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2.2.3 平面和平面曲线的投影
图2.99 平面的几何元素表示法
(a) 三点
(b)直线及线外一点
(c)相交两直线
(d)平行两直线
(e)平面图形
2.2.3.1 平面的表示法
平面常以确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素表示。
2.2.3.2 平面对投影面的各种相对位置
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面 投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面 (⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
平面按照对投影面H、V、W的相对位置，分类如下:
倾角: 平面与水平面H、正面V、侧面W的夹角，称为该平面对投影面H、V、W的倾角，也用 、 、 表示。
当平面平行于投影面时，倾角为0°；垂直于投影面时，倾角为90°；倾斜于投影面时，倾角大于0°，小于90°。
平面图形的投影特性:
图2.100 平面图形的投影特性
(1)△ABC倾斜于投影面H，则它在H面上的投影为面积缩小的类似形△abc。
(2)△DEF垂直于投影面H，则它在H面上的投影成为一直线def。
(3)△GHI平行于投影面H，则它在H面上的投影△ghi反映△GHI的真形。
（1）一般位置平面
图2.101 处于一般位置的平面图形
(a)立体图
(b)投影图
投影特性：三个投影都是面积缩小的类似形。
（2）投影面垂直面
表2.8 处于投影面垂直面位置的平面图形
平面在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，并反映与另两个投影面的倾角。
在另两个投影面上的投影，为面积缩小的类似形。
平面与投影面的交线称为迹线。
投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线，与它在该投影面上的迹线重合。由于通过平面上的一条直线只能作出一个与它相垂直的平面，所以，可以用一条有积聚性的迹线表示这个平面。
图2.102 用有积聚性的迹线表示投影面垂直面示例
(a)立体图
(b)投影图
（3）投影面平行面
表2.9 处于投影面平行面位置的平面图形
平面在它所平行的投影面上的投影，反映真形。
在其它两个投影面上的投影，分别积聚成直线，且平行于相应的投影轴。
图2.103 用有积聚性的迹线表示投影面平行面示例
(a)立体图
(b)投影图
投影面平行面在它所平行的投影面上没有迹线，在另两投影面上的投影与它在该投影面上的迹线重合，且平行于相应的投影轴。
2.2.3.3 平面上的点和直线
（1）平面上的点和直线的几何条件以及应注意点
平面上的点，必在该平面的一条直线上。
平面上的直线，必通过平面上的两点；或通过平面上的一点，且平行于平面上的另一直线。
(a) 一般位置平面上的点和直线
图2.104 平面上的点和直线
特殊位置平面上的点和直线的检验和作图，则常用它的有积聚性的投影或迹线。
(b) 特殊位置平面上的点和直线
［例题2.11］已知正垂面△ABC、点D和E、直线DE的投影图，检验点D、E和直线DE是否在△ABC平面上。
图2.105 检验点D、E和直线DE是否在△ABC平面上
［解］
分析：因为正垂面△ABC的正面投影a′b′c′有积聚性，所以只要检验点D、E的正面投影d′、e′是否积聚在△ABC的有积聚性的正面投影a′b′c′上。
检验的结果：由于d′在a′b′c′上，所以点D在△ABC平面上，而e′不在a′b′c′上，所以点E不在△ABC平面上。
由于点E不在△ABC平面上，所以直线DE 也不在△ABC平面上。
［例题2.12］已知△ABC和点D的两面投影，以及△ABC平面上的直线EF的正面投影e′f′，检验点D是否在△ABC平面上，并作出直线EF的水平投影ef。
图2.106 检验点D是否在平面上，求直线EF的水平投影
［解］
①根据点在平面上，必在该平面的一条直线上。则过d在平面abc上任意画一条直线，并求得该直线在a′b′c′上的投影。
②由于d′不在a′b′c′的该直线上，所以：D不是△ABC平面上的点。
③根据直线在平面上，延长该直线必与不平行它的直线相交。则延长e′f′，分别与a′b′、b′c′交得2′、3′；引投影连线得2、3，连接2与3；再由e′、f′分别引投影连线，与23交得e、f，ef即为所求作的直线EF的水平投影。
