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第3章 轴测投影
知识要点及学习程度要求
轴测投影的基本概念（理解）
轴测投影的种类和特点（了解）
正等测图的画法（掌握）
斜轴测图的画法（了解）
圆的轴测图的画法（掌握）
建筑识图与构造
第3章 轴测投影
建筑识图与构造
(a）正投影图 (b）轴测投影图
图3-1形体的正投影图和轴测投影图
第3章 轴测投影
3.1.1轴测投影的形成
用一组互相平行的投射线沿不平行于任何坐标面的方向，将形体连同确定其空间位置的三个坐标轴一起投影在单一投影面P(即轴测投影面)上所得到的投影称为轴测投影。应用轴测投影的方法绘制的投影图称为轴测投影图，简称轴测图。轴测投影的形成如图3-2所示。投射线与轴测投影面垂直时，得到正轴测图；投射线与轴测投影面倾斜时，得到斜轴测图。
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第3章 轴测投影
(a）正轴测投影图 (b）斜轴测投影图
图3-2 轴测投影图的形成
在轴测投影图中，空间坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面P上投影为O1X1、O1Y1、O1Z1。O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴；
轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠Z1O1X1称为轴间角；
轴测轴长度与空间坐标轴长度的比值称为轴向伸缩系数，分别用平、p、q、r表示，
OX轴的伸缩系数p = O1X1/OX ；
OY轴的伸缩系数q= O1Y1/ OY ；
OZ轴的轴向伸缩系数r= O1Z1/OZ
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第3章 轴测投影
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3.1.2轴测投影的特点
1.形体上原来互相平行的线段，其轴测投影仍然平行。
2.形体上原来互相平行的线段长度之比，等于它们相应的轴测投影之比。
3.1.3轴测投影的分类
按照投影方向与轴测投影面的相对位置，轴测投影图可分为两大类：见图3-2。
1．正轴测投影图：轴测投影方向垂直于轴测投影面，得到的轴测图称为正轴测投影图。正轴测投影图常用的有正等测图。
2．斜轴测投影图：轴测投影方向倾斜于轴测投影面的轴测投影，得到的轴测图称为斜轴测投影图。斜轴测图常用的有正面斜二测图和水平斜轴测图。
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3.2 轴测投影图的画法
绘制轴测投影图的常用画法有坐标法、叠加法、切割法等，其中坐标法是绘制轴测投影图的基本方法，在实际绘制时往往是几种方法混合使用，需要根据形体的形状特点不同而灵活采用其它不同的作图方法。
1.坐标法
坐标法是根据形体表面上各点的空间位置（或形体三面正投影图中的点的坐标），沿轴测轴或平行于轴测轴的直线上进行度量，画出各点的轴测投影，然后按位置连接各点画出整个形体轴测投影图的方法。
图2-6 直三棱柱
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2.叠加法
组合形体往往是由若干个简单几何体叠加组合而成的，因此再画这类形体的轴测图时，可采用自下而上逐个叠加绘制的方法，即先画好底部形体，然后以此为基础，在其顶面上画出上部形体的形状，依次逐个叠加，绘制出整个形体的轴测图。
3.切割法
切割法是将切割式的组合体先看做一个完整地简单几何体，先作出它的轴测图，然后将多余的部分切割掉，最后得到组合体的轴测图。
在轴测图中为了使图形清晰，一般不画不可见轮廓线（虚线）。只有平行于坐标轴方向的线段才能直接量取尺寸作图，不平行与坐标轴方向的线段可由该线段的两个端点的位置来确定。
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3.2.1正轴测投影图
如图3-3所示，当投影方向与轴测投影面垂直，而且物体三个方向的三个坐标轴与轴测投影面P的夹角均相等时，所画出的轴测图称为正等测图。
1.轴间角和轴向伸缩系数
轴间角相等∠X1O1Y1 =∠O1Y1Z1=∠Z1O1X1 =120°。通常O1Z1轴总是竖直放置，而O1X1、O1Y1轴的方向可以互换。
由几何原理可知正等测图的轴向伸缩系数相等，
即p1=q1=r1=0.82为了简化作图，制图标准规定p1=q1=r1=1。
图2-6 直三棱柱
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图3-3正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
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2.平面立体的正等轴测图画法
【例3-1】长方体的正等测图的画法（坐标法）如图3-4
图3-4 长方体的正等测图的画法
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【例3-2】 四棱台的正等测图的画法（坐标法）如图3-5。
图3-5 四棱台的正等测图
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【例3-3】六棱柱的正等轴测图的画法（坐标法）如图3-6。
图3-6 正六棱柱的正等轴测图
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【例3-4】组合体的正等轴测图的画法（切割法）如图3-7。
图3-7 组合体的正等轴测图
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【例3-5】组合体的正等测图的画法（叠加法）如图3-8。
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图3-8用叠加法作出组合体的轴测图
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【例3-6】四坡顶的房屋模型的正等测画法，如图3-9。
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图3-9 四坡顶房屋模型的正等测图
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3.2.2斜轴测投影图
