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第八章 平面向量（易错与拓展）
易错点1：零向量
【例1】
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则与方向相同或相反
B．若，，则
C．若，，则
D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
针对训练1.1
2．下列说法正确的为（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
针对训练1.2
3．下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D．若，都是单位向量，则
易错点2：忽视向量的方向
【例2】
4．在下列结论中，正确的为
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
针对训练2.1
5．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
针对训练2.2
6．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
易错点3：向量夹角忘记共起点找夹角
【例3.1】
7．在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角
B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是钝角
D．与的夹角是锐角
【例3.2】
8．在等边三角形中，与的夹角为 ；点为的中点，则与的夹角为 ．
针对训练3.1
9．已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角
针对训练3.2
10．在等边三角形ABC中，向量与的夹角为 ．
易错点4：忽视向量数量积不满足结合律
【例4】（多选）
11．设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
针对训练4.1（多选）
12．（多选）下列各命题中，正确的命题为（ ）
A． B．
C． D．
针对训练4.2
13．给出下列命题，其中错误的命题是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
易错点5：求向量的模忘记开根号
【例5.1】
14．已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
针对训练5.1
15．已知向量，满足，，则 ．
针对训练5.2
16．已知，为单位向量，且与的夹角为，则＝（ ）
A．49 B．19 C．7 D．
易错点6：已知向量夹角是锐角/钝角求参时忘记排除共线情况
【例6】
17．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
针对训练6.1
18．已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是
拓展1：等和线
1、拓展（1）
在平面内， 是不共线向量，设，P、A、B三点共线．
证明：
P、A、B三点共线，则存在实数，，
即有，
所以，
令，则．
关键：
（1）三个向量起点相同，且作为基底的两个向量不共线；
（2）基底数乘的系数和为定值1与三点共线是充要的．
2、拓展（2）
如图，已知，
设直线OP与AB交于P’点，则存在实数，，
存在，且，
则，
所以．
根据上面的推导过程，我们可以看到，
当P与A、B不共线时，就等于相对于的数乘．绝对值就是两个模长之比，符号则看方向即可．
而等于给定值时，根据相似三角形，P点就在对应相似比的AB的平行线上．
3、应用
【例1.1】
19．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 .
【例1.2】
20．在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为 ．
针对训练1.1
21．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成，的形式，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
针对训练1.2
22．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 .
拓展2：向量与三角形（奔驰定理、四心等）
三角形内拓展结论
奔驰定理
已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．
（2）重心G（中线的交点）
①；
② 或；
③重心分每条中线分为2：1的两短．
（3）内心I（内切圆圆心I ，角平分线的交点）
①；
② 注：表示为∠A的角平分线．
（4）*外心O （外接圆圆心，中垂线的交点）
①（R为外接圆半径）；
②
（5）*垂心H（ 垂线的交点）
①；
②
应用
【例2.1】
23．设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
【例2.2】
24．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【例2.3】
25．非零向量与满足，且，则的形状为 ．
【例2.3】
26．在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2.4】
27．在中，，，，若点为三角形外心，则满足关系式：的有序实数对 .
针对训练2.1
28．如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则 ．
针对训练2.2
29．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
拓展3：坐标法解决平面几何问题
【例3.1】
30．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 .
【例3.2】
31．若四边形是边长为的菱形，P为其所在平面上的任意点，则的取值范围是 .
【例3.3】
32．已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是 .
针对训练3.1
33．已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A． B． C． D．
针对训练3.2
34．已知中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是
针对训练3.3
35．如图，在三角形中，点在边上，且，点是边的中点，与交于点，若，则
针对训练3.4
36．在四边形ABCD中，，且满足 ，则（ ）
A．2 B． C． D．
针对训练3.5
37．已知平面向量满足，，，，则的最小值为
针对训练3.6
38．已知，，是非零向量，，，为任意实数，当与的夹角为时，的最小值是 .
拓展4：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BC的中点）
应用
【例4.1】
39．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
【例4.2】
40．已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4.3】
41．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A． B． C． D．
针对训练4.1
42．如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
针对训练4.2
43．正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
针对训练4.3
44．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】
利用零向量否定选项AB；由向量相等定义判断选项CD.
【详解】对于A选项，因为，若，又零向量的方向任意，则A错；
对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错；
对于C选项，，，则，C对；
对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或互为相反向量，D错．
故选：C．
2．D
【分析】
对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断.
【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；
选项B：，不一定有，故B错误；
选项C：直线与可能共线，故C错误；
选项D：若向量，共线，则与可能平行，
此时A，B，C，D四点不共线，故D正确．
故选：D.
3．A
【分析】
举特例否定选项A；由向量相等定义判断选项B；由向量平行定义判断选项C；由单位向量定义判断选项D.
【详解】A.若，满足，，
但是不满足，所以该选项错误；
B．由向量相等定义可知，若，，则，所以该选项正确；
C． 若与是非零向量且，
则与的方向相同或者相反，所以该选项正确；
D． 若，都是单位向量，则，所以该选项正确．
故选：A
4．B
【分析】逐一分析选项，得到答案.
