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专题4-1 多边形
模块1：学习目标
1．了解多边形、凹、凸多边形、正多边形、多边形的内角、外角、对角线等基本概念。
2．经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，体会数学与现实生活的联系。
3．掌握多边形内角和公式的推导，并能运用公式解决一些实际问题。
4．掌握多边形内角和公式，并能运用多边形内角和公式和外角和结论解决问题。
模块2：知识梳理
1）多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。
其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形。
2）相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，
一个n边形有n个内角.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为。
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
模块3：核心考点与典例
考点1、多边形的概念与分类
例1．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
【答案】C
【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意；B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意；
C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意；
D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键．
变式1.（2023九年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（　　）
A．圆内正n边形的中心角为 B．各边相等的，各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形
【答案】D
【分析】根据正多边形的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：圆内正n边形的中心角为，故A正确，不符合题意；
各边相等的，各角相等的多边形是正多边形，故B正确，不符合题意；
各边相等的圆内接多边形是正多边形，故C正确，不符合题意；
各角相等的多边形不一定是正多边形，故D错误，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的概念和性质，熟练掌握正多边形的概念和性质是解题的关键．
变式2.（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的分类，四边形的分类，进行判定作答即可．
【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A正确，故不符合要求；四边形包括平行四边形、梯形，B正确，故不符合要求；
三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，C正确，故不符合要求；
平行四边形包括长方形，正方形是特殊的长方形，D错误，故符合要求；故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，四边形的分类．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考点2、多边形的对角线
例1．（2023·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形为n边形，
由题意得，，∴，∴这个多边形为八边形，
∴这个多边形可连对角线的条数是，故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键．
变式1.（2023·河北保定·统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】A
【分析】先由多边形内角和公式与外角和的关系可得再解方程，从而可得答案．
【详解】解：设这个多边形为边形，则，，解得：，
所以从这个多边形的一个顶点出发共有条对角线，故选A．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理，多边形的对角线问题，掌握“利用多边形的内角和为,外角和为”是解题的关键．
变式2.（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形每一个中心角都为40°，则这个正多边形共有 条对角线．
【答案】27
【分析】利用多边形的中心角之和是度，每个中心角都是，可求多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出共有多少条对角线．
【详解】解：，这个正多边形有条边；
，这个正多边形共有条对角线．故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、对角线条数，解题的关键是掌握n边形对角线条数．
考点3、多边形内角和
例1．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
【答案】/800度
【分析】根据多边形的内角和公式即可得．
【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为，
∴其余六个内角之和为，故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．
变式1. （2023春·北京昌平·八年级校联考期中）下列多边形中，内角和为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据n边形的内角和公式为，进行求解即可．
【详解】解：∵n边形的内角和公式为，
∴当°，则．∴四边形的内角和等于．故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
变式2. （2023·江苏连云港·校考三模）一个多边形的内角和等于，那么它是（　　）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
【答案】D
【分析】根据题意可以设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形内角和等于，∴，解得，．即它是十三边形，故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角定理，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．
变式3. （2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．
【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．
考点4、多边形外角和
