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第二章
投影基本知识
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学习目标
　　掌握点、线、面、体的投影规律及其运用
　　掌握剖面图和断面图的基本规定和画法
　　掌握正等轴测图和斜二测轴测图的画法
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2.1 投影基础
2.2 点、线、面的投影
2.3 体的投影
2.4 轴测投影
2.5　剖面图和断面图
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2.1.1 投影的基本知识
2.1 投影基础
　　1．投影的概念
　　在日常生活中，我们看到物体在灯光或阳光照射下，会在墙面或地面上产生影子，这种现象就是自然界的投影现象。
　　人们对投影现象进行科学地抽象，认识到光线、物体、影子之间的关系，归纳出工程上表达物体形状、大小的投影原理和作图方法，这种用投影表示物体形状和大小的方法称为投影法，如图2-1所示。用投影法画出的图形称为投影图。工程图样就是建筑物在图纸平面上的投影。
图2-1 投影的产生
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2.1.1 投影的基本知识
2.1 投影基础
　　投影中涉及的术语主要有：
　　① 投射中心——光源；
　　② 投射线——光源发出的光线；
　　③ 投影方向——光线的射向；
　　④ 投影面——落影的平面；
　　⑤ 投影——光线投射所产生的影子。
　　投影形成必须具备的三个条件：投射线、形体、投影面，它们构成了投影的三要素。
　　2．投影法的分类
　　按投射光线的形式不同，投影法可分为中心投影法和平行投影法。
　（1）中心投影法
　　投射线从一点出发，经过空间形体在投影面上得到投影的方法称为中心投影法，如图2-2所示。
用这种投影法作出的投影图，其大小和原形体不相等，不能准确地度量出形体的尺寸大小，不常用。
图2-2 中心投影法
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2.1.1 投影的基本知识
2.1 投影基础
　　（2）平行投影法
　　当光源S距投影面无穷远时，所有投射线变得几乎平行，这种所有投影线都相互平行地经过空间形体，并在投影面上得到投影的方法称为平行投影法。
　　根据投射线和投影面的角度关系，平行投影法又可分为斜投影和正投影两种。
　　斜投影法：平行投射线倾斜于投影面，如图2-3（a）所示。这种投影法不能反映物体的真实形状和大小。
　　正投影法：平行投射线垂直于投影面，如图2-3（b）所示。这种投影法能反映物体的真实形状和大小。
（a）斜投影法 　　　　　　　　　　　　　（b）正投影法
图2-3 平行投影法
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2.1.1 投影的基本知识
2.1 投影基础
　　正投影法是工程制图的主要图示方法，斜投影法主要应用于画工程辅助图样轴测投影图，如图2-4所示。
　　3．工程上常用的投影图
　　工程上常用的投影图有透视图、轴测图和标高投影图。
　（1）透视图
　　透视图是按中心投影法画出的单面投影图。
　　透视图图形逼真，直观性强；但作图复杂，形体的尺寸不能直接在图中度量，故不能作为施工依据，仅用于建筑方案设计，如图2-5所示。
图2-4 正投影图和轴测投影图
图2-5 流水别墅透视投影图
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2.1.1 投影的基本知识
2.1 投影基础
　（2）轴测图
　　轴测图是用平行投影法画出的一面投影图（立体图）。
　　轴测图能够在一个投影图中同时反映出形体的长、宽、高三个方向的尺度，立体感强，直观易懂；但作图较复杂，表面形状在图中往往失真，不能准确反映形体的形状，度量性差，只能作为工程上的辅助图样，表达局部构造。如图2-6所示为房屋的轴测剖面图。
图2-6 房屋轴测投影图
　（3）标高投影图
　　标高投影图是一种带有数字标记的单面正投影。
　　在建筑工程上，常用它来表示地面的形状，作图时，用一组等距离的水平面切割地面，其交线为等高线。将不同高程的等高线投影在水平的投影面上，并注出各等高线的高程，即为等高线图，也称标高投影图。标高投影图主要用于表示地形、道路和建筑物的位置等，如图2-7所示。
图2-7 标高投影图
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2.1.2 正投影的特性
2.1 投影基础
　　工程图样一般都采用正投影图，了解与掌握正投影的特性，有助于我们分析正投影图，培养空间想象能力与识读投影图的能力。正投影具有如下特性。
　　实形性：当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形，如图2-8（a）所示。
　　积聚性：当直线或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成点或直线，如图2-8（b）所示。
　　类似性：当直线或平面图形既不平行也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图形的类似形，但直线或平面图形的投影都小于实长或实形，如图2-8（c）所示。
图2-8 正投影的主要特性
　　　（a）实形性　　　　　　　（b）积聚性 　　　　　　　　（c）类似性
　　平行性：空间平行线段的投影仍然平行；
　　定比性：空间平行线段的长度比在投影中保持不变；
　　从属性：几何元素的从属关系在投影中不会发生改变，如直线上点的投影必属于直线的投影，平面上点和线的投影必属于平面的投影。
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
　　工程上绘制图样的主要方法是正投影法。因为这种方法画图简单，画出的投影图具有表达准确、度量方便等优点，能够满足工程上的要求，但是只用一个正投影图来表达物体是不够的。如图2-9所示为两个形状不同的物体，而它们在某个投影方向上的投影图却完全相同。可见，单面正投影不能完全确定物体的形状。同样，两面投影也不能完全确定物体的形状。为了完全确定物体的形状必须画出物体的多面正投影图——三面正投影图。
　　1．三面投影的形成及基本规定
　　三个相互垂直的投影面，构成了三投影面体系，如图2-10所示。
图2-9 单面投影
图2-10 三面投影体系
