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7.3.1离散型随机变量的数字特征
一、离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
二、离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，叫做这个离散型随机变量的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
【题干】、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是、、，队队员是、、，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员 队队员胜的概率 队队员负的概率
和
和
和
现按表中对阵方式出场胜队得分，负队得分，设队，队最后所得总分分别为，
（1）求，的分布列；（2）求，．
【题干】 （四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望．
【题干】下面说法中正确的是（ ）
A. 离散型随机变量的期望反映了取值的概率的平均值
B. 离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C. 离散型随机变量的期望)反映了取值的平均水平
D. 离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
【题干】同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A. B. C. D.
【题干】一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为（不计其它得分情况），则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【题干】已知的分布列为:
设，则的均值是（ ）
A. B. C. D.
【题干】某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（ ）
A. B. C. D.
【题干】甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为，，已知该题被甲或乙解出的概率为，甲乙两人同时解出该题的概率为，求：
（1），；
（2）解出该题的人数的分布列及．
【题干】编号，，的三位学生随意入座编号为，，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是．
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求随机变量的数学期望和方差．
【题干】某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球个，白球个，黑球个．每次任取一个，有放回地抽取次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记分；红、白、黑球各一个为二等奖，记分；否则没有奖，记分．
（1）求一次摸奖中一等奖的概率；
（2）求一次摸奖得分的分布列和期望．
【题干】某城市有甲、乙、丙个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求的分布及数学期望．
【题干】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券． 例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．
【题干】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手被淘汰的概率；
（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
（注：本小题结果可用分数表示）
【题干】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有人面试合格的概率；
（2）签约人数的分布列和数学期望．
【题干】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（2）求中奖人数的分布列及数学期望．
【题干】随机变量的分布列如下:
其中，，成等差数列．若，则的值是________．
【题干】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有个白球、个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金元；摸出两个红球可获得奖金元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：
（1）的概率分布；
（2）的期望．
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7.3.1离散型随机变量的数字特征
一、离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
二、离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，叫做这个离散型随机变量的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
【题干】、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是、、，队队员是、、，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员 队队员胜的概率 队队员负的概率
和
和
和
现按表中对阵方式出场胜队得分，负队得分，设队，队最后所得总分分别为，
（1）求，的分布列；（2）求，．
【答案】略.
【解析】（1），的可能取值分别为，，，.，，，.根据题意，所以，，，.
的分布列为
的分布列为
（2）；因为，
所以.
【难度】***
【点评】首先理解，的取值对应的事件的意义，再求，取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．
【题干】 （四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件，则.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
（2）可能取的值有，，，， .；；；；.甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为
所以.
【难度】***
【题干】下面说法中正确的是（ ）
A. 离散型随机变量的期望反映了取值的概率的平均值
B. 离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C. 离散型随机变量的期望)反映了取值的平均水平
D. 离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
【答案】C
【难度】*
【题干】同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】因为抛掷一次，正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率为，因为枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率是相同的，且各次试验中的事件是相互独立的，所以服从二项分布，所以.
【难度】*
【题干】一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为（不计其它得分情况），则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】由题意，投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为（、、），所以，所以，所以（当且仅当，时取等号），所以的最大值为.
【题干】已知的分布列为:
设，则的均值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】由已知得，因为，
所以.
【难度】**
【题干】某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由题意可知播种了粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即.而每粒需要再补种粒，补种的种子数记为，故，则.
【难度】**
【题干】甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为，，已知该题被甲或乙解出的概率为，甲乙两人同时解出该题的概率为，求：
（1），；
（2）解出该题的人数的分布列及．
【答案】（1）；.（2）略.
【解析】（1）设甲乙两人解出该数学题分别为事件和，则，，所以，即，解之得，.
（2），，.列出分布列：
所以.
【难度】**
【题干】编号，，的三位学生随意入座编号为，，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是．
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求随机变量的数学期望和方差．
【答案】（1）略；（2）；
【解析】（1）；，；；所以概率分布列为：
（2），.
【难度】**
【题干】某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球个，白球个，黑球个．每次任取一个，有放回地抽取次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记分；红、白、黑球各一个为二等奖，记分；否则没有奖，记分．
（1）求一次摸奖中一等奖的概率；
（2）求一次摸奖得分的分布列和期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）每次有放回地抽取，取到红球的概率为；取到白球的概率为，取到黑球的概率为；一次摸中一等奖的概率为.
（2）设表示一次摸奖的得分，则可能取值为，，.， ，，所以一次摸奖得分的分布列为：
期望为.
【难度】***
【题干】某城市有甲、乙、丙个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求的分布及数学期望．
【答案】略.
【解析】分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件，，.由已知，，相互独立，，，.客人游览的景点数的可能取值为，，，.客人没有游览的景点数的可能取值为，，，，所以的可能取值为，.，.所以的分布列为：
所以.
【难度】***
【题干】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券． 例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】设指针落在，，，则，，.（1）若返券金额不低于元，则指针落在或区域，所以.即消费元的顾客，返券金额不低于元的概率为.
（2）由题意得，该顾客可转动转盘次，随机变量的可能值为，，，，.；；；；.所以，随机变量的分布列为：
其数学期望.
【难度】***
【点评】本题的易错点是旋转两次，结果和是两个不同的结果.
【题干】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手被淘汰的概率；
（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
（注：本小题结果可用分数表示）
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为（，，），则，，.所以该选手被淘汰的概率.
（2）的可能值为，，.，，.所以的分布列为：
所以.
【难度】***
【题干】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有人面试合格的概率；
（2）签约人数的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）用，，分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意知，，相互独立，且，，至少有一人面试合格的概率是.
（2）的可能取值为，，，.，，，.所以的分布列是
故的期望.
【题干】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（2）求中奖人数的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为，，，那么，则三人都没中奖的概率为.
（2）的可能值为，，，，（，，，）.所以中奖人数的分布列为
.
【难度】***
【题干】随机变量的分布列如下:
其中，，成等差数列．若，则的值是________．
【答案】
【解析】因为，，成等差数列，所以，因为，.联立三式得，，，
所以.
【题干】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有个白球、个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金元；摸出两个红球可获得奖金元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：
（1）的概率分布；
（2）的期望．
【答案】（1）略；（2）.
【解析】（1）的所有可能的取值为，，，，.则的分布列为：
（2）由（1）得.
【难度】**
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