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1.1 数列
【学习目标】
1.了解数列的概念和数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),会根据数列的前几项写出数列的通项公式.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解数列的通项公式,并能够根据通项公式求数列中的某些项.(数学运算)
3.用函数思想理解数列,掌握数列的单调性,要求能够对数列进行合理分类,以提高学生分析问题和解决问题的能力.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.数列的定义是什么
【答案】一般地,我们把按照一定次序排列的一列数称为数列.
2.数列的项与项数有什么不同
【答案】　数列的项与项数是两个不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值,即f(n);而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是函数值f(n)对应的自变量的值,即n.
3.同一个数在数列中能重复出现吗
【答案】　能,数列中的数可以重复出现.
4.数列1,2,3,4,5与{1,2,3,4,5}有什么区别
【答案】　一方面,形式上不一致;另一方面,集合中的元素具有无序性.
5.什么叫数列的通项公式
【答案】　如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列1,1,1,…是无穷数列. (　　)
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列. (　　)
(3)有些数列没有通项公式. (　　)
(4)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知数列1,1,2,3,5,8,…,则144是该数列的第(　　)项.
A.10　　　　B.11　　　　 C.12　　　　D.13
【答案】　C
【解析】　由题意可得,数列从第3项起,每一项都等于前两项的和,所以这个数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,所以144是该数列的第12项.
3.数列0,1,2,3,4,…的一个通项公式可以为(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
【答案】　A
【解析】　结合选项可知,an=n-1,故选A.
4.下列说法正确的是　　　　(填序号).
①1,1,1,1是有穷数列;
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列;
③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
【答案】　①②
【解析】　因为1,1,1,1只有4项,所以①正确;②正确;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,所以③错误.
【合作探究】
探究1 数列的概念
　　2022年在北京举办了冬奥会,第17届冬季奥运会是在1994年举办的,每四年举办一届.
问题1:北京冬奥会是第多少届
答案　由题意可知举办冬奥会的年份分别是1994,1998,2002,2006,2010,2014,2018,2022,因为1994年是第17届,所以2022年北京冬奥会是第24届.
问题2:预计第27届冬奥会是哪一年
【答案】　是2034年.
问题3:我们能否引入一个符号,体现第17届冬奥会到第24届冬奥会的届别与举办年份数之间的关系
【答案】　记第i届冬奥会为ai,那么a17=1994,a18=1998,a19=2002,a20=2006,a21=2010,a22=2014,a23=2018,a24=2022.
问题4:结合教材中的例子,这些数的共同特点是什么
【答案】　(1)都是一系列数;(2)这些数有一定的次序.
新知生成
1.数列的定义:按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项),排在第n位的数称为这个数列的第n项.
2.数列中的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
3.数列的定义中,并没有规定数列中的数必须相同,因此,同一个数在数列中是允许重复出现的.
新知运用
例1　下列有关数列的说法,正确的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①数列1,2,3可以表示成{1,2,3};②数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列;③数列的第k-1项是;④数列中的每一项都与它的序号有关.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】　B
【解析】　①错误,数列和集合是不同的概念;②错误,数列-1,0,1与数列1,0,-1是不同的数列.故选B.
【方法总结】{an}与an是不同的概念,前者表示a1,a2,a3,…,an,…,后者仅表示数列的第n项,对于数列的概念问题,应紧紧抓住概念进行判别.
1.以下说法正确的是(　　).
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列中的项与顺序无关
C.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
D.数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7
【答案】　D
【解析】　A错误,例如无穷个3构成的常数列3,3,…,3,…;B错误,数列中的项与顺序有关;C错误,数列0,2,4,6,…的首项为0,数列{2n}的首项为2.故选D.
2.在数列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　项.
【答案】　7
解析　令=,解得n=7,所以是它的第7项.
探究2 数列的通项
　　大衍数列,来源于我国的《乾坤谱》,是世界数学史上最古老的数列,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60.
问题1:依据大衍数列的前11项中的奇数项,写出大衍数列奇数项的通项公式.
【答案】　大衍数列的奇数项0=,4=,12=,根据此规律可知,大衍数列奇数项的通项公式an=.
问题2:大衍数列的第41项是多少
【答案】　因为大衍数列奇数项的通项公式为an=,所以大衍数列的第41项是=840.
新知生成
　　数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an是数列的第n项.常把一般形式的数列简记作{an}.