　　在三投影面体系中：
　　呈水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面，用H标记；
与水平投影面垂直且平行于形体正面和背面的投影面称为正立投影面，简称正立面，用V标记；
　　与水平投影面及正立投影面同时垂直相交的投影面称为侧立投影面，简称侧立面，用W标记。
　　三个投影面的两两相交线OX，OY，OZ称为投影轴，它们相互垂直并且分别表示出长、宽、高三个方向。三个投影轴的交点O称为原点。
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
　　2．三个投影面的展开
　　如图2-11（a）所示，为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上，需将三个相互垂直的投影面展开在同一个平面上，并保持它们之间的对应投影关系。其展开方法是：令V面保持不动，H面绕OX轴向下翻转90°，W面绕OZ轴向右向后翻转90°，分别使其与V面处于同一平面上。三个投影面展开后，原OY轴分为两条，在H面上的用OYH表示，在W面上的用OYW表示，如图2-11（b）所示。
图2-11 三个投影面的展开
（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　（b）
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
　　3．三面投影图的投影规律
　　一般形体都具有长、宽、高三个方向的尺度，如图2-12所示，在三面投影体系中：
　　长度：是指形体上最左和最右两点之间平行于X轴方向的距离；
　　宽度：是指形体上最前和最后两点之间平行于Y轴方向的距离；
　　高度：是指形体上最上和最下两点之间平行Z轴方向的距离。
图2-12 形体投影图
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
　　由此，形体的V面投影反映了形体的正面形状和形体的长度及高度，形体的H面投影反映了形体的水平面形状和形体的长度及宽度，形体的W面投影反映了形体左侧面的形状和形体的高度及宽度。把三个投影图联系起来看，就可以得出三个投影之间的相互关系：
　　V面投影和H面投影“长对正”；
　　V面投影和W面投影“高平齐”；
　　H面投影和W面投影“宽相等”。
　　为便于作图和记忆，三个投影之间的相互关系可概括为“三等关系”，即“长对正、高平齐、宽相等”。　　
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
　　任何一个形体都有上、下、左、右、前、后六个方向的形状和大小。如图2-13所示，在三个投影图中，每个投影图各反映其中四个方向的情况，即：
　　V面投影图反映形体上、下和左、右的方位关系；
　　H面投影图反映形体前、后和左、右的方位关系；
　　W面投影图反映形体上、下和前、后的方位关系。
图2-13 物体在投影图上的方位关系
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
　　4．三面投影图的作图方法和符号
　　绘制三面投影图时，一般先绘制V面投影图或H面投影图，然后再绘W面投影图。熟练掌握形体三面投影图的画法是绘制和识读工程图样的重要基础。
下面以图2-14（a）所示房屋为例，来讲解三面投影图的作图步骤及方法，具体如下。
　　① 设想将物体放在一个三面投影体系中，并使物体的主要表面平行或垂直于投影图，如图2-14（a）所示。
　　② 在图纸上先画出水平和垂直的十字相交线，作为投影轴，然后过坐标原点画45°斜线，如图2-14（b）所示。
　　③ 根据形体在三面投影体系中的放置位置，画出正面投影图或水平投影图，然后根据正面投影图和水平投影图应遵守“长相等”的投影关系，画出水平或正面投影，如图2-14（c）所示。
　　④ 由“高平齐”的投影规律，将正面投影图中各相应部位向侧面投影图作“等高的投影连线”；由“宽相等”的投影规律，将水平投影图的宽度过渡到侧面投影图上，从而求出与“等高投影连线”的交点；连接各交点从而得到侧面投影图，如图2-14（d）所示。
　　⑤ 检查图形，确认无误后擦去不需要的辅助线，然后加深相关图线即可，结果如图2-14（e）所示。
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
（a）房屋立体示意图 　　（b）绘制投影轴及辅助线 　（c）画正面投影和水平投影
（d）画侧面投影　　　　（e）检查，擦去多余图线并描深
图2-14 三面投影图的画法
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2.1.3 三面正投影
2.1 投影基础
【例2-1】 由图2-15形体的轴测图画三面投影图（按1∶1比例）。
解：已知形体轴测图，按比例量尺寸作图，所作三面投影图如图2-16所示。
图2-15 形体轴测图
图2-16 形体的三面投影图
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2.2 点、线、面的投影
　　为了作图准确和便于校核，作图时可把所画形体上的点、线、面用符号（字母或数字）标注，如图2-17所示。
　　一般规定：空间形体上的点用大写字母A，B，C……或大写罗马数字Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ……表示；其H面投影用相应的a，b，c……或数字1，2，3……表示；V面投影用相应的a′，b′，c′……或1′，2′，3′……表示；W面投影用a″，b″，c″……或1″，2″，3″……表示。
　　投影图中直线段的标注，用直线段两端的字母表示。例如，空间直线段AB在H面投影图上标注为ab；在V面投影图上标注为a′b′；在W面投影图上标注为a″b″。
　　空间的面通常用P，Q，R……表示，其H面投影图、V面投影图和W面投影图分别用p，q，r……，p′，q′，r′……，p″，q″，r″……表示。
图2-17 点、线、面符号
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2.2.1 点的投影
2.2 点、线、面的投影
　　1．点的三面投影
　　将空间点A置于三面投影体系中，分别向三个投影面作正投影，即可得到点A的三面投影a，a′，a″，如图2-18（a）所示。将三面投影体系展开，如图2-18（b）所示，即得到点A的三面投影图。
