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● 解题方法总结和题型归类
一、离散型随机变量及其分布列
的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离型随机变量．
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率，，…列表表示：
… …
… …
我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．
【题干】抛掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）．
A. 出现正面的次数
B. 出现正面或反面的次数
C. 掷硬币的次数
D. 出现正、反面次数之和
【答案】A.
【解析】抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为或.
【难度】*
【题干】如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是（ ）．
A. 取每个可能值的概率是非负实数
B. 取所有可能值的概率之和为1
C. 取某个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【答案】D.
【解析】根据离散型随机变量的分布列的性质，每一个变量对应的概率都非负，所有变量对应的概率之和是，每一个变量对应的事件是互斥事件，取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和，得到A，B，C三个说法都正确.
【难度】*
【题干】已知随机变量X的分布列为：，，...，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】.
【难度】*
【题干】袋中有大小相同的只钢球，分别标有，，，，五个号码，任意抽取个球，设两个球号码之和为，则的所有可能取值个数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】的可能取值为，，，，，，.
【难度】*
【题干】设某运动员投篮投中的概率为，则一次投篮时投中次数的分布列是________．
【答案】
【解析】此分布列为两点分布列．
【难度】*
【题干】抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A. 一颗是点，一颗是点
B. 两颗都是点
C. 两颗都是点
D. 一颗是点，一颗是点或两颗都是点
【答案】D.
【解析】抛掷两颗骰子，所得点数之和为的情况有：一颗是，一颗是或两颗都是两种情况.
【难度】*
【题干】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）一袋中装有只同样大小的白球，编号为，，，，.现从该袋内随机取出只球，被取出的球的最大号码数；
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数．
【答案】（1），，；（2），….
【解析】（1）可取，，.，表示取出的个球的编号为，，；，表示取出的个球的编号为，，或，，或，，；，表示取出的个球的编号为，，或，，或，，或，，或，，.
（2）可取，…，，表示被呼唤次，其中，，…
【难度】**
【题干】已知随机变量的分布列，分别求出随机变量，的分布列．
【答案】
【解析】：由于不同的的取值可得到不同的，虽然随机变量的数值已发生了变化但其相应的概率并不发生变化，故的分布列为：
：对于的不同取值，与，，分别取相同的值与，即取时，其概率应是取与的概率之和，取时，其概率应是取与的概率之和，故的分布列为：
【难度】**
【题干】随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】因为，所以，
所以，因为.
【难度】*
【题干】随机变量的分布列，，，，为常数，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】因为，，，，所以，所以，.
【难度】**
【题干】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得分，取出黄球得分，取出绿球得分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列，并求出所得分数不为的概率．
【答案】
，.
【解析】设黄球的个数为，由题意知绿球个数为，红球个数为，盒中球的总数为，，，，所以，，.所以从该盒中随机取出一球所得分数的分布列为：
【难度】***
【题干】甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求的值；
（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得或，又因为，所以.
（2）依题意知的所有可能取值为，，，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，，，则随机变量的分布列为：
【难度】***
【题干】一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】设二级品有个，所以一级品有个，三级品有，总数为个，所以分布列为：
【难度】*
【题干】如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学：
（1）求这两名同学的植树总棵数的分布列；
（2）每植一棵树可获元，求这两名同学获得钱数的数学期望．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是，这两名同学植树总棵数的取值分别为，，，，，，，，，，则随机变量的分布列是：
（2）由（1）知，设这名同学获得钱数为元，则，则.
【难度】**
【题干】某公司有万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利；一旦失败，一年后将丧失全部资金的.表格中是过去例类似项目开发的实施结果，则该公司一年后估计可获收益的期望是________．
投资成功 投资失败
次 次
【答案】.
【解析】设该公司一年后估计可获得的钱数为元，则随机变量的取值分别为（元），（元）．由已知条件随机变量 的概率分布列是：
因此.
【难度】***
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● 解题方法总结和题型归类
一、离散型随机变量及其分布列
的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离型随机变量．
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率，，…列表表示：
… …
… …
我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．
【题干】抛掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）．
A. 出现正面的次数
B. 出现正面或反面的次数
C. 掷硬币的次数
D. 出现正、反面次数之和
【题干】如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是（ ）．
A. 取每个可能值的概率是非负实数
B. 取所有可能值的概率之和为1
C. 取某个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【题干】已知随机变量X的分布列为：，，...，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【题干】袋中有大小相同的只钢球，分别标有，，，，五个号码，任意抽取个球，设两个球号码之和为，则的所有可能取值个数为（ ）．
A. B. C. D.
【题干】设某运动员投篮投中的概率为，则一次投篮时投中次数的分布列是________．
【题干】抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A. 一颗是点，一颗是点
B. 两颗都是点
C. 两颗都是点
D. 一颗是点，一颗是点或两颗都是点
【题干】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）一袋中装有只同样大小的白球，编号为，，，，.现从该袋内随机取出只球，被取出的球的最大号码数；
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数．
【题干】已知随机变量的分布列，分别求出随机变量，的分布列．
【题干】随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【题干】随机变量的分布列，，，，为常数，则（ ）.
A. B. C. D.
【题干】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得分，取出黄球得分，取出绿球得分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列，并求出所得分数不为的概率．
【题干】甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求的值；
（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列．
【题干】一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则（ ）.
A. B. C. D.
【题干】如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学：
（1）求这两名同学的植树总棵数的分布列；
（2）每植一棵树可获元，求这两名同学获得钱数的数学期望．
【题干】某公司有万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利；一旦失败，一年后将丧失全部资金的.表格中是过去例类似项目开发的实施结果，则该公司一年后估计可获收益的期望是________．
投资成功 投资失败
次 次
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