通项公式:如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式.
新知运用
例2　根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,….
【解析】　(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式的正负性可用(-1)n来调节,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n·(6n-5).
(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为an=.
(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察,即,,,,,…,故数列的一个通项公式为an=.
(4)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n-1,故数列的一个通项公式为an=(10n-1).
【方法总结】(1)对于正负符号的变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整;
(2)先考虑分母的变化规律,再考虑分子与分母的关系和变化规律;
(3)对于各项中有分数又有整数的变化,应统一化为分数形式再观察其规律;
(4)从考虑数列5,55,555,5555,…和数列9,99,999,9999,…的关系着手.
1.按数列的排列规律猜想数列中的项,已知数列2,3,5,8,13,x,34,55,…,则x的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.19 B.20 C.21 D.22
【答案】　C
【解析】　由数列2,3,5,8,13,x,34,55,…,可得规律是2+3=5,3+5=8,8+13=21=x,13+x=34,…,则x=21.
2.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:
(1),,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3),1,,,…;
(4)0.8,0.88,0.888,….
【解析】　(1)所给数列的前4项中,每一项的分子比分母少1,且分母依次为21,22,23,24,所以原数列的一个通项公式为an=.
(2)所给数列可写成(-1)1×,(-1)2×,(-1)3×,(-1)4×,…,
所以原数列的一个通项公式为an=(-1)n×=.
(3)所给数列可写成,,,,…,数列3,5,7,9,…的一个通项公式为bn=2n+1,数列2,5,10,17,…的一个通项公式为cn=n2+1,所以原数列的一个通项公式为an=.
(4)所给数列可写成×1-,×1-,×1-,…,
所以原数列的一个通项公式为an=1- .
探究3 数列与函数的关系
　　问题1:我们已经归纳出了数列的概念,从给出的具体例子中你能发现数列与函数的联系吗 如果数列是函数,那么它们的对应关系、定义域分别是什么
【答案】　数列是特殊的函数,它们的对应关系是an=f(n),定义域是N* .
问题2:1,3,5,7是一个数列,7,5,3,1也是一个数列,这两个数列是不是同一个数列 是否具有单调性 你能写出一个递增的数列吗
【答案】　不是;具有单调性,1,3,5,7是递增数列,7,5,3,1是递减数列;能,如2,4,6,8,10,….
新知生成
1.数列的分类
(1)数列按项数是有限还是无限来分,分为有穷数列、无穷数列.
(2)数列按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.递增数列 an+1>an;递减数列 an+12.数列与函数的关系
将数列与函数作比较,数列是特殊的函数,特殊在定义域是正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n},其图象是无限个或有限个孤立的点,并且都是分布在y轴的右侧.
新知运用
例3　(1)已知递增数列{an}满足an=则实数m 的取值范围是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知数列{an}满足an=n+,则数列{an}的最小值为　　　　.
【答案】　(1)B　(2)
【解析】　(1)∵{an}为递增数列,∴即解得1即实数m 的取值范围为(1,12).故选B.
(2)∵f(x)=x+ 在(0,4) 上单调递减,在(4,+∞) 上单调递增,且5<4<6,
∴当x=n(n∈N*)时,f(n)min=min{f(5),f(6)},
又f(5)=5+=,f(6)=6+=,>,
∴f(n)min=,
即数列{an}的最小值为.
【方法总结】数列的单调性与最值
(1)数列的单调性可以依据相应函数的单调性进行判断,也可以根据an+1-an的符号进行判断.
(2)求数列中最大(小)项的方法
①若an最大,则若an最小,则要注意等号是否成立,即两项有无可能相等.
②考虑数列的单调性,注意自变量为正整数,如果取最值时的自变量不是正整数,那么需要与该数相邻的正整数验证比较.
1.已知数列{an}的通项公式为an=若{an}是递增数列,则实数a 的取值范围是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(3,6) B.(1,2)
C.(1,3) D.(2,3)
【答案】　D
【解析】　由题意可得解得22.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+,a5 是数列{an}的最小项,则实数a 的取值范围是　　　　.
【答案】　[-25,0]
【解析】　由题意可得n2-11n+≥25-55+,整理得(n-5)(n-6)≥,
当n≤4 时,不等式化简为a≥5n(n-6)恒成立,所以a≥-25;
当n≥6 时,不等式化简为a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0.
综上,-25≤a≤0.
