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专题4-3 用乘法公式分解因式
模块1：学习目标
1. 能说出平方差公式，完全平方公式的特点。
2. 能熟练地掌握应用平方差公式和完全平方公式分解因式。
3. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法。
4. 在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察，比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式，可以提高学生的综合运用知识的能力，进一步体验“整体”思想和 “换元”思想。
模块2：知识梳理
1.运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用：
若多项式各项有公因式先把公因式提出来，再运用公式法继续分解；若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式。
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
注意：利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定分解结果的运算符号。
补充：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
模块3：核心考点与典例
考点1、判定能否用公式法分解因式
例1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．
【详解】解： A选项，式子中单项式有三项，且平方项符号相同，满足完全平方公式分解因式形式，故选项正确；
B选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；
C选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；
D选项，式子中单项式有两项，且含有相同的字母，应用提取公因式法分解因式，故选项错误；
故选：A ．
变式1. （23-24八年级上·山东泰安·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；故选：C．
变式2．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据完全平方公式进行判断，即可．
【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；④；
⑤．，所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．
变式3．（22-23七年级·浙江杭州·阶段练习）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意；
C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；
D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
考点2、运用平方差公式分解因式
例1．（23-24八年级下·广东·课后作业）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．(5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【分析】本题主要考查了运用提公因式和公式法分解因式．
（1）运用平方差公式分解因式即可．（2）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可．
（3）运用平方差公式分解因式即可．（4）运用平方差公式分解因式即可．
（5）先运用平方差公式分解因式，最后再提公因式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
（3）
（4）
（5）
变式1. （2024·江苏苏州·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：．
变式2. （23-24八年级上·四川南充·期末）分解因式：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了因式分解；（1）根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）根据平方差公式以及完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
考点3、运用完全平方公式分解因式
例1．（2023·辽宁营口·三模）因式分解： ．
【答案】/
【分析】此题考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式进行分解即可，关键是掌握完全平方公式：．
【详解】解：原式，故答案为：．
变式1. （2023八年级上·广东·专题练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了用公式法分解因式．直接用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，故答案为：．
变式2.（2023·云南昆明·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解： ，故答案为：．
变式3.（22-23八年级上·海南三亚·期中）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）利用完全平方公式分解因式即可；
（3）首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
考点4、综合运用公式法分解因式
例1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解：
(1)；(2)；(3)；(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】(1)先提取公因式，再套用公式分解即可．(2) 先提取公因式，再套用公式分解即可．
(3)平方差公式分解即可．(4)完全平方公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
变式1. （23-24八年级下·山东济南·阶段练习）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题主要考查了分解因式：（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提取公因式，然后去括号，合并同类项，最后提取公因数2分解因式即可；
（4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
变式2. （22-23七年级下·广西桂林·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料分析：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
实践探索：上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“整体思想”，请你结合上述解题思路，自己完成下列题目：因式分解：；
【答案】
【分析】本题考查的是整体思想的应用，换元法的理解，利用完全平方公式分解因式，设，则原式可化为，再把代入即可得到答案．
【详解】解：设，
∴
考点5、因式分解在有理数简算中的运用
例1．（2023八年级上·广东·专题练习）利用乘法公式简便计算．
(1)(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
（1）把原式变形为，再利用平方差公式进行求解即可；
（2）原式根据完全平方公式变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
变式1.（23-24八年级下·广东·课后作业）用简便方法计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)1(2)80
【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键；
（1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可；
（2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可；
【详解】（1）解：
．
（2）
变式2.（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）利用乘法公式计算：．
【答案】100
【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行简算即可．掌握完全平方公式，是解题关键．
【详解】解：原式
．
变式3.（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：．
【答案】．
【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用．
【详解】解：设，
则原式，，，
∴原式．
考点6、因式分解的逆向运用问题
例1．（2024·河南郑州·一模）对任意整数，都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】B
【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
【详解】∵，
∴故一定能被4整除，故选B．
变式1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．据因式分解的意义即可求得答案．
