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2.6 轴测投影
2.6.1 轴测投影的基本知识
2.6.2 正等测的画法
2.6.4 轴测投影的选择
2.6.3 斜等测和斜二测的画法
2.6.1 轴测投影的基本知识
轴测投影简称轴测图。它是将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的图形。
2.6.1.1轴测投影的形成和作用，正轴测投影和斜轴测投影
当投射线垂直于投影面时得到的图形，称为正轴测投影；投射线倾斜于投影面时得到的图形，则称为斜轴测投影。
轴测投影在工程中一般仅用作辅助性的图样，因立体感较强，常用来帮助阅读形状复杂的物体的多面正投影图，例如在土木建筑工程中常用来绘制给水排水、采暖通风和空气调节等方面的管道系统图。
2.6.1.2轴间角和轴向伸缩系数
图2.222 轴测投影的形成
(a)正轴测的投影
(b)斜轴测投影
坐标轴O0X0、O0Y0、O0Z0的轴测投影OX、OY、OZ，称为轴测轴。两条轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠ZOX，称为轴间角。
轴测轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度的比值，分别称为X、Y、Z轴的轴向伸缩系数，分别用p1、q1、r1表示。简化后的系数称为简化伸缩系数，分别用p、q、r表示。



2.6.1.3轴测投影的分类以及土木建筑工程中常用
的轴测投影
正轴测投影：轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测投影：轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
轴测投影按投射线方向分：
轴测投影按伸缩系数否相等分：
正等测 （p1＝q1＝r1）
正轴测投影 正二测 (p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
正三测 （p1≠q1≠r1）
斜等测 （p1＝q1＝r1）
斜轴测投影 斜二测 (p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
斜三测 （p1≠q1≠r1）
土木建筑工程中常用的几种轴测投影 表2.12
2.6.1.4绘制轴测投影时的注意点
(1)选定轴测图的类型以及参考立方体的可见面，确定轴测轴及其简化系数或轴向伸缩系数。
(2)Z轴一般都按铅垂方向绘制，X轴和Y轴可以对调，各轴也都可以分别按相反方向或对称方向画出。与坐标轴平行的直线可直接画出；不平行于坐标轴的直线，常作出两端点后连成。
(3)作图时可应用平行投影的投影特性，使作图较为简捷。如空间互相平行的直线的轴测投影仍互相平行；同一直线上两线段的长度比，以及两平行线段的长度比，在轴测投影中仍保持不变等。
(4) 在轴测投影中用粗实线画出物体的可见轮廓，一般都不画不可见轮廓；必要时，可用虚线画出不可见轮廓。
2.6.2 正等测的画法
2.6.2.1平行于坐标面的圆的正等测画法
图2.223 用菱形法画坐标面X0O0Y0上的圆的正等测
① 画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
② 作菱形各边的中垂线，交于顶点E、G和1、2点。
③ 分别以G 、E、1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
O
X
E
F
G
H
Y
1
2
C
B
A
D
A
D
C
B
O
G
F
H
E
Y
X
G
E
1
A
O
D
C
F
H
Y
B
2
(a)
(b)
(c)
(d)
(1) 菱形法
用菱形法画出的轴测椭圆只是一个近似椭圆，只适用画两轴向伸缩系数相等的坐标面平行圆的轴测椭圆。
