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第九章 复数（易错与拓展）
易错点1．对复数的相关概念混淆不清
【例1.1】
1．设复数（），则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件
C．充分非必要条件 D．必要非充分条件
【例1.2】
2．以下四个命题：①两个共轭复数的差是纯虚数；②若，则；③若、，且，则；④，则.其中正确的有 个.
【针对训练1】
3．设复数（其中a，，i为虚数单位），则“”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【针对训练2】
4．给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【针对训练3】
（2020·上海市进才中学高二月考）
5．在复数范围内（为虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A． B．若，则；
C．若，则 D．若，则
【针对训练4】
6．下列命题中,正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则不成立
C．，则或
D．，则且
易错点2．对复数的模理解不透
【例2.1】
7．设，其中是实数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【例2.2】
8．在复数范围内解不等式．
【针对训练1】
9．已知复数（是虚数单位）是虚数，且，则实数的值是
【针对训练2】
10．已知复数则 ．
易错点3．复数相等的条件应用出错
【例3.1】
11．已知是实数，是纯虚数，且满足，求、．
【针对训练1】
12．关于的方程有纯虚数根，则为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【针对训练2】
13．已知为复数，满足，求的值．
易错点4．复数的几何意义、模的几何意义理解不清
【例4.1】
14．复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【例4.2】
15．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 .
【例4.3】
16．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例4.4】
17．在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是 .
【例4.5】
18．已知复数满足，则(为虚数单位)的最小值为 ．
【针对训练1】
19．设，其中，则下列命题中正确的是（ ）
A．复数z可能为纯虚数
B．复数z可能是实数
C．复数z在复平面上对应的点在第一象限
D．复数z在复平面上对应的点在第四象限
【针对训练2】
20．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【针对训练3】
21．复数在复平面上对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【针对训练4】
22．在复平面上，复数z对应的点为，则 .
【针对训练5】
23．已知复数满足，则的取值范围是 .
易错点5．复数范围内解实系数一元二次方程和实数范围内混淆
【例5.1】
24．已知关于x的方程有实数根，求实数k的值．
【针对训练1】
25．若方程有实数根，则实数k的取值是 ．
拓展1：复数的三角形式
1、复数的三角形式
复数对应着复平面上的一个点.我们把以原点为顶点，轴的正半轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角(argument)，记作Arg.
因为一个角的终边绕原点旋转仍回到原来的位置，所以任意一个非零复数的辐角都有无穷多个，其任意两个辐角的大小的差一定是的整数倍.例如，虚数单位的辐角可以是任
何
规定:复数0的辐角的大小是任意的值.
在复数的所有辐角中,满足的辐角称为的辐角主值，记作.复数的辐角虽不是唯一确定的，但非零复数的辐角主值则是唯一确定的.
复数的任意一个辐角与复数的模一起，就完全确定了复数.事实上，如上图，.于是
.
复数的这种表示形式叫做它的三角形式.
2、三角形式下复数的乘除、乘方、开方
设有两个用三角形式表示的复数与，其中，则.
设 , 则对任何正整数 , 有
；
的 次方根为：
3、应用
【例1.1】
26．把下列复数表示成三角形式，并求出它们的模与辐角主值：
(1)
(2)
(3)
(4)
【例1.2】
27．设复数，求复数的模及辐角主值．
【例1.3】
28．在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．
【例1.4】
29．若复数是一个纯虚数，则的一个可能的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【例1.5】
30．计算．
（1）；
（2）．
【针对训练1】
31．设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【针对训练2】
32．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【针对训练3】
33．已知是一个负实数，则正整数可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【针对训练4】
34．计算： .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据复数的分类即可得到答案.
【详解】若为纯虚数，则有，所以“”是“为纯虚数”的必要非充分条件.
故选：D.
2．0
【分析】(1)设互为共轭复数的两个复数分别为及则,当时，即可判断出结果;(2)设, 则，即可判断出结果;(3)设, 则, 但不能比较大小，从而判断出结果;(4) 设,则，但并不相等，从而判断出结果.
【详解】(1)设互为共轭复数的两个复数分别为及则,当时，差不是纯虚数，故错误;
(2)设, 则，故错误;
(3)设, 则, 但不能比较大小，故错误;
(4) 设,则，但并不相等，故错误.
综上所述，四个命题都错误，故正确的有0个.
故答案为：0.
3．B
【分析】根据复数的分类，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由复数
当时，复数为纯虚数，所以充分性不成立；
反之：若复数为纯虚数，则成立，所以必要性成立，
所以“”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.
故选：B.
4．B
【解析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.
【详解】对于①：设，均为实数，由可得，所以，即，故①正确；
对于②：当，时，满足，但是，故②不正确；
对于③：当时，满足，但是不是纯虚数，故③不正确；
对于④：设，由可得，所以，故④正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.
5．D
【分析】由复数的定义和复数运算可得结果.
【详解】纯虚数不能比较大小，所以A不正确；
，当时成立，所以B不正确；
，当时成立，所以C不正确；
，,所以D正确
故选：D
6．C
【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；
C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确.
【详解】A．当时，，此时无法比较大小，故错误；
B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；
D．当时，，此时且，故错误.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.
7．B
【分析】
根据复数相等求得，进而求得
【详解】依题意，所以，
所以.
故选：B
8．以点为圆心，为半径的圆内部且去除点所对应的复数.
【分析】先推导出复数模的性质，由，可得出，利用复数的几何意义可得出复数所满足的条件.
【详解】[错解]原不等式，
，则，，即有.
