仿照上面例题的研究方法，让学生广开思维，各抒己见，命题如下：
如果、、，则，当且仅当时，取“=”号
（1）、方法研究：
法1、（作差法）

法2、（凑配偶项法）

法3、（换元法）
令则

法4、（放缩法）
令
从原不等式取等号的条件出发，只需能证明
① ②

事实上，不妨设，则
①



不等式①成立
又

不等式②成立，故命题成立
上述不等式是各类数学竞赛的常见题型，这类问题的证明技巧性强，方法灵活多变，如果能深入挖掘不等式取等号的条件，通过放缩消元就能证明某些多元不等式。
（2）、方法的潜在价值研究：
有些同学认为方法4比较繁，其实你只要仔细探究，你就会发现这是一种有规律可循的程式化证法，关键是找一个有效的不等式链，逐步逼近证明目标，如下题：
例3、在中，求证：
①
②
分析：①不妨设，由知，
从而知,则（仅当时，等号成立）


②不妨设，，由知，，从而，
则 （仅当时，等号成立）

5、反思
通过上述从不同角度和不同层次对课本例题的再研究，我们以少胜多，至少达到了以下几个目的：复习了不等式的基本证法、发掘了例题的内在的隐含价值、对例题的条件和结论进行了一些必要的延伸等，但更重要的是警示我们每一位学生应该重视课本知识，加强对课本例题的研究。
让学生学会研究例题，首先教师应该先去研究例题，只有这样，才能做到在引导学生研究例题时，不孤立的去看待一个问题，而应该把它放在整个高中阶段的数学知识网络中才能明白它的价值和地位，其次让学生明确在学习一个例题时，不应该只重视一个结论，而更应该学会一种研究例题的方法。
让我们大家都来做个有心人，留意身边的课本知识，那我相信一定会有意想不道的收获。
研究例题从课本开始吧！
　　 　以点带面　拓展思维

　　　　　　　　　 　　湖州中学　蒋国群
　　课本是考试内容的载体、高考命题的依据，其例、习题则是经过反复琢磨、认真筛选后精心设置的，具有一定的典型性，更是高考低、中档题的直接来源。那么怎样才能学好课本，发挥其例、习题的价值和作用呢？“勤思探索多解，改编生成新题，适度推广应用。”是行之有效的方法之一。现举一例，谈谈在不等式证明的学习中，怎样钻研课本，发挥题目的潜能，培养探究能力和创新精神，以点带面拓展我们的思维。
1．横向拓展——培养思维的广度
高中代数课本新教材第二册（上）中一道例题：
已知，，求证： ①
见到此题，大多会采用下列
证法一（逆推分析法）：即课本证法。
这种证法的实质，变形的目的各是什么？有没有别的途径达到此目的？这样思考，能激起我们思维与探索的热情，探得下列
证法二（转化作差法）：由已知
。但
易得①式成立。
上述两种证法的“双重相似”（去绝对值、化分式为整式；分解因式、判定符号），可谓异曲同工！
再思考，也可用下列
证法三（反证法）：过程略。
欲证之式是分式，设其为一个字母，又有下列
证法四（一次函数法）：
设，　则。
而中，，　在上递增，
又
　
的根在区间内，，即①式成立。
由此自然想到下列
证法五（实根分布法）：以、为根的一元二次方程是，
由,知的对称轴在内，且 即，　①式成立。
由，，你联想到了什么？检索大脑记忆，喷发出思维火花――正（余）弦函数的有界性！又可探索出下列
证法六（三角换元法）：设，，、，则
如果打破常规从解不等式的角度出发，使“静”向“动”转化，则有下列较新颖的
证法七（解不等式法）：视为未知数，构造不等式，两边平方得，
由，得，
又有已知，即，从而①式成立。
当尝到了探究的乐趣和联系的甜头时，会不断探索，得出更具创造性的下列证法八（构造定比法）
设，，分别对应数轴上三点、、，且是有向线段的分点，则由，知
所以是有向线段的内分点，， ①式成立。
2．逆向拓展——培养思维的批判性
　　再看下面证法：
　　证明：由，，则
证明过程，巧妙地应用了绝对值不等式进行放缩，看似简捷，并且也是一气呵成，但仔细思考，证明过程中对分母的放缩考虑欠妥，这也是不等式证明中容易犯的错误。在认知过程中只有让问题充分暴露，并寻找错误的根源，才能进一步完善我们的认知结构，拓展我们的思维。
3．纵向拓展——培养思维的深度
我们对原题进行了多角度的思考，探究出一些较新颖的证法，拓展了思维的广度。再认真挖掘题目中丰富的内涵，可作进一步变式、推广：
变式1）对条件进行变化，得到，已知， ，求证： ；
　　2）对结论进行变化，得到，已知，，求证：；
　　3）对条件和结论同时变化，得到，已知,，求证： ， ；
　　4）对形式表达进行变化（令，），得到，已知 ，，求证： ；已知，，求证： 。
若能再引发整体联想---把①式中的分式视为整体。即可推广出
命题1。已知，，。
求证； 。
命题推广了，又如何证明其真假呢？既然如上“思索”，何愁证不出！
当与复数联系时，可纵向拓展
命题2。设、，且，,则。
4．综合应用——培养思维的灵活度
　题目：已知，，，
求证：。
　　证法一：构造函数，这里，，，则，
，
　，
一次函数，图象在轴上方，即当，，时，有。
即。
再思考，能否灵活应用①式结论，又可得到更精妙的证法。
　　证法二：
由①式结论得：，又
（整体思想），
同样有：，即，
，
，得证。
　　学习知识的过程就是一个创新的过程，只有把已学的知识看作为待创造的成果，去“探索”、去“发现”、去“创造”，才能把基础知识的复习巩固与培养探究的习惯、拓展数学思维等有机结合，增强应变能力、发展创造能力，提高数学素质，适应现代教育的要求。
挖 掘 例 题 精 髓 ，开 启 思 维 之 门
——课本例题引发的思考
湖州市第一中学 马敏华
课本例题往往是久经考验，历经几年乃至几十年锤炼的经典之作，的确值得反复研究。且每每研究都会有不同层次的心得体会，细细琢磨也确实会引发一些遐想。
例： 已知函数y = f (x) 在R上是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，证明y = f (x) 在（–∞ ，0）上也是增函数。（人教版《高中数学》（新教材?必修）第一册（上）第62页）
一．启发式教学引导学生积极思维
教法上遵循“由特殊到一般”的认识规律，本着“教师为主导，学生为主体”的原则，引导学生发现解题思路。原题中是对抽象函数y = f (x) 的证明，而学生思维方面往往依赖具体形象，可不可以落实到具体的函数呢？于是先让学生观察简单奇函数y = x3 在（0，+∞）上的图象再由性质推知在（–∞ ，0）上也是增函数。但图象观察不能替代严格的证明，只是让学生了解这一事实。是不是所有奇函数都有这一性质呢？必须紧扣奇函数与增函数定义，兵分两路，一方面“顺藤摸瓜”，另一方面“由瓜寻藤”。可按以下步骤讲解：
（1）根据证明结论先设 x1 < x2 < 0 ,再判断f (x1) 与f (x1) 的大小。怎么判断呢？没有思路，先放一放！
（2）为了利用已知条件即f (x) 在（0，+∞）上的性质，转而考虑 x1 、 x2 的相反数–x1 、– x2 ,易知– x1 > 0，– x2> 0，且– x1 >– x2 ,又因为在f (x) 在（0，+∞）上是增函数，所以f (– x1) > f (– x2) -------( *)　
（3）由已知f (x) 是奇函数可得 f (– x1)= –f ( x1) ，f (– x2)= –f ( x2)
代入 ( *) 式得 f ( x1) < f ( x2)
整个证明讲解要思路清晰、层次分明，充分展现思维过程，采用学生探索和教师分析讲授式，通过设疑以及设置“悬念”情境引导学生思考、发现问题，最终解决问题。既激发了学生的主动思维，又使学生能在积极思维中体会到学习的乐趣，拥有成就感。
二．变式教学促进学生思维活动
通过变式训练可培养学生举一反三、触类旁通的能力，并进一步掌握和巩固知识的相互联系和关系，形成正确的、“富有弹性”的知识结构网络，从而学会思维，提高学生的数学素养及探求真理的本领，为创造力的发展奠定坚实的基础。
变式一 根据学生思维易模仿的特点，条件一般化，提高应变能力，这也是设计变式题首先考虑的一种方法。例题可作如下改编：
1．已知函数y = f (x) 在R上是奇函数，而且在（0，+∞）上是减函数，证明y = f (x) 在（–∞ ，0）上也是减函数。
2．已知函数y = f (x) 在R上是偶函数，而且在（0，+∞）上是增函数，证明y = f (x) 在（–∞ ，0）上也是减函数。
3．已知函数y = f (x) 在R上是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，证明y = f (x) 在（–∞ ，0）上也是增函数。
变式二 保留例题中所要掌握的知识点，变换习题的形式，改变其背景，激发学生的探求欲望，提高创新能力。
1.已知函数y = f (x) 在R上是奇函数，当x > 0时,f (x) = x 则当x < 0时求f (x)的表达式。
答案：f (x)= x
2.已知奇函数f (x )在定义域（–1，1）内是单调递减的函数且满足条件
f (1–a) + f (1–a2 ) < 0, 求a的取值范围。
答案：0< a < 1.
此题还可引申推广至三角函数综合题：
3.设定义域为R的奇函数y = f (x)是减函数,若当[0， ] 时,f (cosθ+2msinθ) +f (–2m–2 ) >0, 求m的取值范围。
答案：m >
变式三 利用函数奇偶性、单调性在图象上的几何性质解决问题（即图解法），增强应用意识。
1.已知偶函数f (x) 在 [0，+∞] 单调递增，比较f (2) 与f (–4) 的大小。
答案：f (–4) > f (2)
2.已知函数f(x) 在[–5，5]上是奇函数，且f (3 ) < f (1 ) 则有 （ ）
A．f ( 0) > f (1) B．f (–1) < f (–3) C．f (–1) < f (1)?D.f (-3 ) > f (-5 )
答案：D.
3.下列函数中，哪一个函数既是偶函数，又在区间（0，+∞）上是增函数 （ ）
A．y=x -2 B．y=x C．y=2▏X▕ D．y=1- x2
答案：C.
还体现在解决代数、几何相结合（即数形结合思想方法）的问题上：
4．f (x) 与g (x)均为奇函数,F(x) = mf (x)+ ng (x) +3 在 (0, +∞) 上的最小值为8,则F (x)在 (–∞,0 ) 上有最 值为
答案： 大 ； –2 .
5．设f (x) = (m–2 ) x2–3 m x +1 (x ∈R)为偶函数，求它的单调区间。
答案：在（–∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数。
变式四 变换条件或结论，提高探索能力。将常规题改为探索题，是设计变式的又一途径。
1．已知f (x) 是偶函数，而且在（0,+∞）上是减函数,判断f (x) 在（–∞,0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断。
答案：增函数，证略。
2．已知函数f (x) =（1–a）( ax –a-x ) (其中a>0且a ≠ 1)
(1)判断f (x) 的奇偶性 ； （2）讨论f (x) 的单调性 。
答案：（1）奇函数 ； （2）分类讨论得f (x) 在R上单调递减。
变式五 将例题中所蕴涵的知识点进行引申推广，如偶函数关于y对称可引申为关于某条直线对称，奇函数也可与周期函数相结合。
1．已知函数f(x) 图象关于x= 1 对称，当 x >1时 f (x) = –x2 + 6 x–8
（1）当x< 0 时，求f (1–x )、f (x ) 的表达式；
（2）当x< 0 时，若f (1–x )、f (x )、–6 成等差数列，求x 的值。
答案： （1）f(x)=–x2–2x ； (2)x = –3 .
2．函数f (x) = x2 + b x +c 对任意的x都有f (x+1) = f (1–x) 则 a = f（10）b = f（ ），c = f （ ）的大小关系是 （ ）
A． c < b < a B．a < c < b C．a < b < c D．b < c < a
答案： D.
3．设f (x) 是（–∞，+∞）上的奇函数，f (x +2) = –f (x) ,当0 ≤ x ≤ 1 时f（x）= x 则 f（7.5）等于
答案： –0.5
三．美学教育拓宽学生思维方向
由函数的对称性联想到数学美。数学美是比较深奥的美，在于各部分的和谐秩序，如数和形的和谐感，对称美就是其中一种。实质上，数学对称美是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。
（一）数学对称美的具体表现
对称性含义较广，从狭义上说是指几何对称和代数对称，从广义上讲，还包括对偶、匀称等方面内容。
例1．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数图象关于原点中心对称，函数f (x) 的图象与它的反函数图象关于直线y = x 对称，还可推广到图象关于直线 x = a 或 y = b 对称以及关于点（a , b ）中心对称乃至周期函数如y = sin x 、y = tan x 等，这些都给人以赏心悦目之感。
例2．解析几何中，方程 ρ=a sin3及 ρ=a cos3θ ， ρ=a sin2θ 及 ρ=a cos2θ 表示的曲线，人们分别冠以三叶玫瑰、四叶玫瑰的美称。
例3．二项式展开式也显示一种对称美：
.
杨辉三角形更组成一个美丽对称图案：
1　　　　　　　　　　　
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
………………………………………
摩根定律 ：（ CU A ） U （ CU B ）= CU ( A B )
（ CU A ）　（ CU B ）= CU（ A U B ）
正弦定理 ：