(2) 八点法
③ 用曲线板顺次连接I、V、III、VII、II、VIII、IV、VI、I，即完成作图。
① 作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的半径，作菱形，即为圆的外切正方形的轴测图。
② 以棱形的任意半条边为斜边作等腰直角三角形，以III为圆心、直角边为半径作弧，交得B、C，过B、C作OZ平行线，与棱形的对角线交得V、VI、VII、VIII。
图2.224 用八点法画坐标面Z0O0X0上的圆的正等测
八点法是利用已知椭圆的一对共轭轴作椭圆的一种方法，适用于任何轴测类型画坐标面平行圆的轴测椭圆。
图2.225 用平行弦法作YO00Z0上的圆的正等测
(3) 平行弦法
平行弦法是依靠圆的平行于坐标轴的弦作出的轴测椭圆的一种方法，适用于任何轴测类型画坐标面平行圆的轴测椭圆。
③ 用曲线板顺次连接I、A、B、C、III、C、B、A、II、 A、B、C 、IV、 C、B、A 、I，即完成作图。
① 作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的半径，作菱形，即为圆的外切正方形的轴测图。
② 在圆上作任意轴线平行弦，依次画出平行平行弦的轴测图。
2.6.2.2 物体的正等测画法
图2.226 作三棱锥的正等测
［解］
①设置坐标轴，并确定各点的坐标。
②作轴测轴；作底面
(1) 坐标法
清理图面后的作图结果
③作锥顶；完成三棱锥的底稿
④清理图面后的作图结果
完成作图
如图所示，用简化系数作出三棱锥的正等测。
根据物体上各点的坐标画出各点的轴测投影，从而画出物体的轴测投影。
如图所示，用简化系数作出正六棱柱的正等测。
图2.227 作正六棱柱的正等测
［解］
①设置坐标轴；确定各点的坐标
②作轴测轴；作顶面
③作可见棱线和底边，完成正六棱柱的底稿
④清理图面后的作图结果
完成作图
(b)作长方体底板
(2)叠加法
图2.228 作叠加型物体的正等测
［解］
(a)已知条件
（c）作长方体竖板
(d)作三棱柱肋板
(e)清理后的作图结果
完成作图
先作出第一个基本体的轴测投影，然后根据相对位置顺次作出其余各个基本体的轴测投影。
用简化系数作出这个物体的正等测。
已知由楼板、主梁、次梁和柱组成的楼盖节点模型的三面投影，用简化系数作出它的仰视正等测。
图2.229 作楼盖节点模型的仰视正等测
［解］
作参考轴测轴和参考立方体
(a)已知条件
(b)作楼板和柱、梁与楼板的交线
（c）作柱
(d)作主梁和次梁
(e)清理后的作图结果
完成作图
(3)切割法
图2.230 作切割型物体的正等测
［解］
(a)已知条件
(b)作基本体的正等测
（c）以正平面及侧垂面切割
(d)以侧平面及水平面切割
(e)清理图面后的作图结果
完成作图
先画出基本体的轴测投影，然后在轴测投影中将被切割掉的部分切去，就得到这个物体的轴测投影。
如图a所示，用简化系数求作这个物体的正等测。
用简化系数求作带槽的空心圆柱的正等测。
图2.231 作带槽的空心圆柱的正等测
(a)已知条件
(b)设置坐标系
（c）作圆柱的顶圆和可见底圆
(d)完成圆柱的正等测，切割圆柱孔
(e)切割圆柱的槽
完成作图
(f)清理后的作图结果
［解］
(4)综合法
图2.232 作组合体的正等测
［解］
(a)已知条件
(b)作底板
（c）作竖板
完成作图
如图a所示，用简化系数求作这个组合体的正等测。
(d)切割圆柱孔
(e)清理后的作图结果
综合运用坐标法、叠加法、切割法来绘制轴测投影。
2.6.3 斜等测和斜二测的画法
2.6.3.1平行于坐标面的圆的正面斜等测和正面斜二测的画法

（1）平行于坐标面Z0O0X0的圆的正面斜等测和正面斜二测画法
(a)两面投影
(b)轴测画法
因为正面斜二测的轴向伸缩系数p=r=1、q=0.5，所以该轴测椭圆通常用八点法或平行弦法画出。
（2）平行于坐标面X0O0Y0、 Y0O0Z0的圆的正面斜等测画法
