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二、均分问题除序法
1）平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列.
2）在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组.可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法.
【题干】（1）个相同的小球，任意放入个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
（2）计算的正整数解有多少组；
（3）计算的非负整数解有多少组．
【题干】有本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成本、本、本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人本，一人本，一人本；
（3）分成每组都是本的三组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人本.
【题干】本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
【题干】本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
【题干】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
【题干】将位志愿者分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种.（用数字作答）
【题干】用这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数次序一定，有多少个？
（2）若偶数次序一定，奇数的次序也一定的有多少个？
【题干】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
【题干】甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【题干】某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿，再从所一般大学中选所填在第二档次的个志愿栏内，其中校必选，且在前，问此考生共有________种不同的填表方法（用数字作答）．
三、相离问题插空法（当需排的元素不能相邻时）
解决一些不相邻问题时，可以先排一些无条件元素然后插入其余必须相离元素，使问题得以解决，注意分步相乘法则.
【题干】某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为________.
【题干】一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【题干】某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为________.（用数字作答）
【题干】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【题干】一个晚会的节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
【题干】人排一个天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一个人，值日表排法的总数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】从个自然数中任取个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．
【题干】某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）
A． B． C． D．
【题干】三个人坐在一排个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为__________．
【题干】要排一张有个歌唱节目和个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有_________种．
【题干】马路上有编号为 ……， 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_________种． （用数字作答）
【题干】为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）
【题干】一排个座位有个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有_________种不同的坐法．
【题干】某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）
A． B． C． D．
【题干】在一个含有个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
【题干】某人连续射击次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
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二、均分问题除序法
1）平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列.
2）在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组.可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法.
【题干】（1）个相同的小球，任意放入个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
（2）计算的正整数解有多少组；
（3）计算的非负整数解有多少组．
【答案】（1）.（2）.（3）.
【解析】（1）法一　先将其中个相同的小球放入个盒子中，有种放法；再将其余个相同的小球放入个不同的盒子中，有以下种情况：
① 某一个盒子放个小球，就可从这个不同的盒子中任选一个放入这个小球，有种不同的放法；② 这个小球分别放入其中的个盒子中，就相当于从个不同的盒子中任选个盒子，分别放入这个相同的小球，有种不同放法；③ 这个小球中有两个小球放在个盒子中，另个小球放在另一个盒子中，从这个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有种不同的方法.综上可知，满足题设条件的放法为（种）.
法二“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球”，若用“挡板法”，可易得.
（2）可看做将个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法.转化为个，个的排列，要求不排在两端且不相邻，共有种排法，因此方程有组不同的正整数解；
（3）可看做将个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为个，个的排列，共有种排法，因此方程有组不同的非负整数解.
【难度】***
【题干】有本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成本、本、本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人本，一人本，一人本；
（3）分成每组都是本的三组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人本.
【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.
【解析】（1）分三步：先选一本有种选法；再从余下的本中选本有种选法；对于余下的三本全选有种选法，由分步乘法计数原理知有种选法.
（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有种选法.
（3）先分三步，则应是种选法，但是这里面出现了重复，不妨记本书为分别、、、、、，若第一步取了（、、），则种分法中还有（、、），（、、）、（、、）、（、、）、（、、）共有种情况，而且这种情况仅是、、的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有（种）.
（4）在问题（3）的基础上再分配，故分配方式有（种）.
【难度】***
【题干】本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
【答案】.
【解析】本不同的书平均分成三堆，有种分堆方法.
【难度】*
【题干】本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
【答案】.
【解析】第一步，从本书中取出本作为一组，有种取法；第二步，将剩余两本分组，是一个平均分组问题，有种分法.由分步乘法计数原理，共有（种）.
【难度】**
【题干】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
【答案】.
【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故所求的排法种数就是所有排法的，即种.
【难度】***
【题干】将位志愿者分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种.（用数字作答）
【答案】.
【解析】根据题意，先将人按分成组，有种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有种放法，则共有种放法.