【详解】解：，则“？”是，故选：B．
变式2．（23-24七年级下·广东·课后作业）若，则M，N分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查的是利用平方差公式进行计算，利用平方差公式分解因式，直接把分解因式即可．
【详解】解：∵，∴，；故选A．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．故选：A．
2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
根据平方差公式分析判断即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；故选：D．
3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式特点，即可判断出答案．
【详解】解：A． 可明显看出只有两项，不能用完全平方公式分解因式，所以A不符合题意；
B． 有三项，并且有两项是平方项，中间项符合倍乘积，能用完全平方公式分解因式，所以B符合题意；
C． 有三项，并且两个平方项都是正的，但是中间项不符合倍乘积，不能用完全平方公式分解因式，所以C不符合题意；
D． 有三项，并且两个平方项是正的，中间项不符合倍乘积，不能用完全平方公式分解因式，所以D选项不符合题意．故答案选D．
【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，做这样的题目首先看一下多项式是否有三项，然后找到两个平方项并确保符号都是正的，最后验证最后一项是否符合倍乘积即可．
4．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：中、爱、我、苗、游、美；现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ）
A．我爱美 B．苗中游 C．美我苗中 D．爱我苗中
【答案】D
【分析】本题主要考查因式分解．将所给整式利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再与所给的整式与对应的汉字比较，即可得解．
【详解】解：，
∴结果呈现的密码信息可能是：爱我苗中，故选：D．
5．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意；
B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：∵，∴，∴；故选C．
7．（23-24八年级上·云南临沧·期末）若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式，
又∵，∴ ，解得 ．故选：C．
8．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．
【详解】解：A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项错误，符合题意．故选：D．
9．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（ ）
A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，故选：D．
10．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先根据已知条件式得到，再把原式变形为，最后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
，故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法分解因式．利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，故答案为：．
12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在实数范围内因为分解： ．
【答案】
【分析】根据，利用平方差公式分解即可，本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式分解因式是解题的关键．
【详解】．
13．（23-24八年级下·广东肇庆·开学考试）若，则代数式的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先把原式变形为，再把整体代入得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵，∴故答案为：1．
14．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）因式分解：＝ ．
【答案】
【分析】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ．故答案为：．
15．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
【详解】解： ．故答案为：．
16．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了代数式的求值、完全平方公式，熟练运用完全平方公式与“整体代入”的思想是解答此题的关键．由已知可得，然后将所求代数式利用完全平方公式变形为，再将已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，∴．∴．故答案为：．
17．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：；故答案为：
18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）使得是完全平方数的整数的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方数的知识．将表示为的形式，然后转化可得出，从而讨论可得出的值，从而得到所有整数的和．
【详解】解：设，所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为，且与都为整数，
所以，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，．
，，解得：，．
所以所有的和为．故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）将下列多项式分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．
（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用平方差公式进行因式分解即可；
（3）变形后利用平方差公式进行因式分解即可；（4）利用平方差进行因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）；
（3）；
（4）
．
20．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）因式分解：
(1)；(2)；(3)
(4) ；(5)；(6)
【答案】(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
【分析】本题考查了因式分解，掌握各类分解方法是解题关键．（1）利用提公因式法即可求解；（2）利用提公因式法即可求解；（3）利用公式法即可求解；（4）利用公式法即可求解；（5）综合利用提公因式法和公式法即可求解；（6）综合利用提公因式法和公式法即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
（6）解：原式
21．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）利用提取公因式法分解因式即可；（2）利用提取公因式法分解因式即可；
（3）利用平方差公式分解因式即可；（4）利用提取公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
22．（23-24八年级上·山东淄博·期末）分解因式：(1)(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查因式分解，涉及完全平方差公式、完全平方和公式等知识，根据题中所给多项式特征，灵活运用公式法因式分解即可得到答案，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
（1）先提负号，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先展开，化简后，再由完全平方和公式因式分解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）分解因式．
(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)（用简便方法做）
【答案】(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
【分析】本题考查了因式分解；（1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；
（3）先利用平方差公式进行分解，再分别利用完全平方公式继续分解；
（4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式继续分解；
（5）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式继续分解；
（6）先提取公因式，再利用平方差公式进行变形，然后计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