［例题2.13］已知点A、B和直线CD的两面投影，求作过点A的正平面，过点B的与水平面的倾角为45°的正垂面，过直线CD的铅垂面，并分别说明各有几解。
图2.107 过点A作正平面，过点B作与水平面成45°倾角的正垂面，过直线CD作铅垂面
［解］
①因为正平面到V面距离=A点到V面距离。过a作平行OX轴的直线即为所求正平面P有积聚性的水平迹线PH，只有一解。
②因为正垂面的V面投影积聚成直线，并反映与水平面倾角。过b’作与OX轴成45°的直线即为正垂面有积聚性的正面迹线QV、 RV，有两解。
③因为铅垂面的H面积聚成直线。延长cd即为所作铅垂面T的水平迹线TH ，有一解。
(完成作图)
(2)平面上的投影面平行线和对投影面的最大倾斜线
［例题2.14］已知△ABC，在△ABC平面上取一点D，点D在H面之上15mm，在V面之前10mm，作出点D的两面投影。
图2.108 在△ABC平面上取于H面之上15、V面之前10的点D
［解］
①在OX轴之上15mm处作水平线ⅠⅡ。
② 在OX轴之前10mm处作OX的平行线，与12交得d，即为点D的水平投影；由d引投影连线，与1′2′交得d′，即为点D的正面投影。
(完成作图)
P平面上的对H面的最大倾斜线
平面上与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大倾斜线。
平面上对某一投影面的最大倾斜线，是与平面上的该投影面的平行线相垂直的直线；它与该投影面的倾角，也就是平面对该投影面的倾角。
① 当曲线所在的平面平行于投影面时，投影反映真形。
② 当曲线所在的平面垂直于投影面时，投影积聚成为一直线线段。
③ 当曲线所在的平面倾斜于投影面时，投影成为形状缩小的类似形。
2.2.3.4 平面上的曲线和图形
图2.109 平面曲线及其投影特性
（1）平面曲线及其投影特性
曲线可分成两类：所有的点都位于同一平面上的曲线称为平面曲线；连续四点不在同一平面上的曲线称为空间曲线。
(a)平行于投影面
(b) 垂直于投影面
(c) 倾斜于投影面
［例题2.15］已知三角形PQR平面内的平面曲线AE的水平投影，求作这条平面曲线的正面投影。
图2.110 作平面内的平面曲线AE的正面投影
［解］
①在ae上取点b、c、d，过a、b、 c、d、e作正平线，分别与qr交得1、2、3、4、5。将a1延伸，与pq交得f。
②过1、2、3、4、5、 f 引正面投影的连线，分别交得1′、2′、3′、4′、5′、f′，连1′和f′；过2′、3′、4′、5′分别作1′f′的平行线。从a、b、c、d、e分别引正面投影的连线，交得a′、b′、c′、d′、e′。
③用曲线板将a′、b′、c′、d′、e′顺序连成光滑曲线AE的正面投影。
在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形。
在与圆平面垂直的投影面上的投影成直线，长度等于圆的直径，中点是圆心的投影。
在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆。
（2）圆及其投影特性
图2.111 正平圆的投影
图2.112 铅垂圆的两面投影及作图过程
(3)平面图形
[例题2.16] 已知平面P为侧垂面，与H面的倾角为60°，又知平面P上的△ABC的正面投影△a′b′c′和点A的水平投影a、点B在点A的前下方。补全△ABC的水平投影，并作出它的侧面投影。
图2.113 作侧垂面P的迹线；补全平面P上的△ABC的水平投影，作出它的侧面投影
［解］
作图过程如图所示。
作平面图形的投影就是作平面上诸顶点的投影，然后顺次连接诸顶点的同面投影。
(完成作图)
［例题2.17］已知平面五边形ABCDE的水平投影abcde以及两边AB、BC的正面投影a′b′、b′c′，补全ABCDE的正面投影。
图2.114 补全平面五边形ABCDE的正面投影
［解］
作图过程如图所示。
(完成作图)
［例题2.18］已知正方形ABCD的左下边AB，正方形ABCD与H面的倾角为45°；已知处于正平面位置的正方形EFGH的顶边EF；已知一般位置的正方形IJKL的右前边JK，正方形IJKL的上、下边KL、IJ为水平线。分别补全这三个正方形ABCD、EFGH、IJKL的两面投影。
［解］
分析:正方形四边相等和四个内角都是直角。根据投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面的投影特性，以及平面上的投影面平行线、两直线垂直的投影特性，就可补全这三个正方形的两面投影。