【详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
B. 向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；
C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；
D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.
故选B.
【点睛】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.
5．B
【分析】
对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断.
【详解】
对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；
对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确；
对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；
对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误.
故选：B.
6．B
【分析】
利用平面向量的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误；
零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量， B正确；
共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误；
两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误．
故选：B
7．B
【分析】利用向量夹角的定义逐一判断即可.
【详解】为锐角三角形，
A，与的夹角是钝角，A错误；
B，与的夹角是锐角，B正确；
C，与的夹角是锐角，C错误；
D，与的夹角是钝角，D错误.
故选：B
8． ## ##
【分析】
根据平面几何的性质及向量夹角的定义计算可得.
【详解】在等边三角形中，所以与的夹角为，

因为点为的中点，所以，所以与的夹角为.
故答案为：；
9．C
【分析】根据数量积的定义可判断为钝角，从而可得正确的选项.
【详解】因为，故，故，
而，故，故三角形为钝角三角形，
故选：C.
10．
【分析】在等边三角形ABC中，根据可得答案.
【详解】在等边三角形ABC中，，
所以向量与的夹角.
故答案为：.
11．AB
【分析】
根据数量积的定义与数量积的运算律逐一判断即可.
【详解】由是任意的非零向量，
对于A，，故A错误；
对于B，表示与共线的向量，表示与共线的向量，
而不一定共线，故B错误；
对于C，因为非零向量，若，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：AB.
12．ABC
【分析】
根据数量积的运算律以及数乘的运算律，结合共线定理，可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，根据向量数乘满足交换律和结合律，可得B正确；
对于C，根据数量积满足交换律，可得C正确；
对于D，当，则向量与共线，当时，则向量与共线，
而向量不一定共线，故D错误.
故选：ABC.
13．A
【分析】
根据向量法证明直线与平面得位置关系得方法即可判断A；根据空间向量共面定理即可判断B；根据平面向量基底得定义即可判断C；根据投影向量的定义即可判断D.
【详解】解：对于A，因为，所以，
所以直线或，故A错误；
对于B，因为，
所以，
即，
所以，，，四点共面，故B正确；
对于C，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；
对于D，由，，
得在上的投影向量为，故D正确.
故选：A.
14．C
【分析】
平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可.
【详解】因为
，
所以，
故选：C.
15．3
【分析】
将已知条件平方，然后消去可解.
【详解】由题意知，即，
消去可得，
所以．
故答案为：3.
16．C
【分析】
将平方， 根据数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意得，
故，
故选：C
17．
【分析】根据题意，由，求得，再由，求得，进而求得与的夹角时，实数的取值范围，得到答案.
【详解】由题意，向量与的夹角为锐角，
可得，解得，
又由当时，可得，解得，此时向量与的夹角为，
综上可得且，即实数的取值范围是.
18．
【解析】与的夹角是钝角,则，根据向量夹角公式列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】设两个向量的夹角为，依题意可知为钝角，
则，即，且
由得或，
由于且，所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据向量夹角求参数，注意利用时，要排除共线反向情况，属于中档题.
19．2
【详解】
所以最大值为2
20．
【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值．
【详解】因为，所以，
又三点共线，所以，
所以，当且仅当，妈时等号成立．所以的最小值为．
故答案为：．
【点睛】结论点睛：是平面上不共线三点，是平面上任一点，，
则三点共线，若在线段内部（不含端点），则．
21．C
【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出的最大值和最小值即可．
【详解】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，
，
，此时．
同理可得：，此时．
∴的最大值为，最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
22．
【分析】设，由，可得：
再由，可得：，则，最后由可得解.
【详解】设
的面积为，
为中点，
又C、P、Q三点共线，，即
则
当且仅当时取得最小值.
【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.
23．B
【分析】
利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△BOC与△ABC的面积之比判断选项D.
【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又∵，∴，∴，
∴为的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，
则，，
∵，
∴，
∴，∴，，
∴，，
∴，分别是，边上的垂直平分线，
∴，为的外心，故选项B错误；
对于C，作角的内角平分线与边交于点，
∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），
∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故选项C正确；
对于D，设，，
由，得，
则由选项A可知，为的重心，设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故选项D正确．
故选：B
24．B
【分析】
在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选：B．
25．等边三角形．
【分析】通过数量积为，判断三角形是等腰三角形，由求出角，即可求解.
【详解】和分别是和的单位向量，所以，，
且在的角平分线上，
因为，
所以与垂直，
所以，即是等腰三角形，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等边三角形，
故答案为：等边三角形.
26．D
【分析】作出图形，，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，在中用余弦定理解得AE，在中用面积公式求得面积，再乘以2可得．
【详解】
如图所示，
∵，所以O为的重心，
连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，
则四边形ABFC为平行四边形，
，，
，
即，又因为，所以，
∴，，
设，则，
在中由余弦定理得，
即，解得，即.
