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2.4 平面立体、曲面、曲面立体
和空间曲线的多面正投影
2.4.1 平面立体
2.4.2 曲面和曲面立体
2.4.3 空间曲线、圆柱螺旋线和螺旋面
2.4.1 平面立体
2.4.1.1 棱柱及其表面上的线和点
图2.157 正六棱柱的投影
(a)立体图
(b)投影图
(c)用45°辅助线作投影图
投影规律：水平投影与正面投影长对正；正面投影与侧面投影高平齐；水平投影与侧面投影宽相等。
平面立体是全部表面由平面围成的立体，也称多面体。
棱柱表面上的点和线的投影
图2.158 补全正五棱柱表面上的点和线的三面投影
分析：从已知条件可知，点A在顶面上，点B在底面上;点C在左后棱面上，点D在右后棱面上；EF、FG段分别是左前棱面、右前棱面上的线段，其点E、F、G位于棱线上。GH、HI段分别是右后棱面、后棱面上的线段，其点H、I位于棱线上。
2.4.1.2 棱锥及其表面上的线和点
图2.159 正五棱锥的投影
(a)立体图
(b)投影图
棱锥的投影图的作图
已知棱锥的两面投影和表面上的点的水平投影，求作它的正面投影。
图2.160 在正三棱锥表面上作点D的正面投影
(a)已知条件
(b)作法一
(c)作法二
(d)作法三
［例题2.37］如图所示，已知正五棱锥表面上的点F、K、L和直线GH的一个投影，补全这些点和直线的三面投影。
图2.161 补全正五棱锥表面上的点和直线的三面投影
［解］
①作45°辅助线
②补全点K、L的三面投影
④补全直线GH的三面投影
③补全点F的三面投影
2.4.1.3 一些常见的平面立体的投影图示例
图2.162 一些平面立体的投影图示例
(a)正三棱柱
(b)左端切割成正垂面的L形柱
图2.162 一些平面立体的投影图示例
(c)斜三棱柱
(d)正四棱台
图2.162 一些平面立体的投影图示例
(e)楔形块
(f)叠加组合体
2.4.2.1曲面的形成和分类
曲面按其形成有无规律而分成：不规则曲面和规则曲面。
规则曲面可以看作为一条线按一定的规律运动的轨迹，这条线称为母线，母线的任一位置称为素线，控制母线运动的点、线、面，分别称为导点、导线、导面。母线可以是直线，也可以是曲线。
曲面根据是否由母线绕轴线旋转而形成分为回转面和非回转面。
曲面按是否能展开成平面而分成可展曲面和不可展曲面。
由曲面或曲面和平面所围成的立体是曲面立体。
2.4.2 曲线和曲面立体
2.4.2.2 回转面和回转体
图2.163 圆柱的投影
(1)圆柱
(a)立体图
(b)投影图
已知圆柱表面上的点A、B的水平投影a(b)，以及曲线CD的正面投影c′d′，补全这些点和线的三面投影。
图2.164 补全圆柱表面上给定的点和线的三面投影
［解］
①因为a(b)位于圆周内，所以点A和B分别是圆柱的顶面和底面上。
②由于c′d′可见，所以CD是前半圆柱面上的椭圆曲线。
(2)圆锥和圆台
图2.165 圆锥的投影
(a)立体图
(b)投影图
已知一个圆锥的三面投影及其表面上的点A的正面投影a′，求作点A的水平投影a和侧面投影a″。
图2.166 作圆锥表面上的点的投影
(a)已知条件
(d)纬圆法
(b)解题分析
(c)素线法
素线
素线
纬圆
用过圆锥面上的点取素线来求作这个点的投影的方法，称为素线法。
用过圆锥面上的点取纬圆来求作这个点的投影的方法，称为纬圆法。
圆台的投影图的作图
图2.167 圆台的投影
(a)立体图
(b)投影图
(3)球
图2.168 球的投影
(a)立体图
(b)投影图
已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的点A的正面投影，需求作球的侧面投影，以及点A的水平投影a和侧面投影a″。
（a)已知条件
［解］
图2.169 作球体表面上的点的投影
(b)作法一
(c)作法二
(d)作法三
(4)环
图2.170 环的投影
(a)立体图
(b)投影图
当母线圆绕圆平面上不过圆心的直线旋转一周所形成的回转面是环面，简称环。
已知环面上顺次向后的四个点A、B、C、D的互相重合的正面投影a′(b′)(c′)(d′)，作出这四个点的水平投影，并表明可见性。
［解］
图2.171 作环面上的点的投影
作图过程如图所示。
(完成作图)