例1．（2023·北京·统考中考真题）正十二边形的外角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任何多边形的外角和都为即可解答．
【详解】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，掌握任何多边形的外角和都为是解答本题的关键．
变式1. （2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（ ）
A．900° B．700° C．360° D．180°
【答案】C
【分析】由多边形外角和为可得答案．
【详解】解：∵多边形的外角和为：，∴正七边形的外角和是，故选C．
【点睛】本题考查的是正多边形的外角和问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．
变式2. （2023·河北保定·校考模拟预测）如果一个正多边形的内角比它相邻的外角大，那么这个多边形是 边形．
【答案】九
【分析】设正多边形的内角为x，则与它相邻的外角度数为，根据题意列方程，求出，进而求出外角的度数，进而根据外角和求解即可．
【详解】设正多边形的内角为x，则与它相邻的外角度数为，
∴，解得，∴，∴．
∴这个多边形是九边形．故答案为：九．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正多边形的内角与外角的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考点5、多边形的内（外）角和的应用
例1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解．
【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得．故选：B．
变式1. （2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，若干个一模一样的正六边形（各边相等，各角也相等）排成环状．图中所示的是前3个六边形，要完成这一圆环，还需这样的六边形的数量为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【分析】如图，延长正六边形的两边交于点，利用的度数，求出需要正六边形的总个数，即可得解．
【详解】解：如图，延长正六边形的两边交于点，
∵正六边形的每个外角均为：，∴，
∴组成一个圆环共需：个正六边形，∴还需要正六边形的个数为：，故选D．
【点睛】本题考查正多边形的外角和的应用．熟练掌握正六边形的外角和是，是解题的关键．
变式2. （23-24八年级上·河南许昌·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查多边形的外角和是，由多边形的外角和是列式计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故选：A．
考点6、多边形的内（外）角和综合问题
例1．（2023·江苏扬州·统考一模）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______．
【答案】
【分析】根据正边形内角和，则正边形一个内角的度数，即可求得正五边形与正六边形每个内角的度数，由周角是可得的度数，再根据是等腰三角形可求出，最后根据平角是即可求解．
【详解】解：五边形是正五边形，，
六边形是正六边形，，,
正五边形与正六边形的边长相等，，是等腰三角形，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形内角和公式，以及求正多边形每个内角的度数，理解并熟练记忆公式，灵活根据题意运用等腰三角形两底角相等、以及平角、周角相结合求角度是解题的关键．
变式1.（2023·江西·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得．
【详解】解：、、、的外角的角度和为220°，
，，
五边形内角和，
．故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是利用内角和外角的关系求得、、、的和．
变式2.（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在正六边形中，以为边向内作正方形，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．
【详解】解：∵在正六边形和正方形中，∴，，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵在正六边形和正方形中，∴，，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵多边形是正六边形，∴该多边形内角和为：，
∴，
∵多边形是正方形，∴该多边形内角和为：，
∴，∴，故C选项正确，不符合题意；
∵，∴，故D选项不正确，符合题意故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．
考点7、多（少）算一个角和截角相关问题
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案．
【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数），
依题意得，解得．
∵少算一个内角，且该内角小于，∴．
∴多边形的内角和是，
∴少算的这个内角的度数为，故答案为：．
变式1. （23-24八年级上·山东·课时练习）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】设这个多边形的边数是n，根据漏掉的那个内角的范围介于可得关于n的不等式组，求出n的范围结合n为正整数即得答案．
【详解】解析：设这个多边形的边数是n，依题意，得，解得．
又n为正整数，∴．∴这个内角的度数为．故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键．
变式2. （22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题．
【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或，
其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为，
得到的多边形的内角和是或或，故选：D．
考点8、平面镶嵌问题
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为 ．
【答案】8
【分析】根据正方形的内角为，正n边形的每个内角为，再结合题意可列出关于n的方程，解出n的值，即得出答案．
【详解】解：正方形的每个内角为，正n边形的每个内角为，
则根据题意有，解得：．故答案为：8．
【点睛】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角问题．掌握正n边形的每个内角为是解题关键．
变式1.（2023·吉林长春·校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．