图2.115 按已知条件分别补全正方形的两面投影
作图过程如图所示。
(完成作图)
2.2.4.1当两个几何元素至少有一个垂直于投影面时
直线与平面、或平面与平面（至少有一个垂直于投影面时）互相平行的投影特性是：它们的有积聚性的同面投影互相平行。
图2.116 当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性
2.2.4 直线与平面以及两平面的相对位置
(1)平行
直线与平面以及两平面的相对位置有平行、相交、垂直。
［例题2.19］已知点G和处于铅垂位置的矩形平面ABCD，以及直线EF的正面投影e′f′和端点E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。补全EF的水平投影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。
图2.117 补全直线EF的水平投影，过点G作矩形ABCD 的平行平面
［解］
①补全直线EF的水平投影
②过点G作矩形ABCD 的平行平面
(完成作图)
（2）相交
图2.118 作AB与矩形DEFG的交点，并表明可见性
分析：因交点是直线与平面的共有点，所以它的投影应在直线和平面的共有处。
交点是可见与不可见的分界点。其可见性可根据前遮后检定。检定后，将可见部分画成粗实线、不可见部分画中虚线。
直线与平面相交
［例题2.20］如图所示，作直线AB与铅垂的矩形平面DEFG的交点，并表明可见性。
［解］
作图过程如图所示。
直线与平面、或平面与平面（至少有一个垂直于投影面时）相交，可很方便地利用投影的积聚性求作交点或交线。
交点和交线的投影分别是可见与不可见投影的分界点或分界线。
［例题2.21］如图所示，作正垂线EF与平行四边形平面ABCD的交点，并表明可见性。
［解］
图2.119 作正垂线EF与ABCD的交点，并表明可见性
①作AB与侧垂面P的交点 K。
②判别并表明可见性。利用EF与CD的对H面的重影点检定：在ef与cd交点处注出 1(2)；1′在c′d′上，2′在e′f′上；由于CD高于EF，所以1可见 (2)不可见，表明k(2)段不可见。
(完成作图)
两平面相交
图2.66 两个平面多边形全交和互交
(a) 全交
(b) 互交
两平面的交线是一条直线，求作两平面的交线，常用的作图方法：先作出平面上的一条直线对另一平面的交点，同样也再作出第二个交点，然后连成交线。
［例题2.22］如图所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。
图2.121 作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性
［解］
①作三角形与铅垂矩形的交线KL。
②判断并表明可见性：在KL之右，三角形在矩形之前，三角形的正面投影可见，矩形的正面投影不可见；在交线KL之左则相反。
(完成作图)
［例题2.23］如图所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。
图2.122 作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性
［解］
①作三角形与铅垂矩形的交线KL。
②判断并表明可见性：在交线之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合处应是三角形可见，矩形不可见；在交线之左则相反。
(完成作图)
［例题2.24］如图所示，作平行于侧面的三角形ABC和垂直于正面的三角形DEF的交线，并表明可见性。
图2.123 作侧平面三角形ABC和正垂面三角形DEF的交线，并表明可见性
［解］
①作侧平面ABC和正垂面DEF的交线KL。
②判断并表明可见性：在交线KL之上，三角形ABC位于三角形DEF之左，三角形ABC的侧面投影可见，三角形DEF的侧面投影不可见；在交线KL之下则相反。
(完成作图)
（3）垂直
图2.124 特殊位置的直线与平面互相垂直
①直线与平面垂直
a)同一投影面的平行线与垂直面相垂直；
(b)同一投影面的垂直线与平行面相垂直
与投影面平行线相垂直的平面一定是该投影面的垂直面；
与投影面垂直线相垂直的平面一定是该投影面的平行面。
［例题2.25］如图所示，过点A作正垂面三角形CDE的垂线AB和垂足B，并确定点A与三角形CDE平面的真实距离。