无不蕴涵着对称美，带给人们美的享受。
例4．代数对称，无论在初等代数中还是高等代数中，都有着丰富的内容。如共轭根式、共轭复数、对称多项式、轮换对称多项式、线性方程组的克兰姆法则、对称矩阵等都渗透着对称的思想。
（二）利用对称性，考虑对称方法
已知 0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1求证：a b c(1–a) (1–b) (1–c) ≤
分析：易知要求证的不等式左边是对称式，所以只要证明 a (1–a) ≤ 即可。
由题意得 a和 1–a 都是正数，因而有2 ≤ a + (1–a) =1 即
a (1–a) ≤
再由对称性可得 b (1–b)≤ , c (1–c)≤ , 故原题得证。
例2．f (x) 满足条件 f (1–x) = f (1+x),且f (x)在定义域内有11个根，求各根之和。
分析：若要先求出这11个根，再求各根之和是不可能的。我们不妨用数学美的观点审视题目，由f (1–x) = f (1+x) 知f (x)的图象关于直线 x=1对称。由f (x) 与x 轴有11个交点及对称性可知,f (x)与x 轴的一个交点为（1，0），另10个交点在直线 x=1两边对称分布，每边5个，依次等远，所以各根之和为11。
由数形结合的思想方法还可联想到数学的统一性。数、形本是数学研究的两个独立的对象，对它们的研究，分别构成了代数与几何，然而通过坐标系的建立，使点与数对建立了一一对应，从而把代数与几何联系起来。如通过弧度与角度互化使得三角函数图象跃然纸上，又如通过向量的坐标表示把向量的计算与坐标计算统一起来。正如希尔伯特所说：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。”统一性是数学结构美的重要标志，通常表现为数学概念、规律、方法的统一，数学理论的统一，数学与其他科学的统一。
四．归纳巩固完善学生思维结构
解题并不是数学学习的最终目的。题海无边，关键不在做题的数量，而在做题的效果。我们应该通过解题后的反思，最大限度地发挥例题的功能，帮助学生加深对基本知识和方法的掌握，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力，培养创新意识和科学的思维品质。
解题回顾，反思性学习可提高学生的元认知能力，使思维不断深入，形成独立思考的能力。
归纳题型
围绕例题中的两个主要知识点即函数奇偶性和单调性，从题目的形态上表现为选择题、填空题、解答题；从题目的结构上有半封闭型、开放型题。但题型相似有时解法却截然不同，如“用函数单调性证明f(x)= 在（–∞，0）上是增函数”，因此例中的函数是具体函数所以采用“作差法”。
归纳解题思路
数学是思维的体操，在学习中不仅要知其然，更要知其所以然。让学生积极参与和经历思维过程，领会常用的思想方法，整体换元思想（如变式二中的3）、数形结合思想（如变式三中的4、5）、分类讨论思想（如变式四中的2）、转化思想（如变式五中的2、3）及时总结规律，为今后的解题思考提供借鉴。通过对函数图象结合奇偶性和单调性的研究，总结得到：函数同时具有奇偶性和单调性时定义域必须对称，且在对称区间上奇函数单调性一致、偶函数单调性相反。 　　　　　　
例题往往具有典型性和代表性，引导学生一题多变，让问题由点构成面；引导学生一题多用，让问题由面构成体。这样就能“成片开发”真正做到事半功倍。同时让学生学会多角度、多层次地思考问题，掌握知识的内在联系，建构并完善自己的思维结构。正如波利亚所言：“不断变换你的问题，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门进入一个崭新的天地。”
归纳引导创新
通过习题教学，教师正确、适当引导，在师生间、生生间展开讨论、联想，共同挖掘、推广，由表及里、由浅入深，潜移默化地影响、感染学生，让学生领略到数学美和数学无穷的魅力，并学会思考、寻求解题的最佳策略，达到“题在书外，根在书内”的效果，有助于创新思维的培养。
总之，课本例题需要我们不断去领会和研究，通过对典型例题的深入挖掘、探索，既能使学生对所学知识进一步理解、深化，最终形成更加丰富的知识结构，同时还能开发学生的智力，培养学生的探索精神，激励学生的创造思维。
主要参考文献：
1.《中学数学方法论》 丘瑞立、邹泽民 主编 广西教育出版社 1999.8
2.《中学数学课例分析》罗增儒 著 陕西师范大学出版社 2001.7
斐波那契数列与高中数学教学
湖州一中 葛晓荣
摘要：本文首先从建构主义的观点，来阐述在教学中由习题引入斐波那契数列及其来源的必要性，然后从研究性学习的角度分三个方面来展示该题的启发功能，并得到一些结论（如：若兔子的生长期为r个月，则由每月兔子总数所组成的数列的递推公式为：an=an-1+an-r (n≥r+1)）。最后从数学美等方面，来说明此题的其它教育功能。
新教材第一册（上）第114页习题3.1的第4题的第（1）小题为：“已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2 (n≥3)给出，写出这个数列的前5 项。”该数列的递推公式是由已知数列的前2项，及任一项与它的前2项间的关系得到的。通过此题可以使学生更好地理解递推公式的含义。若将此题的“第2项是2”改为“第2项是1”，则此数列即为斐波那契数列。或令f1=1,通过公式fn=an-1 (n≥2) 构造一个新的数列{fn}，则{fn}也为斐波那契数列。所以可由此题向学生介绍斐波那契数列。
介绍斐波那契数列可为教师和学生开辟更自由的发挥空间，这也是新教材的一大特色。
一、有利于激发学生兴趣，加深概念理解
在解决问题的过程中，建构主义认为首先要对问题的意义进行建构，就是从记忆中激活和提取与问题相关的知识和经验，对问题的现有状态、目标状态，现有状态和目标状态的差别，以及可以进行哪些操作来缩小这些差别等，建立理解和联系。在建构“问题意义”的过程中主体的已有经验起着十分重要的作用。对“问题意义”成功的建构，是将新问题纳入到已有解题认识结构的过程中，主要依赖于新问题与主体认识结构中关于解题的各个范例（模板）、一般模式（原形）、或特征的比较，进行模式识别。因此对问题意义的建构，就是外部输入的信息与来自认知结构的内部信息的一种综合。这种比较和综合可以激活或立即回忆起相应的知识、方法、策略或思想，从而一步一步地将所面临的问题解决。
在此题教学过程中，先引入斐波那契数列的来源。可以这么引入：“在800年前，在意大利，有一位数学家，叫斐波那契。他写了一本书，名为《算盘书》。这本书在当时被学校当作标准教科书沿用了200多年。书中有一个有趣的问题：若每对大兔子每月初能生一对小兔子，而每对小兔子生长两个月就长成大兔子。问由一对刚出生的小兔子开始，假设兔子不死，一年后可以繁殖成多少对兔子？现在这道古代教科书中的问题，看看我们能不能解决它？”这样一方面可以激起学生的好胜心，迫不及待地想解决它；另一方面对问题的意义进行了建构，使得题目不再只是枯燥的数学符号，而是有血有肉，激发了学生的兴趣。
在提出问题之后，可以引导学生自己得出下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
大兔子
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
小兔子
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
总数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
分析：此表为每个月月底的兔子数目的统计表。第1个月底，小兔子还未长大，所以小兔子数目为1对，大兔子0对，总数1对；第2个月底，小兔子长成了大兔子，但长成的大兔子还没有生小兔子，所以大兔子有1对，小兔子没有，总数1对；第3个月底，大兔子生了一对小兔子，所以大兔子有1对，小兔子也有1对，总数2对；第4个月底，小兔子长成了大兔子，加上原有的1对大兔子一共有大兔子2对。而刚长成的大兔子还不能生小兔子，所以小兔子仍为1对，总数为3对；第5个月底，上月的小兔子还未长成大兔子，而上月的2对大兔子又生下了2对小兔子，所以大兔子有2对，小兔子有3对，总数为5对……如此下去，即可得到上表。
此过程完全可以由学生自己用已有的知识和生活经验来完成，然后提醒学生观察兔子总数一栏里的那一列数，设这列数为{fn}, fn为第n个月后的兔子总数。参照大兔子数目、小兔子数目与兔子总数的关系，并观察上面两列数，很快学生就可以得到递推公式：fn=fn-1+fn-2。通过这个过程可以让学生参与新知识的构造过程，虽然是再创造，但是对学习者本人还是处于第一次发现的地位。这样一方面可以加深学生对新知识的理解，另一方面可以激发学生的学习积极性，让他们主动地去学。
二、通过斐波那契数列引导学生开展研究性学习
1、研究斐波那契数列的性质
斐波那契数列非常著名，它是一个线性递归数列，在数学领域的许多分支有广泛的应用。它的特征是：F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2 (n≥3)。1730年，法国数学家棣莫费得出了斐波那契数 列的通项公式： 。斐波那契数列的著名，还在于它具有许多美妙的性质。人们往往对此孜孜不倦。1963年，美国就创刊了《斐波那契季刊》，专门研究斐波那契数列 的性质。当然由于所学有限，不可能引导学生去研究所有的性质，但一些与初等数学有关的性质，还是能够引导学生去研究的。
比如将斐波那契数列中相邻的数字相除组成新的数列：
对这个新数列，我们有
而 恰为黄金分割比！这样我们就得到了斐波那契数列的一个性质：相邻两数的比交替地大于或小于黄金分割比，并且该比值无限趋近于黄金分割比。
另外1680年卡西尼发现的性质： ，也可引导学生去发现它。在学了数学归纳法之后，更可以用数学归纳法证明这个等式。在得到这一性质后，我们还可以去研究斐波那契数列跟完全平方数的关系。我们可以证明以下结论：若fn是斐波那契数列中的第n项，则对任意正整数n，数组：
中任两数之积再加1都是一个完全平方数。
我们先证明：
证明：∵

同理可得：
现在我们证明：
证明：∵



∴等式成立。
类似的，我们可以证明：
实际上这一结论在1977年已被两位美国人证明了，但是通过这一证明过程，我们可以受到启发，得到新的结论：若fn是斐波那契数列中的第n项，则对任意的正整数n，数组fn-1, fn+1， fn+3中任两数之积再减1都是一个完全平方数。
不难证得：
另外，我们还可以得到结论：4f2nf2n+1f2n+2 与 f2n-1，f2n+1，f2n+3 中的任意一个数相乘，所得的积再加上1也是一个完全平方数。
我们可以证明：
2、引导学生去创造一些新的数列
在引入斐波那契数列的过程中，已经使学生感受到：数学来源于生活，数学并不神秘，我们也可以去研究它。有一位中学生曾经创造了两个数列：
这两个数列可用来计算任何一个正整数开任意次方，并估出精确度（详见《国内外中学数学》1987.8.第三期“用于正整数开方的两个递推数列”一文）。
这样就可以引导学生去创造一些新的数列，去研究创造出来的数列的性质，并可以以创造者的名字来命名新数列。当然这种研究对创造者的能力提出了较高的要求。
3、改变条件，研究新数列
引导学生思考：在斐波那契数列提出的问题中，若将“小兔子经过2个月长成大兔子”改为“小兔子经过1个月长成大兔子”，则每月兔子总数所组成的数列{an}具有什么特征？
按前面分析的方法，由于小兔子的生长期只有一个月，所以到了每个月底，小兔子的数目总为0。我们可列表如下：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
大兔子
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
小兔子
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
总数
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
显然此时，数列{an}是一个首项为1，公比为2的等比数列。它的递推公式为：an=2an-1 (n≥2) 。
再引导学生思考：若将“小兔子经过2个月长成大兔子”改为“小兔子经过3个月长成大兔子”则每个月兔子总数所组成的数列{an}具有什么特征？
为了研究的方便，现在把小兔子分成两类：一类为1月大的兔子，另一类为2月大的兔子。
分析：第1个月底时，有1月兔子1对，2月兔子没有，大兔子没有，总数为1对；第2个月底时，1月兔子没有，2月兔子有1对，大兔子没有，总数仍为1对；第3个月底时，1月兔子没有，2月兔子没有，有大兔子1对，总数为1对；第4个月底时，有1月兔子1对，2月兔子没有，大兔子有1对，总数为2对；第5个月底时，有1月兔子1对，2月兔子1对，大兔子1对，总数为3对……如此下去，就可以得到下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
大兔子
0
0
1
1
1
2
3
4
6
9
13
19
2月兔子
0
1
0
0
1
1
1
2
3
4
6
9
1月兔子
1
0
0
1
1
1
2
3
4
6
9
13
总数
1
1
1
2
3
4
6
9
13
19
28
41
类似斐波那契数列，我们可以得到递推公式：an=an-1+an-3 (n≥4)。斐波那契数列的递推公式为：an=an-1+an-2 (n≥3)，当兔子的生长期为一个月时，所得数列的递推公式为：an=2an-1 (n≥2)，即：an=an-1+an-1 (n≥2)。由此我们猜想当兔子的生长期为r个月时，所得数列的递推公式为：an=an-1+an-r (n≥r+1)。经过验证，我们可以得到这个结论。在此过程中，应注意培养学生的猜想能力，关键是培养他们的自信心，鼓励他们大胆的猜想。
三、其它能力的培养
上文已经提到斐波那契数列的通项公式为： 。这是一个看上去令人很不舒服的式子，它既有分数形式，又有无理数形式，还要n次方。但妙就妙在，就是这么复杂的一个式子，当n为正整数时，Fn恒为一个正整数。这是一个多么漂亮的式子！从中可以充分感受数学的和谐之美。斐波那契数列的性质处处体现了美：卡西尼从看似杂乱无章的数列中找到了那么简洁明了的性质，向人们展示了无序与有序的辨证统一关系。斐波那契数列中相邻两数的比交替地大于或小于黄金分割比，并且该比值无限趋近于黄金分割比。而黄金分割比是数学在美学中的经典体现。通过这方面的引导，可以使学生充分感受数学之美，提高他们对数学的兴趣。
大自然变化万千，但许多事物亦有规律可寻，就看我们能否发现它们。比如：茉莉花有3片花瓣，毛莨属植物有5片花瓣，翠雀属植物有8片花瓣，万寿菊属植物有13片花瓣，紫宛属植物有21片花瓣，雏菊属植物有34、55或89片花瓣……这些数字恰好就是斐波那契数列中的一些项，这是巧合吗？通过对这类问题的考虑，可以使学生更了解大自然，贴近大自然。这恰恰这代人所缺乏的。我们的学生往往习惯于从书本上接受知识，而对于从生活中通过观察直接获取信息，并经过自己的加工，来获取知识的能力往往比较差。只有通过加强这方面的训练，才能得到提高。
参考文献：
[1] 吴振奎.几个与完全平方、平方和有关的问题（上）.中等数学，2003(1).
[2] 李启柱.数学建构主义学习的实质及其主要特征.数学通讯，2001(5).
[3] 韩祥临.数学史导论.杭州大学出版社，1999，第1版.
[4] 21世纪高中数学精编.浙江教育出版社，2000，第1版.
多解·探索·应用
—对一道课本习题的挖掘和反思
德清高级中学 谢晓强 (邮编:313200)
数学是一门独特而重要的基础学科,其习题教学占了大部分教学内容.从习题中求知识, 找方法, 练思维是我们共同的目标. 但许多老师在课后之
余往往发出"题海无边,回头是岸"的感叹.那么哪里才是我们教学的彼岸呢,我想"岸乃课本也".课本是课之根本、而课本中的例题和习题都是经过专家们仔细斟酌而定的,具有典型性和代表性,因此对于它们的教学应从多角度,多层次去分析,充分挖掘它们的教学教育功能.我仅就对一道课本习题的教学谈谈自己的一些做法.
[原题] 求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) (高中新教材第二册上P16)
此题是一道不等式证明的练习题.学生用比较法或分析法即可完成.因
其证法简单,所以教师和学生在讲完做完后往往忽视了对其进一步的挖掘.
一.启疑,广议与多解
启疑是打开思维的钥匙,广议是训练思维的桥梁,联想是思维飞翔的翅
膀.我们的教材是按照章节内容顺序编排的,对于课后习题的处理学生往往 只限于用刚刚学过的知识去解决.长期下来养成了"现买现卖"的思维定势,不利于学生思维品质的培养和解题能力的提高.因此教师在备课时应做到心中有数,明确习题的功效,发挥其潜在的价值.诱导学生启疑,诱发学生多议,帮助学生联想,如对此题可以提出以下问题:⑴.是否还有不同的解法? ⑵.这些解法是否只限于不等式这一部分内容? ⑶. 哪些方法我们熟知的,哪些是未知的?等等.在给学生时间充分考虑的基础上,教师引导学生如下:
启发1.我们刚刚学完平面向量的知识能否从左式(ac+bd)结构中得到一
些启示?…学生很快发现如果将ac+bd改写成x1x2+y1y2的形式，则此式是两
个向量数量积的坐标表示,于是有如下解法.
解法一:(向量法)令p=a·i+b·j , q=c·i+d·j 则
|p·q|≤|p|·|q| |ac+bd|≤
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
启发2.如果将目光集中在式子右侧"平方和"的结构上,那么又可以 类比联想到那一部分内容?…经过学生多方面考虑,发现若将sin2a+cos2a=1 变为(rsina)2+(rcosa)2=r2，则可将右式化成三角形式.继而求证.
解法二:(三角换元法)令a=r1sinα b=r1cosα c=r2sinβ d=r2cosβ则
[r1r2cos(α-β)]2≤(r1r2)2 ∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
启发3.若将原式变形为[2(ac+bd)]2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0 (注:B2-4AC≤0)
则学生很容易想到韦达定理,于是构造方程 , 证明有一解或无解即可.
解法三:(构造法)构造方程(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)=0 ∵原方程等价于(ax+c)2+(bx+d)2=0 (a=b=c=d=0,显然成立)
∴只有当x=-=-时成立,故Δ≤0即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

以上不同解法都是在学生已经掌握相关知识的基础上展开的,它打破
了利用章节内容解题的束缚, 培养了学生思维的跨越性, 使学生的思维从
僵化走向灵活, 从肤浅走向深刻,开拓了学生的思维空间. 掌握和感受了
常用的解题思想方法,如换元,构造,类比,化归等. 作为对此题多解性的完善,
教师可以在后续内容的不同教学阶段进一步开展 "老题新解"的工作.如利
用点到线的距离公式等.这样既在高层次上促进了知识的融会贯通,也进一步
培养了学生的求异思维和创新思维.
二.特殊,一般与探索
辩证法告诉我们"变"是绝对的,"不变"是相对的.在变中求生存, 在变中求发展是必然的规律. 有矛盾才会生变,产生矛盾的因素很多:动与
静,正与反,局部与整体, 特殊与一般 . 我们在教学过程中也应该教会学生
用辩证的思维去发现问题,认识问题,解决问题.对于此题我们发现
①.若令a2+b2=1, c2+d2=1则此题变为课本P27例1.
求证:|ac+bd|≤1
②.若令c= ,d= ,则此题变为课本p11习题1.
求证:()2≤
进一步启发学生思考：原题中的各种解法对它们可行吗?如果换元，怎样换元 如果构造，构造什么？特殊中是否蕴涵着特殊解法呢?…教师将学生的各种想法归纳总结，对②题又得出如下新的解法：
解：（构造函数法）令f（x）=x2，A（a，a2），B（b，b2） C（ ，）D（，（）2） A C B
由图可知yC≥yD ∴()2≤ a D b
如果我们将立足点从"特殊"转变为"一般",则原命题如何推广,对它
们又如何证明呢?…学生经过分析,得出如下式子.
①.(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)
②.( a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)2≤(a12+a22+a32+a42)( b12+b22+b32+b42)
……………………
③.()2≤ ()2( )2 (注:柯西不等式)
将特殊与一般的辩证思维运用于教学过程中,无疑有助于培养学生思维
的独立性和创造性. 事实上培养学生从会解决问题向会提出问题的角色转
变,更具有现实的意义.
三.巩固,强化与应用
学习的目的在于应用,应用不仅能体现知识的价值,强化学习的动机,
而且还能对知识进行再组织和再加工.但我们在教学过程中不难发现,学
生往往对做过的题目印象不深, 就算是能够重新再做,也往往是采取了"
题海战术". 所以在对知识进行巩固和强化的过程中,尽可能用出新意,用
出新招.如对此题若做如下等价变形:|ac+bd|≤则可以
做为求函数最值的强有利工具.
①当ac+bd>0,右端为常数,ad=bc时左取最大值
②当ac+bd<0,右端为常数,ad=bc时左取最小值 －
例题:求函数f(x)=5 的最小值
简解:∵函数定义域为x∈[1,5] ∴f(x)>0
f(x)=
令a=5 , c= ,b= ,d= 则由①可得
5· +· |≤
此时,由bc=ad可得x= ∈[1,5],即最大值为
对于某些函数的最值问题,若能利用此不等式,合理变形,巧妙求解 不仅开辟了求最值的新途径. 加强了对原不等式新的认识, 而且更加有 效培养了学生的思维品质. 新世纪呼唤的是素质教育和创新教育.要落到实处,只有让我们的课堂教学出新出彩. 对于起着重要作用的习题教学, 应尽可能揭开其"犹抱琵琶半遮面"的面纱.正如前苏联教育家奥加涅相说的那样:"必须重视,很多习题潜在着进一步扩展其教学功能,发展功能和教育功能的可能性……".
对一道教材习题的研究性探索
浙江安吉高级中学 张国旗（313300）
课本例习题一般具有典型性、示范性、迁移性，它们或是某些数学方法；或体现某种数学思想；或提供某些重要结论。充分认识例题、习题本身所蕴含的价值，通过类比、迁移、拓广，进行研究性探索，提出新的问题并加以解决，能有效地巩固学生的基础知识，发展学生的数学能力，并能很好地发挥教材的扩张效应。
下面一例，可见一斑。
题目 求曲线上与原点距离最近的点P的坐标.(人教版《数学》复习参考题八B组第6题)
略解 设所求的点P的坐标为,则