【答案】
【分析】根据平面镶嵌的定义，结合正五边形的内角，即可求解．
【详解】解：正五边形的每一个内角为
设菱形的最小内角为，根据题意得，解得： 故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，平面镶嵌，熟练掌握平面镶嵌的定义以及多边形的内角和公式是解题的关键．
变式2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为 °．

【答案】36
【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为列出方程组，解答即可．
【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得
，解得，故答案为：36．

【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解题意、得出方程组是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22-23八年级·浙江·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　）
①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意，
等边三角形是正多边形，故②符合题意，长方形不是正多边形，故③错误不符合题意，
正方形是正多边形，故④符合题意，故选：B．
2．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）教师在引导学生探究人教版八年级上册四边形的内角和的度数时，是通过连接一条对角线分割成两个三角形来解决的，探究过程中蕴含的主要数学思想为（ ）
A．从一般到特殊思想 B．转化思想 C．类比思想 D．数形结合思想
【答案】B
【分析】由于探究人教版八年级上册四边形的内角和的度数时，是通过连接一条对角线分割成两个三角形，从而根据三角形的内角和为探究出任意四边形的内角和等，所以这一过程体现的数学思想是转化思想．
【详解】解∶探究人教版八年级上册四边形的内角和的度数时，是通过连接一条对角线分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于，这一过程体现的数学思想是转化思想．故选：B．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角以及数学思想．本题为了解决问题，将四边形转化为三角形，化未知为已知，化复杂为简单，充分体现了数学中的转化思想．
3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得共有5条对角线的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设共有5条对角线的多边形的边数是n，则，解得：（负值已舍去）．
∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，∴原多边形的边数为4或5或6．
原多边形不可能是七边形故选：D．
4．（23-24八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出机器人走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，机器人走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，进而即可求解．
【详解】解：∵机器人每次都是前进再逆时针旋转，
∴机器人走过的图形是正多边形，∴边数，
∴机器人第1次回到出发点时，一共走了，故选：C．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的外角和定理，解求出多边形的边数，根据多边形顶点引对角线的公式由此即可求解．
【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于，
∴，∴这个正多边形是正边形，如图所示，
∴（条），∴这个正多边形的对角线是条．故选：．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，对角线的条数的计算方法，掌握正多边形的外角和定理，顶点引对角线的公式是解题的关键．
6.（2023·山东日照·校考三模）我们知道三角形的内角和为，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为，五边形则可以分成3个三角形，它的内角和为（如图），依此类推，则八边形的内角和为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：由多边形内角和公式可得：八边形的内角和为故选：B
【点睛】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
7．（2024·湖北·一模）正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查正多边形及多边形外角和，熟练掌握正多边形及多边形外角和是解题的关键；根据多边形外角和为可进行求解．
【详解】解：由题意可知这个正多边形的边数为；故选C．
8．（2023·江西吉安·校考模拟预测）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据等腰三角形的性质求的度数，同理可得的度数，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，∴， ，
∴，同理，∴，故选：B．
【点睛】本题考查正多边形内角和的计算以及三角形公式，n边形的内角和为．
9．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值．
【详解】解：设这个内角度数为，边数为，则，，
∵为正整数，， ∴，∴这个内角度数为．故选：C．
10．（2023·河北张家口·统考三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（ ）

A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】正六边形的一个内角为，根据外角的定义有，，得，再讨论即可得的值．
【详解】解：∵正六边形的一个内角为，∴，
∵为正边形的一个内角为度数，∴，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
则的值为3或4或5或6．故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
【答案】或或9
【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：以五边形为例，如图所示：

剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减
设新多边形的边数为，则，解得：
∴原多边形可能有或或9条边．故答案为：或或9．
12．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）小明从点出发，沿直线前进了后向左转一定的角度，再沿直线前进，又向左转相同的角度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，共走了，则他每次向左转的角度是 度．
【答案】
【分析】本题主要查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于．
先求出小明左转了次，然后根据多边形的外角和计算求解．
【详解】∵他第一次回到出发地点时，共走了，且每次前进，∴小明左转了次，
∵多边形的外角和为，∴，∴他每次向左转的角度是度．故答案为：．
13．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则 ．

【答案】/度
【分析】根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：在中，∵，∴，
∵平分，平分，∴，
∵，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握多边形形的内角和定理以及角平分线定义．
14.（2023·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为 ．
【答案】/
【分析】利用正n多边形的内角公式求解即可．
【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为，
则，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的内角问题，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解答的关键．
15．（2023·浙江绍兴·校联考三模）淇淇用图一的六个全等纸片拼接图2所示的外轮廓是正六边形，如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接成外轮廓是正n变形图案，那么的值为 ．

【答案】九
【分析】先根据正多边形内角计算公式得出正六边形的内角度数，得出，再通过三角形内角和定理计算出，从而得出正边形的内角度数，再经过多边形内角和公式得出答案．
【详解】解：正六边形的每个内角，
由图可知，，，
，
图3中的正边形的每个内角=，
根据多边形内角和公式得，解得，
这个正边形是正九边形．故答案为：九．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，三角形内角和定理，对图像中多边形内角与三角形各角之间的关系是解题的关键．
16．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

