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2.5 平面、直线与立体相交
以及两立体相交
2.5.1 平面、直线与立体相交
2.5.2 两立体相交
2.5.1 平面、直线与立体相交
图2.188 平面与平面立体相交的概念
2.5.1.1 平面与平面立体相交
平面与立体表面的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为断面。直线与立体表面的交点称为贯穿点。
求截交线方法：
利用积聚性的投影求截交线；
利用求作直线和平面的交点的方法作截交点，再连成截交线。
判断截交线的可见性：
截交线所在的表面可见，则截交线可见；
反之，则截交线不可见。
（1）平面与棱柱相交
图2.189 作正三棱柱的截交线及断面真形
如图所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P截去左端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。
［解］
①作截交线的投影
②作断面的真形
（完成作图）
（2）平面与棱锥、棱台相交
图2.190 作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形
如图所示，求作三棱锥SABC的侧面投影，以及被正垂面P截得的截交线的三面投影，并作出断面的真形。
［解］
①作三棱锥的侧面投影
②作截交线的三面投影
③作断面的真形
（完成作图）
如图所示，正三棱锥被一个正垂面和一个水平面切割成一个具有切口的三棱锥，补全这个具有切口的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。
图2.191 补全正三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影
(b)切口和截交线的分析
［解］
①作三棱锥的侧面投影
②作截交线的三面投影
（完成作图）
如图所示，补全具有正四棱柱孔的正四棱台被正垂面切割后的截断体的水平投影，作出它的侧面投影，并作断面的真形。
图2.192 补全水平投影，作出侧面投影和断面真形
［解］
①作出尚未切割时的正四棱台的侧面投影
②补全具有正四棱柱孔的截断体的水平投影和侧面投影
③作断面的真形
（完成作图）
直线与平面立体相交，当直线或平面立体表面的投影有积聚性时，利用投影的积聚性可以很方便地作出贯穿点。
如图所示，求作直线AB与正四棱柱的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。
2.5.1.2 直线与平面立体相交
图2.193 作AB与正四棱柱的贯穿点，表明可见性
（1）直线或平面立体表面的投影有积聚性时相交
［解］
①由水平投影的积聚性作贯穿点1
②由正面投影的积聚性作贯穿点2
③判别可见性，将可见部分画成粗实线
（完成作图）
如图所示，求作直线AB与正四棱锥的侧面投影，作出贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。
图2.194 作AB与正四棱锥的贯穿点，表明可见性
［解］
①作直线AB和正四棱锥的侧面投影
②作贯穿点的投影
③表明直线AB的投影及其可见性
（完成作图）
（2）直线和平面立体表面的投影都无积聚性时相交
图2.195 作AB与三棱锥的贯穿点，表明可见性
如图所示，求作直线AB与三棱锥的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。
［解］
方法一:
方法二:
(a)已知条件
(b)方法一
（ c）方法二
（完成作图）
2.5.1.3 平面与曲面立体相交
截平面与曲面立体表面相交所形成的截交线，可能是一条封闭的平面曲线，也可能是由曲线和直线围成的平面图形，在特殊情况下还可能是多边形。截交线的形状与曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。