【难度】**
【题干】用这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数次序一定，有多少个？
（2）若偶数次序一定，奇数的次序也一定的有多少个？
【答案】（1）；（2）
【解析】略
【难度】**
【题干】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
【答案】
【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率
相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为．
【难度】**
【题干】甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A；
【解析】A；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有种，其中甲要排在三天中的，第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有种安排方法．
【难度】***
【题干】某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿，再从所一般大学中选所填在第二档次的个志愿栏内，其中校必选，且在前，问此考生共有________种不同的填表方法（用数字作答）．
【答案】
【解析】第一档次的志愿填法有种；第二档次的学校除外另一个有种选法
，排顺序有种（因为在前和在后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有种．
【难度】***
三、相离问题插空法（当需排的元素不能相邻时）
解决一些不相邻问题时，可以先排一些无条件元素然后插入其余必须相离元素，使问题得以解决，注意分步相乘法则.
【题干】某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为________.
【答案】.
【解析】因为增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，所以可以应用插空法来解，原来的个节目形成个空，新增的两个节目插到个空中，共有.
【难度】**
【题干】一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C.
【解析】首先当两个节目放在相邻的位置，有种结果，当两个节目不相邻，从原来形成的五个空中选两个空排列，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果.
【难度】**
【题干】某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置就是将空位分成四部分，五个空位四分只有，，，.空位无差别，只需要空位分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列，根据分步计数可得共有
【难度】**
【题干】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为________.（用数字作答）
【答案】.
【解析】本题相当于把两种无机染料和两种添加剂先任意排列，再把三种有机染料插入个空中的三个当中，故所求的结果为.
【难度】***
【题干】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B.
【解析】（用排除法）七人并排成一行，总的排法有种，其中甲、乙两人相邻的排法有种.因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：.
【难度】**
【题干】一个晚会的节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
【答案】.
【解析】分两步进行，第一步排个相声和个独唱共有种，第二步将舞蹈插入第一步排好的个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有种.
【难度】*
【题干】人排一个天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一个人，值日表排法的总数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】根据分步计数原理，第一天可以是个人中的任意一个，即种可能；第二天除了第一天的那个人另个人任意一个就行，即种可能；第三天除了第二天的那个人另个人任意一个就行，即种可能；第四天同上，种可能；第五天同上，种可能；所以的排法总数分五步：.
【难度】***
【题干】从个自然数中任取个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．
【答案】
【解析】把问题转化为个相同的黑球与个相同的白球，其中黑球不相邻的排列问题，也就是从个白球形成的个空档中选择个放黑球，共有种不同的取法．
【难度】***
【题干】某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．
【难度】***
【题干】三个人坐在一排个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为__________．
【答案】；
【解析】将三个人插入个空位中间的四个空档中，共有种．
【难度】**
【题干】要排一张有个歌唱节目和个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有_________种．
【答案】
【解析】个歌唱节目排列有种，歌唱节目的空隙及两端共个位置排入个舞蹈节
目，有种方法．因此，由计数原理总方法有种．
【难度】***
【题干】马路上有编号为 ……， 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_________种． （用数字作答）
【答案】；
【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，因而问题为在盏亮着的灯形成的不包含两端的个空中选出个空放置熄灭的灯．有种．
【难度】***
【题干】为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）
【答案】；
【解析】先将无机染料和添加剂全排，有种，包括两端共个空，再将种有机染料插入空中，有种，故总要试验的次数为．
【难度】***
【题干】一排个座位有个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有_________种不同的坐法．
【答案】；
【解析】六个人全排后，将空位插入六个人之间的五个空档中，共种坐法．
【难度】***
【题干】某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】只有甲参加时，有种；同理，只有乙参加时也有种；甲、乙都参加时，先从剩下的人中选个排好，然后将甲、乙两人插入个空中，故共有种．因此不同发言顺序的种数为．
【难度】**
【题干】在一个含有个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
【答案】；
【解析】相当于在一个有个位置的节目单中，有序插入个歌唱节目，还剩余个位置，由于剩余的个节目的相对位置固定，故此时个节目的位置确定．故所有的排法数为．
【难度】**
【题干】某人连续射击次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
【答案】；
【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有种不同的结果．
【难度】**
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