【答案】
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17．（2023·北京海淀·统考一模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，，
当点在点处时，∵，，∴，
当点在点处时，延长交的延长线于点，
∵，，
∴，∴，∴是正三角形，∴，
∵，，∴即，∴是正三角形，
∴，∴，故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键．
18．（2023年河北省石家庄市中考一模数学试卷）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和顺时针方向分别旋转，旋转角为，所得的两条新线段夹角为，以为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形边数为n．如图2，当时，得到两个正六边形．
边数n 4 5 6 …
旋转角 90° 108° 120° …
夹角 180° m 120° …
（1）用含的代数式表示，__________；
（2）边数n，旋转角，夹角的部分对应值如表格所示，其中__________；
（3）若，则n的最小值是__________．
【答案】 144 72
【分析】（1）由周角的含义建立方程即可；（2）把代入（1）中的结论可得答案；
（3）由，可得，解得：，利用多边形的内角和公式可得，而且为整数，从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得：，∴，故答案为：．
（2）由题意可得：当时，∴，故答案为：；
（3）当，∴，解得：，
∴，而且为整数，∴，
解得：，∴的最小值为：．故答案为：．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，正多边形的性质，利用正多边形的性质建立方程或不等式求解是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·云南昆明·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角
(1)这个“多加的锐角”是_________．
(2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？
【答案】(1) (2)小明求的是边形的内角和, 此多边形的对角线条数为条
【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可；（2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可，根据多边形的对角线的条数为，即可求解．
【详解】（1）解：多边形内角和公式为，
当时，多边形内角和为，
当时，多边形内角和为，
小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角”，
这个“多加的锐角”是，故答案为：；
（2）设多边形为边形，，，小明求的是边形的内角和；
∴该多边形的对角线的条数为（条）
【点睛】本题主要考查多边形的内角和和外角和，多边形的对角线的条数问题，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键．
20．（23-24八年级下·浙江·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．

【答案】能，见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计；根据正六边形可以进行平面镶嵌，类似的将等边三角形填充到剪去的位置即可．
【详解】解：能．设计方案图所示．

21．（23-24八年级下·广东·课后作业）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数；（2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数．
【答案】（1）9（2）11
【分析】本题主要考查了求多边形的边数，多边形内角和和外角和定理以及一元一次方程的应用．
（1）设这个多边形的边数为n，利用一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多列一元一次方程求解即可得出答案．（2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意，列一元一次方程求解出x，再利用多边形外角为即可求出答案．
【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，解得，所以这个多边形的边数为9．
（2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，
根据题意，得，解得．∴，
所以这个多边形的边数为11．
22．（23-24八年级下·江苏·课后作业）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数；
(2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数；
(3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】主要考查了多边形的内角与外角之间的关系． 三角形外角的性质和三角形内角和定理．
（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数；
（3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加，由此即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴；