[错因]把实数中绝对值的性质“”生搬硬套到复数模中来．
[正解]先证明复数模的性质，
设，
，
，
则，
，且，
设，则，即.
因此，复数的解为以点为圆心，以为半径的圆的内部且去除点所对应 的复数.
【点睛】本题考查复数不等式的求解，考查复数模的几何意义，考查计算能力，属于中等题.
9．
【分析】计算复数，根据，结合模长公式即可解出实数的值．
【详解】由题：复数，是虚数，则，
，
即，解得或（舍）
所以．
故答案为：
【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．
10．
【分析】应用复数的除法化简，再求.
【详解】，
∴.
故答案为：
11．．
【分析】设，代入关系式，整理得，然后即可建立方程求解.
【详解】依题意设，代入关系式，整理得：
，根据根据复数相等的充要条件，可得，
解得，则有．
【点睛】本题考查的是复数相等的充要条件，考查了学生的计算能力，较简单.
12．C
【分析】设出方程的纯虚根并代入方程，根据复数相等的条件即可解得结果.
【详解】设关于的方程的纯虚数根为，且，
则，即，
根据复数相等的条件得，
因为，所以，解得或（舍去）
故选：C.
【点睛】本题考查了纯虚根的概念和复数相等的条件，属于基础题.
13．
【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得即可得到答案.
【详解】由已知得，∵，∴为纯虚数，且虚部小于0，
设，则，所以，
所以．解方程得（正根舍去）．
∴，∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数方程，考查了复数相等的条件，属于基础题.
14．C
【分析】作出复数在复平面对应的点，写出点的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】复数在复平面内对应的点为，因为，则，
将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，
因此，所求复数为.
故选：C.
15．##i-2
【分析】根据复数的乘法运算求解即可.
【详解】由题意知，，
则，
故答案为：
16．D
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得结论.
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
17．
【分析】求出复数、对应点、的坐标，利用中点坐标公式得线段的中点的坐标即可．
【详解】解：复数、对应的点分别为、，
，，
为线段的中点，，
点对应的复数是．
故答案为：．
18．
【分析】由复数的几何意义画出图形，数形结合得答案
【详解】∵，
∴z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，
的几何意义为圆上的点到的距离，
如图，
∴的最小值为，
故答案为：1.
19．C
【分析】根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.
【详解】因为，，
故ABD均错误，C正确.
故选：C.
20．D
【分析】由复数运算可求得，由此可得对应点的坐标，从而确定结果.
【详解】，，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
21．C
【分析】把复数化为形式，然后确定实部与虚部的取值范围．
【详解】，
时，，对应点在第二象限；
时，，对应点在第四象限；
时，，对应点在第一象限．
或时，对应点在坐标轴上；
∴不可能在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为形式，就可以确定其对应点的坐标．
22．
【分析】由已知可得z，再由复数模的计算公式求解．
【详解】解：由已知可得，z＝﹣2+i，
则z+1＝﹣1+i，
∴|z+1|．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
23．
【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围.
【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点，
的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，
最小距离为，最大距离为，
的取值范围为.
故答案为：.
24．或
【分析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，然后由复数相等的充要条件建立方程求解即可.
【详解】设是方程的实数根，代入方程并整理得，
由复数相等的充要条件，得，解得或．
【点睛】本题考查的是复数相等的充要条件，考查了学生的计算能力，较简单.
25．
【解析】将方程整理为：，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出的值.
【详解】因为有实数根，所以有实根，
所以，所以，所以，
故答案为：.
26．(1)，模是2，辐角主值为；
(2),模是3，辐角主值为；
(3)，模是2，辐角主值为；
(4)，模是1，辐角主值为．
【分析】（1）根据复数三角形式的定义即得；
（2）根据复数三角形式的定义，由诱导公式变形可得；
（3）根据复数三角形式的定义，由诱导公式变形可得；
（4）根据复数三角形式的定义，由诱导公式变形可得．
【详解】（1）就是三角形式，模是2，辐角主值为；
（2）,模是3，辐角主值为；
（3），模是2，辐角主值为；
（4），模是1，辐角主值为．
27．32；．
【分析】根据复数三角形的乘方运算可计算得解.
【详解】
所以复数的模为32，辐角主值.
28．证明见解析；几何解释： 的个根对应的点，将单位圆等分.
【分析】结合复数的三角形式以及三角函数值即可验证；然后结合复数的几何意义即可得出几何解释.
【详解】
，，1，2，…，，
所以（，1，2，…，）是方程的n个根，
设,，……，（，1，2，…，），
则是由逆时针方向旋转而得到（模不变，），
故是以原点为圆心的单位圆的个等分点，即的个根对应的点，将单位圆等分.
29．A
【分析】先计算得，进而可判断，从而得解.
【详解】因为，
，
所以
，
故选：A.
30．（1）；（2）．
【分析】（1）将复数写成三角形形式后，根据除法即为辐角作差，模相除可得解；
（2）将复数写成三角形形式后，根据除法即为辐角作差，模相除可得解；
【详解】（1）
；
（2）
31．D
【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可.
【详解】复数满足条件，所以可设
所以
所以
因为，所以，所以，
所以对应复平面上的点位于第四象限.
故选：D
32．B
【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.
【详解】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
33．A
【分析】计算是复数，是负实数，即可找到n可取得值.
【详解】
是一个负实数
所以若是一个负实数，则正整数可以是3的奇数倍
故选：A
34．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，找出周期性的规律，即可求解.
【详解】∵，,
,,
.
故答案为：.
【点睛】注意运算的周期性，从而简化运算.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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