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2.2 点、直线、平面和平面曲线
的多面正投影
2.2.1 投影面体系及点的投影
2.2.2 直线的投影
2.2.4 直线与平面以及两平面的相对位置
2.2.3 平面和平面曲线的投影
2.2.5 点、直线、平面间的综合作图题示例
由空间点A作垂直于投影面H的投射线，与H面交得点A的唯一的H面投影a。
反之，若已知点A的一个投影，能否确定该点的位置呢
由点A的H面投影a作垂直于H面的投射线，则在该投射线上所有的点的H面投影都是a。
2.2.1 投影面体系及点的投影
2.2.1.1 三投影面体系及点的三面投影
图2.67 点能唯一确定它的投影
图2.68 由点的一个投影不能确定其位置
两面投影体系：由两个互相垂直的投影面建立的投影体系。
水平投影面H和正立投影面V，投影面交线为投影轴OX。
图2.69 两投影面体系
图2.70 点的两面投影
图2.71 由点的两面投影能确定其位置
图2.72 三投影面体系的建立以及点在三面体系第一角中的投影
(a)三投影面体系的建立与投影面展开
(c)投影图
将点A置于三面体系的第一角中，分别作垂直于投影面H、V、W的投射线，交得点A的水平投影a、正面投影a′和侧面投影(W面投影)a " 。
图2.73 点的坐标和投影特性
(1)点的投影连线垂直于投影轴。
投影特性：
(2)点的投影与投影轴的距离，反映该点的坐标，也反映该点与相邻投影面的距离。
2.2.1.2 点的坐标和投影特性
［例题2.1］已知点A(14，10，11)，作出该点的三面投影。
14
11
10
45
［解］
①量取xA=14，作OX轴的垂线，即为点A的水平投影a和正面投影a′的连线。
②量取yA=10，得点A的水平投影a。
③量取zA=11，得点A的正面投影a′。
④过a′作OZ轴的垂线，过a作OYH轴的垂线与辅助线相交，从交点作OYW轴的垂线，由这两条投影连线交得点A的侧面投影a＂。
图2.74 已知坐标作点的三面投影
［例题2.2］已知点A与投影面W、V、H的距离分别为14mm、10mm、11mm，作出该点的三面投影。
［解］
xA=WA=14
yA=VA=10
zA=HA=11
即点的坐标为：
A(14，10，11)
14
11
10
45
2.2.1.3 各种位置的点
(1) 空间点:不在任一投影面上的点。
(2) 投影面上的点:只在一个投影面上的点。
(3) 投影轴上的点:在两个投影面上的点，必在这两个投影面相交的投影轴上。
(4) 与原点O重合的点:在三个投影面上的点，必与原点O重合。
图2.75 各种位置的点
2.2.1.4 点在两面体系第一角中的投影
点在三投影面体系中的投影：水平投影显示该点的x坐标和y坐标，正面投影显示x坐标和z坐标，侧面投影显示y坐标和z坐标。
一点只要有它在两个投影面上的投影，就可确定它的三个坐标，也就可以确定它的位置。
（1）H、V 两投影面体系
图2.76 点在H、V两面体系第一角中的投影
[例题2.3］已知点A(14，10，11)和点B(3，0，0)，作出这两个点的水平投影和正面投影。
［解］
①量取xA=14，作OX轴的垂线，即为点A的水平投影a和正面投影a′的连线。
②量取yA=10，得点A的水平投影a。
③量取zA=11，得点A的正面投影a′。
④在OX轴上从点O向左量取xB=3，即得点B重合的水平投影b和正面投影b′。
14
11
10
图2.77 已知坐标作点的水平投影和正面投影
b'
b
（2）V、W两投影面体系
图2.78 点在V、W两面体系第一角中的投影
(a)立体图
(b)投影面展开后
(c)投影图
［例题2.4］已知点A(15，11，17)和点B(0，7，7)，作出这两个点的正面投影和侧面投影。
［解］
①量取zA=17，作OZ轴的垂线，即为点A的正面投影a'和侧面投影a"的连线。
②量取xA=15，得点A正面投影a'。
③量取yA=11，得点A的侧面投影a" 。
④在OZ轴上从点O向上量取zB=7，即得点B的正面投影b',量取yB=7，得点B的侧面投影b" 。
图2.79 已知坐标作点的正面投影和侧面投影
2.2.1.5 两点的相对位置
（1） 在投影面中能显示两点的相对位置
图2.80 在三面投影中反映的三个向度
图2.81 两点的相对位置
在投影图中常用两点对三个投影面的距离差确定相对位置。
点B在点A之右XA-XB、之后YA-YB、之下ZA-ZB；
或点A在点B之左XA-XB 、之前YA-YB 、之上ZA-ZB 。
（2）重影点及其可见性
图2.82 重影点
若两个点位于垂直于某一投影面的同一条投射线上，则这两个点在该投影面上的投影互相重合，这两个点便称为对该投影面的重影点。
[例题2.5］已知点A，并知点B在点A之右8mm、之后6mm、之下6mm，点E在点A的正下方、在H面上，作点B和E的三面投影，并表明可见性。
图2.83 已知点与点的相对位置，作点的三面投影
［解］
①点B在点A之右8，即xA - xB =8;
②点B在点A之后6，即yA - yB =6;
③点B在点之下6, 即zA - zB =6 ;
④点E在点A的正下方、且在H面上,即zE =0 ， xE = xA , ye=yA ；因zA 大于 ze，所以点E的水平投影不可见。
一般情况下，直线的投影仍为直线，只要作出两个端点的投影，就能连成直线的投影。
倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影短于直线的真长。
直线垂直于投影面，在该投影面上的投影积聚成一点。
平行于投影面的直线在该投影面上的投影，与直线本身平行且等长。
图2.84 直线的投影
2.2.2 直线的投影
2.2.2.1直线对投影面的各种相对位置
一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线)
直线 投影面平行线：仅平行于一个投影面的直线
特殊位置直线 (∥V：正平线；∥H：水平线；∥W：侧平线)
投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线
(⊥V：正垂线；⊥H：铅垂线；⊥W：侧垂线)