当时,,这时
∴点为所求的点.
从条件、结论的变化上研究
在解题教学中，从条件、结论着眼，渗透学生对原题进行变式、推广的研究，能使学生不断完善知识结构，提高举一反三，出类旁通的能力。
研究题1 在曲线=上求一点M,使此点到的距离最短,并求最短距离.
解 设点M的坐标为,则

若时,则当时,,这时点M的坐标为(2,0);
若时,则当时,,
这时点M的坐标为.
研究题2 在曲线=上求一点M,使此点到的距离最短,并求最短距离.
解 设点M的坐标为,则
若,则当时,,这时点M的坐标为(0,0);
若,则当时,,
这时点M的坐标为.
从问题情景的设计上研究
对教材进行再创造，创设不同的问题情景，将数学问题设计成学生身边的实际问题，给学生创设一个抽象、概括、数字化的过程，能激发学生的研究热情。
研究题3 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是
,在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,求玻璃球的半径的取值范围
解 由抛物线的对称性可知,圆的圆心在上,又因为球触及酒杯底部,所以圆与抛物线相切于顶点,设圆的方程为
由得
要使(*)式有且只有一根,只需，即玻璃球的半径的取值范围
从问题的开放角度研究
把开放性问题引进课堂，让不同层次的学生都能以研究者的姿态出现，去体验创造成功的感受，这对培养学生的创新精神是大有裨益的。
研究题4 是否存在同时满足下列条件的抛物线：(1)准线是；(2)顶点在轴上；(3)点到此抛物线上动点的距离的最小值为。若存在，有几条？并求出方程；若不存在，说明理由。
解 假设存在这样的抛物线。
，∴抛物线的开口向左。
设抛物线方程是
∵准线方程为，，∴，
∴抛物线方程是
设点坐标为，则
若，则当时，
，
∴抛物线方程是。
若，则当时，，
，，
∴抛物线方程是。
∴满足条件的抛物线存在三条，分别是
。
对于课本习题，需要我们去领会和研究。在中学数学教学中，搞好习题教学，特别是搞好课本习题的研究性教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生能力等方面，能发挥其独特的功效。
探 索 焦 点 三 角 形
——对一道课本习题的研究性学习
浙江省德清县德清三中 郑崇乐
孔子说得好：知之者不如好知之者，好知之者不如乐知之者。如何激发学生的求知欲，培养学生的创造性思维是我们数学教师的一个重要任务。探索性学习作为一种开发式教学，它是培养学生创造性思维的重要手段；探索性问题在高考数学试题中也占有一定的比例，而且有继续上升的趋势。在平时的教学中，如何利用课本习题设计探索性问题、引导学生进行研究性学习呢？现行高中数学新教材第二册，P132，第6题就是一个很好的例子，而且很多高考题、竞赛题都可以在此题中找到生长点。
原题：在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。
分析：如图，ΔPF1F2为椭圆的一个焦点直角三角
形，P为其一个直角顶点，满足条件的点有四个，而且
就是圆与椭圆的交点。下面
从三个方面对它进行研究。
椭圆中的焦点三角形
探究1：对一般的椭圆，其上是否一定存在点P，使其与两焦点的连线互相垂直？若不一定，椭圆要满足何种条件时才存在？
设存在，则这些点必是以两焦点连线段为直径的圆与椭圆的交点。由其联立方程组得：，
因为不一定成立，所以这样的点P不一定存在。只有当当成立，即时才存在，此时椭圆的离心率?。又当时，；此时该点在y轴上，方程组有两解且圆内切于椭圆。
结论1：当（即）时，椭圆上存在点使其与两焦点连线互相垂直。当（即）时，这样的点有四个；当（即）时这样的点有两个，为椭圆与短轴的交点。
探究2：若，则与a、b有何关系？
设P为,则


结论2：当时，
探究3：当时，又与椭圆中哪些量有关？
为通径的一半，即

结论3：当时，且
练习：设为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，是一个直角三角形的三个顶点，求的值。（2001年上海高考题）
此题要考虑到上述两种情况，且当时，，此时由勾股定理容易求出，为解答带来方便。
探究4：设椭圆上有一动点P，当P运动到何处时最小？当P运动到何处时，最大？
设=，=，则
，当 =时取等号，即当P运动
到椭圆与短轴的交点C、D时最小，
最大。即点P从A到C运动过程中从变到最大值；从C到B时又逐渐从最大变到。所时，当P运动到时，最大，且在运动的过程中存有钝角三角形；时，为非钝角，因此当P运动到C、D两点时，最大，且为非钝角三角形。
结论5：设椭圆上有一动点P，当P运动到椭圆与短轴的交点时最小；时，当P运动到时，最大=1；时，当P运动到椭圆与短轴的交点时，最大。
探究5：设，则及与有何关系？


又设P，由焦半径公式知,

结论6：椭圆上两焦半径的积或
结论7：椭圆上焦点三角形的面积 （）
设=，=,则，的半周长，由海伦公式得：


结论8：设=，=，则
设，P在椭圆上运动时，当P运动到椭圆与短轴的交点时最大，且，所以；又，因此可得以下结论：
结论9：点P在椭圆上运动，当P运动到椭圆与短轴的交点时最大=bc。
练习：①是椭圆的两焦点，点P在椭圆上，已知求
②是椭圆的两焦点, 点P是椭圆上的动点，试求的最大值和最小值。（1997年第七届“希望杯”赛题）
③圆（r>0）经过椭圆的两个焦点且与椭圆有四个交点，其中p是一个交点，若的面积，椭圆长轴为15，试求的值（2000年第十一届“希望杯”赛题）
略解：①

②由（）知当最小，即P在椭圆与短轴所在直线的交点时最大=4；当P在椭圆与长轴所在直线的交点时，最大=1，最小=1
③由题知


探究6：当（即）时，P点的坐标满足什么条件时为钝角？为锐角？
设P，由前知当时，，
，据前面的推论可得出结论：
结论10：当（即）时，设P，当时，为钝角；或时为锐角。
练习：椭圆的两个焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是 （2000年高考题）。解答略。
双曲线中的焦点三角形
双曲线作为非封闭曲线，且，双曲线中的焦点三角形是否具有与椭圆中焦点三角形类似的性质呢？为此，我们作类似的探讨。
探究1： 在双曲线上是否存在点P，使其与两焦点的连线互相垂直？若存在与a、b、c有何关系？
设存在，则点P必在以为直径的圆上，由方程组


因此点P一定存在，且有四个这样的点。。
结论1：双曲线上存在四点使其与两焦点连线互相垂直；且。
当时，，
结论2：当时，，
练习：双曲线上的两个焦点为，点P在双曲线上，若，则点P到x轴的距离为 （2001年全国高考题）
探究2：当为一般三角形时，及又与哪些量有关？
与椭圆类似，很容易推到 （）
结论3：双曲线上两焦半径的积为 （）
结论4：双曲线上焦点三角形的面积为
练习：①设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P要双曲线上且满足，则的面积为 （1994年全国高考题）
（A）1 （B） （C）2 （D）
由公式即可得答案。
②P是双曲线上的一点，F1和F2是两焦点，若，试求的大小。（1988年广东省高考题）
由 （）便可求得。当然此结论的得出是通过余弦定理，若直接应用余弦定理也可。
设=，=,则由双曲线定义知：，的半周长，故有




结论5：设=，=，则
此结论对解答很多高考题也有很多方便之处，此处便不一一举例。
探究2：设P为双曲线上的动点，P点的坐标满足什么条件时为钝角？为锐角？当P运动到何处时最小？最大？
设P，由前面知，当 时，
，从运动的观点可得到与椭圆类似的结论。
结论6：设P，当或时，为钝角；当或时，为锐角。
又当P在运动的过程中范围在上变化，因此可得以下结论：
结论7：当时，最大=1；当P运动到双曲线与实轴的交点（即）时，最小。
同在椭圆和双曲线中的焦点三角形
双曲线与椭圆有许多相同或相似的性质，若将它们整合，又能得到什么结论呢？我们作以下探讨：
探究1：设椭圆与双曲线有公共焦点F1和F2，P是它们的一个交点，设，则及与有何关系？
由上面的讨论知…① 且 …②
①②得 代入①得
探究2：设椭圆与双曲线有公共焦点F1和F2，P是它们的一个交点，若时，则之间有何关系？
因为，且由前面的讨论知，点P到x轴的距离为，所以
又
因此，此时要满足，

多解·变式·应用·启示
湖州中学 蒋一莉
题目
在第一册（上）第113页有练习
写出下面数列{}的前5项：
1、
2、
在第一册（上）第114页有习题3、1
3．写出下面数列{}的前5项：
（1）、
完成这三个题目不成问题，但这三个题有没有相同的地方？给出了首项和递推公式形如 的数列，为了对这三题的数列{}有全面的了解，能不能更进一步由简单递推公式求出通项呢？在教学中为了方便计算，我把三题合成例1进行探究。
一、探究多解
例1 设求数列{}的通项公式。
解法1 观察法
分析：由递推式 可知{}既不是等差也不是等比，那我们先不考虑常数3，原式先看成


与 比较得m=3
这样原式就变成 则{}是等比数列，首项+3=8，公比是2，先求+3，再求。
解：由 两边加3
得
{}是等比数列，首项+3=8 公比q=2



解法2：换元法
解：令 则
代入递推式

令
则
又
这说明是等比数列且公比
首项


解法3 累差法
解：

二式相减
是以为首项。 以公比的等比数列


得
=

形如的数列，如、数字较简单，最好通过拆为二数，用观察法转化成等比数列来求，或用换元法、累差法来求。
二、探究变式
变式一：例如：设， ，
求数列的通项公式。
解：

由上述二式求差：
①
令
则①变成 转化成例1的形式来求解

个相加



变式一虽然把常数3变成了变化的，但是形如 （，为非零常数）我们可以通过先求差，把它转化成例1的形式，再求解。
变式二：例如：，
求数列的通项公式。
解：由
两边同除以，则

即 ②
令
则②变成
由 得

变式二中，常量3变成，形如 （，为非零常数）可试着通过两边同除以，把它转化成例1的形式来解。
变式三：例如：，
求数列的通项公式.
解: ,由求倒数,得③
令,则③变成.由得,.
变式三中递推式出现分式可试着求倒数转化成例1的形式来解。
变式四： 例如:且,
求数列的通项公式.
解:,两边取对数,得,令 ,则上式变成,由得.
.
变式四中递推式出现高次，而且有的前提条件，可试用取时数转化为例1的形式来求。
三探究应用
（2002年高考20题）
某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……每年新增汽车万辆，则
，
对于，有
通过例1的观察法、换元法、累差法均可得到
四探后启示
同学中有一部分只满足于问题的解决，这就错过了一个有益的机会，因为有许多问题都有丰富的内涵和宽广的外延，做一个有心人，对一个题目或几个题目做进一步的探究，既可巩固知识，又可提高思维能力，这正是提高素质所追求的学习能力之一。

启发学生探究完整的世界—就新教材的一个习题尝试学生多角度思维能力的养成
浙江长兴一中 林毅群 （313100）
“一朵花里看世界，一道例题见规律”，只要我们本着培养学生创新能力的思想，“以学生发展为本”，共同合作探究，就可以更好地理解课本内涵，甚至可以弥补课本之不足。
新教材的一个习题
在新教材第二册（上）第133页上有这样的一个习题：
两定点的坐标分别为Ａ（-1，0），Ｂ（2，0），动点Ｍ满足条件
求动点Ｍ的轨迹方程。
教参上给出的解答为：
如图，设 ()
点M的坐标为(x , y)
∵ ∴
当点M在X轴上方时, ,
∴ 即
当点M在X轴下方时, ， 同理可得
又 ∴
因此点M一定在线段AB的垂直平分线的右侧，
所求的轨迹方程为双曲线 的右支，且不包括 X 轴上的点。
我的思考
我认为，上述的分析解答仅考虑了存在的情况，但公式中的有条件约束：
（）}， （）}，
若 , 时， 不存在，上述的解答就不适用了。故在课堂上，可利用这题作引子，通过师生合作，让学生探究性地去发现其解题的不完整性，从而发析思维受阻的原因，有的放矢地培养学生多角度地去思考问题，掌握分类讨论的思想，养成严密的逻辑思维与推理能力，并将思维过程作一知识和方法上的迁移，以真正达到举一反三，以发展能力为目的，提高学生的思维广度，事半功倍地学习。
（三）课堂的火花
⑴学生思考后,请学生说说他们的解法，答案是五花八门的．有的学生遗漏了 ,的情况，有的学生漏了考虑点M在X轴下方时的情况．请学生共同讨论辨析是否需要考虑这两种情况，并请思考完整的同学介绍他们是如何考虑到这两点的．最后用幻灯片给出完整的解答过程如下：
解：① ,时， ⊿ABM是等腰直角⊿ ，
点M 的轨迹方程为两个点（2，3），（2，-3）
②如图，设 ()A O x
点M的坐标为(x , y) ∵
∴
当点M在X轴上方时, ,
∴ 即
当点M在X轴下方时, ， 同理可得 又 ∴
因此点M一定在线段AB的垂直平分线的右侧
又，经检验知 点（2，3），（2，-3）适合双曲线
所以, 所求的轨迹方程为双曲线 的右支，且不包括 X 轴上的点。
⑵点出：虽然最后的答案一样，但这样的思维过程更趋于严密，其实像这种考虑直线的倾斜角的方法在求直线方程时是屡见不鲜的。进一步让学生思考下题：
过抛物线的焦点F的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为，
求证：
问题Ⅰ：可否直接设过焦点的直线为　（），联立抛物线方程，通过韦达定理证出呢？是否完整？
问题Ⅱ：若设直线的斜率为K，则不能包含直线与X轴垂直的情况，能否换一种设直线的方法，使其包含了所有可能？
回答是肯定的，可设过焦点的直线方程为，与联立，同时，这样解方程组也较简便．
⑶强调将点（2，3），（2，-3）代入双曲线 中进行检验是必须的．思考下题：
给定双曲线，过点B(1,1)能否作直线L，使L与所给双曲线交于两点,且B是线段的中点？说明理由。
学生思考后，用幻灯片给出下列解答：
解：假设满足题设条件的直线L存在，,的坐标分别为（，），（，） 则 ① ②
两式相减，得
∵ ∴ ()
即　　　　故直线L的方程为　　即　
请学生分析讨论以上的证明有无不全面之处。
从而明确必须进行检验。指出：若不注意所求直线与双曲线有无交点，将会得出错误的结论检验过程如下：∵　　与　　无实数解，导致矛盾
∴满足题设条件的直线L不存在。
⑶　在遇到直线方程时必须考虑直线斜率的情况呢？　一般的证明方法是需要的考虑直线垂直于X 轴的情况的，但有时如若考虑它的几何性质，并结合平面几何知识，就可使问题得到简便的解决。
例如：设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且 BC∥X轴。
证明直线AC经过原点O.
请学生仔细探究本题如何考虑它的几何性质来解，讨论后给出证明过程，进一步明确其解法。
证明：如右图，
设x轴与抛物线准线L的交点为E，
过A作AD⊥L, D为垂足，
则AD∥FE∥BC. 再连接AC，与EF相交于点N，
则,
.　根据抛物线的几何性质，, ,
故 ，
即点N是FE的中点，与抛物线的顶点O重合，
所以直线AC经过原点O.
由此，我们得到启发：在圆锥曲线和直线的综合题中，是否需要考虑直线的斜率，要视具体的解法而定，不能生搬硬套，对特殊情况能否成立，需仔细推敲，既不要遗漏，也不要画蛇添足。
（四）我的感悟
新的课程标准特别重视学生创新能力的培养，我认为，全面地思考问题，使思维具有很强的严密性，也是创新能力不可或缺的，或者说，这正是创新能力的有机组成部分。因此，我以一个习题为载体，师生共同探究其中完整的数学天地，并以此为发射点，举一反三，久而久之，必能促使学生多角度思维能力的养成，一旦形成了良好的思维品质，必能活学活用，由此及彼，成为祖国高素质的有用之才。
　　而要全面洞窥数学的世界，不是凭教师滔滔不绝的传授，而是在以人为本的理念支使下的师生共同探究，课堂上十分重视学生思维的火花，尊重每一个学生，让学生成为学习的主人。只有这样，学生才能在融洽的氛围中，兴趣盎然地主动探究。我们的学生是如此的聪明，他们不仅能思考老师想不到的，而且甚至会补充教材之不足，不仅印证了教学相长的古训，也推动了新课程的进一步完善。
一道课本习题潜在功能的挖掘和应用
湖州中学 李 蓉
课本上的例习题，大多数具有典型性和可塑性。教学中若能经常引导学生充分挖掘与发挥这些例习题的潜在功能，不仅可以使他们对所学的知识获得更进一步的认识，而且还有利于培养他们从多角度、多层次、多方位思考问题、解决问题的能力。
如在全日制普通高级中学教科书（实验修订本必修）第二册（下A）第页上有这样一道习题：
如图：在立体图形中， ，平面和平面有何种位置关系？请说明理由。（证明略）
从表面上看，该题的四面体包含了以下三种垂直关系：
线线垂直：，所以四个侧面全是直角三角形，我们不妨称之为直角四面体。
线面垂直：面 ，面。
面面垂直：面面，面面，面面。
但这仅仅是对该题的一点肤浅的认识，仔细挖掘，不难发现，该直角四面体其实是立几中一个重要的“模型”，许多立几中的计算、证明问题常可归结为这个特殊的四面体中的相关问题。在高考中，这个模型也常有出现。
直角四面体中的重要关系式
1.一个常用公式：
（其中）
可叙述为：从空中一点出发的三条射线，所成的三个锐角分别为，若所在平面与所在平面互相垂直，则（证明略）
例1：将正方体截去一个角，求证其截面为锐角三角形。
分析：如图， 与 均为锐角
，
而
为锐角
同理可证：为锐角。
2．最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。即：直角四面体V-ABC中：
例2：（98年全国）如图3，二面角 是锐二面角，是内一点，平面于，是上任意一点，且是锐角，则（ ）

