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2.7 标高投影
2.7.1 点和直线
2.7.2 平面
2.7.4 应用示例
2.7.3 曲线、曲面及地面
标高投影是水平投影上加注高程和比例的单面正投影图。
地形图就是地面的标高投影，通常以地面的诸等高线在水平基准面的投影上标注高程和加注比例。
比例可采用比例尺(附有其长度单位)的形式，也可采用标注比例的形式。
高程是用数字表示等高线与水平基准面之间的距离。常用的高程单位为米。水平基准面的高程为零，基准面以上的高程为正，基准面以下的高程为负。
图2.244 广场及其水平通道的标高投影
2.7.1 点和直线
由图a立体示意图可知，空间有三个点A、B、C，则它们的标高投影是在高程为零的水平基准面H上的正投影a、b、c和它们的投影符号的右下角加注各点距离水平基准面的高程数字4、0、-2。这些标注的高程数字称为点A、B、C的标高。
图b，称为它们的标高投影图。
2.7.1.1点的标高投影
图2.245点的标高投影
(a)立体图
(b)标高投影
2.7.1.2直线的标高投影的一般表示法
图2.246 直线的标高投影的一般表示法
(a)立体图
(b)标高投影
直线的标高投影一般由它的水平投影并加注两个端点的标高和比例来表示。
2.7.1.3直线的刻度、坡度和平率
(1)直线上任意两点的高差H 和这两点间直线的水平投影长度L之比，称为直线的坡度i。直线上任意两点的水平距离L与它们的高差H之比，称为该直线的平率l。
图2.247 直线的坡度与平率
(a)立体图
(b)标高投影
(2)直线的标高投影的刻度，就是在直线的标高投影上定出各整数标高点，并标注它们的整数标高。
4.75m
用比例尺量得AB的水平距离L=4.75m；
则AB的坡度i=H/L=(3.6-1.7)/4.75=0.4；AB的平率l=1/i=1/0.4=2.5。
2.5m
1
C2.1
C
1mxi
1mxl
1mxl
［例题2.40］如图a所示，求作直线AB的真长、对水平面的倾角，以及AB上的点C的高程。
图2.248 作AB的真长，对水平面的倾角，及点C的高程
［解］
(a)已知条件
(c)图解法二
（b）图解法一
完成作图
(1)用数解法求解
用比例尺量得AB的水平距离L=6.3m，而高差H=5-1.5=3.5m，
AB的真长为:
与水平面的倾角a=arctanH/L=arctan3.5/6.5 ≈29°
量得AC的水平距离为4m，则点C的高程是1.5+4×3.5/6.3 ≈ 3.7m。
(2)图解法一:用直角三角形法图解,如图b所示。
(3)图解法二:用平行直线的铅垂面求解，如图c所示。
1.5
3.7
5
2.2
5-1.5
［例题2.41］如图所示，求作直线AB的刻度、坡度和平率。
图2.249 作直线AB的刻度、坡度和平率
［解］
(1)用数解法解题
用比例尺量得AB的水平距离L=8.2m；
则AB的坡度i=H/L=(7.8-2.3)/8.2≈0.67；AB的平距l=1/i=1/0.67≈1.5。
a2.3至b7.8上高程为3的刻度点之间的水平距离L=H/i= ( 3-2.3) × 1.5 ≈1m。
用比例尺在图中的a2.3b7.8上，从a2.3量取1m，得刻度点3；
继续向b7.8的方向按比例尺连续量取1.5m，就可得刻度点4、5、6、7。
①作包含AB的辅助铅垂面的等高线和AB的投影；
②由等高线与a’b’的交点作ab上的刻度；
③作图确定AB的坡度；
图2.249 作直线AB的刻度、坡度和平率
完成作图
(2)用图解法解题。
［例题2.41］如图所示，求作直线AB的刻度、坡度和平率。
［解］
用比例尺量得：
AB的平率l≈1.5。
用比例尺量得：
AB的坡度i≈0.67。
1
2.7.1.4直线的标高投影的其它表示法
图2.250直线的标高投影的另外两种表示法
(1)等高线由它的水平投影加注一个标高数字来表示。
(2)一般位置直线也可以用直线上的一个点的标高投影并加注直线的坡度和方向来表示。