（3）平行于坐标面X0O0Y0、 Y0O0Z0的圆的正面斜二等测画法
2.6.3.2 正面斜等测和正面斜二测的画法
图2.234 作正圆锥的正面斜二测
［解］
(a)已知条件
（b）作图过程
如图所示，求作正圆锥的正面斜二测。
完成作图
（c）清理后的作图结果
①画坐标轴
②作圆锥底圆和圆锥转向轮廓线
如图a所示，求作轴线为正垂线和具有同轴圆柱孔的圆台的正面斜二测。
［解］
图2.235 作具有同轴圆柱孔的圆台的正面斜二测
(a)已知条件
(c)作轴测轴；作前、后端面图
（e）清理后的作图结果
完成作图
(b)设置坐标轴
(d)作转向轮廓线和圆柱孔
如图a所示，求作纪念碑模型的正面斜二测。
［解］
图2.236 作纪念碑模型的正面斜二测
(a)已知条件
(c)作底板和碑身
（d）清理后的作图结果
完成作图
(b)确定底板和碑身的相对位置
如图a所示，求作具有圆拱通道和气楼的房屋模型的正面斜等测，并要求画出的可见面是顶面、前面和右面。
［解］
图2.237 作房屋模型可见面为顶面、前面和右面的正面斜等测
(a)已知条件
(b)作参考轴测轴和立方体
完成作图
(c)作房屋和气楼
（d）清理后的作图结果
如图a所示，作出具有长圆形底板、四棱台碑身和四棱锥碑顶组成的纪念碑模型的正面斜等测。
［解］
图2.238 作纪念碑模型的正面斜等测
(a)已知条件
(b)作底板
（d）清理后的作图结果
完成作图
(c)作碑身和碑顶
2.6.4 轴测投影的选择
2.6.4.1 选择轴测投影应考虑的两个方面
选择哪一种轴测投影来表达一个物体：首先是直观性，也就是画出的轴测投影立体感强，尽可能多地表达清楚物体的各部分的形状；其次是作图的简便性，也就是能够较为简捷地画出这个物体的轴测投影。
2.6.4.2 对土木建筑工程中常用的几种轴测投影的比较
在一般情况下，正二测的直观性和立体感最好，其次是正等测，再次是正面斜二测，正面斜等测和水平斜等测作图最简捷。
水平斜等测一般仅适用于绘制小区的建筑群、绿化、道路、广场或其它公共设施的总体规划的立体图。正面斜等测，主要用于绘制给水、排水和采暖通风、空气调节的管道系统图。
2.6.4.3增强轴测投影的直观性和立体感应注意的问题
图2.239 由四种投射方向形成的正面斜等测
(1)避免物体有较多部分或主要部分的形状被遮挡
为了看清物体，通常挑选一个看到物体较多部分和主要部分的方向绘制它轴测投影，以便看清楚这个物体。
由前、上、左向后、下、右方向投射
由前、上、右向后、下、左方向投射
由前、下、左向后、上、右方向投射
由前、下、右向后、上、左方向投射
根据已知的两面投影，下图绘制了由前、上、左向后、下、右，和由前、下、左向后、上、右两个观看方向的轴测投影，请挑选一个最能看到物体较多部分的方向，为本物体理想的轴测投影的投射方向。
图2.240 两种投射方向作正面斜等测的比较
(a)两面投影
(c)由前、下、左向投射
(b)由前、上、左向投射
在相同的投射方向下，合适地选用轴测投影的不同类型，也可以避免物体有较多部分或主要部分的形状被遮。
图2.241 有两侧翼墙和开设门洞的正墙的轴测投影的比较
(a)两面投影
(c)正面斜二测(门洞可见)
(b)正等测(门洞被遮)
(2)避免物体上的某个或某些平面表面积聚成直线
图2.242 避免物体上某些平面表面积聚成直线的轴测投影的比较
(a)两面投影
(c)正面斜二测(避免了平面表面的投影积聚)
(b)正等测(有两个平面表面的投影积聚)
物体表面的轴测投影有积聚，直观性和立体感比较弱。
(3)避免物体转角处的不同的交线在轴测投影中共线
图2.243 避免物体转角处不同交线在轴测投影中共线的比较
(a)两面投影
(c)正面斜二测(不同交线不共线)
(b)正等测(不同交线共线)
叠加型物体的棱线的轴测投影都共线，直观性和立体感较差。
本节完。
下节内容：
2.7 标高投影

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