与 大小不能确定
分析：分别是面的垂线和斜线，由最小角定理可知应选
3．射影面积公式：（其中 ， 分别表示射影面积和原面积，为两平面所成的二面角的平面角。在直角四面体V-ABC中，即：
例3：(93年上海)如图：正方体中，过顶点作截面，则二面角的大小是 。
分析：由面可知，在平面上的射影为 ，设二面角的平面角为，则 ，易求得。
直角四面体中的角
异面直线所成的角及其求法：
在直角四面体中，有三对异面直线，其中与成角。下面找与所成的角。如图，过点作平行等于，连，则即为所求。同理，通过“平移”，不难找到与所成的角。
直线与平面所成角及其求法：
在直角四面体中，一条棱有两个线面角，六条棱共有个线面角。如直线与平面所成的角就是，而直线与平面所成的角就稍难一些，其关键是寻找直线在平面上的射影。比如下面这道高考题就是以之为载体改编的。
例4：（95年全国）如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上，，是垂足。
求证：
如果圆柱与三棱锥的体积比等于 ，求直线与平面所成的角。
分析： 略。
过点作于 ，连。
平面平面，是交线，且平面，
平面，是直线与平面所成的角。
由题设条件可求得：
二面角的平面角及其作法：
此直角四面体中的二面角的平面角有个，有些可由定义直接在图上找到（如二面角 的平面角为），有些则需由三垂线定理作出。方法 ：过一个面内一点分别作另一个平面的垂线和棱的垂线，连结两个垂足，可得二面角的平面角，其中的关键是找出或作出其中一个面的垂线。
例5：（90年全国）在三棱锥中，底面，，垂直平分，且分别交、 于 、，又，求以为棱，以与为面的二面角的度数。
分析：连结、。是的中点，又面，从而面且面，从而面、面，是二面角的平面角。
设，则为等腰直角三角形，
直角四面体中的距离
两异面直线间距离的作法：
直角四面体V-ABC中，当平面时，过点作的垂线段，则即与的距离。
由此可知，求异面直线距离的方法之一是找一个平面，使两异面直线在该平面内的射影是一点和一条直线，从而转化为该平面内点到线的距离。
例6：（94年全国）设圆锥底面圆周上两点的距离为，圆锥顶点到的距离为，和圆锥轴的距离为1，则该圆锥的体积是 。
分析：设圆锥底面的圆心为，中点为，易知 即与圆锥轴的距离1。由题设可求得。
点到直线距离的作法：
直角四面体V-ABC中，如何求平面外一点到直线的距离呢？。方法：面，在面内作，则由三垂线定理知，是点到的距离。
例7．(93年全国)：如图，是直三棱柱，过点、、的平面和平面的交线记作
判断直线与的位置关系，并加以证明。
若，求顶点到直线 的距离。
分析：略。
过点作于 ，连。则由三垂线定理可知，
为点到直线 的距离。
由题设条件不难得出顶点到直线 的距离为
点到平面的距离的作法与求法：
直角四面体V-ABC中，求点到平面的距离的方法有二：
构造三棱锥，用体积法求距离。
根据定义作出点到面的垂线，先确定垂足的位置，再求距离。
例8：（91年全国）如图，四边形是边长为的正方形，、F分别是、的中点，垂直于平面，且求点到平面的距离。
分析1：连结，易知，取 、F的中点，连结。设点到平面的距离为。、 分别为、的中点，，，
，
即，点到平面的距离是。
分析2：、 分别为的中点 ，
点到平面的距离即上任一点到平面的距离，
设于 ，则，又平面， 平面 ，平面 平面平面
过作，则平面，即点到平面的距离。
容易求得 。
从上可以看出，对此四面体潜在功能的挖掘，不仅全面概括了第一章的重点内容，还系统地研究了此背景条件下空间角与距离等基本问题的求解方法。所以，重视课本习题的研究，必将收到解一题，带一片的事半功倍的成效。
意 会 而 神 领
——对一个向量问题的研究
安吉高级中学 邵峰棋
一道好题，是一首回味无穷的歌.体会一道题，不仅使个体心情舒畅，更为众多知识点的回顾综合，多种解题思想的展放提供辽阔的空间.参见高一数学第一册（下）P.150页B组第2题，就是意料之中而又出乎之外的一道好题.
题：已知向量a、b、c两两所成的角相等，并且│a│=1,│b│=2, │c│=3，求向量a+b+c的长度及与三已知向量的夹角.
一、解法探究
在平面上，三非零向量a、b、c两两所成的角相等，则它们所成的角为00或1200，当它们所成的角都为00时，显然有a+b+c的长度为6，其与三已知向量的夹角均为00；当它们所成的角都为1200时，其具体情况，就是本文所要研究的重点.
1、通性通法
分析：依据①，②③非零向量a、b的夹角为，有等知识可完成对本题的解答.
解：①

故.
②不妨设a+b+c与a、b、c的夹角分别为
又
同理，可求得，得.
即a+b+c与a、b、c的夹角依次分别为1500、900、300.
2、参变量的选用
分析：建立坐标系，引入坐标和参数，使一些向量的问题的运算转化为纯代数运算的问题，从而更便于学生理解接受.
解：建立直角坐标系XOY，将a、b、c的起点平移到坐标原点，因a、b、c三向量间的夹角均为1200，又│a│=1,│b│=2,│c│=3，
故可设，，
，
同理可得：


考虑两向量间的夹角的范围为.
故│a+b+c│=，a+b+c与a、b、c的夹角依次分别为.
3、解三角形知识的运用
分析：构作三角形基本框架，利用解三角形相关知识处理.
解：在平面上任取一点O，分别作，如图所示
∠AOB=∠AOC=∠BOC=1200，OA=1，OB=2，OC=3，以OA、OB为邻边作平行四边形 OADB，则.
在△AOD中，OA=1，AD=2，∠OAD=600，
故有OD=，∠AOD=900，
以OD、OC为邻边作平行四边形 ODEC，
则.
在，OC=3，EC=，∠OCE=300
易求得：OE=，∠EOC=300
从而有│a+b+c│=OE=，a+b+c与a、b、c的夹角依次分别为.
4、同解变化
分析：若三非零向量、、，长度为1，两两夹角均为1200，则有++.
解：过平面上一点O作
（如图一），
作则有，
故有a+b+c =（如图二），
以为邻边作 O1B1FC1
则= a+b+c，在△O1F1C1中，
O1C1=2，C1F=1，∠O1C1F=600 ，易知
∠O1FC1=300，O1F1=.
故│a+b+c│=，a+b+c与a、b、c的夹角依次
分别为.
综述：题目解法虽变化万千，但万变不离其宗，综合掌握和运用基础知识和数学思想仍是解题之根本.
二、背景探究
现有不少的报纸和杂志上都有一些文章在研究如何利用向量来解决立体几何中的一些相关问题，这为我们解决立体几何问题提供了新的思路，显然是件好事.
本题的背景是平面向量问题的研究，若脱离了平面向量这一背景，那么a、b、c三向量所成角两两相等，角度就不仅仅是0o或120o两种情况了，应该说它们所成角的范围为[0o，120o].
如图，在平面作OA、OB使 OA=1，OB=2，∠AOB=，若OC与OA、OB所成的角相等，则OB在过OA、OB的角平分线OD且与平成垂直的平面上，记为，显然OC与OA所成角的范围为[]，据题意应有，故[0o，120o].
这样，在空间，本题的解决可建立模型
（如图）以
为邻边作平行六面体OAC1B-CB1O1A1，
则 a+b+c，
显然│a+b+c│.
a+b+c与a、b、c的夹角
会随的变化而变化.
综上所述有│a+b+c│[].
显然，问题的解决离不开实际的背景，
一旦背景外延扩大，变化将会沓至纷来.
三、创新探究
由于向量问题数形结合的特殊性，利用向量解决一些其它问题自然也就自然而然.
立体几何中的一些角度问题；
解析几何中的一些平行、垂直问题的求解、判断和证明，一些平移问题的解决；
构造基本图形，利用向量问题解决不等式问题；
三角函数中一些问题的证明和求解；等等.
对一个问题的研究，究其深度和广度毕竟是个别的，对基础知识的理解与贯通，才是解决问题的实质，当知识的储备全面而融合的时候，对任何题目的理解自然也就意会神领，水到渠成.
常教常新 细水长流
——从一道课本习题谈研究性学习在课堂中的渗透
湖州中学 李连方（31300）
研究性学习，是指在教师指导下，以类似于科学研究的方法去获取知识和应用知识的学习方式，它是一种先进的教育指导思想和理念，它注重培养学生以研究的态度去认真观察、分析、归纳，不断提出新问题、新方法，发现事物的内在规律，使教与学的重心不再仅仅放在获取知识上，而转到学会思考、学会学习上，使被动的接受式学习转到主动探索性的学习，从而培养学生的提出问题、分析问题、解决问题的能力。应当承认，目前的学校教育，课堂仍是主阵地，因此，立足于课堂，深入钻研教材中的例、习题是研究性学习的基础。本文通过对新教材中的一道习题的教学，谈谈如何在中学课堂的教学实践中渗透研究性学习。
初始问题的提出（新教材上册复习参考题三）设数列的前项和为，已知,()。求证数列是等比数列。
解题策略的研究
教师：这是一道关于和的相关联的递推数列题。如何证明数列从第2项起是一个等比数列呢？
学生1：关键在于寻找的通项。
教师：对，而且我们都知道，这是和的联系桥梁，那么如何利用这一关系式来求出的通项呢？（学生们议论纷纷，很快就有了思路。）
学生1：由 得到代入已知的条件中得，，即------①，因此数列是一个首项为，公比为的等比数列。故，然后再由，得到------②。所以------③，证毕。（但学生没有说明的取值范围，这为以后埋下伏笔！！）
教师：这位同学将结论运用的非常巧妙合理，充分利用数列中的函数思想，得到了结论，第一次运用结论将条件转化为关于的递推式，求出的通项，第二次运用结论求出的通项，这样就将命题证明了。（我话音未落，就有学生举手了）
学生2：（非常自豪地站起来说）这种解法有点繁，不如再构造一个等式，联立，两式相减得，化简得，------④证毕。（全班学生不禁惊叹！！）
教师：同学2的方法更绝妙，他利用了方程的思想直截了当地求出了的通项。请同学们再仔细欣赏一下这两种解题策略：化的递推式或化的递推式。事实上述这两种解法是解决有关和相关联的递推数列题最常见的策略。（全班同学都在细心揣摩，但是有一位同学紧锁眉头，似另有考虑，很快……）
学生3：老师，这道题目是道错题（全班愕然！！），因为从式③和④式都说明了数列从第1项起就是一个等比数列，而不是从第2项起。
教师：同学3提出的问题非常有意义！题目真的有问题吗？我们再回头看一看，既然数列是一个函数，那么在前面的解出的和的通项中的定义域的取值范围是什么？（同学们纷纷对①、②、③、④三个式子中的取值范围进行展开讨论。）
学生3：老师，现在我明白了题目本身没有错，错在解答的过程不严密，①式中，这说明了数列是一个等比数列，②、③和④式中，不满足等比数列的定义。所以数列确实是从第2项起是一个等比数列。
教师：同学3虽然起先的想法是错的，但是这却正好给我们以启示：数列是一个定义在自然数集或其子集上的一个函数，所以在解答数列题时，一方面要充分利用其函数和方程的思想，另一方面要注意它的自变量的取值范围，只有这样在解题的过程中就不会走歪路。而且做好题后，要养成有意识地及时反思的习惯，从题目的结论也暗示数列与是不同的。
问题变式的研究
教师：那么下面我们如何修改题目，使得数列成为一个等比数列？（正如爱因斯坦所说，发现问题比解决问题更重要，在教师的积极引导下，绝大部分同学能够发现将条件“”改成“”即可。）根据上面的研究，我们可以将原命题改装为下列的命题：
命题1：设数列的前项和为，已知,()。求证数列是等比数列。
命题2：设数列的前项和为，已知()，问：当为何值时，数列等比数列？
问题延拓的研究
教师：上述的证法中，关键在于求出数列的通项，而且是通过合理的转化成等比数列后可求出数列的通项。因此同学们在解决有关数列问题感到有困难时，要牢记一句话“有困难，请找通项”。下面我们来改变原题目中的条件“()”为“()”，其它条件不变，该如何求出数列的通项？（同学们个个兴趣盎然，摩拳擦掌！！）
学生4：构造方程（），联立，两式相减化简可得（）（在教师的提示下，这位同学已经能够正确地求出的取值范围，学生已明确了数列仍是从第2项起是一个等比数列。）再由条件解出，可得。
教师：这是利用构造方程转化为的递推关系式，然后求出了数列的通项，同样的取值范围致关重要。但能不能转化为递推关系式，先求出，然后求出呢？
学生5（信心似不足）：应该可以的吧？将代入得，哦，不行？
教师：我们先不要急于下结论，让我们把目光转移到从上述转化的结果，来看一看数列有什么特征？（学生们陷入沉思，在仔细观察。）我们可以看到它既像等差数列，又像等比数列，说明它与等比数列和等差数列有着千丝万缕的联系，那能不能利用等比数列或等差数列知识呢？（教室里一片议论声，很快有一位成绩较好的同学举手发言了。）
学生6：可以将条件转化为，令，可得，数列是一个等比数列，这样就可以求出即，所以也可以求出来了。（此时全班的学生不禁又惊叹！！）
教师：那你又怎么想到的呢？
学生6：没什么，看出来的？
教师：哦！那因为你的观察力强，但其他同学未必看的出。如果将“3”改为“4”或“5”，那又怎么办？（此时学生们又陷入沉思中，这时又是学生6举手了。）
学生6：老师，我发现了用待定系数法可以解决你的这个问题。如，得解得，不管尾巴后面是什么数字，都可以利用这种方法。（全班同学鼓掌不已！！）
教师：同学6所提出的方法解决了一类问题，它具有普遍性。（我刚想说，虽然转化为较为复杂，但这其中涉及的方法令人深思，然后我再想举一个类似题进行强化训练，这时有一位平时数学基础较差的同学举手了。）
学生7（迫不急待）：老师，如果改成就不行了。如：，由得，若令，但是，所以这种方法行不通了。
教师：是的，这个观点很好，从具体的数字到字母是一个量变到质变的过程。但若已知，那又该如何解呢？（此时课堂气氛非常活跃，学生们跃跃欲试，我原以为学生会将该命题转化为即可，又是学生6举手发言了。）
学生6：老师，我还是用待定系数法，只不过设，这样仍然可构造一个等比数列。（又有一位同学举手了发言，指出将该命题转化为，这是教师期待的结果来了！这时问题得到圆满的解决，下课铃声也要响了。）
教师（小结）：这一节课我们学习了对于和的相关联递推数列题，如何求解数列的通项，我们已形成一种共识：化的递推式或化的递推式，得到一个等比数列或构造一个等比数列。但具体是如何转化使得解答较为简洁，却是要因题而异。而且在今天，我们在解决问题当中运用了多种数学思想和方法，请同学们回去之后，认真思考和体会，这样才能有真正的收获。
课后教师的反思
(1)一个有研究价值的问题是开展研究性学习的前提和保证。
习题课决定了这种问题的特征：有浅入深，有一定的知识容量，涉及的知识面广或涉及数学思想和方法多，问题具有层次性（共不同的学生不同层次的探究）、开放性（探究过程和结果呈开放姿态）和广延性（易于学生发现问题作进一步的探究）。本课例中的问题从课本一道习题出发，涉及了数学中的函数的思想、方程的思想、转化和化归的思想、待定系数法等思想方法。无论是数学基础较好的同学，还是数学基础被认为较差的同学，都能够参与在问题讨论中。
（2）发现问题和提出问题是开展研究性学习的着眼点和生长点。
著名理学大师朱熹曾指出：“无疑者，须教疑，有疑者，却要无疑，到这里方是长进”。无疑有疑无疑有疑无疑现代的教学正是沿着这一过程，促进着学生思维的不断发展，把学生不断引向更高的境界。这就需要教师设置一种合理的情境，让学生产生一种内在的困惑和需求，从而让学生能够发现问题、解决问题并提出问题。在课堂上，要充分体现“以人为本”的现代教学基本原则，就应该相信学生，敢于“解放学生的嘴”，变教师提出问题、教师变换例题为学生提问和学生变题，给学生留下通过思考并提出问题的机会，鼓励他们“带着问题走向教师”，实现在教学活动中师生间的双向互动。本课例中，有的问题是教师事先精心准备好和预料到的，而有的问题是教师是事先没有预料到的，是学生自己独立发现并提出的。这一方面验证了一句话“给我一个支点，我可以撑起地球”，只要将学习变成“我要学”，任何一位学生的思维都能够得到锻炼和提高；另一方面也说明了在当今的教学实际中需要教师有很强的应变能力和驾驭能力，研究性学习对教师也提出了更高的要求，我们广大教师也要开展研究性学习。