［例题2.42］如图所示，求作另一端B的高程为4.2m的标高投影、AB的标高投影和直线AB的真长。
图2.251 作B和AB的标高投影、AB的真长
［解］
完成作图
①直线AB两端的高差H=7.5-4.2=3.3m，AB水平距离L=H/i=3.3/0.5=6.6m，
按比例尺沿下坡方向量取6.6m，作出点B的标高投影。
②作AB的真长。
2.7.2 平 面
2.7.2.1平面上的等高线、坡度线和坡度比例尺
图2.252 平面上的等高线、坡度线和坡度比例尺
（1）平面上的等高线:平面上的水平线
（2）平面上的坡度线:平面上对水平基准面H的最大倾斜线
（3）平面的坡度比例尺:平面上的带有刻度的坡度线的水平投影
(d)比例尺
(a)立体图
(b)等高线
(c)坡度线
2.7.2.2 平面的标高投影表示法
图2.253 平面的标高投影表示法
(a)用确定平面的几何元素表示
(b)用平面上的一组等高线表示
(c)用一条等高线和一条坡度线表示
(d)用平面的坡度比例尺表示
(e)用一条与水平面倾斜的直线、平面的坡度和下降方向表示
在标高投影中常用的五种形式表示平面
［例题2.43］如图所示，求作三角形ABC平面上的高程为8、9、10、11m的等高线，该平面的坡度比例尺(设三角形ABC平面为P)，以及该平面对水平面的倾角。
图2.254 作三角形上的等高线、坡度比例尺和倾角
［解］
(1)作平面P上高程为8、9、10、11m的等高线
(2)作平面P的坡度比例尺
(3)作平面P对水平面的倾角
完成作图
1
作图原理立体示意分析
［例题2.44］如图所示，求作通过直线a8b2、坡度为1∶0.5平面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向，以及平面上的高程为3m至7m的诸等高线。
图2.255 作通过a8b2、坡度为1∶0.5和已知大致下降方向的平面，准确的下降方向，以及平面上的高程为3m至7m的等高线
［解］
完成作图
2.7.2.3两平面互相平行
图2.256 常见的显示两平面平行的投影特性示例
只要在一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面互相平行。
(a)用平面上的一条等高线和一条坡度线表示的两平面
(b)用坡度比例尺表示的两平面
［例题2.45］求作由高程为6m的等高线、平面的坡度为1∶1.5及其下降方向所确定的平面和以坡度比例尺Pi表示的平面P的交线。
图2.257 作两平面的交线
［解］
2.7.2.4两平面相交
完成作图
［例题2.46］如图所示，设地面是标高为零的水平基准面，在地面上挖一基坑，基坑底面是一个水平的梯形，标高为-3，各边坡的坡度如图所示，求作坡面与地面、坡面与坡面的交线。
图2.258 作基坑坡面与地面、坡面与坡面的交线
［解］
L1=3x1=3 m;
L2=3x0.5=1.5 m;
L3=3x1.5=4.5 m。
完成作图
［例题2.47］如图所示，已知一段斜路堤的倾斜顶面ABCD，设地面是标高为零的水平基准面，两侧和尽端坡面的坡度如图所示，求作路堤坡面与地面的交线以及坡面与坡面的交线。
图2.259 作斜路堤坡面与地面、坡面与坡面的交线
［解］
①作坡面与地面的交线
②作坡面与坡面的交线
③在斜面上加画示坡线，加深投影轮廓线
完成作图
图2.260 作诸坡面与地面、坡面的交线
［解］
L1=4x1=4m; L3= 3x1= 3m; L4= 3x1.5= 4.5m。
L2= 1x1= 1m。
［例题2.48］如图所示，求作大堤、小堤、斜引道的诸坡面与地面的交线，坡面与坡面的交线，补全斜引道和小堤顶面的水平投影。
①作大堤、小堤的诸坡面与地面的交线
②补全小堤顶面的水平投影和大堤、小堤坡面间的交线
④在斜面上加画示坡线，加深投影轮廓线
③补全斜引道的水平投影和斜引道的诸坡面与地面的交线、坡面间的交线
L5= 4x4= 16m ,R8= 4x2= 8m 。
完成作图
2.7.3 曲线、曲面和地面