　　为便于投影分析，在展开图上将点的相邻投影用细实线连起来，如aa′，a′a″，称为投影连线。aa′与X轴交于aX ；a′a″与OZ轴交于aZ；a与a″相连的方法，作图时常借助45°斜角线或圆弧线来完成，如图2-18（c）所示。
（ａ）　　　　　　　　　　（ｂ）　　　　　　　　　　（ｃ）
图2-18 点的三面投影
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2.2 点、线、面的投影
　　2．点的投影规律
　　从图2-18中可以看出：
　　① 点的正面投影a′和水平投影a的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX；
　　② 点的正面投影a′和侧面投影a″的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；
　　③ 点的水平投影a到OX轴的距离等于点的侧面投影到a″到OZ轴的距离，即 。
　　以上投影关系说明，在点的三面正投影图中，任何两个投影都有一定的联系。因此，只要给出一点的任意两个投影，就可以求出其第三投影。
2.2.1 点的投影
4
2.2 点、线、面的投影
　　3．点的坐标
　　在三投影面体系中，空间点及其投影的位置可以由点的坐标来确定。将三面投影体系看作一个空间直角坐标系，点O为坐标原点，X，Y，Z轴为坐标轴，H面，V面，W面为坐标平面，则空间一点A到三个投影面的距离，就是点A的三个坐标（用小写字母x，y，z表示），如图2-19所示。
图2-19 点的投影及其坐标关系
2.2.1 点的投影
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2.2 点、线、面的投影
　　3．点的坐标
　　在三投影面体系中，空间点及其投影的位置可以由点的坐标来确定。将三面投影体系看作一个空间直角坐标系，点O为坐标原点，X，Y，Z轴为坐标轴，H面，V面，W面为坐标平面，则空间一点A到三个投影面的距离，就是点A的三个坐标（用小写字母x，y，z表示），如图2-19所示。
图2-19 点的投影及其坐标关系
　　因此，点A的空间坐标可表示为A(x，y，z)，点A的H面投影为a(x，y，0)；点A的V面投影为a′(x，0，z)；点A的W面投影是a″(0，y，z)。点A的坐标关系具体如下：
　　点A到W面的距离为x，即
　　点A到V面的距离为y，即
　　点A到H面的距离为z，即
2.2.1 点的投影
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2.2 点、线、面的投影
　　5．两点相对位置的识读
　　【例2-2】 如图所示，指出点B与点D，点D与点C的位置关系。
　　解：以点D为基准，从B，D两点的H面投影来看，b在d的右前方；V面投影中，b′在d′的右上方，由此判定：点B在点D的右前上方。以点C为基准，H面投影中，d在c的左后方；V面投影中，d′在c′的左上方，由此判定：点D在点C的左后上方。
（a）形体及表面上点的投影 　　　　（b）点的投影　　　　　　　　（c）立体图
2.2.1 点的投影
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2.2 点、线、面的投影
　　作直线投影图时，只需作出直线上任意两点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影即可。
　　1．直线的空间位置
　　空间直线对某一投影面的相对位置有三种情况，即投影面垂直线、投影面平行线和一般位置直线三种，如图2-21所示。
2.2.1 点的投影
图2-21 直线的空间位置
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2.2 点、线、面的投影
　　2．各种位置直线的投影特性
　　（1）投影面垂直线
　　投影面垂直线的直观图、投影图、投影特性及判别方法如表2-1（见教材P45-46）所示。
　　（2）投影面平行线
　　投影面平行线的直观图、投影图、投影特性及判别方法如表2-2（见教材P46）所示。
　　（3）一般位置直线
　　与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，简称一般线。
一般位置直线在各投影面上的投影都倾斜于投影轴，且都不反映实长，各个投影与投影轴的夹角都不反映该直线对投影面倾角的真实大小，如图2-22所示。
2.2.1 点的投影
图2-22 一般位置直线的投影
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2.2 点、线、面的投影
　　3．直线上的点
　　点与直线的相对位置可分为点在直线上和点不在直线上两种。点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线的两线段长度之比等于其投影长度之比；反之亦然，此即为定比关系。
2.2.1 点的投影
【例2-3】 如图（a）所示，已知直线AB的两面投影和直线CD中点C的两面投影，若正平线CD与直线AB相交于点D，试作直线CD的两面投影。
　　解 该题须利用定比关系求解，具体作图过程如下。
　　① 完成正平线的水平投影cd，如图2-23（b）所示；
　　② 过点b′作任一直线，取b′d1=bd，d1a1=da，连接 a1a′ ，过点d1作d1d′ ，使d1d′∥a1a′，交a ′b′于 d′；
　　③ 连接 ，即为所求直线CD的正面投影，如图2-23（c）所示。
图2-23 利用定比关系解题
（a）　　　　　　　（b）　　　　　　　（c）
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2.2 点、线、面的投影
　　4．两直线的相对位置
　　空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。
　　两直线平行：其同面投影必平行，且两平行线段的长度之比等于其投影长度之比。
　　两直线相交：其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。
　　两直线交叉：异面两直线的相对位置为交叉。
　　5．直角的投影
　　直角投影定理：空间垂直的两直线（相交或交叉），若其中的一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍为直角；反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面，则该两直线在空间必互相垂直，如图2-24所示。
2.2.1 点的投影
图2-24 直角投影定理
P.S.