参考文献
鲁鹤鸣．高中数学研究性学习的教学．课程、教材、教法，2001，12
裴亚光．数学教学中的需求与困惑．中学教学，2002，10
3．顾桂斌．观念刷新：数学新课程改革的支点．中学数学，2002，11
4．吴国建．一堂平面几何研究性复习课．数学教学，2003，3
一道例题的挖掘
德清一中 杨玉明
波利亚说：“一个专心、认真备课的教师，能够拿一个有意义，但又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好象通过一道门户，把学生引入到一个完整的理论领域。”
必须重视，很多道题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性，……从解本题到转向独立地提出类似的问题和解答这些问题，这个过程显然在扩大解题的‘武器库’，学生利用类比和概括的能力在形成；辨证思维的独立性以及创造思维性的素质也在发展。我们在例题的教学中，如果不是就题论题，浅尝辄止，而是充分发挥起潜在的功能，给学生插上联想的翅膀，让其在广阔的数学天地里尽情地翱翔，那将使学生充分领略到数学学习的乐趣，思维品质将起到举足轻重的作用。
在教学中，教师如能科学、合理地运用这种“有意义但不复杂”的例题教学，充分发挥课堂例题的作用，这对开发学生智力，培养学生的能力极为有利。为此，对高中数学教材中的例题，作好讲解，归纳尤为重要，下面以“不等式”一章中的一道例题为例说明如何重视高中数学教材中例题的作用。
例：已知a,b,m都是正数，并且a
(高中数学第二册上，P12 例2)
引导学生以新代旧，复习旧知.
此题在教材中的地位是引出不等式证法中的分析法。而分析法在整个数学学习中十分重要，可见本例对培养学生数学能力具有举足轻重的作用。为此要教会学生掌握分析法证明不等式，特别是书写格式。除此之外，此题非难题，学生在前面以学过不等式证明的比较法、综合法等。教师启发让学生用前面所学过的方法独立解答。学生可能有下面几种证法：
证法1： －
=
=,
∵ a,b,m 都是正数，且 a ∴ b－a>0,b+m>0,
∴ >0
即 －>0
∴ >.
证法2： ∵ a,b,m 都是正数
∴ a+m>0, b+m>0,
∴ >0, >0
==,
∵ a ∴ ma ∴ 0 ∴ >1
即 >1
>.
证法3：0
>.
以上3种证法都是常规方法，在课堂上学生都能想到，教师只须把它们整理在黑板上，或者利用投影仪显示在屏幕上加以对比说明即可。
如果在讲授过程中，仅仅已此教给学生分析法证题的思路、方法后，就认为大功告成，曲终人散，那就未免太可惜了，我们不妨借题发挥，充分利用其潜在功能。
进一步升华，引导学生利用构造法证题
高中数学是初中数学的延续，要做好与初中数学的衔接，联系初中的平面几何知识，构造三角形证题，引导学生学会数形转换。
证法4：如图1，△ABC中，DE∥BC，DF=a,BG=b, 显然0m,==<.
A O
D’ C
D F E D
B G C B A

（图1） （图2）
证法5：如图2，△ABC中，OC=OD=m, DB=a, CA=b, 由aOB, ∴∠A<∠B.作CD’ ∥AB交OB于D’，由∠OCD=>∠A=∠OCD’,知D’在O，D之间，于是==>=.
联系函数知识构造函数，引导学生体会函数的主线功能。
证法6：设y=f(x)= =1+(x≥0)，∵ a-b<0. ∴f(x)在是单调递增函数，当x=m>0时，必有f(m)> f(0),即>.
证法7：易证函数f(x)= （m>0）在（0,＋∞）是减函数，由已知0 f(b)即>>.
证法6、证法7，学生或许会感到惊讶，这时学生思维的灵活性开始形成，感到不等式的证明与函数的单调性在某种意义上本质是一样的，用构造法解决问题对学生思维能力的培养极有益处。
做纵向联系，构造不等式，利用“解不等式”去“证不等式”。
证法8：作不等式>， 得>0
∵a,b都是正数，且a ∴x∈(∪（0，+∞），
∵m是正实数，正实数集是上述解集的子集，故x=m满足不等式，所以
>.
联想平面向量中的定比分点坐标公式的特点，构造定比。
证法9：∴ =，又b,m 都是正数，视为定比λ，知λ>0
x=, x=1,则点P(,0)是以P（，0），P（1，0）为端点的有向线段的内分点。由于0<<1, ∴>.
联想斜率公式的特征，构造斜率。 y
证法10：如图3，可视为两点
A（－m, －m）和B（b, a）连线的斜率， O B(b,a)
∵ak, A(-m,-m) x
即>. (图3)
通过以上的启发、联想、构造，一道例题的触角伸到了高中数学的方方面面，它势必能激发起学生浓厚的学习兴趣，在潜移默化中训练并逐步形成学生良好的思维品质。它比学生在题海中无目的地遨游，效果要好得多。
至此，教师从学生的表情上坚信这一道并不难的题已调动了全体学生的积极性，于是可引导学生归纳总结本章不等式的证明方法。由此知此例在教材中的地位与作用就不言自明了。
教师通过这一道简单的例题，指导学生运用所学的知识证明。经过透彻的分析，不同方法的比较、总结，使学生感到：（1）面对众多的数学知识，要有选择应用；（2）不能盲目套题型，要抓住问题的关键，力求简洁易解；（3）在证题方法上有所得，对自己独立处理问题有了信心。
3．重视例题的变式、引申，并进一步扩展其应用功能，展示数学魅力。
研究了本题的各种证法后，可进一步进行引申、变化、深入。
变式一：条件改为a>b，结论有和变化？
a=b呢?
变式二：若m是负数，不等式>是否成立
变式三：进一步启发可得不等式串：<<<…<(k∈N*)
例题的结论实质上是真分数的一个重要性质，在实际应用中，可有意识的选择一些习题，强化学生的应用意识。
例如：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积和和地板面积之比不应小于10%，且这个比值越大，采光条件越好。问同时增加窗户和地板面积，采光条件是变好了还是坏了？请说明理由。
分析 设窗户面积为a ,地板面积为b,条件限制为<<1，设窗户和地板均增加的面积为m,由>，显然采光条件变好了。
4. 重视高中数学教材中例题的作用
同样的教材、同样的教学内容，有的教师上课就重点突出、条理清楚、层次分明、内容充实、教学环节丝丝相扣、师生双边活动恰当、教学效果好，而有的教师上课却照本宣科、漫无边际、结构松散、教学环节不全、师生双边活动脱节、教学效果不尽人意，究其原因，固然有许多因素的影响，但教师对教材的把握处理是否得当，是一个重要原因，我们经常听到有学生讲：“老师，我上课是都能听懂，课后就做题，对着例题，解出来就完了。有时，我也找些资料上的题来做，但总觉得不踏实，考试成绩也不理想，不知道是什么原因。”的确，要学好高中数学，需要多方面的努力，也需要培养多方面的能力，作为教师，在课堂上讲解例题，决不能解出答案就算完事，应在多方面给学生以示范，示范的不仅仅是解题格式，更重要的是指导学生正确理解题意，抓住问题的关键，灵活选择有关概念和规律分析、推导，最后达到问题的解决，同时比较不同的解题方法，对所学知识进行归纳总结。通过这一过程，培养和发展学生的思维能力。
把课堂例题讲的精一点，透一点，善于进行一题多“变”，一题多“解”的教学，引导学生从不同的角度思考，从不同的方向联系，积极的调动学生的积极性，使学生能有所思、有所悟、有所创新，则学生不仅能从繁重的题海中解脱出来，而且教学的效果也将事半功倍，愿我们的老师能注重每一道例题的教学。
一道课本习题的变式教学
安吉三中 朱庆华
“重基础、考能力”，“源于课本、高于课本”是高考命题的原则。因此通过对课本习题的挖掘、引申与改造进行变式教学，不但可以抓好双基，还可以提高数学能力。下面是对一道课本习题的变式教学设计。
题目：求曲线上与原点距离最近的点的坐标。(人教版高中数学第二册(上)第6题)
略解：设所求的点P的坐标为，则

当，，此时
所以点为所求的点。
条件一般化，提高应变能力
将题目条件一般化，是设计变式题材首先考虑的一种方法。
变题1、在曲线上求一点P，使此点到A（a，0）的距离最短，并求最短距离。
解：设点P的坐标为，则
若，即，当时，，此时点P
若，即，当时，；此时点P
改变背景，提高创新能力
在教学过程中，善于引导学生变换习题的形式，可激发学生的探求欲望，提高创新能力。
变题2、抛物线C1：与动圆C2：没有公共点，求a的取值范围。
解法1：要使抛物线C1：与动圆C2：没有公共点，只要点到抛物线C1上的点的距离的最小值大于动圆半径1。
由变题1可知
或

解法2：抛物线C1与动圆C2没有公共点，

令
则 或

变题3、已知抛物线C：，圆心在轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点，求动圆半径r的取值范围。
解：由于动圆的圆心在轴上，且在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点，故可设动圆的方程为
由
得 （*）
要使方程（*）有且只有一根，只要
。
联系实际，增强应用意识
变题4、一只酒杯的轴截面是抛物线：的一部分，在杯内
放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部。求玻璃球的半径r的取值范围。
解：由抛物线的对称性可知，圆的圆心在y轴上，又因为球触及酒杯底部，所以圆与抛物线相切于顶点，故可设圆方程为
由 得 （*）

要使方程（*）有且只有一根 ，只须

变换条件与结论，提高探索能力
将常规题改为探索题，是设计变式题的又一途径。
变题5、是否存在同时满足下列条件的抛物线：
准线方程是；
顶点在x轴上；
（3）点A到此抛物线上动点P的距离的最小值为。
若存在，则试求出此抛物线的方程；若不存在，请说明理由。
解：假设存在这样的抛物线，则设其顶点为
若抛物线开口向右，则顶点到点A的距离最小，此时，
所以抛物线开口向左，故可设方程为
准线方程为，
抛物线方程为
设抛物线上任意一点，则
（1）若
抛物线方程为或
（2）若
或（舍去）
抛物线方程为
满足条件的抛物线存在三条，分别为，，
在中学数学教学中，搞好习题教学，特别是课本习题的变式教学，不仅能加深学生对基础知识的理解和掌握，更能开发学生智力，培养学生的创新能力、应用问题和探索新知识的能力，激发其不断学习的兴趣和欲望，促使学生养成终身学习的习惯。
数学的理解
——对书本一例的再认识
长兴华盛虹溪中学 陈雪云
在平常的教学中，数学理解作为一个目标层次被解释为：对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎么来的，它与其他概念之间的联系，有什么用途，这种解释重在结果与外在表现的判定。而认知心理学家认为：数学理解应为，数学学习的内容“成为个人内部网络的一部分”，强调在心理学上能组织起适当的有效的认知结构。对于具体数学问题的解决，理解更朴素的认识通常是，明白了问题的条件与结论，弄清了由条件到结论间每一步骤的语义与根据，领悟了体现在步骤与过程中的思想方法；如果还能作点变通与推广；还能用所接受的结论或方法解决其它问题，那么就理解得更好、更深、更透了。
本文就书本的一例题谈课堂教学中教与学的理解。
新教材（高二下册）第130页例1如下：
甲、乙二人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：
2人都击中目标的概率
其中恰有1人击中目标的概率
至少有1人击中目标的概率
这是一个涉及事件的加法与乘法运算、带有综合性的典型概率计算问题。其中第（1）小题较为简单，但要强调一下,甲、乙两人各射击1次，是否射中相互之间是没有影响的，这样才能运用相互独立事件的概率乘法公式进行计算。对于第（2）小题，教学中应着重引导学生分析“恰有1人击中目标”所包括的两种情况：甲击中、乙末击中，乙击中、甲末击中，而且这两种情况是互斥的。在此可设计问题延伸到：如果3人各射击1次，恰有1 人击中目标包括哪些情况？”使学生对这类问题的分析有一定的规律性的认识。
此文主要对第（3）小题进行探讨，书本给出了二种解法。
记A事件：“甲射击一次，击中目标”，B事件“乙射击一次，击中目标”
解法1：
解法2： 2人都未击中目标的概率是：
因此，至少有1人击中目标的概率