曲面立体的截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的点也都是截平面和曲面立体表面的共有点，当截交线是曲线时，通常都是先作出这些共有点，然后连成截交线。当截交线是曲线时，截交线上有一些能控制截交线的形状和范围的点，包括曲面投影转向轮廓线上的点；极限位置点，即最左、最右、最前、最后、最高、最低的点；对称的截交线在对称轴上的顶点；以及截交线的曲线段的端点等，称为特殊点。其它的点则称为一般点或中间点。
（1）平面与圆柱相交
表2.10 圆柱面上的截交线
如图所示，求作圆柱被正垂面P截切的截交线，并作出断面真形。
图2.196 作圆柱的截交线，并求断面真形
［解］
①作截交线椭圆的特殊点。
②作截交线上的一般点。
③判别可见性，顺次连接各点成截交线的侧面投影。
④作断面真形。
（完成作图）
如图所示，求作轴线为侧垂线的圆柱被两个水平面和一个正垂面截切后，取去了上面被切割部分的截余体的水平投影和侧面的投影。
图2.197 作圆柱被切割后的水平投影和侧面投影
［解］
①作中间的正垂截平面与圆柱面的截交线。
②作两端的水平截平面与圆柱面的截交线。
③完成截余体的水平投影和侧面投影。
（完成作图）
（2）平面与圆锥相交
表2.11 圆锥面上的截交线
如图所示，求作正垂面P与圆锥的截交线的水平投影，截断体的侧面投影，并作出断面的真形。
图2.198 作圆锥的截交线和截断体的侧面投影，断面真形
［解］
①用双点画线画出圆锥未截切时的侧面投影。
②作截交线椭圆的水平投影和侧面投影。
③完成截断体的侧面投影。
④作断面真形。
（完成作图）
如图所示，求作由两个铅垂面和一个侧平面截切掉圆锥前面一部分后的截余体的正面投影和侧面投影。
图2.199 作圆锥的截余体的水平投影和侧面投影
［解］
①在水平投影中标绘出诸截交线和相邻断面的交线的投影符号。
②作截交线和相邻断面的交线的正面投影和侧面投影。
③完成截余体的正面投影和侧面投影
78
（完成作图）
（3）平面与球相交
图2.200 作铅垂面P与球的截交线和截断体的正面投影
如图所示，求作铅垂面P与球的截交线和截断体的正面投影。
［解］
②完成截断体的正面投影。
①作截交线的正面投影。
（完成作图）
如图所示，半球被左右对称的两个侧平面和一个水平面在顶部截切成一个前后贯通的槽，补全这个带槽的半球的水平投影和侧面投影。
图2.201 补全带槽半球的水平投影和侧面投影
［解］
①作水平截面的投影。
②作侧平截面的投影。
③整理、补充，完成作图。
（完成作图）
(4)平面与其它回转体相交示例
图2.202 作截交线，并求断面真形
如图所示，求作正垂面P与具有内环面表面的回转体的截交线，作出截断体的水平投影，并求断面真形。
［解］
②完成截断体的水平投影。
①作截交线的水平投影。
③作断面真形。
（完成作图）
2.5.1.4 直线与曲面立体相交
（1）直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交
如图所示，求作直线AB与轴线垂直于侧面的圆柱的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。
［解］
②表明直线的投影及其可见性。
①作贯穿点。
图2.203 作AB与圆柱的贯穿点，并表明可见性
（完成作图）
如图所示，求作直线AB与圆锥的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。
图2.204 作AB与圆锥的贯穿点，并表明可见性
［解］
(1)作贯穿点。
①用纬圆法解题
(2)表明直线的投影及其可见性
(a)已知条件
(b)用纬圆法解题
②用素线法解题
(c)用素线法解题
（完成作图）
（2）直线和曲面立体表面的投影都无积聚性时相交
图2.205 作AB与球的贯穿点，并表明可见性
如图所示，求作正平线AB与球的贯穿点，并表明直线AB的投影及其可见性。
［解］
②作出了贯穿点的投影。
①过AB作正平面P为辅助截平面。
①过直线作特殊位置辅助截平面，能与曲面立体截切到直线或平行于投影面的圆时，求作贯穿点。
③表明可见性。
（完成作图）
②用投影变换求作贯穿点
图2.206 作直线与球的贯穿点，并表明可见性
如图所示，求作一般位置直线AB与球的贯穿点，并表明直线AB的投影及其可见性。