　　当两直线为某投影面平行线时，应检查它们在该投影面上的投影是否平行。
　　当交叉直线的投影交点为重影点时，应判别其可见性。
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2.2 点、线、面的投影
【例2-4】 如图2-25所示，确定点A到正平线CD的距离。
2.2.1 点的投影
图2-25 求点A到正平线CD的距离
　　解：利用直角定理求解，作图过程如图2-26所示。
　　① 过点a′作c ′ d ′的垂线交于点b′，因CD为正平线，故根据直角投影定理可知，直线AB与CD在空间互相垂直；
　　② 过点b′作OX轴的垂线，交cd于点b，连接ab；
　　③ 连接aa′ ，过点b′作OX轴的平行线，交aa′于点B0 ，则 即为A，B两点的坐标差；
　　④ 以a′ B0和ab为直角边，作直角三角形，则a′B0即为点A到正平线CD的距离。
图2-26 利用直角定理求点到直线的距离
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2.2 点、线、面的投影
　　1．平面的空间位置
　　空间平面对某一投影面的相对位置有三种情况，即投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面三种，如图2-27所示。
2.2.3 平面的投影
图2-27 平面的空间位置
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2.2 点、线、面的投影
　　2．各种位置平面的投影特性　
　　（1）投影面垂直面
　　投影面垂直面的直观图、投影图和投影特点如表2-3（见教材P50）所示。
　　（2）投影面平行面
　　投影面平行面的直观图、投影图和投影特点如表2-4 （见教材P51）所示。
　　（3）一般位置平面
　　与三个投影面既不平行也不垂直的平面称为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影都是原平面图形的类似形封闭线框，既不反映实形，也没有积聚性，如图2-28所示。
2.2.3 平面的投影
图2-28 一般位置平面的投影
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2.2 点、线、面的投影
　　3．平面内的点和直线
　　（1）平面内的点
　　点在平面内的几何条件：若点位于平面内任一直线上，则此点在该平面内，即要在平面内取点，必须先在平面内作辅助线，然后在该直线上取点。
　　（2）平面内的直线
　　直线在平面内的几何条件：若一直线通过平面上的两点，或通过平面内的一点，并且平行于平面上的另一直线，则此直线必在该平面内。
根据平面内点和直线的判定，可以解决三类问题：
　　① 判别已知点、直线是否属于已知平面；
　　② 完成已知平面上的点和直线的投影；
　　③ 完成多边形的投影。
2.2.3 平面的投影
1
2.3 体的投影
　　任何立体均占有一定的空间，并由围成该立体的各个表面确定其范围及形状。根据表面的平、曲性质不同，立体可分为平面体和曲面体。所有建筑的造型，无论简单与复杂，都是平面体、曲面体或两者的有机组合，如图2-30所示。
图2-30 建筑的构成
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2.3 体的投影
　　表面由平面多边形围成的立体称为平面体，平面与平面的交线称为立体的棱线，侧表面称为棱面，上下表面分别称为顶面或底面。平面体通常可分为棱柱体、棱锥体、棱台体等。
　　1．常见平面体的投影特征
　　平面体的各表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成，棱线又由其端点确定。因此，平面体的投影是由围成它的各平面图形的投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。
　　平面体的投影图通常由一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线，不可见的棱线画成细虚线。
　　如表2-5（见教材P54-55）所示为以棱柱体和棱锥体为例，对平面体的投影画法和特征所做的分析。
2.3.1 平面体的投影
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2.3 体的投影
　　 2．平面体表面上点和线的投影
　　平面体表面上点和直线的问题，实质上是平面上点和直线以及直线上点的问题，因此，其投影特性为
　　① 平面体表面上点和直线的投影应符合平面上点和直线的投影特点；
　　② 可见侧表面、底面上的点和直线，以及可见侧棱上的点都是可见的；反之是不可见的。
　　在平面立体表面上取点或取线时，应由已知点的投影位置及可见性，分析判断该点所属表面：若该表面有积聚性，利用积聚性的投影直接作出；若该表面没有积聚性，则过已知点在该表面内引辅助线求出。
2.3.1 平面体的投影
分析　△SAB为一般位置平面，它的每个投影都没有积聚性，在该面上取点必须作辅助线。
　　作辅助线常用的方法有两种：
　　① 过已知点作该面底边的平行线；
　　② 作已知点与顶点的连线，然后在辅助线上确定点的位置。
