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7.4.2超几何分布
1）求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、
2）件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为
，为和中较小的一个．我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布.
3）超几何分布的期望与方差，．
【题干】某人可从一个内有张元，张元的袋子里任取张，求他获得钱数的期望值．
【题干】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题．规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，至少答对题才算合格．
（1）求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
【题干】从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，设随机变量表示所选人中女生的人数．
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望与方差；
（3）求“所选人中女生人数”的概率．
【题干】某次有人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定分及其以上为优秀.
（1）表格是这次考试成绩的频数分布表，求正整数，的值；
区间
人数
（2）现在要用分层抽样的方法从这人中抽取人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（3）在（2）中抽取的名学生中，要随机选取名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为，求的分布列与数学期望.
【题干】某班共有学生人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）请根据图中所给数据，求出的值；
（2）从成绩在内的学生中随机选名学生，求这名学生的成绩都在内的概率；
（3）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在内的学生中随机选取人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在内的人数，求的分布列和数学期望．
【题干】在一次数学统考后，某班随机抽取名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图．
（1）计算样本的平均成绩及方差；
（2）现从个样本中随机抽出名学生的成绩，设选出学生的分数为分以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
【题干】某人可从一个内有张元，张元的袋子里任取张，求他获得钱数的期望值．
【题干】某人有一张元与张元，他从中随机地取出张给孙儿、孙女，每人一张，求孙儿获得钱数的期望值．
【题干】从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，设随机变量表示所选人中女生的人数．
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望与方差；
（3）求“所选人中女生人数”的概率．
【题干】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题．规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，至少答对题才算合格．
（1）求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
【题干】一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是．
（1）若袋中共有个球，从袋中任意摸出个球，求得到白球的个数的数学期望；
（2）求证：从袋中任意摸出个球，至少得到个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
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7.4.2超几何分布
1）求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、
2）件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为
，为和中较小的一个．我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布.
3）超几何分布的期望与方差，．
【题干】某人可从一个内有张元，张元的袋子里任取张，求他获得钱数的期望值．
【答案】
【解析】张元，张元里任取两张，有三种可能：事件一：两张都是元共元，则；事件二：两张都是元共元，则；事件三：一张是元的，另一张是元的共元，则，所以，他得到的钱数的数学期望是元.
【难度】**
【题干】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题．规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，至少答对题才算合格．
（1）求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依题意，甲答对试题的概率分布如下：
甲答对试题的数学期望；
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为、，则，，因为事件、相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为，甲乙两人至少有一人考试及格的概率为.
【难度】***
【题干】从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，设随机变量表示所选人中女生的人数．
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望与方差；
（3）求“所选人中女生人数”的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）可能取的值为，，，，，，，
所以的分步列为： ；
（2）由（1）得的数学期望；
（3）由（1）得所选人中女生人数的概率.
【难度】***
【题干】某次有人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定分及其以上为优秀.
（1）表格是这次考试成绩的频数分布表，求正整数，的值；
区间
人数
（2）现在要用分层抽样的方法从这人中抽取人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（3）在（2）中抽取的名学生中，要随机选取名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1），；（2）；
（3），.
【解析】（1）依题意，，.
（2）设其中成绩为优秀的学生人数为，则，解得：，即其中成绩为优秀的学生人数为名.
（3）依题意，的取值为，，，，，，，所以的分布列为：
，所以的数学期望为.
【难度】****
【题干】某班共有学生人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）请根据图中所给数据，求出的值；
（2）从成绩在内的学生中随机选名学生，求这名学生的成绩都在内的概率；
（3）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在内的学生中随机选取人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在内的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）；
（3），.
【解析】（1）根据频率分布直方图中的数据，可得，所以.
（2）学生成绩在内的共有人，在内的共有人，成绩在内的学生共有人.设“从成绩在的学生中随机选名，且他们的成绩都在内”为事件，则.
（3）依题意，的可能取值是，，…，；；.的分布列为：
【难度】***
【题干】在一次数学统考后，某班随机抽取名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图．
（1）计算样本的平均成绩及方差；
（2）现从个样本中随机抽出名学生的成绩，设选出学生的分数为分以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
【答案】（1），；（2），.
【解析】（1）样本的平均成绩，方差为.
（2）由题意知选出学生的分数为分以上的人数为，得到随机变量，，.，，.所以随机变量的分布列为：
.
【难度】***
【题干】某人可从一个内有张元，张元的袋子里任取张，求他获得钱数的期望值．
【答案】．
【解析】方法一：设他取得元的张数为，则服从参数为的超几何分布．
．时他所获得的钱数分别为．因此他获得钱数的期望值为：
元．
方法二：设他取得元的张数为，则服从参数为的超几何分布．由公式知．因此他获得钱数的期望值为：元．
【难度】***
【题干】某人有一张元与张元，他从中随机地取出张给孙儿、孙女，每人一张，求孙儿获得钱数的期望值．
【答案】．
【解析】方法一：设他取出元的张数为，则服从参数为的超几何分布．
．时他所取出的钱数分别为．
因此他取出钱数的期望值为：．孙儿获得钱数的期望值为．
方法二：设他取得元的张数为，则服从参数为的超几何分布．
由公式知．因此他取出钱数的期望值为：元．
【难度】***
【题干】从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，设随机变量表示所选人中女生的人数．
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望与方差；
（3）求“所选人中女生人数”的概率．
【答案】（1）的分布列为
（2）；；（3）．
【解析】（1）可能取的值为．．
所以，的分布列为
（2）由（1），的数学期望为；（注：服从参数为的超几何分布，故由公式得）；
（3）由（1），“所选人中女生人数”的概率为．
【难度】***
【题干】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题．规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，至少答对题才算合格．
（1）求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
【答案】（1）甲答对试题数的分布列如下：
．；（2）．
【解析】（1）依题意，可能取的值为，．
甲答对试题数的分布列如下：
甲答对试题数的数学期望．
；（注：服从参数为的超几何分布，故由公式得）
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为、，则，．因为事件、相互独立，
法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为．
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．
法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
．
【难度】***
【题干】一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是．
（1）若袋中共有个球，从袋中任意摸出个球，求得到白球的个数的数学期望；
（2）求证：从袋中任意摸出个球，至少得到个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
【答案】（1）．（2）证明见解析
【解析】（1）设袋中白球的个数为，则“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”的概率为：，解得．即白球有个．设从袋中任意摸出个球，得到白球的个数为，则随机变量服从参数为的超几何分布．因此数学期望为：．
（2）设袋中有个球，则由题意其中黑球个数为，因此．设从袋中任意摸出个球，得到黑球的个数为，则服从参数为的超几何分布．因此．要证，只需证，即，只需证，该式化简后即为，这是成立的．因此从袋中任意摸出个球，至少得到个黑球的概率不大于．又已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．
【难度】****
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