24.（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了______进行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______；
(3)模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C(2)(3)
【分析】本题主要考查了因式分解：（1）根据分解因式的过程可得答案；（2）将结果再次因式分解即可；（3）将看作整体进行因式分解即可；
【详解】（1）解：由题意得，第二步到第三步运用了完全平方公式，故答案为：C；
（2）解：，故答案为：；
（3）解：设，∴原式．
25．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：求的最小值．
解：，
，，即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________．
(2)求的最小值．(3)已知，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解本题的关键；（1）由完全平方公式的特点可得答案；（2）把原式化为，再利用完全平方公式的特点先分解因式，再利用非负数的性质可得答案；
（3）把化为，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵，∴添上的常数项是；
（2）；
∵∴∴的最小值为1；
（3）∵，∴，∴，
∴，，解得：，，∴；
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专题4-3 用乘法公式分解因式
模块1：学习目标
1. 能说出平方差公式，完全平方公式的特点。
2. 能熟练地掌握应用平方差公式和完全平方公式分解因式。
3. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法。
4. 在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察，比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式，可以提高学生的综合运用知识的能力，进一步体验“整体”思想和 “换元”思想。
模块2：知识梳理
1.运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用：
若多项式各项有公因式先把公因式提出来，再运用公式法继续分解；若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式。
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
注意：利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定分解结果的运算符号。
补充：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
模块3：核心考点与典例
考点1、判定能否用公式法分解因式
例1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （23-24八年级上·山东泰安·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
变式2．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（22-23七年级·浙江杭州·阶段练习）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、运用平方差公式分解因式
例1．（23-24八年级下·广东·课后作业）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．(5)．
变式1. （2024·江苏苏州·一模）因式分解： ．
变式2. （23-24八年级上·四川南充·期末）分解因式：(1)；(2)．
考点3、运用完全平方公式分解因式
例1．（2023·辽宁营口·三模）因式分解： ．
变式1. （2023八年级上·广东·专题练习）分解因式： ．
变式2.（2023·云南昆明·模拟预测）分解因式： ．
变式3.（22-23八年级上·海南三亚·期中）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考点4、综合运用公式法分解因式
例1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解：
(1)；(2)；(3)；(4)
变式1. （23-24八年级下·山东济南·阶段练习）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
变式2. （22-23七年级下·广西桂林·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料分析：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
实践探索：上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“整体思想”，请你结合上述解题思路，自己完成下列题目：因式分解：；
考点5、因式分解在有理数简算中的运用
例1．（2023八年级上·广东·专题练习）利用乘法公式简便计算．
(1)(2)
变式1.（23-24八年级下·广东·课后作业）用简便方法计算：
(1)；(2)．
变式2.（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）利用乘法公式计算：．
变式3.（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：．
考点6、因式分解的逆向运用问题
例1．（2024·河南郑州·一模）对任意整数，都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
变式1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24七年级下·广东·课后作业）若，则M，N分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：中、爱、我、苗、游、美；现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ）
A．我爱美 B．苗中游 C．美我苗中 D．爱我苗中
5．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
7．（23-24八年级上·云南临沧·期末）若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．
8．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（ ）
A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除
10．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）分解因式： ．
12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在实数范围内因为分解： ．
13．（23-24八年级下·广东肇庆·开学考试）若，则代数式的值为 ．
14．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）因式分解：＝ ．
15．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）分解因式： ．
16．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则 ．
17．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）分解因式： ．
18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）使得是完全平方数的整数的和为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）将下列多项式分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)
20．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）因式分解：
(1)；(2)；(3)
(4) ；(5)；(6)
21．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
22．（23-24八年级上·山东淄博·期末）分解因式：(1)(2)
23．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）分解因式．
(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)（用简便方法做）
24.（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了______进行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______；
(3)模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
25．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：求的最小值．
解：，
，，即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________．
(2)求的最小值．(3)已知，求的值．
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