又，
∴.
故选：D.
【点睛】本题考查解三角形的应用，考查三角形中的几何计算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
27．
【解析】根据题意，作出图形，先根据，结合模的公式 可得，进而得，，另一方面，延长与三角形的外接圆交于点，则，，再联立方程即可得答案.
【详解】解：根据题意，作出图形如图，延长与三角形的外接圆交于点，
因为，
所以，
即，所以，
所以，
同理，
又，
同理，
所以，解得，
所以有序实数对.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，考查运算能力，化归转化思想，方程思想，是中档题.
28．
【分析】根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的点要注意和“内心”作区分.
29．C
【分析】取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；设的外接圆半径为，由圆心角和圆周角的关系可得，从而可用表示出，进而即可判断C；延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，所以， 进而即可求，从而即可判断D．
【详解】对于A：取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；
对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；
对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确．
故选：C．
【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到，，从而可设，则，由，得，进而即可求．
30．5
【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.
【详解】
由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，
则
，当取得最小值.
故答案为：5
【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.
31．
【分析】建立直角坐标系，然后表示出相关向量的坐标，结合向量数量积的坐标表示及三角函数的性质可求.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，设，则，则，，所以，，则，因为，所以.
故答案为：
32．
【解析】不妨设，，则根据条件可得：， ，根据柯西不等式得到，令，利用二次函数的单调性可得.
【详解】由题意知：不妨设，，
则根据条件可得：
，，
根据柯西不等式得：
因为，
， ，
当且仅当时取等号；
令，则，又，则，
所以，当时，，即；
，而，所以当时，，即，故的取值范围是.
【点睛】关键点睛：设，，则根据条件可得：，
，利用柯西不等式和换元法把问题转化为求二次函数的最值问题是解决本题的关键.
33．A
【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
34．
【分析】建立平面直角坐标系，设出M点的坐标，求出点的坐标，从而得到关于的三角函数，通过三角函数求最值的方法即可得出答案.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，因为，所以的轨迹是以为原点，2为半径的圆，
所以设，
因为，所以为的中点，所以，
所以，
所以，其中，
所以当时，取最小值，所以取最小值；
当时，取最大值，所以取最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
35．
【分析】取中点，连接，点是边的中点，所以，所以是的中点，，根据向量数量积公式可得答案.
【详解】
取中点，连接，点是边的中点，所以，
因为是，所以是的中点，即，
且，，
由于
.
故答案为：.
【点睛】求解数量积一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积，实现向量代数化. 易错提示：1.注意向量的方向性；2.注意三角形两边对应向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.
36．D
【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长．
【详解】，则四边形为平行四边形，
设都是单位向量，，则，，，则，所以，
因此由知，且是的平分线，
因此四边形是菱形，而，
∴，
故选：D.
37．-4
【分析】设，，，由，可求，再代入，可得，由此表示出，从而可求出最小值.
【详解】设，，，由，得：，
又，则，解得：，
，
故的最小值为-4.
故答案为：-4.
【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查了向量在几何中的应用，建立坐标系表示出每个向量是常用的基本手段，属中档题.
38．
【解析】设，，，，利用可以设利用即可求出点的轨迹为单位圆，， 的最小值是点到直线的距离，从而求得答案.
【详解】设，，，
因为，
，，
因为与的夹角为，所以与夹角为，所以，
所以，所以，
因为得：所，
所以，所以点的轨迹为单位圆，
所以的最小值是点到直线的距离.
过点作于点,交单位圆于点，
所以，
即，解得：，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的几何意义，运用坐标法可以使向量问题更简单，属于难题.
39．
【详解】因为，
，
因此，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
40．A
【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得 的取值范围.
【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，
因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，
如下图所示：
则，，
所以，.
因为点为正方形四条边上的动点，所以，
又，所以，
故选：A.
41．D
【分析】取的中点D，由极化恒等式可得，，从而可得，即可得出，由，得出答案.
【详解】如图，取的中点D，
由极化恒等式可得：，
同理，，由于，
则，所以，
因为，D是的中点，于是.
故选：D.
42．B
【分析】利用几何关系将均用表示出来，进而将，表示成与相关，可以求出，同时的数量积也 可用表示，即可求出结果.
【详解】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，
则，
，
因此，
故选：B.
【点睛】思路点睛：
研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
43．D
【分析】
设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可得解．
【详解】
解：设为外接圆的圆心，
因为，所以，
当弦的长度最短时，，
在中，由正弦定理知，外接圆半径，即，
所以，
因为，即，
所以，
因为点为线段上的动点，
所以当点与点重合时，；
当点与点重合时，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
综上，，
所以．

故选：D．
44．
【分析】取的中点得，，再将用向量表示并结合的最小值为得，即到直线的距离为，再根据几何关系即可求得
【详解】取的中点，取，，
，
因为的最小值，
所以．
作，垂足为，如图，
则，又，所以，
因为，
所以由正弦定理得：，，
所以
．
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.
答案第1页，共2页
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