问题分析：以分类直接解决，学生易于理解，间接解决，必须抓住题意的实质。两种结合起来看：即
P（甲乙至少有1人射中）=P（或甲击中或乙击中或甲乙同时击中）=1-P（无人击中）
问题疑点：在实际教学中，由于前面刚学过互斥事件,我特地请学生写出“或甲击中或乙击中或甲乙同时击中”该事件如何表示。（学生议论纷纷）讨论结果主要有A+B与A+B+A·B这两种，教师该如何处理呢？本人作了如下设计。
问题设计：
若A、B为互斥事件，A+B表示什么事件，举例说明。
若A、B为随机事件，A+B表示什么事件，举例说明。
若A、B为独立事件，A+B表示什么事件，举例说明。
设事件A、B、C分别表示图中A、B、C不损坏，试用事件间的运算关系表示｛灯D亮｝,｛灯D不亮｝这两件事。
已知A、B为独立事件，且P（A+B）=0.7，P(A)=0.4，则P(B)=____。
问题探求：
对于第（1）问，参考新教材必修本P125页:(原文)
“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”是一个事件，当摸出的是红球或绿球时，表示这个事件发生，称该事件为A+B。
由于摸1球，摸出红球就不能同时得到绿球，若摸出绿球同时也不能得到红球，故此两个事件为互斥事件。因此A+B为A发生或B发生，从集合论观点说，若A事件发生的结果为集合C，B事件发生的结果为集合D，则C∩D＝Φ如图1：
对于第（2）问：A、B为随机事件，不妨以集合论观点易于说明
设A事件发生的结果为集合M，设B事件发生的结果为集合N，则由于A、B无限制，M与N的情况可能如图2—1，图2—2两种情况：
因此，随机事件的条件下：A+B表示A发生或B发生或AB同时发生。
对于第（3）问，可以以该例射击一题解释，甲是否击中与乙是否击中是相互独立的，可以同时进行，则得到结论：
A+B表示A发生或B发生或AB同时发生,即明确
对于第（4）问，由于每个电阻是否损坏是独立事件，易得
｛灯亮｝=，
｛灯不亮｝=
对于第（5）问，因为A、B为独立事件，
=1－［１－Ｐ（Ａ）］［１－Ｐ（Ｂ）］，可得Ｐ（Ｂ）＝０.5
问题延拓：
（1）从问题的特点而言，对第（3）问中可作推广：
若A1，A2，A3，……，An为独立事件（或随机事件）则
P（A1+A2+……+An）=1—P（
（2）从问题的本质看，还可设计如下问题：(讨论)
某交互式计算机有10个终端，这些终端由各个单位独立操作，使用率均为0.7，则各个终端同时工作的概率是0.710 ？ 还是1-0.310？
解:由于各个单位独立工作,则P=0.710 显然正确。
因为 1-0.310≠0.710. 显然错误，错误原因：用间接法求，要理解题目的实质，此题10个终端不同时工作，由于是交互式，只要有一个终端不工作则整个网络不同时工作，因此情况可分：1个终端不工作，2 个终端不工作，3个终端不工作……10个终端不工作多种情况，比较繁。做题应选择恰当的方法。
回头看文中书本这一例它是一堂课的精髓，直接法与间接法说明了一个重要的公式：概率的积与和的互补公式，同时对一定条件下的“A+B事件”的理解学生有了一个形成过程，达到深刻理解数学。其次通过一题多解，拓宽了学生的思维途径，在纷繁复杂的信息时代，思维方式是多样的，认识越深刻，产生的解法越简捷。
在平常课堂教学中，教师的导是相当关键的，它决定了学生在本堂课所学的内容，并延伸至课外该研究点什么，思考点什么，同时教学中问题的设计能想学生所想，疑学生所疑，启而得法，新教材有新的特点，留给师生的问题更多，作为教师尽量能将课堂气氛推至高潮。使得一道题目的解决，一个公式、定理的发现让学生于枯燥中见新奇，于迷茫中得豁朗，激发了学生学习数学的兴趣。

流动的音符 精美的乐章
————一道课本习题的探究
湖州市织里中学 刘晓东 313008
欣赏一道好的数学题犹如听一曲美妙的音乐，让人如痴如醉，更似饮一杯香醇的美酒，令人心旷神怡、回味无穷.新教材中第一册上P1428题就象一串流动的音符，如果你去仔细品味，悉心弹奏，就一定会谱成一段段精美的乐章，汇成一部磅礴的交响曲.
【原题】某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半.当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新房.
如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？
过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？
该题是等比数列的应用题，但不只是简单的增长率问题，住房面积在增长的同时，要拆除一定数量的旧住房，实际上是由两个数列复合而成的.教学中我们应认真研究、充分开发、有效利用此题的各种教育功能.
1．变式研究，构建知识网络
1.1背景搜索
如果我们在原题中不拆除旧住房;或按一定比例拆除旧住房，这就是典型的增长率问题.新老教材中均有很多相关背景.
【搜索1】 如新教材第一册上P127例1（老教材代数下P55例5）：培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？
【搜索2】如新教材第一册上P1292（老教材代数下P585）：某林场计划第一年造林15公顷，以后每年比上一年多造林20%，第五年造林多少公顷？
【搜索3】如老教材代数下P5912：某工厂去年的产值是138万元，计划在今后5年内每年比上一年产值增长10%.从今年起到第五年这个工厂的年产值是多少？这5年的总产值是多少？
【搜索4】如老教材代数下P52例3：某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降到58元。这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少？
1.2相关链接
一部好的作品总是会被人津津乐道，甚至被搬上荧屏，一道好的试题又何尝不是如此！
【链接1】(模拟试题)某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行着顽强的斗争.自1999年起，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲的4%又将被侵蚀为沙漠.设全县面积为1，1999年底的绿洲面积为a1=0.3,经过一年后的绿洲面积为a2，经过n年后的绿洲面积为an+1.
(1)求证:为等比数列；
(2)求数列的前n项之和.
【解】(1)由题意得：

是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由(1)得:

【链接2】(模拟试题)某人向银行贷款2万元用于购房，商定年利率为10%，按复利计算，若从借后次年年初开始，每年还4000元，试问十年时间能否还清欠款？
【解】第一年后欠款:
第二年后欠款:
第十年后欠款:

假定十年后能还清欠款则
易知上式成立,所以十年后能还清欠款.
1.3超级链接
坚持以“纲”为纲，以“本”为本，是我们教学的基本原则，很多优秀的试题都是根据课本例习题改编而成，使教材进一步升华.
【超级链接1】(01年全国高考试题)：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入比上一年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
设n年内(本年度为第一年)总投入为万元,旅游业总收入为万元.写出,的表达式;
至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
【解】(1)由题意易知, 投入是以800为首项,为公比的等比数列

旅游收入是以400为首项，为公比的等比数列.

(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此
- 0 即
化简得：
设，代入上式得：
解得：
简析：此题明显是由两个等比数列复合而成，思路清晰易于建模.
【超级链接2】(02年全国高考试题)：某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增数量不应超过多少？
【解】设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆····,每年新增汽车x万辆,则

对于n>1,有

当 时,
当时
并且数列{}逐项增加，可以任意靠近.因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即
则 即 (万辆)
综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.
简析：此题是以课本习题为背景，同时又渗透了极限的思想，是启迪学生思维的典型材料.
上述这些问题都是在相同的题干下进行变换,背景的搜索、习题的变式都较为自然,它能使学生对数列的应用,进行全面的复习与掌握,从而提高学习效率.变式教学的方式、形式及内容，要根据教材的内容和学生的实际情况来安排，因材施教是课堂教学永远不变的真理，恰当合理的变式教学，有助于学生把知识学活，形成知识体系，触类旁通，促进知识迁移，发展创新思维，构成知识网络.
2．解法研究：锤炼数学思想方法
2.1方法一:递推法
【解】(1)过一年住房总面积为：1.1-x
过二年住房总面积为：
过三年住房总面积为:

过十年住房总面积为:

由题意得:
解得:
(2)
2.2方法二:辅助数列法
【解】设,一年后为 则n年后为,由题意得:
令 则

则
数列是以a-10x为首项,1.1为公比的等比数列.

以下同解法一.
注:形如 的递推数列均可采用此解法.
2.3方法三:分类法
【解】把原题看成由两个数列复合而成.数列一:不拆除旧房,以10%增长率递增,则十年后住房总面积为;数列二:拆除旧住房的总面积. 过一年应拆除旧住房的总面积为：
过二年拆除旧住房的住房总面积为：
过三年拆除旧住房的住房总面积为:
过十年拆除旧住房的住房总面积为:

下同解法一.
注:对于数列二,拆除的旧住房的面积应包括数列一中没有拆除的旧住房中所增长的部分.
在上述的解法中，我们分别运用了递推思想、分类思想和辅助函数等思想，通过这些解法的研究，对促进学生掌握数学方法大有益处.
数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略.数学方法是解决问题的手段和工具.数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学.现行教材中蕴含了多种数学思想和方法，在教学时，我们应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人.注重数学思想方法的教学是为了促进学生思维能力的发展.数学是思维的体操，从这个角度讲，数学本身就是一种锻炼思维的手段.我们应充分利用数学的这种功能，把思维能力的培养贯穿于教学的全过程.
3.创设情境：坚持以人为本
中学数学教学的目的，就是要面向全体学生，不仅培养他们的数学素养，更要提高他们的综合素质，使之成为具有一定创造性的人.教师要创设情境，坚持以人为本，以学生为中心，自觉地把素质教育融于教学中.结合教学内容对学生进行思想品德教育是数学教学的一项重要任务，它对促进学生全面发展具有重要意义.
3.1 德育功能
(1)以社会主义现代化建设为背景，培养学生的爱国主义思想.教学中我们要有意识地去挖掘，在讲授有关知识的同时，适当介绍中国科学家在各个领域中所做出的杰出成就.如搜索1,讲到水稻繁殖时,不妨可适时介绍水稻之父袁隆平的成就等等，对学生进行爱国主义教育.
(2)编拟既联系实际又有思想性的数学题目，反映我国社会主义制度的优越性、改革开放政策的正确性和祖国建设的伟大成就等有关内容，使学生在潜移默化中接受热爱社会主义制度、热爱社会主义祖国的思想教育；使学生了解我国的国情，激发他们为四化建设、为祖国的繁荣昌盛而献身的精神.象上述变式研究中涉及到环境保护、经济建设、改革开放等各个领域，为学生提供了丰富的教育素材.
(3)．辩证唯物主义教育.中学数学本身蕴含着丰富的对立统一、量变质变、运动变化、相互联系、相互制约等辩证唯物主义因素.应用问题更是充分体现了辩证唯物主义的世界观.在教学中，如果能注意挖掘这些因素，自觉地用唯物辩证法观点阐述教学内容，就能更深刻地让学生领悟数学知识的内在联系.这样，既有利于学生学好数学知识，提高辩证思维能力，又有利于培养学生的辩证唯物主义观点，为逐渐形成共产主义世界观打下基矗.
3.2塑造学生健全人格
(1)培养学生情操. 科学技术的迅速发展，人文和科学技术文化的相互渗透，相互融合，要求我们要努力的培养科学素质，数学应用既反映了数学在现代科技和当今社会领域中的种种用途，学生又可以追溯到人类文明史上的种种贡献，因此，数学应用对培养学生的情操有着得天独厚的条件，既培养学生的科学素质，又可以培养学生的人文素养，其价值功能尤为明显.数学应用是数学美的充分体现,美是一种艺术，对艺术的欣赏和美的应用无疑会陶冶人的情操，使人的情操得以净化和升华.
(2)培养学生创新能力.新世纪的到来，要求我们的培养出更多的开拓型、素质型的人才.因此，创新能力的培养在数学教学中占据着越来越重要的地位，数学应用，将在这方面发挥着积极作用.我们知道，创造思维是创新的核心.具体问题从提出到最终解决的全过程，更是始终在对学生进行观察能力的培养与训练，是培养学生创新思维的活教材.只要我们充分分析这些问题，精心组织教学对培养学生的创造思维具有重要的作用.
(3)促进学生数学观的形成.数学教学不只是传授知识，更重要的是应用数学知识去解决具体问题，通过对这道题的变式研究,大胆创新，使学生清醒地意识到数学应用的广度与深度.学习数学的目的就是为了应用数学、用好数学，这对学生数学观的形成起到了积极的促进作用，使学生体会到数学不只是“思维的体操”更是解决问题的工具、美的享受.
(4)培养学生对数学的兴趣.兴趣是最好的老师，心理学认为：明确知识和学习的社会意义是形成认识兴趣的重要条件；使学生面临实际的任务，把知识运用到解决实际问题中去是，培养学生兴趣的重要条件.数学应用问题的教学，正是从这两个方面对学生实施教育，这是其他知识无法比拟的，更是不可替代的.
4.教法研究：培养能力
数学是一种语言，是认识世界必不可少的方法，运用数学的能力是未来公民应当具有的最基本的素质之一.
4.1问题为载体,方法是抓手
(1)重现知识形成的过程，培养学生用数学的意识.在教学中，我们不应当只是单纯地向学生讲授数学知识，而忽视对其原型的分析和抽象.我们应当从实际事例或学生已有知识出发，逐步引导学生对原型加以抽象、概括，弄清知识的抽象过程，了解它们的用途和适用范围，从而使学生形成对学数学、用数学所必须遵循的途径的认识. 把学数学和用数学结合起来，使学生在实践中体验用数学的快乐，学会用数学解决身边的实际问题，培养学生用数学的能力.这不仅能加深学生对知识的理解和记忆，而且对激发学生学数学的兴趣、增强学生用数学的意识都大有裨益.
(2)加强建模训练，培养建模能力.建立适当数学模型，是利用数学解决实际问题的前提.建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步.解应用题，特别是解综合性较强的应用题的过程，实际上就是建造一个数学模型的过程.在教学中，我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练，也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题（如上述利息、经济、环境等问题），引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型，培养学生的建模能力.
(3)创造多维空间，灵活运用数学方法.数学方法是数学的灵魂.教学中，努力创设发散型的环境，让学生可以从不同角度，用不同的方法达到相同的解决问题的目的，并通过这些思想方法的不断概括、总结和整合，使之成为学生自觉的行为.
(4)仔细研究，充分利用其教育功能.课本中的每一个例习题，都是专家们精心挑选和策划的.在教学中，如果我们只是照本宣科为了讲题而讲题，你总会有“不识庐山真面目”之感，这样我们的数学课堂就会失去魅力，学生也将渐渐离开数学；但若你仔细去研究、开发，一定会有“柳暗花明又一村”的感叹.充分发散，用好用足每个习题的教育功能，是我们每一个教师必须研究的.
4.2几点思考
(1)变式研究时题目的数量要有“度”,不能多多益善,引申过多,不但会造成题海,增加无效劳动和加重学生的负担,而且还容易使学生产生逆反心理,影响教学效果.
(2)引申题要有梯度,循序渐进,不可盲目追求难度,以免学生望而却步,影响问题的解决,从而降低学习效率.
(3)遵循师生互动原则.引申并非老师专利,发动学生积极参与,师生双方密切配合,交流互动,有利于学生创新能力的培养.
研究习题，发掘潜能、辐射整体
浙江省德清县第三中学 阮正禹
中学数学教学中，重视课本习题的研究，引导学生多方位，多角度思考问题、分析并提出问题，把学习数学的主动权交给学生，是培养创新意识和创新能力的重要途径。本文通过对立体几何中典型习题的研究，对教法、学法提出的新的手段、方式；对此题的教学功能，进行了延伸、升华；对立体几何中的射影，角和距离、面积与体积等重点和难点内容进行了一次较全面、系统的复习。
原题：《数学》（人教版、课本80页复习参考题九第13题）
正三棱锥的底面边长是a，侧棱长是b，求它的高与体积。
对此题，笔者进行了如下几个方面的研究：
一、从教法方面进行研究
1、练习法：通过书面练习，完成习题最低要求，提高解题能力。
2、指导研究法：指导学生确定“有关三棱锥问题”的研究专题进行研究。
①习题研究：不变图形，此题还能覆盖的所有立体几何知识点。
②专题研究：正四面体的性质；对四面体“三心”的研究（内心、外心、重心）；四面体的截面研究等。
③研究性复习：高考题对三棱锥知识的考查；有关三棱锥的常见题型研究；三棱锥的等体积在解题中的应用等。
二、从学法方面进行研究
主要分两个阶段完成。第一阶段：通过独立练习，完成习题解答，巩固基础知识，回顾基本方法，训练基本技能，形成一定的解题能力；第二阶段，进行老师指导下的研究性学习和研究性复习，通过查阅相关资料和高考题目完成两到三个研究专题（研究内容见教法研究）
三、从教学功能方面进行研究
立体几何中的习题，不仅具有示意图的直观功能，解答过程的示范功能，而且还具有很多的智力训练功能，下面就教学功能进行探讨。
1、射影的教学功能。
变题1 在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，求证：P在底面的射影必在底面△ABC中BC的高所在的直线上。
2、面积和体积教学功能。
变题2 （1987年全国高考题）（如图1）
三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l,
PA与BC的公垂线段DE=h，
求证：三棱锥P-ABC的体积为。
变题3 （1989年广东高考题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是（ ）
A． B． C． D．
3、角和距离的教学功能。
变题4 （1987年上海高考题）（如图2）
设三棱锥P-ABC的底面为等腰直角三角形，
已知该直角三角形的斜边AC长为10，
三棱锥的侧棱，
求⑴顶点P到底面的距离；
⑵侧棱PB与底面所成角的大小；
⑶二面角A-PB-C的大小。
略解： ⑴由条件知点P在底面ABC内的射影O为边AC的中点，从而求得距离为12。
⑵连接0B，由⑴知∠PBD为侧棱PB与底面所成的角，在Rt△POB中，，
⑶过A作于D，连接CD，由题设条件可知“为二面角A-PB-C的平面角，在等腰三角形ADC中易求得。
四、从解题方法进行研究。
1、作射影、找高（直接法）
分析1：（如图3）过顶点P作底面ABC
于点O，则O为△ABC的中心。连接AO并延长
交BC于D，则，在Rt△POA
中求出高PO，即可求得
。
2、分割体、转化（间接法）
分析2：在图（3）中，连接PD，则BC⊥面PAD
又过点D作DE⊥AP于E，则（其中DE为PA与BC的公垂线段）。
由分析2可知：若一个四面体有一组对接互相垂直，则其体积等于这组对棱长与它们间距离乘积的。
五、从多变（变题）、多编（编题）方面进行研究。
习题通过变式延伸，能更好地完善学生的认知结构，促进思维的深入发展，提高学生的解题能力，原题可做如下几类的变和编：
㈠条件不变，可挖掘的结论。
变题5 在原题中可增添结论：
求斜高；
求侧面与底面所成的角的大小；
求侧棱与底面所成的角；
求对棱的公垂线段长；
求过侧棱过其对棱上一点的截面面积的最小值。
㈡把条件和结论稍作改动。
变题6 （1989年广东高考题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是（ ）。
A． B． C． D．
变题7 若三棱锥P-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都为θ，且顶点P在底面的射影O在△ABC内，已知三棱锥的侧面积为S，则它的底面积为（ ）。
A． B． C． D．
变题8 在题7中，把三棱锥改成任意棱锥，结论如何？若改为棱台呢？此结论能否引伸到圆锥和圆台？
变题9 在题7中，若顶点P在底面的射影O在△ABC的某条边上或在△ABC外，有类似的结论吗？
㈢把三棱锥与平面四边形的折叠问题联系起来。
变题10 （1996年全国高考题）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起使BD=a，则三棱锥S-ABC的体积为（ ）。
A． B． C． D．
变题11 （2000年北京、安徽春季高考题） 在直角梯形 ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=AB=a（如图4），将△ADC沿AC折起，使D到D1，记面ACD1为α，面ABC为β。
⑴略，⑵若二面角α-AC-β为60°，（如图5）求三棱锥D1-ABC的体积。
㈣从“射影”方面进行变题。
变题12 （1991年全国高考题）正三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
变题13 在题12中增加条件PB⊥AC，则O为△ABC的垂心，且PC⊥AB。
变题14 在四面体中，若两组对棱互相垂直，则任意一个顶点在其对面三角形确定的平面内的射影是该三角形的垂心，且另一组对棱互相垂直。
变题15 若三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面的射影O为△ABC的垂心。
变题16 若三棱的侧棱与底面所成的角都相等，则其顶点在底面上的射影为该三角形的外心。
变题17 在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC中，PA⊥BC，则P在底面的射影必在底面△ABC中BC的高所在的直线上。
㈤、从“角和距离”方面进行变题。
变题18 （1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，且E，F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）。
A．90° B．60° C．45° D．30°
变题19 正三棱锥P-ABC中，设底面边长为a，侧棱长为2a，E、F分别是PB、PC上的点，求△AEF周长的最小值。
略解：将三棱锥P-ABC（如图6）的侧面沿侧棱PA展开，易知，当E、F在AA1上时，△AEF的周长最小（如图7）
变题20 （2000全国高考题）（如图8），
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD
是棱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°
（Ⅰ）略。
（Ⅱ）假设CD=2，C1C=，
记面C1BD为α，面CBD为β，
求二面角α-BD-β的平面角的余弦值。
略解：设BD、AC交于点O，连结C1O，则∠C1OC为所求二面角的平面角，由条件易求得C1O==C1C，又∠C1CB=∠C1CD，故三棱锥C1-BCD的顶点C1在底面BCD内的射影H为OC的中点，在Rt△C1HO中，。
㈥、联系实际，探索教材的应用性。
变题21 化学中甲烷CH4的键角是多少？怎样求？
略解：（如图9）设正四面体棱长为a，记每个面的面积为S，高为h，则
∴