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2.3 体的投影
【例2-6】　 如图（a）所示，已知正三棱锥侧表面SAB上点Ⅰ的V面投影1′，求作点1的其他两面投影。
2.3.1 平面体的投影
(a)
解：下面通过连接已知点与顶点，确定点Ⅰ的其他两面投影，如图（b）所示，具体作图步骤如下。
　　① 连接s′1′，并延长与a′c′交于点d ′。由点d ′作垂线，交ab于点d，连接sd。
　　② 由点1′作垂线，交sd 于点1。
　　③ 根据点Ⅰ的两面投影，根据投影规律作出第三面投影1″。
(b)
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2.3 体的投影
　　由曲面或曲面与平面所围成的形体称为曲面体。曲面是直线或曲线按一定规律运动形成的轨迹，运动的线称为母线，曲面上任一位置的母线称为素线。
　　常用的曲面体有圆柱体、圆锥体、球体等。
　　1．常见曲面体的投影
　　图2-32是圆柱体和圆锥体的投影图画法。
2.3.2 曲面体的投影
图2-32 圆柱体和圆锥体的投影
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2.3 体的投影
　　2．曲面体表面上点和线的投影
　　在圆柱面上取点时，若点在母线上，可直接根据线上取点的方法找出点的投影，同时注意可见性；若点在素线上，可根据圆柱面的积聚性，先找出点的积聚性投影，然后再根据点的投影规律找出点的其余投影。如图2-33所示为已知圆柱上A，B，C，D四点的正面投影，求其另外两投影的作图示例。
　　在圆锥面上取点时，因为圆锥面没有积聚性，所以只能应用作辅助线的方法，在圆锥面上的辅助线有纬圆和素线两种。如图2-34所示为已知圆锥表面点Ⅰ的正面投影，分别用纬圆法和素线法求解其另外两面投影。
2.3.2 曲面体的投影
图2-33 圆柱表面定点
图2-34 圆锥表面定点
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2.3 体的投影
　　1．组合体的构形
　　通常组合体的构形有叠加和挖切两种方式。叠加如同积木的堆积，挖切包括切割和穿孔。组合体按构形方式可分为三种类型，即挖切式、叠加式和综合式，如图2-35所示。其中，综合式是指组合体由叠加和挖切两种方法形成的。
2.3.3 组合体的投影
（a）挖切式　　（b）叠加式　　　（c）综合式
图2-35 组合体的类型
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2.3 体的投影
2.3.3 组合体的投影
　　2．组合体投影图的识读与绘制
　　组合体投影图识读与绘制的一般步骤如下：
　　① 形体分析；
　　② 选择投射方向；
　　③ 选比例、定图幅，进行图面布置；
　　④ 画投影图；
　　⑤ 标注尺寸。
　　组合体投影图的绘制还要注意组合体在三面投影体系中所放的位置：一般应使形体中复杂且反映形体特征的面平行于V面，这样可使作出的投影图虚线少，图线清楚。
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2.3 体的投影
　　识读组合体投影图的基本方法有形体分析法和线面分析法两种，通常以形体分析法为主，当图线比较复杂时，也用线面分析法。
　　形体分析法通常是把一个较复杂的形体假想分解为若干较简单的组成部分或多个基本形体，然后逐一弄清它们的形状、相对位置及衔接方式，以便绘制和阅读组合体的投影图。
　　线面分析法则是在形体分析法的基础上，运用线、面的空间性质和投影规律，分析形体表面的投影，进行画图、看图的方法。
在读图时，一般先用形体分析法作粗略地分析，然后对图中的难点，利用线面分析法作进一步分析，即“形体分析看大概，线面分析看细节”。
　　图2-36为一叠加型组合体的识读分析与投影图。
2.3.3 组合体的投影
图2-36 分析叠加组合体及作投影图
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2.3 体的投影
【例2-7】　画出图（a）所示组合体的三面正投影。
2.3.3 组合体的投影
(b)
(a)
分析　根据给定形体的立体图可知，该组合体为切割型，可看成是长方体切割掉形体1和形体2的剩余体，如图2-37（b）所示。所以绘制投影图时，可先画出完整长方体的投影图，然后分别画出形体1和形体2的投影图。
　　作图步骤
　　① 先画出切割前的长方体的投影图，如图2-37（c）所示。
　　② 根据投影关系，在长方体的投影图上画出形体1的投影图，如图2-37（d）所示。
　　③ 进一步画出形体2的投影图，如图2-37（e）所示。
　　④ 检查描深，擦去多余辅助线，即得该组合体的三面正投影，如图2-37（f）所示。
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2.3 体的投影
【例2-8】 如图（a）所示水平投影中缺画的图线。
2.3.3 组合体的投影
(a)
(b)
(c)
分析　根据组合体的V面投影和W面投影，可以想象画出该组合体的直观图，如图（b）所示。由V面投影可以看出，线框Ⅰ是斜面切割四棱柱。因斜线对应的W面投影为一矩形线框，由此判断该斜线为一正垂面；线框Ⅱ是长方体中部切去一个小长方体，其对应W面投影中，小长方体在前，并出现挖切的虚线，说明线框Ⅱ为凹字形，其在H面投影面上必定会出现三个并排的矩形线框。
