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2.3 投影变换
2.3.1 投影变换的目的和方法
2.3.2 换面法以及用换面法
求解度量和定位问题示例
2.2.3 以投影面垂直线为轴的旋转法简介
2.3.1 投影变换的目的和方法
2.3.1.1 投影变换的目的
为了求解方便和作图简捷，求解几何元素对投影面不处于特殊位置的度量和定位问题时，常常使几何元素之间的相对位置保持不变，而改变其中的某些元素与投影面的相对位置，成为有利于解题的特殊位置，然后用改变成新位置后的特殊位置解题，这种方法称为投影变换。
当点、直线、平面等几何元素对投影面处于某些特殊位置时，它们的投影图能直接反映一些它们之间的度量关系、或定位问题，也就可以较简捷地求解它们之间的度量和相对位置。
2.3.1.2 两种常用的投影变换方法
图2.138 两种常用的投影变换方法
(a)换面法
(b)旋转法
保持几何元素的位置不动，更换一个投影面，使几何元素在新投影面体系中处于有利于解题的位置，这样的方法称为换面法。
保持投影面的位置不动，使几何元素绕同一条投影面垂直线旋转同一个角度，使几何元素旋转到有利于解题的位置，这样的方法称为旋转法。
2.3.1.3 在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况
图2.139 在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况（1）
(a)两点间的距离，直线的真长
(b)点与直线的距离(一)
(c)点与直线的距离(二)
(d)两平行直线的距离(一)
(e)两平行直线的距离(二)
(g)两交叉直线的距离(二)
(h)点与平面的距离
(i)平行的直线和平面的距离
图2.139 在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况（2）
(f)两交叉直线的距离(一)
(j)两平行平面的距离
(m)两交叉直线的夹角
(n)直线与平面的夹角
(o)两相交平面的夹角
图2.139 在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况（3）
(k)平面图形的真形
(l)两相交直线的夹角
2.3.2 换面法以及用换面法解定位及度量问题示例
2.3.2.1 换面法的原理和基本作图
(1)换面时必须保留原投影面体系中的一个投影面，新投影面垂直于保留的投影面。
(2)新投影面应选择在使选定的几何元素处于便利解题的位置。如一次换面不能解决问题，可连续换面两次，必要时，也可进行更多次换面。
(3)必须充分理解和熟练掌握换面法的基本作图，也就是理解和熟练掌握点的投影变换的作图法。
用换面法解题时必须遵循下述的规定：
保留H面、更换V面，形成H、V1新投影面体系的基本作图：
①按实际需要确定投影轴，由点的原有投影作垂直于新投影轴的投影连线。
②在这条投影连线上，从新投影轴向新投影面一侧，量取点的被更换的投影轴到被更换的投影之间的距离，就得到该点的新投影。
图2.140 作点的V1面投影
(a)立体图
(b)投影图
图2.141 作点的H1面投影
(a)立体图
(b)投影图
保留V面、更换H面，形成H1、V新投影面体系的基本作图：
图2.142 点的两次换面
(a)立体图
(b)投影图
用换面法进行两次换面的基本作图：
2.3.2.2 用换面法解题的六个基本情况
图2.143 将一般位置直线变换成V1面平行线
(a)立体图
(b)投影图
(1)一次换面可将一般位置直线变换为投影面平行线，新投影轴应平行于直线的原有投影。
图2.144 将V面平行线变换成H1面垂直线
(a)立体图
(b)投影图
(2)一次换面可将投影面平行线变换成另一投影面的垂直线。新投影轴应垂直于直线所保留的反映真长的投影。
图2.145 将一般位置直线变换成投影面垂直线
(3)两次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直线。先将一般位置直线变换成投影面平行线，再将投影面平行线变换成投影面垂直线。
图2.146 将一般位置平面变换成V1面垂直面
(a)立体图
(b)投影图
(4)一次换面可将一般位置平面变换成投影面垂直面。新投影轴应与平面上平行于原有投影面的直线的原有投影相垂直。
图2.147 将V面垂直面变换成H1面平行面
(5)一次换面可将投影面垂直面变换成投影面平行面。新投影轴应平行于这个平面的有积聚性的原有投影。