［解］
②作贯穿点。
①过AB作铅垂的辅助截平面P，将它变换成V1面平行面，在H、V1新投影面体系中求作截交线。
③表明直线AB的投影及其可见性。
（完成作图）
两立体相交也称两立体相贯，这样的立体称为相贯体。两立体表面的交线称为相贯线，相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点都是两立体表面的共有点。
相贯线的形状由两立体的形状和它们的相对位置所确定。当一个立体全部贯穿另一个立体时，称为全贯，有两组相贯线；但当一个立体全部穿进另一立体后，不穿出来了，虽属全贯，便只有一组相贯线。当两个立体互相贯穿时，称为互贯，两立体互贯时，只有一组相贯线。
相贯线各段投影的可见性，由两个立体交出这段相贯线的表面的可见性所确定：只有当两个立体的表面都是可见时，相贯线段的投影才可见；否则相贯线段的投影不可见。
2.5.2 两立体相交
2.5.2.1 两平面立体相交
两平面立体的相贯线通常是封闭的空间折线；有时也可能是一个平面多边形，即封闭的平面折线；在特殊情况下，还可能是不封闭的。每段折线是两个平面立体上有关表面的交线，折点则是一个立体的轮廓线与另一立体的贯穿点。
求作两平面立体的相贯线常采用两种方法：一种方法是分别作出立体的诸棱线与另一立体的贯穿点，然后将既位于一个立体的同一表面上、又位于另一立体的同一表面上的两点依次连成相贯线；另一种方法是顺次求作两立体有关表面的交线。有时，也将这两种方法联合使用。
当立体表面的投影有积聚性时，则可利用投影的积聚性求作相贯线。
如图所示，求作两三棱柱的相贯线，并补全相贯体的正面投影。
图2.207 作两三棱柱的相贯线，并补全相贯体的正面投影
(a)已知条件
(b)解题分析
［解］
(c)作图过程和结果
(d)清理图面后的投影图
①补全棱线的正面投影
②作出诸棱线与另一三棱柱的贯穿点
③连相贯线的正面投影，并表明可见性
④补全相贯体的正面投影
（完成作图）
如图所示，求作三棱柱与三棱锥的相贯线，并补全相贯体的水平投影和侧面投影。
图2.208 作三棱柱与三棱锥的相贯线，并补全投影
［解］
①作诸棱线的贯穿点和两立体的相贯线
②补全相贯体的水平投影和侧面投影
(a)已知条件
(b)解题分析
(c)作图过程和结果
(d)清理图面后的投影图
（完成作图）
如图所示，三棱锥被前后穿通了一个正三棱柱形状的贯通孔，补全这个具有三棱柱贯通孔的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。
图2.209 补全具有三棱柱孔的三棱锥的投影
［解］
①作未开孔时的三棱锥的侧面投影
②作前后两组孔口线的水平投影和侧面投影
(a)已知条件
(b)解题分析
(c)作图过程和结果
(d)清理图面后的投影图
③画出孔壁交线的投影，补全水平投影和侧面投影
（完成作图）
孔口线的作法完全与相贯线的作法相同。
如图所示，有一座双坡屋顶的房屋，在前墙面的中部有向前接出一座稍低的双坡屋顶的房屋；在屋脊处，有一个前后对称的烟囱，求作烟囱与房屋的相贯线的水平投影和正面投影。
图2.210 作房屋的相贯线，并补全投影
［解］
①作两座房屋的相贯线的水平投影，并补全这个模型的水平投影
②作烟囱和房屋的相贯线的正面投影，补全这个模型的正面投影
(a)已知条件
(b)解题分析
(c)作图过程和结果
（完成作图）
求平面立体与曲面立体的相贯线，可归结为求平面立体的表面与曲面立体的截交线，以及求平面立体的轮廓线与曲面立体的贯穿点。
如图所示，求作三棱柱与圆锥的相贯线，补全相贯体的三面投影。
2.5.2.2 平面立体与曲面立体相交
图2.211 作三棱柱与圆锥的相贯线，补全三面投影
(a)已知条件
［解］
①作出未求作相贯线时的相贯体的侧面投影轮廓
②作相贯线的水平投影和侧面投影
③补全相贯体的水平投影
(b)用纬圆法求解
(c)用素线法求解
（完成作图）
如图所示，求作具有三棱柱贯通孔的圆锥的三面投影。
图2.212 具有三棱柱贯通孔的圆锥
(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果
［解］
孔口线的作法与相贯线的作法相同。