　　作图步骤
　　① 先画出后方切割四棱柱的H面投影，为一矩形线框；然后画出前方开槽的长方体的H面投影，为一个“四”字形线框。
　　② 最后检查，加深图线，完成补图，如图（c）所示。
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2.3 体的投影
2.3.3 组合体的投影
　　3．组合体投影图的尺寸标注
　　要准确地表达组合体的形状和大小，必须在视图中标注尺寸。组合体视图上尺寸标注的基本要求是齐全和清晰，并应遵守《房屋建筑制图统一标准》（GB 50001—2010）中有关尺寸标注的规定。
　　在组合体的尺寸标注中，应标注定形尺寸、定位尺寸和总体尺寸。
　　定形尺寸：用来确定组合体上各基本体形状大小的尺寸。
　　定位尺寸：用来确定组合体各基本形体间相对位置的尺寸。
　　总体尺寸：用来确定组合体总长、总宽和总高的尺寸。
　　组合体的尺寸标注方法如下。
　　① 选定尺寸基准。在长、宽、高三方向至少各有一个基准，通常以形体的主要端面、对称面、轴线等为基准。
　　② 标注定形尺寸。
　　③ 标注定位尺寸。确定各基本形体间的相对位置通常需要长、宽、高三个方向的定位尺寸。定位尺寸实际上就是确定组合体上某些点（如圆心）、线（如轴线）、面（如主要端面、对称面等）的位置尺寸。
　　④ 标注总体尺寸。确定组合体的总长、总宽、总高的尺寸。
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2.3 体的投影
2.3.3 组合体的投影
　　组合体尺寸示例如图2-39所示。
图2-39 组合体尺寸标注示例
提示：
　　组合体尺寸分类仅仅为了尺寸标注完整，有些尺寸既为定形尺寸又为定位尺寸或总体尺寸，所以在实际作图中并不标注尺寸类型。
1
2.4 轴测投影
2.4.1 轴测图的形成
　　轴测图是一种单面投影图。用平行投影法将空间形体正面、侧面、水平面三个主要面和反映长、宽、高三个方向的坐标轴一起投射在选定的一个投影面上，这个投影面称为轴测投影面。用轴测投影的方法画成的投影图，称为轴测投影图，简称轴测图。轴测图能同时反映物体三个方向的信息，具有较强的立体感，如图2-40所示。
图2-40 轴测图的形成
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2.4 轴测投影
2.4.1 轴测图的形成
　　轴测图是一种单面投影图。用平行投影法将空间形体正面、侧面、水平面三个主要面和反映长、宽、高三个方向的坐标轴一起投射在选定的一个投影面上，这个投影面称为轴测投影面。用轴测投影的方法画成的投影图，称为轴测投影图，简称轴测图。轴测图能同时反映物体三个方向的信息，具有较强的立体感，如图2-40所示。
　　1．轴测图的分类及特点
　　当投射方向垂直于投影面时，得到的投影图称为正轴测图，如图2-41（a）所示；当投射方向倾斜于投影面时，得到的投影图称为斜轴测图，如图2-41（b）所示。
图2-40 轴测图的形成
(a)
(b)
图2-41 轴测图
　　可以看出，轴测投影图具有以下特点：
　　① 空间相互平行的直线，其轴测投影仍相互平行，因此形体上与三个坐标轴平行的棱线在轴测图中仍平行于相应的坐标轴，其尺寸可沿轴的方向量取；
　　② 与三个坐标轴倾斜的直线，画图时不能直接沿轴的方向量取，而要先画出斜线两端点的轴测投影位置，连接两点即画出该斜线的轴测投影；
　　③ 直线的分段比例，在轴测投影中比例保持不变。
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2.4 轴测投影
2.4.1 轴测图的形成
　　2．轴间角与轴向伸缩系数
　　如图2-42所示，空间直角坐标系的OX，OY，OZ轴在轴测投影面P上的投影称为轴测投影轴，简称轴测轴，两个轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1，∠Y1O1Z1，∠Z1O1X1称为轴间角。轴测轴上的单位长度与相应直角坐标轴上单位长度的比值称为轴向伸缩系数，O1X1，O1Y1，O1Z1轴的轴向伸缩系数分别用p，q，r表示。 轴测图的轴测轴中，三个轴向伸缩系数都相等的称为等测，其中两个相等的称为二测。常见的轴测图有正等轴测图（简称正等测）、斜二等轴测图（简称斜二测）和水平斜轴测图等。常用轴测图的轴间角、轴向伸缩系数及简化伸缩系数如表2-6（见教材P64-65）所示。
图2-40 轴测图的形成
4
2.4 轴测投影
2.4.1 轴测图的形成
　　画轴测图的基本步骤如下：
　　① 了解所画物体的实际形状和特征，选定物体的空间直角坐标原点，并确定坐标轴，使坐标轴的方向与物体长、宽、高的方向一致；
　　② 选择轴测投影，对方正、平直的物体，宜采用正等轴测投影法；对形状复杂的或带有曲线的物体，宜采用斜二轴测投影法；
　　③ 选定比例，沿轴按比例量取物体的尺寸，根据空间平行线在轴测投影中仍平行的特性，确定图线方向，按关系连接所作的平行线，即完成轴测图底稿；
　　④ 底稿应轻、细、准，检查无误后再加深轮廓线，擦去辅助线完成轴测图。
提示：
　　常用的作图方法主要有切割法、端面法、叠加法等。作图中应根据形体的具体特征选择合理、简便和有效的方法。