斜轴测图通常以与某一坐标面平行的平面作轴测投影面，所以，这种图主要用于表达形体上某一方向形状复杂或只有一个方向有圆的情况。为了作图方便，轴测投影面多为坐标面XOZ或XOY的平行面，所得到的轴测投影分别称为正面斜轴测图或水平斜轴测图。
当空间形体的坐标轴OZ铅垂放置，OX和OZ确定的坐标面XOZ平行于轴测投影面，投射方向倾斜于投影面时，所得到的斜轴测投影称为正面斜轴测图，常用的正面斜轴测图为正面斜二测图。
图2-6 直三棱柱
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1.正面斜二测图的轴间角、轴向伸缩系数和画法
正面斜二测图中由于空间形体的坐标轴OX与OZ平行于轴测投影面，其投影不发生变化，正面投影反映实形，所以轴测轴O1X1和 O1Z1仍分别为水平方向和铅垂方向，正面斜轴测图的轴间角∠X1O1Z1=90°，p1=r1=1。而坐标轴OY垂直于轴测投影面，但因投影方向是倾斜的，所以OY的轴测投影O1Y1是一条倾斜线，通常取∠X1O1Y1 =∠Y1O1Z1= =135°，O1Y1的轴向伸缩系数q1=0.5。正面斜二测的轴测轴O1Y1与水平线的夹角为45°，方向可以根据作图需要来选择，可以选向右画，也可以选择向左画。
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（a）O1Y1向右画 （b）O1Y1向左画
图3-10 正面斜二测图的轴间角与轴向伸缩系数
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【例3-7】台阶的正面斜二测的画法，如图3-11。
（a）在台阶的正投影图上选定坐标轴；
（b）画出轴测轴，根据正投影图画出台阶前端面的投影图；
（c）过台阶前端的各角点作O1Y1 轴的平行线，在各平行线上量取台阶宽度的一半；
（d）连接台阶后端面各点；
（e）核对并擦去多余图线，加深图线，完成台阶的斜二测图。
图3-11 台阶的斜二测图画法
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【例3-8】混凝土花格砖的正面斜二测图的画法，如图3-12。
（a）在花格砖的正投影图上选定坐标轴；
（b）画出轴测轴，根据正投影图画出花格砖前端面的V面投影图；
（c）过花格砖前端的各角点作O1Y1 轴的平行线，在各平行线上量取花格砖宽度的一半；
（d）连接花格砖后端面各点；
（e）核对并擦去多余图线，加深图线，完成花格砖的斜二测图。
图3-12 混凝土花格砖斜二测图画法
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2.水平斜轴测图的轴间角、轴向伸缩系数和画法
当以坐标面XOY组成的水平面作为轴测投影面所得到的斜轴测图，称为水平斜轴测图。常用的水平斜轴测图为水平斜二测图，水平斜二测图的水平面反映实形，轴间角∠X1O1Y1 =90°，一般取O1Z1轴为铅垂方向，轴间角∠X1O1Z1=120°，∠Y1O1Z1= =150°，p1=q1=1，r1=0.5，这种图适宜绘制房屋的平面图、区域的总平面布置等。
【例3-9】绘制3-13（a）所示建筑形体的水平斜二轴测图
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图3-13 建筑形体的水平斜二轴测图的画法
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3.2.3曲面体的轴测投影图
要画曲面立体的轴测图必须先掌握平面上圆的轴测投影图的画法。根据正投影图的原理可知，当圆所在的平面平行于投影面时，其投影仍为圆，而当圆所在的平面倾斜于投影面时，它的投影为椭圆。在轴测投影中，除了斜二测投影中有一个面不发生变形外，一般情况下的圆的轴测投影是椭圆。图3-14为一个正方体表面三个内切圆的轴测图。
（a）正等测图 （b）斜二测图
图3-14 平行于投影面的圆的轴测图
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作圆的轴测投影时，通常先作出圆的外切正四边形的轴测投影，再在其中作出圆的轴测投影（椭圆）。平行于坐标面的的圆的正等测，其外切正四边形为菱形，在菱形中画椭圆可用近似画法——四心圆法作图。
圆的正等测椭圆的近似画法如下：
（1）在正投影图中定出原点和坐标轴的位置，并做圆的外切正方形，见图3-15（a）。
（2）画轴测轴及圆的外切正方形的轴测图（菱形），同时作出其两个方向的直径a1c1和b1d1，见图3-15（b）。
（3）菱形的两个钝角顶点为o1、o2连a1b1和o1c1，分别交菱形的长对角线于o3、o4，得四心o1、o2 、o3、o4见图3-15（c）。
（4）分别以o1、o2为圆心，以a1 b1为半径作上下两段弧线，再分别以o3、o4为圆心，以o3 b1为半径作左、右两段弧线，即得椭圆，见图3-15（d）。
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图3-15 平行于坐标面的圆的正等轴测图——椭圆的近似画法
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【例3-10】根据圆柱的正投影图，见图3-16，做圆柱的正等测图。
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图3-16 圆柱体的正等轴测图
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【例3-11】圆台的正等测图画法，见图3-17。
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图3-17 圆台的正等测图画法
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(3) 圆角的正等测图
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图3-18圆角的正等测图
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【例3-12】圆角的正等测图画法，见图3-19。
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图3-19圆角的正等轴测图
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