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压轴小题3 抽象函数问题
【2023年12月苏州市部分高中高三上联考第12题】定义在上的函数同时满足：（1）；（2），则下列结论正确的是（ ）
A. B.为偶函数
C.存在，使得 D.任意，有
角度一、令结合满足条件可判定A，令结合偶函数的性质可排除B，利用累加法得结合适当放缩可判定C，构造，结合条件判定是以1为周期的周期函数，再根据绝对值不等式放缩可判定D.
角度二、直接赋值得，根据得，再令，可判定A、B，利用累加法，直接解不等式可判定C，取分类讨论可判定D.
解法一：直接法1
对于选项A：因为，
令，则，即，
又因为，即，
可知，即，解得，故A正确；
对于选项B：由选项A可得.
令，则，即，
可知，所以不为偶函数，故B错误；
对于选项C：因为，
当时，
，
且符合上式，所以，
令，则，
即存在，使得，故C正确；
对于选项D：令，则
即，即是以1为周期的周期函数，
因为当，则
，
结合周期性可知对任意，均有，
所以，
故D正确；综上：选ACD.
角度二、
对于：由得，
又，
所以.
又由得，
所以对，错；
对于：
累加得：
，
，
令，得，
，所以对；
对于：取，
①当时，，
②当时，，
所以对.综上：选ACD.
（2024·四川泸州·二模）
1．已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．函数的图象关于直线对称 D．
2．是定义在R上的函数，，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（ ）
A．的图像关于点对称
B．的图像关于直线对称
C．的值域为
D．的实数根个数为6
构造特殊函数，由条件待定系数解得可判定A、B，直接解不等式可判定C，分类讨论解绝对值不等式可判定D.
对于：令，，
，.
因为当时，恒成立，
即恒成立，
所以，且.
，对称轴不是轴，
所以A正确，B错误；
对于：，
即符合题意，所以C正确；
对于：，即，
即.
①对于，即，
当时，上式即，显然成立，
当时，显然也成立；
②对于，即，
当时，显然恒成立，
当，上式即为，显然恒成立，
所以对.综上，选ACD.
（2023·四川达州·一模）
3．函数满足，令，对任意的，都有，若，则（ ）
A． B．3 C．1 D．
4．已知定义在上的函数对任意均有：且不恒为零.则下列结论正确的是 .①；②；③或；④函数为偶函数；⑤若存在实数使，则为周期函数且为其一个周期.
（22-23高三上·山东潍坊·期末）
5．已知定义在上的函数满足，对，，有，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·云南楚雄·模拟预测）
6．已知函数，的定义域均为，且，，，若，且，则（ ）
A．305 B．302 C．300 D．400
（2023·云南·模拟预测）
7．已知定义在R上的函数，对于任意的 恒有，且，若存在正数t，使得，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为周期函数
（2022·上海徐汇·三模）
8．已知定义在R上的函数满足，当时，．设在区间（）上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】对于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，结合得，
所以，故A错误；
对于D，因为，令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故D正确；
对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：
，，
两式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以为周期函数，且周期为，
因为，所以，所以，，
所以，
所以
，故B错误；
对于C，取，，满足及，
所以，又，
所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
2．BC
【分析】利用可判断A;根据函数满足的性质推得和皆为的图象的对称轴，可判断B;数形结合判断C;数形结合，将的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.
【详解】由题意可知当时，，
故，则，
即的图象不关于点对称，A错误；
将代入中的x可得，故4为函数的周期；
函数为偶函数，可得，则的图象关于直线对称，即有，
则，故的图象也关于直线对称，
由于4为函数的周期，故和皆为的图象的对称轴，
当时，，故B正确；
因为，所以由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为，C正确；
方程的根即与的图象的交点的横坐标，
因为当时，，
当时，，当时，，
所以与的图象共有7个交点，
即方程的实数根个数为7，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.
3．A
【分析】根据变形得到，即，再根据，，计算得到，，从而得到，由求出答案.
【详解】因为，所以，
即，，
故，所以是奇函数，
令，解得：，
故，解得：，则，
令，解得：，
故，解得：，则，
依次可得：
，解得：，则，
则，故，
中，令得：，
所以,
故选：A
【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若，则函数关于对称；
若，则函数关于中心对称；
若，则是的一个周期
4．②④
【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性一一判定结论即可.
【详解】令，则恒成立，
因为不恒为零，所以，即②正确，①③错误；
令，则恒成立，
所以函数为偶函数，即④正确；
令，则，
所以，
则为周期函数且为其一个周期，即⑤错误.
故答案为：②④
5．A
【分析】由已知可推得，令，得出.设，则，由，可得.又，代入求和即可得出结果.
【详解】令，由已知可得.
令，由已知可得，
设，则，整理可得.
又，所以，所以.
则，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函数关系式.
6．A
【分析】利用给定等式，结合赋值法探讨函数的周期性，再求出的值即可得解.
【详解】函数的定义域均为，由，得，
又，则，
于是，即，
由，得，又，
则，即，因此，
即，，
则函数是周期函数，周期为4，由，得，，
由，，得，于是，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，作变量替换探讨函数性质，并在对应的区间上赋值即可求解.
7．BCD
【分析】根据条件运用赋值法逐项分析.
【详解】对于A，对于任意的 恒有，
令可得：，又， ，A错误；
对于B，对于任意的恒有，
令，则有，即，则有，B正确；
对于C，对于任意的恒有，
令，则有，变形可得，则为偶函数，C正确；
对于D，对于任意的恒有，
令可得：，，
，即是周期为的周期函数，D正确；
故选：BCD.
8．
【分析】先利用换元法分别求出当，，，时的的解析式，进而求出，由存在使得有解得到有解，进而转化为，再通过的单调性进行即可求解.
【详解】当时，，
因为定义在上的函数满足，
所以，
令，则，
当时，有，
即当时，，
又，
令，则，，有，
所以当时，，
同理可得，时，，
根据规律，得当，，
且此时的在单调递增，
又因为为在区间上的最小值，
所以，，，，，
若存在，使得有解，
则有有解，进而必有，
令，设最大，则，
即，即，即最大；
所以当时，有，
所以.
故答案为：
【点睛】易错点睛：本题的易错点在由有解得到，而不是，要注意不等式恒成立和不等式有解的等价条件的区别：
若恒成立，则；
若有解，则.
答案第1页，共2页
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