5
2.4 轴测投影
2.4.2 正等轴测图的画法
　　正等轴测图的画法简单、立体感强，在工程上最常用。
　　1．平面体的正等轴测图
【例2-9】　如图所示正投影作出四棱台的正等轴测图。
(a)
(b)
(c)
(d)
　　作图步骤
　　① 在正投影图上定出原点和坐标轴的位置，如图2-43（a）所示。
　　② 画轴测轴，在O1X1和O1Y1上分别量取a和b，画出四棱台底面的轴测图，如图2-43（b）所示。
　　③ 根据尺寸c，d，h，可确定出棱台上底面各顶点，如图2-43（c）所示。
　　④ 依次连接棱台的各顶点，擦去多余的辅助线，并描深，即得四棱台的正等轴测图，如图2-43（d）所示。
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2.4 轴测投影
2.4.2 正等轴测图的画法
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
【例2-10】　根据图（a）所示形体的正投影，作其正等轴测图。
　　作图步骤
　　① 在正投影图上定出原点和坐标轴的位置，如图2-44（a）所示。
　　② 画出轴测轴，根据尺寸A，B，C，D，E，在轴测图上画出形体的右端面，如图（b）所示。
　　③ 根据形体的长度尺寸L，作出形体切割前的形状，为一V形槽，如图（c）所示。
　　④ 根据尺寸G，H，K，画出切割斜面的轴测图，如图（d）所示。
　　⑤ 擦去多余的线条，检查并描深，得到最终的正等轴测图，如图（e）所示。
7
2.4 轴测投影
2.4.2 正等轴测图的画法
　　2．曲面体的正等轴测图
　　画曲面体的轴测图最主要的是画圆的轴测图。平行于坐标面的圆的正等轴测投影均为椭圆。圆的正等轴测图画法主要采用四心圆法。采用四心圆法时，为了简化作图，通常采用四段圆弧组成的扁圆代替椭圆。
【例2-11】　已知水平位置圆的正投影，画出它的正等轴测图。
(a)
(b)
(c)
(d)
　　作图步骤
　　① 作圆的外接正方形abcd，如图（a）所示；作轴测轴O1X1，O1Y1和切点A1，B1，C1，D1，然后过这些点作轴测轴的平行线，即可得到外切正方形的轴测菱形，如图（b）所示。
　　② 连接菱形的对角线，然后将短对角线的顶点4与对边的中点C1和B1连接起来，分别与长对角线交于点2和点3，如图（c）所示。
　　③ 分别以短对角线的顶点4，5为圆心，以R1（即B14）为半径作弧C1B1和弧D1A1 ，接着以点2和点3为圆心，以R1（即C13）为半径作C1D1和B1A1 ，这四段圆弧连成的近似椭圆即为所求，如图（d）所示。
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2.4 轴测投影
2.4.2 正等轴测图的画法
【例2-12】　根据图（a）所示正投影图作出圆台的正等测图。
分析　根据圆台的直径和高，先画出上下底的椭圆，然后作椭圆的公切线（长轴端点连线），即为圆台左右轮廓线。
　　作图步骤
　　① 在图（a）中定出原点和坐标轴的位置。
　　② 根据上下圆直径D和圆台的高H，用四心圆法作出两圆轴测图，如图（b）所示。
　　③ 作出两个椭圆的公切线，如图（c）所示。
　　④ 擦去多余图线，检查并加深，即为所求圆台的正等轴测图，如图（d）所示。
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
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2.4 轴测投影
2.4.3 正面斜二测图的画法
【例2-13】　 根据图（a）所示形体正投影，作其正面斜二测图。
　　正面斜二测图的画法与正等轴测图的画法基本相同。作图时，可从其平行于XOZ坐标面的图形的斜二轴测投影反映实形的特点入手。
　　作图步骤
　　① 在图（a）中定出原点和坐标轴的位置。
　　② 画出轴测轴，根据X，Z轴方向上的投影取实际长的特点，作出形体前表面的轴测图，如图（b）所示。
　　③ 根据Y轴方向上的投影取实长的一半的特点，完成切割前形体的轴测图，如图（c）所示。
　　④ 根据H面投影，作出两个切口的轴测图，如图（d）所示。
　　⑤ 擦去多余图线，检查并描深，即可得到形体的正面斜二测图，如图（e）所示。
(b)
(c)
(d)
(e)
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2.5　剖面图和断面图
2.5.1 剖面图、断面图的形成
　　一个形体用三面投影画出投影图，只能表明形体的外部形状，对于内部构造复杂的形体，仅用外形投影是无法表达清楚的。此时就需要用到剖面图或断面图来表达这些复杂的结构。
　　1．剖面图的形成
　　假想用剖切面（平面或曲面）剖开物体，移去观察者和剖切面之间的部分，将剩余部分物体（与剖切面接触的区域内画上剖面线或材料图例）向投影面投射所得的图形，称为剖面图，如图2-48所示。
　　2．断面图的形成
　　假想用剖切面将物体某处切断，仅画出该剖切面与物体接触部分（区域内画上剖面线或材料图例），即剖切面截割物体的截断面图形，称为断面图。剖面图包含了相应的断面图，如图2-48所示。
图2-48 剖面图和断面图的形成
提示：
　　材料图例详见表1-8“常用建筑材料图例”。
2