2.7.3.1曲线的标高投影
图2.261 曲线的标高投影示例
曲线的标高投影一般可以由它的水平投影和曲线上一系列点的标高投影来表示。曲线等高线只要画出它的水平投影并注明标高就可以了。
2.7.3.2曲面的标高投影
图2.262 圆锥面和斜圆锥面的标高投影
(1) 圆锥面和斜圆锥面
图2.263 已知顶边曲线以及大致下降方向、坡度、作同坡曲面
作图原理和作图方法
(2) 同坡曲面
同坡曲面是指各处的坡度都相等的曲面。
除了圆锥面以外，同坡曲面可以看做是锥顶沿着同坡曲面顶边的空间曲线、轴线为铅垂线、坡度为同坡曲面的坡度的正置圆锥的包络面，也就是与这些圆锥面都相切的曲面。
①作同坡曲面上高程为0、1、2的等高线的水平投影。
②加深同坡曲面的底边，并沿顶边画示坡线。
完成作图
[例题2.49］如图所示，设地面是标高为16的水平面，有一条弯曲的斜引道与顶面标高为20的平台相连，所有填筑坡面的坡度都是1∶1，求作坡面与地面以及坡面与坡面的交线。
［解］
图2.264 作平台、坡面与地面以及坡面与坡面的交线
①作平台左坡面与地面的交线
②作弯曲斜引道前后坡面与地面的交线
③作弯道前后坡面与平台左坡面的交线
完成作图
④加深交线，加画坡面上的示坡线
2.7.3.3地面的标高投影
图2.265 地形图和地形断面图
(a)山丘
(b)盆地
地形图一般应符合下述规定：
（1）地形图上等高线高程数字的字头指向上坡方向。
（2）每隔四条等高线应有一条计曲线。
（3）图中除等高线外，还应画出比例尺和指北针。
（4）等高线一般都是封闭曲线。
山峰是山丘的最高部分；
鞍地是在相连的两山峰之间的低洼处，地面呈马鞍形；
图2.266 基本地形的等高线特征
(a)山峰与鞍地
(b)山脊与山谷
山脊是高于两侧并连续延伸的高地；
分水线或山脊线是通过山脊上各个最高点的线；
山谷是低于两侧并连续延伸的谷地；
山谷线、集水线或河床是通过山谷中各最低点的连线。
[例题2.50］如图所示，已知以管道中心线a50b10表示的一条管道穿过一个小山峰，求作管道穿过山峰的两个贯穿点。
［解］
图2.267 作管道穿过山峰的两个贯穿点
①包含直线作铅垂截平面。
②作这个截平面上直线与地形断面图的真形。
③作直线与地形断面的交点，并表明直线的可见性。
完成作图
［例题2.51］如图所示，求作以标高为32的等高线、坡度1∶3和下降方向的坡度线表示的劈坡平面与地面的交线。
［解］
图2.268 作劈坡平面与地面的交线
②按序连左右两侧交线。
③用内插法作插入点，连成线。
①作劈坡平面上的诸等高线与地面上的相同高程的等高线的交点。
④加深交线，并在劈坡平面上画示坡线。
完成作图
2.7.4 应用示例
［例题2.52］如图所示，已知标高为20的平台和地形面的标高投影，填方坡面的坡度为1∶1.5，挖方坡度为1∶1，求作开挖线、坡脚线和坡面交线。
图2.269 作平台的开挖线、坡脚线和坡面交线
①作填挖分界点以北的开挖线。
②作填挖分界线以南的坡脚线以及填方坡面间的交线。
③加深边坡线和坡面交线，并在各坡面上画出示坡线。
［解］
完成作图
［例题2.53］如图所示，已知地形面和一段斜坡道路路面的标高投影，填、挖方边坡的坡度都是1∶2，求作这段斜坡道路的坡脚线和开挖线。
图2.270 作斜坡道路的坡脚线和开挖线
①作东西两侧填方坡面上的等高线、坡脚线。
②作东西两侧挖方坡面上的等高线、开挖线。
③加深边坡线，画出坡面上的示坡线。
［解］
完成作图
图2.271 用断面法作一段水平道路转弯处两侧的坡边线
①作填挖分界点和四个断面的剖切位置线。
［解］
［例题2.54］如图所示，已知地形面和一段水平道路转弯处的路面的标高投影，以及这段弯道的标准断面，求作这段弯道的坡脚线和开挖线。
②作四个断面。
③作坡边线。
④加深坡边线，并在坡面上画示坡线。
本节完。
下节内容：
2.8 组合体的多面正投影和组合体的构思设计

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