图2.125 过A作三角形CDE的垂线和垂足，并求A与CDE平面的距离
［解］
作图过程如图所示。
(完成作图)
②两平面垂直
两平面中至少有一个平面处于特殊位置时的互相垂直
（a)平面与投影面垂直面相垂直
(b)平面与投影面平行面相垂直
①与某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含该投影面垂直面的垂线，可以是一般位置平面，也可以是这个投影面的垂直面或平行面。
②与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以是其它两个投影面的平行面。
图2.126 垂直于同一投影面的两平面相垂直的投影特性
两个垂直于同一投影面的平面互相垂直，它们的有积聚性的同面投影也互相垂直。
［例题2.40］如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直于正垂面P，过点C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R。
图2.127 过AB作一般位置平面垂直于正垂面P，过点C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R
①过一已知直线可以作一个已知平面的垂直面，而且只能作一个垂直面，这个平面应包含这条已知直线和一条垂直于已知平面的直线。
［解］
②过点C可以作无数个平面垂直于正垂面P。而现在加了是正垂面和正平面的条件限制，则只能分别作出一个平面。
(完成作图)
2.2.4.2 当两个几何元素都不垂直于投影面时
平面外的直线与该平面平行的几何条件是：这条直线平行于该平面上的一条直线。
（1）平行
两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。
当平面为一般位置时，常用上述几何条件来检验或求解有关直线与平面以及两平面平行的问题。
［例题2.27］已知直线AB、△CDE、点P的两面投影，检验直线AB是否平行于△CDE，并过点P作平行于△CDE的平面。
图2.128 检验AB是否平行△CDE，过P作平面平行△CDE
［解］
①检验AB是否平行△CDE
过c作cf∥ab，由f 引投影连线，与d′e′交得f′，连c′与f′。
②过P作平面平行△CDE
过p作pq∥cd， p′q′∥c′d′ ；过p′作pr∥ce ，p′r′∥c′e′ ，那么两相交直线PQ、PR所确定的平面，就是所求作的过点P且平行于△CDE的平面。
因c′f′ ∥a′b′，则CF∥AB，所以AB∥△CDE。
(完成作图)
（2）相交
图2.129 作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性
(b)用过直线的特殊位置的辅助平面求交点的作法概念
(a)已知条件
①直线与平面相交
当直线和平面的投影都不垂直投影面时，可采用通过直线加设辅助平面求作交点；直线与平面的同面投影相重合处的可见性，可依靠两交叉直线重影点的可见性检定。
(c)用铅垂面解题
图2.129 作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性
(d)用正垂面解题
当直线和平面的投影都无积聚性时求作交点的作图步骤：
①通过直线作垂直于投影面的辅助平面。
②作平面与辅助平面的交线。
③直线与上述交线的交点，就是所求作的直线和平面的交点。
(完成作图)
图2.130 作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性
②两平面相交
当两平面的投影都没有积聚性时，采用辅助平面法求交线常用的两种形式：
一是先作一个平面上的一条直线与另一个平面的交点（可以利用包含直线作垂直于投影面的辅助平面方法作出这条直线与平面的交点），同样地再找一条直线作出另一个交点，即为两个平面的两个共有点，便可连成它们的交线；
二是先作一个特殊位置辅助平面，分别作出辅助平面与这两个平面的交线，这两条交线的交点，即为辅助平面和这两个平面的三面共有点，也就是这两个平面的共有点，同样地再作出另一个共有点，将这两个共有点连成这两个平面的交线。
作图步骤：
图2.130 作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性
①作出平行四边形DEFG的DE边与三角形ABC的交点Ⅲ。?