倾角：直线与投影面的真实夹角，也就是空间直线与其在投影面上的 投影的夹角。直线与H、V、W面的倾角分别用 、 、 表示。
(1)一般位置直线
图2.85 一般位置直线的投影特性
一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线对投影面的倾角。
图2.86 用直角三角形法求作一般位置直线的真长与倾角
(a)立体图
(b)作图过程和作图结果
作一般位置直线的真长与H 面倾角。
作一般位置直线的真长与V 面倾角。
表2.6 投影面平行线的投影特性
(2)投影面平行线
直线在平行的投影面上的投影，反映真长、倾角。
在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。
表2.7 投影面垂直线的投影特性
(3)投影面垂直线
在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。
在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴，且反映真长。
2.2.2.2 直线上的点
图2.87 直线上的点的投影特性
第一个投影特性：
直线上的点的投影，必在直线的同面投影上。
第二个投影特性：
若直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分割直线段同面投影的长度比相等。
图2.88 检验点是否在直线上
按直线上的点的第一个投影特性可知：点C、F的投影分别在直线AB、DE的同面投影上，所以点C、F分别是直线AB、DE上的点；而点I的正面投影i′不在直线GH的正面投影g′h′上，所以点I不是直线GH上的点。
点L的两个投影都分别在直线JK的同面投影上，是否能确定点L在直线JK上呢？
从作图可明显地看出：jl∶lk≠j′l′∶l′k′，不符合直线上的点的第二个投影特性，从而断定点L不在直线JK上。
［例题2.6］已知直线AB，在AB上取点C和D，点C距H面10 mm，点D分割AB成AD∶DB=3∶1，作点C和D的两面投影。
［解］
①在OX轴之上10mm处作水平线，与a′b′交得c′。
②由c′引投影连线，与ab交得c。
③从a作任意方向的直线，在其上由a任取长度单位顺次量取四个单位，得点1、2、3、4。连4和b，由3作4b的平行线，与ab交得d。
④由d引投影连线，与a′b′交得d′。
图2.89 作直线AB上的点C和D
［例题2.7］已知直线AB以及点C、D，检验点C、D是否在直线AB上。
［解］
图2.90 检验点C和D是否在直线AB上
(d) 检验方法二
(c) 检验方法一
(b)立体图
(1)检验方法一:补出第三面投影
(2)检验方法二:运用定比分点
［例题2.8］已知直线AB，并知直线AB上的点C距离W面10mm，作点C的两面投影。
［解］
图2.91 作直线AB上的点C
①在正面投影中作距离OZ轴10 mm的铅垂线，与a′b′交得c′。
②运用定比分点:作a＂c0= a′c′, c0b0=c′b′。连b0b＂，过c0作b0b＂的平行线，与a＂b＂交得c＂。
2.2.2.3 两直线的相对位置
异面 —— 交叉 斜交
直线与直线 相交
共面 正交
平行
平行两直线和相交两直线位于同一平面上，是共面直线。
两直线既不平行、又不相交，它们不在同一平面上，也称异面直线。
(1)两直线平行
图2.92 两直线平行
平行两直线的同面投影都分别互相平行。
只要两直线的同面投影都分别互相平行，则这两直线互相平行。
(2)两直线相交
图2.93 两直线相交
相交两直线的同面投影都分别相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影，这个点就是两直线的交点。
两直线的同面投影的交点是同一点的投影，则两直线一定相交。
(3)两直线交叉(异面）
两直线既不相交又不平行，即为交叉。交叉两直线的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影。
(a)同面投影相交 (b)同面投影平行
图2.94 两直线交叉
图2.95 交叉两直线的投影图
交叉两直线的同面投影的交点称为重影点。
重影点的可见性通过点的相对位置进行判断。如对H面的重影点Ⅰ和Ⅱ，点Ⅰ在上、Ⅱ 在下，故Ⅰ可见，其H面投影标记为1（2）。
［例题2.9］检验直线AB、CD的相对位置。
图2.96 检验两直线的相对位置
［解］
①目估检验: 侧平线AB从A到B的趋向是从后上到前下，而侧平线CD从C到D的趋向是从前上到后下，趋向不同，因而就检定出直线AB和CD的相对位置是交叉。
②补出第三面投影：如第三面投影也互相平行，则这两直线平行；如第三面投影相交，则这两直线交叉。
(a) 目估检验
(b)扩展成三面体系检验
2.2.2.4 两直线垂直
图2.97 一边平行于投影面的直角的投影特性
(a)立体图
(b)投影图
①当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。
③当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜于投影面时，在该投影面上的投影仍是直角。
②当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。
[例题2.10] 如图所示，已知点A和正平线BC，过点A作BC的垂线AD和垂足D，并求出点A和BC间的真实距离。
图2.98 过点A作正平线BC的垂线，并求A与BC的距离
［解］
①过a′ d′作a′d′⊥b′c′；由作投影连线得d＂。d′、d＂即为所求垂足D的两面投影。
②连a＂与d＂，a′d′、a＂d＂即为所求垂线AD的两面投影。
③求AD的真长，即为点A和正平线BC间的真实距离。
两直线垂直交叉
一直线平行于投影面和两直线都平行于同一投影面时，两直线交叉垂直的投影图示例
两直线垂直交叉的投影特性与垂直相交的投影特性相同。
本节完。
下节内容：
2.2.3 平面和平面曲线的投影

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