①作出未求作相贯线时的相贯体的侧面投影轮廓
②作相贯线的水平投影和侧面投影
③补全贯通孔的投影
（完成作图）
图2.213 作正三棱柱与半球的相贯线，补全投影
［解］
如图所示，求作正三棱柱与半球的相贯线的正面投影，补全相贯体的正面投影，并作出相贯体的侧面投影。
①作出未求作相贯线时的相贯体的侧面投影轮廓
②作相贯线的正面投影和侧面投影
③补全相贯体的正面投影
（完成作图）
(a)已知条件
(b)作图过程和结果
(c)清理图面后的投影图
图2.214 具有三棱柱孔的半球的三面投影
［解］
如图所示，求作具有三棱柱孔的半球的三面投影。
①作出未求作相贯线时的相贯体的侧面投影轮廓
②作相贯线的正面投影和侧面投影
③补全相贯体的正面投影
（完成作图）
(a)已知条件
(b)作图过程和结果
(c)清理图面后的投影图
孔口线的作法与相贯线的作法相同。
图2.215作坡屋面与半圆拱屋面的交线，补全投影
［解］
如图所示，作房屋的坡屋面与半圆拱屋面的交线，并补全这个房屋的水平投影。
①作出左、右坡屋面与前半拱屋面的交线的端点，并补全坡屋面屋脊线的水平投影。
②作出两条交线的若干中间点，连出两条交线的水平投影。
（完成作图）
2.5.2.3 两曲面立体相交
两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线；在特殊情况下可能是平面曲线；有时也可能由直线或直线和曲线所组成。
求作两曲面立体的相贯线时，除了相贯线段是直线或平行于投影面的圆可以直接求作外，通常是先作出两曲面立体表面上的一些共有点，然后将这些点连成相贯线。求作相贯线上的点时，与求作截交线相类似，首先要在可能和作图较方便的情况下，作出能控制相贯线的形状和范围的特殊点。特殊点包括转向轮廓线上的点；极限位置点，也就是最左、最右、最前、最后、最高、最低的点；对称的相贯线在对称平面上的点等。然后，按需在相贯线上的点较稀疏处或曲率变化较大处求作一些一般点。最后，将这些相贯线上的点连成相贯线。
（1）用表面取点法和辅助平面法作两曲面立体的相贯线
图2.216 作两圆柱的相贯线
(a)已知条件
(b)用表面取点法作图
［解］
如图所示，求作两圆柱的相贯线。
①作相贯线上的特殊点。
②作相贯线上的一般点。
方法一：用表面取点法
③将作出的诸点连成相贯线。
（完成作图）
如图所示，求作两圆柱的相贯线。
［解］
图2.216 作两圆柱的相贯线
(c)选择辅助平面
(d)用辅助平面法作图
①选择辅助平面，作相贯线上的特殊点。
②作相贯线上的一般点。
方法二：用辅助平面法
③将作出的诸点连成相贯线。
（完成作图）
两圆柱的相贯线的三种不同形式:
图2.217 两圆柱的相贯线的三种不同形式
(a)两实心圆柱相交 (b)圆柱孔与实心圆柱相交 (c)两圆柱孔相交
如图所示，作圆台与半球的相贯线，并补全相贯体的投影。
图2.218 补全相贯体的投影
［解］
①作相贯线上的特殊点。
②作相贯线上的一般点。
③连出相贯线的三面投影，并补全这个相贯体的侧面投影。
选择辅助平面
（完成作图）
清理图面后的投影图
(2)两曲面立体在特殊情况下的相贯线
如果两个直纹面的曲面立体恰巧交于共同的直线素线，则产生直线的相贯线段。
相贯线由直线和曲线组成
如果一个直纹面的曲面立体恰巧与另一个曲面立体的平面表面相交，或两个曲面立体的平面表面相交，则产生直线的相贯线段。
两曲面立体的相贯线为平面曲线有两种比较常见的特殊情况：
图2.219 同轴回转体的相贯线示例
(a)已知条件
(b)作图结果
①两同轴回转体的相贯线是垂直于轴线的圆。
②当两个圆柱、两个圆锥或圆柱和圆锥的轴线相交，且都平行于同一个投影面，当它们能公切于一个球时，相贯线是垂直于这个投影面两个椭圆。
图2.220 圆柱或圆锥公切于一个球面时的相贯线示例
(d)正交的圆锥
(a)正交等径圆柱
(b)斜交的等径圆柱
(c)圆柱和圆锥
如图所示，四根柱子支承一个十字拱顶，十字拱的外壁交线和内壁交线分别都是位于两个铅垂面内的半椭圆。
图2.221 等径十字拱的相贯线示例
(a)立体图
(b)投影图
本节完。
下节内容：
2.6 轴测投影

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