②作出平行四边形的FG边与三角形ABC的交点Ⅳ。
③连3与4、3′与4′，即得所求的交线ⅢⅣ的两面投影34、3′4′。
④判别可见性：
根据水平投影的重点l(t)可知，L在T之上，故l可见t不可见，即CB在四边形之上，推知交线34之后三角形可见。另侧相反。
根据正面投影的重点u ′(v ′)可知，U在V之前，故u ′可见v ′不可见，即AC在四边形之后，推知交线3′4′之上四边形可见。另侧相反。
解题分析：
图2.131 作两一般位置平面ABC和DEFG的交线
求作由相交两直线AB、BC和平行两直线DE、FG所确定的两一般位置平面的交线。
(完成作图)
（3）垂直
①直线与平面垂直
图2.132 直线与一般位置平面相垂直的投影特性
直线与平面相垂直的几何条件：
该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线；
直线与一般位置平面相垂直的投影特性：
直线的水平投影与平面上水平线的水平投影相垂直；直线的正面投影与平面上正平线的正面投影相垂直；直线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影相垂直。
［例题2.28］如图所示，过点A作一平面垂直于一般位置直线BC。
［解］
图2.133 过A作平面垂直于BC
①过a′作OX轴的平行线a′d′，过a作ad垂直于bc，便作出了与BC相垂直的水平线AD。
②过a作OX轴的平行线ae，过a′作a′e′垂直于b′c′，便作出了与BC相垂直的正平线AE。
③相交两直线AD、AE所确定的平面ADE即为所求。
② 两平面垂直
两平面互相垂直的几何条件：
一个平面上有一条直线垂直于另一平面。
两平面互相垂直的投影特性
［例题2.29］如图所示，过点A作一平面，平行于直线BC，垂直于三角形DEF。
图2.134 过点A作平面平行于BC，垂直于三角形DEF
［解］
分析：按直线与平面平行和两平面垂直的几何条件，只要所作的平面既包含过点A的BC的平行线，又包含过点A的三角形DEF的垂线，就能满足题目的要求。
①过点A作AG∥BC：作ag∥bc，a′g′∥b′c′，就作出了AG的两面投影。?
②过点A作AH⊥△DEF：作△DEF平面上的一条水平线DⅠ和一条正平线DⅡ。过a作ah⊥d1，过a′作a′h′⊥d′2′，便作出了AH的两面投影。
③两相交直线AG和AH所确定的平面AGH即为所求。
［例题2.30］如图所示，检验两三角形ABC与DEF是否垂直。
图2.135 检验两三角形ABC和DEF是否垂直
［解］
①分别在三角形DEF平面上作水平线DⅠ和正平线DⅡ。
②过b′作b′g′垂直于d′2′，与a′c′交得g′；由g′引投影连线，与ac交得g，连b与g。检验bg是否与d1垂直：如bg与d1垂直，则在三角形ABC上能作出一条直线BG与三角形DEF相垂直，两三角形互相垂直；否则，两三角形不垂直。
结论：bg垂直于d1，所以检定了三角形ABC与DEF是互相垂直的。
求解点、直线、平面等几何元素以及它们之间的相对位置关系的度量和定位问题时，应注意：
(1)要理解题意，想象清楚已知和求作的几何元素之间的空间关系。
(2)根据点、直线、平面及其相对位置的投影特性和几何条件，用推理或轨迹等方法分析和思考出解题的步骤。
(3)运用几何原理和投影特性，按解题步骤在投影图中逐步准确作图，得出求解结果。
2.2.5 点、直线、平面的综合作图题示例
［例题2.31］如图所示，过点A作一般位置的三角形BCD的垂线AK和垂足K，并作出点A与三角形BCD之间的真实距离。
［解］
图2.136 过A作三角形BCD的垂线AK，并求真实距离
①在三角形BCD平面上作水平线DⅠ和正平线DⅡ；
②过A作三角形BCD的垂线AE；
③作AE与三角形BCD的交点，即为垂足K；
④作线段AK的真长。
(完成作图)
［例题2.32］如图所示，已知矩形ABCD的一边AB的两面投影及其邻边BC的正面投影b′c′，补全矩形ABCD的两面投影。
［解］
图2.137 补全矩形ABCD的两面投影
①过点B作平面垂直于AB。
②在AB的垂直面上，作出该平面上的直线BC的水平投影bc。
③过A、C分别作BC、AB的平行线，就可补全这个矩形的两面投影。
(完成作图)
本节完。
下节内容：
2.3 投影变换

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