（2）∵，，
∴；

（3）观察可以发现图（1）到图（2）可以发现每截去一个角，则会增加，
所以当截去5个角时增加了，
则
23．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作______条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条对角线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形，共有______条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有______对角线．
【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；（4）根据对角线的公式，可得答案．
【详解】解：（1）经过点可以做 1条对角线；同样，经过点可以做 1条；经过点可以做 1条；经过点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．故答案为：1、1、1、2；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线，故答案为：5、9；
（3）探索归纳：对于边形，共有条对角线．故答案为：；
（4）特例验证：十边形有对角线．故答案为：35.
【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为________．(2)小明走出的这n边形的周长为________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【答案】(1)15(2)45(3)
【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解；（2）用多边形的边数乘以的长，即可求解；（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：．故答案为：15
（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，
∴这n边形的周长为（米）；故答案为：45
（3）解：根据题意，得，解得，
∴这个正m边形的每一个内角的度数为．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．
25．（2023 济南模拟）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60° x+120° y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．
（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
【解析】解：（1）据题意，可有60° x+90° y＝360°，化简得2x+3y＝12，∴当x＝3，y＝2时，有图：
（2）如图（5）所示：
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专题4-1 多边形
模块1：学习目标
1．了解多边形、凹、凸多边形、正多边形、多边形的内角、外角、对角线等基本概念。
2．经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，体会数学与现实生活的联系。
3．掌握多边形内角和公式的推导，并能运用公式解决一些实际问题。
4．掌握多边形内角和公式，并能运用多边形内角和公式和外角和结论解决问题。
模块2：知识梳理
1）多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。
其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形。
2）相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，
一个n边形有n个内角.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为。
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
模块3：核心考点与典例
考点1、多边形的概念与分类
例1．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
变式1.（2023九年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（　　）
A．圆内正n边形的中心角为 B．各边相等的，各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形
变式2.（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、多边形的对角线
例1．（2023·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
变式1.（2023·河北保定·统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
变式2.（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形每一个中心角都为40°，则这个正多边形共有 条对角线．
考点3、多边形内角和
例1．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
变式1. （2023春·北京昌平·八年级校联考期中）下列多边形中，内角和为的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023·江苏连云港·校考三模）一个多边形的内角和等于，那么它是（　　）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
变式3. （2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
考点4、多边形外角和
例1．（2023·北京·统考中考真题）正十二边形的外角和为（　　）
A． B． C． D．
变式1. （2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（ ）
A．900° B．700° C．360° D．180°
变式2. （2023·河北保定·校考模拟预测）如果一个正多边形的内角比它相邻的外角大，那么这个多边形是 边形．
考点5、多边形的内（外）角和的应用
例1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，若干个一模一样的正六边形（各边相等，各角也相等）排成环状．图中所示的是前3个六边形，要完成这一圆环，还需这样的六边形的数量为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
变式2. （23-24八年级上·河南许昌·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点6、多边形的内（外）角和综合问题
例1．（2023·江苏扬州·统考一模）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______．
变式1.（2023·江西·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在正六边形中，以为边向内作正方形，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
考点7、多（少）算一个角和截角相关问题
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
变式1. （23-24八年级上·山东·课时练习）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为 ．
变式2. （22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
考点8、平面镶嵌问题
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为 ．
变式1.（2023·吉林长春·校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．

变式2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为 °．

模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22-23八年级·浙江·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　）
①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）教师在引导学生探究人教版八年级上册四边形的内角和的度数时，是通过连接一条对角线分割成两个三角形来解决的，探究过程中蕴含的主要数学思想为（ ）
A．从一般到特殊思想 B．转化思想 C．类比思想 D．数形结合思想
3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
4．（23-24八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（　　）
A． B． C． D．
6.（2023·山东日照·校考三模）我们知道三角形的内角和为，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为，五边形则可以分成3个三角形，它的内角和为（如图），依此类推，则八边形的内角和为（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·湖北·一模）正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
8．（2023·江西吉安·校考模拟预测）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
9．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·河北张家口·统考三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（ ）

A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
12．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）小明从点出发，沿直线前进了后向左转一定的角度，再沿直线前进，又向左转相同的角度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，共走了，则他每次向左转的角度是 度．
13．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则 ．

14.（2023·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为 ．
15．（2023·浙江绍兴·校联考三模）淇淇用图一的六个全等纸片拼接图2所示的外轮廓是正六边形，如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接成外轮廓是正n变形图案，那么的值为 ．

16．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

17．（2023·北京海淀·统考一模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．
18．（2023年河北省石家庄市中考一模数学试卷）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和顺时针方向分别旋转，旋转角为，所得的两条新线段夹角为，以为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形边数为n．如图2，当时，得到两个正六边形．
边数n 4 5 6 …
旋转角 90° 108° 120° …
夹角 180° m 120° …
（1）用含的代数式表示，__________；
（2）边数n，旋转角，夹角的部分对应值如表格所示，其中__________；
（3）若，则n的最小值是__________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·云南昆明·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角
(1)这个“多加的锐角”是_________．
(2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？
20．（23-24八年级下·浙江·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．

21．（23-24八年级下·广东·课后作业）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数；（2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数．
22．（23-24八年级下·江苏·课后作业）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数；
(2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数；
(3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程)
23．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作______条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条对角线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形，共有______条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有______对角线．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为________．(2)小明走出的这n边形的周长为________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．
25．（2023 济南模拟）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60° x+120° y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
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