∴，
∴。
古人云：“读书切戒不慌忙，涵泳工夫兴味长。”课本中的一些经典习题、章节须让学生反复阅读，仔细揣摩，细细体味，悟出其精要。这要通过对习题教学的研究，激发了学生对课本学习的热情，使得解题能力大大提高，教师则用好习题，用活习题，避开了题海战术，减轻学生学习负担，达到素质教育的目的。
参考文献
1、刘建球，深入挖掘课本功效，探寻创新教育途径，数学教学研究2001.2
2、张志朝，四面体的“心”重合与正四面体，中学数学月刊1999.8
3、陈健，充分发掘课本习题的教学潜能，数学教学研究2001.4
4、周根龙，让学生在研究中学习，中学数学教学参考2001.4
数学思维与兵家谋略
――就一数列习题解法谈思维素质培养
长兴中学 杨 冰
学数学，最终目的是为了用数学，这是众所周知的道理。但就现在数学教学的实际来看，对于用数学，更多的还只是注重用其“形”，就是说，能用学会的数学知识、技能来分析、解决生活、工作中与数学关联较为密切的一些问题。这里的“用数学”，是用数学中的定理、公式、结论、技巧等具体知识。而笔者以为，用数学，更高的境界是用其“神”，所谓“神”，是指蕴藏在数学中的各种思维方法。思维素质的高低，直接决定一个人分析、处理问题能力的优劣。所以在数学教学中，如何结合各种数学思想，对学生进行思维方法的养成性教育，提高他们的思维素质，是一个十分重要的课题。
数学，是各种理性思维方法的集散地，数学中的各种思维方法，渗透在人类社会活动的各个领域。在对学生进行某种数学思想方法教学时，若能拓宽视野，把纯理论的数学思想方法与社会实践中相应的研究处理问题的方式方法联系起来，并在“思维方法”这一层面进行比照，毫无疑问能让学生留下更深刻的印象，这对他们思维素质的提高有极大的帮助。
分析解决数学问题的过程，是一个复杂的思维活动过程，除了对记忆中各种定理、公式、技巧的调用，在具体解题中更要求能因题制宜，灵活运用各种数学思想方法分析问题，以寻求最佳的解题思路和解题过程。这就好比是作战，一个指挥官必须洞察敌情，审时度势，灵活运用各种战法、战术，谋定而后动，方能克敌致胜。
其实不难发现，军事领域的许多兵法谋略，都能在数学思维中找到与之相应的思想方法。高中数学新教材第一册（上）第123页上，有这样一道数列习题：
习题10：“已知数列是等差数列，Sn是其前n项的和，
(1)求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列。(2)设K∈N＊，SK，S2K-SK，S3K-SZK成等差数列吗？”
就这道习题的解题思路和方法，来品味一下其中的“兵家谋略”，也别有一翻意趣。
一、基本量思想与擒贼擒王
下面来看习题10第（1）题的一种证法：
证法一：设等差数列的首项为a1，公差为d。
则
∴S12－S6＝6a1＋51d，S18－S12＝6a1＋87d
∵（S12－S6）－S6＝（S18－S12）－（S12－S6）＝36d
∴S6，（S12－S6），（S18－S12）成等差。
证法一的思路，运用了数学思想中的基本量思想，紧紧抓住等差数列中首项a1与公差d两个基本量，把S6，（S12-S6），（S18-S12）都用a1和d表示，从而推证结论。数学中的基本量思想，是一种抓住问题核心、关键来分析、研究问题的数学思想，这种数学思想正与三十六计中擒贼擒王的“摧其坚，夺其魁，以解其体”的兵法谋略在思维方法上极为类似。
二、化归思想与以退为进
以退为进，克敌致胜的战例，在战争史上屡见不鲜。在军事上，战略撤退往往是为了寻求更好的战机，为更好的前进作准备。而在数学思想中，化归思想也常常体现出这种以退为进的思维策略。
下面给出习题10第（1）题的第二种证明：
证法二：∵是等差数列
∴可令f(n)＝Sn＝an2＋bn （a，b∈R，n∈N+）
则f(6)＝36a+6b
f(12)－f(6)＝144a+12b－36a－6b＝108a＋6b
f(18)－f(12)＝324a+18b－144a－12b＝180a＋6b
∴[f(18)－f(12)]－[f(12)－f(6)]＝[f(12)－f(6)]－f(6)＝72a
∴f(6)，f(12)－f(6)，f(18)－f(12)成等差列
即S6，S12－S6，S18－S12成等差列
上述证法中，利用成等差列的充要条件是Sn＝an2＋bn，把数列问题化归为函数问题来解决。数列的本质是一种特殊的函数，是函数知识的延伸，证法二的思路是把问题从数列的背景退回到函数的大本营，进而以函数思想方法推证结论。
三、整体思想与李代桃僵
下面我们再来看习题10第（1）题的第三种证法：
证法三：设公差为d
则S6＝a1＋a2＋a3+ a4+ a5+ a6
S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝（a1＋6d）＋（a2＋6d）
＋…＋（a6＋6d）＝（a1＋a2＋…＋a6）＋36d
S18－S12＝a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝（a7＋6d）＋（a8＋6d）
＋…＋（a12＋6d）＝（a7＋a8＋…＋a12）＋36d
∴（S18－S12）－（S12－S6）＝（S12－S6）－S6＝36d
∴S6，（S12－S6），（S18－S12）成等差。
不难看出，证法三的思路中，把三个“片段”和（a1＋a2＋…＋a6），（a7＋a8＋…＋a12），（a13＋a14＋…＋a18）分别看作一个整体来观察它们之间的结构关系，使问题得证。
在研究数学问题时，有时要有意识地放大考察问题的“视角”，将所需解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，并注意已知条件及待求待证结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节和转化，使问题获解，这种从整体观点出发，研究问题的思维方法，叫做整体思想。
李代桃僵也是三十六计中的一计，原文为：“势必有损，损阴以益阳。”这意思是说，当局势发展到必然要有损失的时候，要舍得局部的损失，以换取全局的优势。
乍一看，“李代桃僵”的军事谋略与数学中的整体思想好象没多大联系，但仔细品味就会发现，这两者在思维方法这一点上，是十分相似的，那就是统筹全局，整体考虑。“李代桃僵”谋略的一个经典例子，便是田忌赛马，其“以下驷敌上驷，以上驷敌中驷，以中驷敌下驷”的策略，正体现了分析处理问题时，应把握全局，整体考虑这样一种思维理念。
上面就习题10第（1）题三种不同解法所运用的数学思想，在思维方法这一层面上与相应的军事谋略作了比照，事实上，还有许多的数学思想方法都与兵家谋略有着密切的联系。不妨再看一个例子。
四、转移思想与反客为主
例：已知椭圆（a>b>o）有一内接三解形ABC，
它的一边BC与长轴重合，A在椭圆上运动（如图），求△ABC重心轨迹。
解：如图:设P(x，y)，A(x1，y1)
则由定比分点坐标公式可得
x1＝3X
y1＝3y
∵点A（x1，y1）在椭圆上，∴
∴ 即为P点轨迹
这一例题若直接寻求三角形ABC重心P的轨迹较为困难，但与P点相关的点A在已知椭圆上运动，所以运用数学中的转移思想进行变量转移，通过把P点转移到A点的解题思路，使问题迎刃而解。其中的妙处正可以三十六计中反客为主一计来描述：“乘隙插足，扼其主机，渐之进也。”
军事上的兵法谋略与数学思想在思维方法上相类似的还有许多，如兵法中的“避实击虚”，其谋略思想就与数学中正难则反的“逆向思维”相应。又如兵法中“分而治之，各个击破”的谋略，又和数学中的“分类讨论”思想在解决问题的方略上完全类似。
事实上，数学中蕴含的理性思维的方法与模式，具有高屋建瓴，统领一切的气势，它提供了一种思维合理性的标准。也正因如此，数学思维方法渗透在人类社会活动的各个领域。
北大数学所所长张恭庆院士认为：数学，作为一种文化，对全社会的成员起着潜移默化的作用。一个民族数学修养的高低，对这个民族的文明有很大影响。
笔者认为，数学修养的精髓，就是数学思维方法的修养，善于运用数学中蕴含的理性思维方法来分析解决社会实践中的各种问题，是当今社会一个有用之才必须具备的思维素质。在我们现在的数学教学中，应着意对学生思维素质的培养，必须把眼光放得更远些，除了培养学生对数学基本知识、技能的实际应用能力，更应注意向学生展示数学思维方法在社会实践中分析处理问题的作用，让学生意识到数学中蕴含的各思维方法，在人类社会活动的各个领域无处不用。同时也让学生真正领悟到，用数学，不仅要善用其理论知识之“形”，更要善用其思维方法之“神”。
二OO三年三月