(5)组合回转面及其构成的组合回转体
图2.172 一般回转面或组合回转面
(a)立体图
(b)投影图
由一条平面曲线绕与其同面的轴线旋转形成的回转面。
(6)单叶双曲回转面
图2.173 单叶双曲回转面的形成和投影
(b)曲面的形成
(c)投影图
由直线绕与其交叉的轴线旋转形成的曲面，称为单叶双曲回转面。
(a)轴线与母线
(7)切割或叠加的回转体
图2.174 切割或叠加的回转体示例
(c)半圆柱切割掉半个圆台
(a)四分之一圆管
(b)四分之一环
图2.174 切割或叠加的回转体示例
(d)圆柱切割掉半球
(e)半球与圆柱相切
(f)圆台与半球相交
如图所示，作出这个三个同轴回转体叠加组成的组合回转体的侧面投影以及在这个组合回转体表面上前后对称的连接成封闭的若干线段的水平投影和侧面投影。
［解］
图2.175 画出组合回转体的侧面投影及表面上的线的投影
作图过程如图所示。
(完成作图)
2.4.2.3 一些常用的非回转直纹面
图2.176 柱面及其形成
(1) 柱面
(a)椭圆柱面
(b)斜圆柱面
图2.177 有轴柱面示例
(c)斜椭圆柱面
直母线沿着一条曲导线且平行于一条直导线运动而形成的曲面称为柱面。
(2) 锥面
图2.178 锥面及其形成
(a)椭圆锥面
(b)斜圆锥面
图2.179 有轴锥面示例
(c)斜椭圆锥面
直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动而形成的曲面称为锥面，这个导点称为锥面的顶点。
(3) 翘平面
图2.180 双曲抛物面的形成及其投影图
直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动而形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。
翘平面在解析几何中称为双曲抛物面，由于它是复线织面，所以放样、支模和铺设钢筋等工作比较方便，在土木工程中有较广泛的应用，如：屋面、挡土墙、护坡、渠道边坡等。
图2.181 双曲抛物面的应用示例
(a)屋面
(b)河岸的过渡曲面
(4) 锥状面
图2.182 锥状面的形成、投影图和应用实例
(a)形成和投影图
(b)应用实例—屋面
直母线沿着一条直导线和一条曲导线且平行于一个导平面运动而形成的曲面称为锥状面。
(5) 柱状面
图2.183 柱状面的形成、投影图和应用实例
直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动而形成的曲面称为柱状面。
(a)形成和投影图
(b)应用实例—桥墩
2.4.3 空间曲线的投影
(b)投影图
空间曲线的投影是由该空间曲线上的各点向投影面的作投影，将这些点的投影顺序光滑地连接，即为空间曲线的投影。
图2.184 空间曲线的投影
(a)立体图
2.4.3.1 空间曲线
2.4.3.2 圆柱螺旋线和平螺旋面
一动点沿圆柱面的直母线作等速移动，这条直母线又绕圆柱面的轴线作等速旋转，则该点形成位于这个圆柱面上的一条空间曲线，称为圆柱螺旋线。
圆柱螺旋线有三个基本要素：
(1)半径r：即圆柱螺旋线所在的圆柱面的半径。
(2)导程s：即动点随圆柱面上的直母线旋转一周时，沿直母线所移动的轴向距离。
(3)旋向(左旋或右旋)：当动点沿直母线移动和绕圆柱面的轴线旋转符合右手法则时，称为右旋；若符合左手法则时，称为左旋。
圆柱螺旋线的三要素
图2.185圆柱螺旋线和平螺旋面
(c)平螺旋面
(d)中空的平螺旋面
（b）圆柱螺旋线的绘制
［解］
图2.186 作一段螺旋方管的正面投影
［例题2.38］已知一段右旋螺旋方管的轴线和右下端管口的两面投影，这段螺旋方管的水平投影，并知螺旋方管的导程为管口边长的十二倍，作这段螺旋方管的正面投影。
2.4.3.4圆柱螺旋线和平螺旋面的应用示例
作图过程如图所示。
(完成作图)
(b)作楼梯板底面
(c)作踏步和结果
［解］
(d)只画可见投影的投影图
图2.187 作一段螺旋楼梯的正面投影
［例题2.39］如图所示，作出这段螺旋楼梯在一个导程范围内的正面投影。
(a)已知条件
本节完。
下节内容：
2.5 平面、直线与立体相交
以及两立体相交

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