图2.148 将一般位置平面变换成H2面平行面
(6)两次换面可将一般位置平面变换为投影面平行面，先将一般位置平面变换成投影面垂直面，再将投影面垂直面变换成投影面平行面。
[例题2.33] 已知直线AB的正面投影a′b′和点A的水平投影a，并知点B在点A的前方，AB与V面的倾角为30，用换面法补全AB的水平投影ab。
图2.149 按给定条件补全AB的水平投影ab
［解］
①在适当位置作O1X1∥a′b′。
②由a′、a作出a1。由a1按a′b′的方向作与O1X1轴成30°的直线；由b′作O1X1的垂线，与上述直线交得b1。
分析：将AB线变换成H1面平行线，则可反映AB与V面的倾角。
③将H1、V新投影面体系中的点B返回H、V原投影面体系，即由新投影b1反求被更换的投影b。
2.3.2.3 用换面法求解定位和度量问题示例
[例题2.34] 如图所示，已知在V、W两面体系中的侧垂的三角形ABC，用换面法作出它的真形。
图2.150 作出三角形ABC的真形
［解］
①在适当位置作O1Z1 ∥ a ″ b ″ c ″ 。
②分别由a″、b″、c″和a′、b′、c′作出a1′、b1′、c1′，将a1′、b1′、c1′连成三角形，即为三角形ABC的真形。
[例题2.35] 如图所示，已知由四个梯形平面所构成的料斗的两面投影，求料斗相邻两平面之间的夹角的真实大小。
图2.151 作料斗相邻壁面间夹角的真实大小
［解］
①在适当位置作O1X1∥cd。将CD变换为新投影面体系中的平行线。
②进行第二次换面。同时处于H2面垂直面位置的后壁面和右壁面的有积聚性的H2面投影，它们之间的夹角，就是两相邻壁面的夹角。
分析：将两个相邻平面用变换成同时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的交线变换成投影面垂直线。
[例题2.36] 如图所示，已知一般位置的三角形ABC的两面投影，用换面法求作它的真形，并作出它的外接圆圆心E的两面投影。
图2.152 作三角形的真形和外接圆圆心的投影
［解］
②将V1面垂直面变换为H2面平行面而作出真形。
①将一般位置的三角形ABC变换为V1面垂直面。
③在反映三角形ABC真形的H2面投影中作出外接圆圆心E的投影e2，然后再逐步作出点E的其它投影。
2.3.3 以投影面垂直线为轴的旋转法简介
（2）应使几何元素能旋转到有利于解题的位置来选择旋转轴。如一次旋转不能解决问题，可以再绕垂直于另一投影面的旋转轴旋转。
在旋转法中也有与换面法相类似的六个基本情况。
2.3.3.1 旋转的原理和基本作图
（1）旋转轴必须垂直投影面中任一个，所有几何元素都绕旋转轴按同一方向旋转同一个角度。这样就不会改变所有几何元素彼此间的相对位置。
用旋转法解题时必须遵循下述的规定：
图2.153 只绕铅垂线旋转示例
(a)立体图
(b)投影图
在H、V两面体系中，将A点绕铅垂直线BD旋转。
①在旋转轴垂直的投影面中，以旋转轴的有积聚性的投影为圆心，过点的原投影作圆弧，将原投影转到选定的新位置处，得新投影。
②在另一投影面中，过点的原投影作投影轴的平行线，然后由旋转轴垂直的投影面上的新投影作投影连线，交得该点的另一新投影。
用旋转法进行点的旋转的基本作图：
过空间点绕旋转轴作圆弧。
①在旋转轴垂直的投影面中投影：以旋转轴的有积聚性的投影为圆心，过点的原投影作圆弧。
②在另一投影面中，过点的原投影作投影轴的平行线。
图2.154 只绕正垂线旋转的投影图示例
①在旋转轴垂直的投影面中，以旋转轴的有积聚性的投影为圆心，过点的原投影作圆弧，将原投影转到选定的新位置处，得新投影。
②在另一投影面中，过点的原投影作投影轴的平行线，然后由旋转轴垂直的投影面上的新投影作投影连线，交得该点的另一新投影。
用旋转法解题时，通常只要画出旋转轴的有积聚性的投影以及点的旋转过程，不画出旋转轴的另一投影。
在H、V两面体系中，将A点绕正垂线旋转。
用旋转法进行点的旋转的基本作图：
(a)立体图
(b)投影图
2.3.3.2 用一次旋转解题最常用的两个基本情况
图2.155 将一般位置直线旋转成正平线
（1）一次旋转可将一般位置直线旋转成某一投影面的平行线，显示直线的真长及其与另一投影面的倾角。
图2.156 将正垂面旋转为水平面
真形
（2）一次旋转可将投影面垂直面转成投影面的平行面，显示平面真形。
本节完。
下节内容：
2.4 平面立体、曲面、曲面立体
和空间曲线的多面正投影

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