2.5　剖面图和断面图
2.5.2 剖面图和断面图的画法规定
　　2.5.2 剖面图和断面图的画法规定
　　1．剖面图和断面图的标注
　　剖面图和断面图本身不能反映剖切平面的位置，必须在其他投影图上标注出剖切符号（包括剖切位置线、剖视方向线）和剖切符号的编号，如图2-49所示。
　　（1）剖切位置线
　　作剖切图时，一般使剖切面平行于基本投影面，则剖切面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，这条直线表示剖切的位置，称为剖切位置线。在投影图中，剖切位置线用断开的两段短粗实线表示，长度为6～10 mm。
图2-49 剖面图的标注
3
2.5　剖面图和断面图
2.5.2 剖面图和断面图的画法规定
（2）剖视方向线
为了表明剖切后余下部分形体的投影方向，在剖切线的外侧各画一段与之垂直的短粗实线表示投影方向，长度为4～6 mm。断面图的剖切符号只有剖切位置线没有剖视方向线，如图2-49中“3—3”所示。断面图编号所在的一侧应为该断面的剖视方向。
（3）剖切符号的编号
剖切符号的编号应采用阿拉伯数字，按剖切顺序由左至右，由下向上连续编排，并应注写在剖视方向线的端部。需要转折的剖切位置线，应在转角的外侧加注与该符号相同的编号。为便于读图，应将剖面图的编号标注在相应剖面图的下方，如“1—1剖面图”。
2．剖面图和断面图的绘制
剖面图除应画出剖切面切到部分的图形外，还应画出投影方向看到的部分，被剖切面切到部分的轮廓线用粗实线绘制。剖切面没有切到，但沿投影方向可以看到的部分用中实线绘制。断面图则只要用粗实线画出剖切面切到部分的图形即可，如图2-48所示。
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2.5　剖面图和断面图
2.5.3 剖面图的种类与画法
　　1．全剖面图
　　用剖切平面完全地将物体剖开所得到的剖切图称为全剖面图。全剖面图常用于外形不太复杂、而所得到的剖面图形状又不对称的物体，如图2-50所示。
注意：
　　当剖切平面通过机件的对称平面，且剖视图是按投影关系配置，中间又没有其他图形隔开时，不必标注，如图2-50中剖视图的视图名称、俯视图中的剖切符号及视图名称均不必标注。
图2-50 全剖面图
5
2.5　剖面图和断面图
2.5.3 剖面图的种类与画法
　　2．半剖面图
　　当物体具有对称平面时，向垂直于对称平面的投影面上投射所得的图形，以对称轴为界，一半画成剖面图，另一半画成外形视图（外形视图上可省去虚线不画），这种剖视图称为半剖视图。如图2-51所示，杯形基础左右、前后都具有对称平面，所以正面图和侧面图均可作成半剖面图。对于半剖面图的标注，剖切符号仍可画成贯通全图的形式，如图2-51所示。
图2-51 半剖面图
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2.5　剖面图和断面图
2.5.3 剖面图的种类与画法
　　3．阶梯剖面图
　　当物体的内部结构层次较多，用一个剖切平面不能将物体内部形状表达清楚时，可用几个相互平行的剖切平面按需要将物体剖开，画出剖面图。这种剖切方法得到的剖面图习惯上称为阶梯剖面图，如图2-52所示。
图2-52 阶梯剖面图
注意：
　　采用这种方法画剖面图时应注意，剖切平面的转折处在剖面图上不应画线，如图2-53所示。在标注剖切符号时，剖切位置线转折处使用相同的数字编号，并写在转角的外侧。
图2-53 因剖切所产生的轮廓线不画
7
2.5　剖面图和断面图
2.5.3 剖面图的种类与画法
　　4．局部剖面图
　　用剖切面局部地剖开物体所得的剖面图称为局部剖面图，如图2-54所示。局部剖面图用波浪线作为分界线，将其与外形部分分开。波浪线既不能超出轮廓线，也不能与图上其他线条重合。局部剖面图不需要标注剖切符号，也不用另外注写视图名称。
　　如图2-54所示，杯形基础的平面图中将局部画成剖面图，以表达基础内部钢筋的配筋情况。
　　5．分层剖切剖面图
　　将形体按层次用波浪线隔开，进行剖切，所得的剖面图称为分层剖切剖面图，如图2-55所示。分层剖切剖面图中，波浪线不应与任何图线重合。
图2-54 局部剖面图
图2-55 地面的分层剖面图
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2.5　剖面图和断面图
2.5.4 断面图的种类与画法
　　1．移出断面图
　　移出断面图的图形应画在视图之外，轮廓线用粗实线绘制，配置在剖切位置线的延长线上（见图2-56），或者其他适当位置。
　　2．中断断面图
　　中断断面图的图形应画在视图中断处，断面轮廓线用粗实线绘制，如图2-57所示。
图2-57 中断断面图
图2-56 移出断面图
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2.5　剖面图和断面图
2.5.4 断面图的种类与画法
　　3．重合断面图
　　重合断面图的图形应画在视图之内，断面轮廓用细实线绘出，如图2-58所示。当视图中轮廓线与重合断面图的图形重叠时，视图中的轮廓线仍应连续画出，不可间断。重合断面图不需标注剖切符号。
(a)
(b)
(c)
图2-58 重合断面图

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