借 题 发 挥 由 图 延 展
---- 一课本习题的渐进式教学构想
德清县第一中学 何蓉勇
分析近几年的高考试题，发现有许多“源于课本，且又高于课本”的再生题，如2002年高考文科第22题，就是《立体几何》第65页的一个动手题的再生。所以“以本为本，以纲为纲”是高中数学教学中必须遵循的一个重要原则。培养学生的能力，必须从课本入手，引导学生认真阅读课本，理解课本，联想课本，进而养成学生自觉钻研课本的习惯，逐步学会抓住教材中心和思路，培养学生自学和探究的能力。现行高中的新教材非常重视学生这一方面的能力培养，研究性课程的设置目的正在于此，故要重过程、轻结论。
教材中有许多重要的例题和习题，起着十分重要的示范和训练作用，如何更好地发挥例题和习题的这种作用，教师必须在教学中加以深层的思考和合理的安排。根据教学内容的螺旋式上升的结构特点和循序渐进的原则，对某些例题和习题作一些适当处理是必不可少的，这不仅可以激发学生的学习兴趣，而且可以开拓学生的解题思路，培养学生的分析问题和解决问题的能力。本文就课本中的一个习题，谈谈自己的的一些教学构想。
课本习题：高中数学第一册（上）第63页，练习1：判断函数的奇偶性。
教学构想的初步分析：作为一个函数奇偶性的判断题，只需由定义判断可得函数为奇函数，但作为一个较特殊的函数，其在单调性上有一些特别之处，且在基本不等式应用方面又是一个重要载体，故教学中加以适当推广，在遵循高中数学知识的循序渐进的原则和直观化原则的基础上，分高一，高二，高三三个阶段作如下安排。
一.高一阶段：借题发挥，形成直观。
此题所处位置是高一函数部分的函数性质内，高一函数中函数性质主要在于定义域、值域、单调性、奇偶性等方面，故可发挥这一函数在这几方面的特殊性，在函数性质习题课中，加入下列例题和总结分析。
[例1]：求证函数在上是单调递减函数。
[例2]：求证函数在上是单调递增函数。
下以例1为例加以证明，例2的证明方法与例1类似略去，同时本文以下举例中的单调性证明均省略，方法同此。
证：设，且<，则=-（）=（）+ =， 由 0<<≤1, >1，即<0
=>0，即> , 由此得在上是单调递减函数。
通过例1，例2的证明可得函数在的单调性：在上是减函数，在上是增函数，故在时函数有极小值2。由函数的奇偶性可得，的图象关于原点对称，所以函数在上是减函数，在上是增函数，故在时函数有极大值。同时易得函数在>0处越靠近y轴，则函数值趋向于，在<0处越靠近y轴，则函数值趋向于；并且当时，，所以函数在时，函数值yx，即图象往右 y y=x
与y=x直线越来越接近；反之也同样可得 2
在时,函数值yx，即图象往左y=x 直线越来
越接近。通过以上分析，可得到 的大致的 -1 o 1 x
图象（如图1）,通过给出函数的图形，使学生形成一定 -2
的直观，可通过记忆图象，记住函数的单调 (图1)
性和极值分布的情况，为将来利用函数的单调性解题作一个铺垫。
二.高二阶段：拓展延伸，初试牛刀。
高二不等式一章中，基本不等式的应用是其中的一个重点，为了与本文在高一所学知识的联系，可设置以下两例：
[例3]：求函数（x>0）的最小值。
[例4]：求函数（x<0）的最大值。
例3的解法可直接运用基本不等式得到，当x=1时，y有最小值为2，下看例4的解法；
解：=≤ ,当且仅当即时取得最值。此两例的结果与高一中以单调性得出的极值相同，可再次与所得的图象相联系，达到强化记忆的目的，并在此基础上加以推广。
函数（>0,>0）在时有极小值，在时有极大值，以上可由基本不等式得到。其单调性为：在 y
上是单调递增，在上是单调递减，在 y=
上是单调递减，在上是单调递增，以上可由单 o x
调性定义证得。在时，函数值y，即图象
往右与y=直线越来越接近；在时，函数值y，
即图象往左y=直线越来越接近。故可得其图象（如图2）， （图2）
比较两者可知图1是图2的一个特例，只要由基本不等式得到x为何值时取到极值，而这x的值也是单调性的分界点。对此的应用可给出以下一例，使学生初步尝试用函数的单调性求最值问题。
[例5]：求的最小值。
分析：此题易有以下错解：
解：显然>0，≥，得最小值。
实际上要使当且仅当即，而0≤≤1，所以此最小值取不到。当基本不等式不能施用时，该怎么办？我们可以结合（>0,>0）的图象用单调性来解。
解：设，则原函数即（0<≤1），结合图象可得在上是递减函数（证明此略），所以当时，
三．高三阶段：构建体系，柳暗花明。
为把6月6、7的高考作为收获的季节，在高三复习过程中，把所学知识作系统化整理，构建科学的知识体系，往往可以事半功倍，如何把本文中高一、高二阶段的内容系统化，构建合理的知识体系，我们先看以下一例。
[例6]：设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为（<1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？若则怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
解：设画面的高为xcm，则宽为cm，于是有=4840，设纸张的面积为S，有S= =，将代入上式得 S=5000+，当，即，此时高x=，宽时，S取得最小值；若，则,此时考察函数，设，则，，有函数在此区间上是减函数，所以当即，此时高x=，宽时，S有最小值。通过上例的讲解，将形如（>0,>0）的最值问题的求法系统化，为解决类似问题作好理论化基础。最后本文以下例作为结尾。
[例7]：求函数（m>1）的最小值。
分析：此题若按常规化为后用均值不等式求最值，则由于等号不成立而不能奏效，可谓“山重水复疑无路”，但我们可以用函数上是增函数，所以当x=0时，y取得最小值，这正是“柳暗花明又一村”。
一道值得进行研究性学习的好例题
安吉高级中学　鲍利人　　３１３３００　　
研究性学习，是新的课程标准提出的一个新的教学内容．在研究性学习中培养学生研究问题的习惯，学会发现知识的方法．变要我学为我要学，对于培养学生的学习兴趣，提高学生的自学能力都很有帮助．教师应当为学生创设探究性情境，以激发学生探究的欲望，同时还要提供有结构的材料．在新教材的教学中，只要我们善于发现，就能挖掘出很多值得研究的问题．让学生在积极　主动的学习环境中，全神贯注、饶有兴趣地理解、应用探索、创新知识．下面是新教材中的一个例题，若我们仔细研究，引申深化，就可以将其设计成为一个极好的研究性素材．
新教材第117页例4 已知数列的通项公式为 an＝pn+q，其中pq是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
【问题分析】本题的原意似乎是通过对这个数列是否为等差数列的判断，让学生更好地掌握等差数列的定义，以及判断或证明一个等差数列的基本方法．但在解完此题后细细咀嚼品味，再结合教材在解题后的一段说明，就可以从中体会出教材所传递给我们的一条重要信息＿＿＿＿等差数列(公差不为0)的通项公式作为一次函数的函数本质特征．若我们能以此题为突破口，引导学生深入探索研究，就能帮助学生很好地从函数的观点去理解数列．
【类比引申】思考1：等比数列的通项公式又是怎样的函数？
学生很快就发现，等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝qn(q≠0)是关于n底为q的指数函数，通常可以表示为an＝Ａqn的形式．
【学生研究问题】
问题１　若以下an与Sn分别表示数列的通项公式和前n项和公式，试就其公式判断各数列是否为等差数列或等比数列：
（１）an＝2a1＋dn（d为常数）；　　　 an＝na1＋a2
（2）an＝a1·qn+1（q为常数，且q≠0）；　
（３）Sn＝n2＋2n，　Sn＝n2＋2n＋１；
（４）Sn＝2n ， Sn＝2n－1， Sn＝2n+1－2
对其中（１）（2）题，有一部分学生采用定义来进行判断，但也有一部分学生对他们的怪异结构感到困惑．经过讨论、研究分析，大家都发现这些数列全部都是一些特殊的等差或等比数列，得到如下研究结论：
（１）an＝2a1＋dn（d为常数）；令n＝１， a1　＝－d　　
an＝na1＋a2　　　　　　　分别令n＝１，2则可得an＝0
（2）an＝a1qn+1（q为常数，且q≠0）；令n＝１，可得q＝±１　
至于（３）（４）题，有少部分的学生经历了挫折，但通过集体的力量，用统一的方法an＝，确定它们的通项公式，很快形成统一的正确的结果：（３）Sn＝n2＋2n，（等差数列）　Sn＝n2＋2n＋１；（非等差数列，但从第二项开始为等差数列）
（４）Sn＝2n （非等比数列，但从第二项开始为等比数列）， Sn＝2n－1，（等比数列） Sn＝2n+1－2（等比数列）
这时，有个别学生提出，完全可以撇开这些细节分析，直接利等差数列等比数列的函数特征，很快就可作出正确的判断： （１）an＝2a1＋dn（d为常数）若d＝0，则｛an｝为常数列，若d≠0，则an＝dn＋2a1为n的一次函数，是以d为公差的等差数列．所以综上所述，｛an｝是以d为公差的等差数列．（2）an＝a1qn+1（q为常数，且q≠0），an＝（a1q）·qn符合等比数列的通项公式an＝Ａqn的函数结构特征的函数结构特征，且公比为q．（３）Sn＝n2＋2n，　Sn＝n2＋2n＋１；根据等差数列前n项和公式的函数特征――常数项为0的关于n的二次函数，瞬间即可作出正确的判断．但是分析到这里便没有下文．于是我就问：能否根据等比数列前n项和公式的函数特征来判断第（４）个问呢？学生很快行动起来，着手分析等比数列前n项和公式的函数特征．我提示他们，应提取定量，着重分析自变量n的存在形式．经过大家的努力，得到：等比数列的前n项和公式为Sn＝ ＝·（1－qn）＝A·（1－qn） (其中A为常数，q≠1)
（４）Sn＝2n 显然不是， Sn＝2n－1＝－1×（1－2n）， Sn＝2n+1－2＝－2×（１－2n），符合等比数列Sn＝A·（1－qn）的函数结构特征，所以它们是等比数列．不仅如此，还可以进一步确定其主要元素．由Sn＝2n+1－2＝－2×（1－2n）＝·（1－qn）可知：－2＝ ，2＝q，进一步可知a1＝2．由上分析可以得到：
【深化拓展】思考2：等差数列等比数列的和公式又是怎样的函数？
分析一下他们的前n项和公式．等差数列(d≠0)：Sn＝n a1+n(n－1)＝ n2+( a1－)n＝An2+Bn是关于n的二次函数，且常数项为０，它的图象是经过原点的二次函数图象上的一些孤立的点；等比数列：Sn＝·（1－qn）＝A·（1－qn） (其中A为常数，q≠1)．这样，我们对给出通项公式或前n项和公式的任一个数列，只需对照等差等比数列的函数结构特征进行判断即可．
【学生应用研究结果】
问题2　（１）等差数列｛an｝中，a 1>0，Sn为前n项和，且S3=S9，则当Sn取最大值时，求n的值．
（2）等差数列｛an｝中， Sn为前n项和，且S12>0，S13<0，则当n取何值时，Sn取最大？
分析：（１）由于Sn是关于n的二次函数，且a 1>0，可知，d<0， Sn成为开口向下的抛物线，又由S3=S9，知其对称轴n==6，如图二，故当n=6时，Sn取最大值．
（2）此题可以由S12>0，S13<0得：a1+a12>0，a1+a13<0，即a6+a7>0，2a7<0，从而a6>－a7>0，
故｛an｝的正负分界处位于a6、a7之间，所
以S6最大．
若利用Sn的二次函数特征，并结合它的图象，则可知对称轴n=（6,）, 如图三，又因为nN，所以当n＝6时，Sn取最大值．
问题3　等差数列｛an｝中， Sn为前n项和，且Sm=Sn，求Sm＋n．
分析：如图四，由Sm=Sn可知对称轴为x=，所以x0=m+n，从而Sm＋n＝0．
问题4　等差数列｛an｝中，已知am=n， an=m（m≠n），求am＋n．
分析：因为等差数列的通项公式是一次函数，图象是直线型的，又am=n， an=m，所以点
（m,n）、（n,m）都在此直线上，而点（m,n）、（n,m）是关于直线y=x对称的．故该等差数列的图象是关于y=x对称的直线，如图五所示，其中点为(,),故p点的坐标为（m+n,0）,即am+n=0．另外，我们还可以得到：直线的斜率k=-1，即等差数列｛an｝的公差d=－1．
问题５　等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a1>0,若存在自然数m３，使得am=Sm,则n>m时，试比较an与Sn大小．
分析：令am=Sm,则m2+(a1－)m－a1+d=0．令f(m)= m2+(a1－)m－a1+d,若d>0,则由存在m3使am=Sm,即f(m)=0,注意到a1=S1,即f(1)=0,
所以f(3)0,即2a1+d<0,但a1>0,d>0,故这不可能，所以只有d<0.
所以Sn=m2+(a1－)n所表示的图象是过原点且开口向下的抛物线，设为C1．an=a1+ (n－1)d=dn+(a1－d)表示单调下降的直线，设为C2．又知C1与C2交于A(1,a1),B(m,am)二点，且知A点在第一象限，故C1与C2只交于如图七的情形，易知当n>m时，Sn教师小结　新教材将数列放在函数之后，其目的和用意是显而易见的．通过对这道课本例题的深入探索和研究性学习，不仅很好地向学生展示了数列的函数本质特征，而且使学生很好地掌握了利用函数及其图象解决有关数列问题的方法．更重要的是，通过对这个问题的研究和探索，培养了学生研究问题的习惯、参与研究探索的体验，以及研究中严谨求实的科学态度，达到了研究性学习的目的．
变式探究——从基础到能力的跨越
长兴一中 高晓英
全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)第一册(下)第五章平面向量有这样一道例题:如图, 、不共线, =t(t∈R),用、表示。
这道题并不难,大多数学生可能会这样
考虑的: =+,故只须求出如何
用、表示即可,但含字母P,有困
难。根据已知=t，而可用-
表示,则用、表示易得。这种方法我们称为直接法。
但作为教师,对于这道题的认识如果也和学生一样,仅仅停留在这个层面,不免有些遗憾。其实这道题如果我们能善于运用变式,不仅是引导学生复习巩固向量的加减运算和实数与向量的积的运算及平面向量基本定理,并使学生掌握处理有关用两个向量的线性组合来表示第三个向量这类问题的方法和技巧的好题,还能为后面的线段的定比分点的学习打下基础,更是培养学生发散思维,提高学习能力的好题。
故在肯定学生解法的同时,按事先设计一步步引导学生处理象这类问题的技巧。因为直接解题有时毕竟有困难。
一、开放思路，激活情趣，提高解题能力。
除以上方法外，这类题还有其他的解法吗？这时灵活的学生可能会想到根据已知条件=t，将、用、或表示。显然=-，=-，则-=t(-)，这时只须化去左边的即可。通过向量的加减运算法则及实数与向量的积的运算法则可得=+t-t=（1-t）+t。
这时应比较一下两种解法的优劣，并由此归纳指出计算有关向量线性组合的两大基本方法：直接法和间接法。
至此,教师似乎已将题讲透,没什么可讲了,其实不然。
二、类比联想,积极探究,培养联想迁移能力。
如将题目改为:如图、不共线,
=t(t∈R)用、表示。你会计算吗？
先引导学生考虑能否用直接法模仿教材上的例题的求解思路，这时有
=+=+t=+t(-)
再观察此题与课本上的例题的异同，例题只在等式的左边有而后面没有，但此题左右两边均有，即=+t(-),怎么办？这时的关键是如何化去右边的，可引导学生参照例题的间接解法中是如何将移到右边的，则结论易得。
根据已知=t而=-，=-，则-=t（-）
∴+t=+t ∵t∈R且显然t≠-1
则=+
告诉学生这是后面将学的线段的定比分点公式的向量式。特别地t=1时点P为AB的中点。
此时=+=（+）
然后要求学生思考与用平行四边形法则求两个向量和的联系。
这样通过此题的变式训练，我们把用两个向量的线性组合来表示第三个向量的常用技巧介绍给了学生，学生不仅学会了计算，而且为后面的线段的定比分点的学习打下了基础，达到了深化教学内容的目的。
三、逆向思维，巩固基础知识，培养发散思维。
如将题目改为：设、不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且=（1-t）+t（t∈R）。求证：A、B、P三点共线。
认真观察此题可知，本题与例题有共同处也有不同处，本题的条件=（1-t）+t（t∈R）与例题的结论相同，而所求证的结论A、B、P三点共线好像例题中没有，其实不然。只要稍加分析我们即可知由例题已知=t（t∈R）可得与共线，即A、B、P三点共线。故此题其实是例题的逆命题，则此题易证。
要证A、B、P三点共线，只须证与或与或与共线即可。由已知可得
-  =-t+t = t（-）,即=t（t∈R），再根据向量共线的充要条件,则易知与共线，故题目可证。
通过逆向思维我们不仅很快地解决了问题，而且有利于基础知识的巩固和贯通。
四、推陈出新，优化思维，融会贯通知识。
题目如改为：已知O为原点，A、B、P为平面内三点，求证：A、B、P三点在同一条直线上的充要条件是=α+β，且α，β∈R，α+β=1。
此题似乎和前三题没有关系，其实不然。只要对前面的条件、结论稍加分析研究，我们就可找到它们的关系。特别是第二次变式，则题目易证。解答本题的思维步骤是运用向量共线的充要条件，这是证明此题的关键。
证充分性只须由=α+β出发结合条件α+β=1则有=（1-β）+β
（β∈R），故 - =β,可得=β （β∈R）。则易得A、B、P三点在同一条直线上。
证必要性可仿例题，若A、B、P三点在同一条直线上，则与共线，于是存在实数λ，使=λ，再结合图形，利用向量的三角形法则进行转化。
∵=-， =-，
∴-=λ（-）
∴=λ+（1-λ）
令λ=β，1-λ=α，则有α+β=（1-λ）+λ=1
∴=α+β且α，β∈R，α+β=1
对学有余力的同学题目再改为：如图，在△ABC中，
AB上有一点P（点P不与点A、B重合），设=，
=, =x+y(x≠0,y≠0,x、y∈R)
求证：x+y=1且=
通过此题的训练，我们不仅巩固了前面所学的实数与向量的积、向量共线的充要条件及平面向量基本定理等基础知识，而且将基础知识推陈出新，优化了学生思维，融会贯通了知
识。使学生的思维能力获得高层次的发展。
五、迁移联想，思维延伸，点燃创新思维的火花。
通过上面的变式训练，学生对平面向量的基本定理、两个向量共线的充要条件及运算律的理解都有了深刻的体会，为了使学生的思维能力再获提高，培养创新思维能力和发散思维能力。这时可布置题目如下：
设、、为非零向量，其中任一向量不共线，已知+与共线，且+与共线，试问与+是否共线？证明你的结论。
此题与前面的变式的区别是没有可直接证明的结论，这就要求学生自己根据有关信息和相关知识分析讨论，得到可能的结论，再证明自己的结论是正确的，常规题变成了一道开放题。这时可要求学生放开想像的翅膀，广泛联想和思考，联系有关知识猜想结论并证明自己的结论。学生能够利用联想、直觉、试验等各种思维方法得出结论，可充分发挥学生的主体作用，使学生成为问题的探索者，信息的反馈者，目标的实现者和成功者。
总之，在解题教学中，我们不仅要重视学生的阅读、模仿、理解能力的培养，还要重视联想、迁移能力的培养，更要重视思维能力的培养。在解题时要引导学生仔细分析题目的条件和关系，多角度联想，寻求一题多解、一题巧解，优化思维。更要求学生在思维过程中不要仅限于了解，而要悟得明白，悟明道理，还要进行对数学思想方法的提炼与题型的归类，并且在解题后要学会从不同的角度认识问题。比如其形式可否变换？逆命题能否成立？条件可减弱吗？有无进一步的结论，考察了哪些知识点和数学思想方法？等。解题后的反思，有助于巩固基础，以及独立分析问题、解决问题能力的形成。
【参考书目】
1、中学数学教与学 2002、9
2、点击名师 华东师范大学出版社
2003-3-24

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