【随堂检测】
1.下列有关数列的说法正确的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-1,0,2与数列2,0,-1是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.数列2,5,2,5,…,2,5,…是无穷数列
【答案】　D
【解析】　例如无穷个3构成的常数列3,3,3,…的各项都是3,故A错误;数列-1,0,2与数列2,0,-1中项的顺序不同,即表示不同的数列,故B错误;{1,3,5,7}是一个集合,故C错误;根据数列的分类,数列2,5,2,5,…,2,5,…中的项有无穷多个,所以是无穷数列,故D正确.故选D.
2.数列0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
【答案】　C
【解析】　原数列前几项可改写为1-,1-,1-,…,故该数列的一个通项公式为an=1-n.故选C.
3.已知数列{an}的通项公式为an=n·n,则数列{an}中的最大项为(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　因为数列{an}的通项公式为an=n·n,显然
an>0,令即得2≤n≤3,所以数列{an}中的最大项为a2=a3=2×2=.
4.若数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第　　　　项.
【答案】　3
【解析】　令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3.
21.1 数列
【学习目标】
1.了解数列的概念和数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),会根据数列的前几项写出数列的通项公式.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解数列的通项公式,并能够根据通项公式求数列中的某些项.(数学运算)
3.用函数思想理解数列,掌握数列的单调性,要求能够对数列进行合理分类,以提高学生分析问题和解决问题的能力.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.数列的定义是什么
2.数列的项与项数有什么不同
3.同一个数在数列中能重复出现吗
4.数列1,2,3,4,5与{1,2,3,4,5}有什么区别
5.什么叫数列的通项公式
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列1,1,1,…是无穷数列. (　　)
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列. (　　)
(3)有些数列没有通项公式. (　　)
(4)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列. (　　)
2.已知数列1,1,2,3,5,8,…,则144是该数列的第(　　)项.
A.10　　　　B.11　　　　 C.12　　　　D.13
3.数列0,1,2,3,4,…的一个通项公式可以为(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
4.下列说法正确的是　　　　(填序号).
①1,1,1,1是有穷数列;
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列;
③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
【合作探究】
探究1 数列的概念
　　2022年在北京举办了冬奥会,第17届冬季奥运会是在1994年举办的,每四年举办一届.
问题1:北京冬奥会是第多少届
问题2:预计第27届冬奥会是哪一年
问题3:我们能否引入一个符号,体现第17届冬奥会到第24届冬奥会的届别与举办年份数之间的关系
问题4:结合教材中的例子,这些数的共同特点是什么
新知生成
1.数列的定义:按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项),排在第n位的数称为这个数列的第n项.
2.数列中的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
3.数列的定义中,并没有规定数列中的数必须相同,因此,同一个数在数列中是允许重复出现的.
新知运用
例1　下列有关数列的说法,正确的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①数列1,2,3可以表示成{1,2,3};②数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列;③数列的第k-1项是;④数列中的每一项都与它的序号有关.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【方法总结】{an}与an是不同的概念,前者表示a1,a2,a3,…,an,…,后者仅表示数列的第n项,对于数列的概念问题,应紧紧抓住概念进行判别.
1.以下说法正确的是(　　).
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列中的项与顺序无关
C.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
D.数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7
2.在数列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　项.
探究2 数列的通项
　　大衍数列,来源于我国的《乾坤谱》,是世界数学史上最古老的数列,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60.
问题1:依据大衍数列的前11项中的奇数项,写出大衍数列奇数项的通项公式.
问题2:大衍数列的第41项是多少
新知生成
　　数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an是数列的第n项.常把一般形式的数列简记作{an}.
通项公式:如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式.
新知运用
例2　根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,….
【方法总结】(1)对于正负符号的变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整;
(2)先考虑分母的变化规律,再考虑分子与分母的关系和变化规律;
(3)对于各项中有分数又有整数的变化,应统一化为分数形式再观察其规律;
(4)从考虑数列5,55,555,5555,…和数列9,99,999,9999,…的关系着手.
1.按数列的排列规律猜想数列中的项,已知数列2,3,5,8,13,x,34,55,…,则x的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.19 B.20 C.21 D.22
2.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:
(1),,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3),1,,,…;
(4)0.8,0.88,0.888,….
探究3 数列与函数的关系
　　问题1:我们已经归纳出了数列的概念,从给出的具体例子中你能发现数列与函数的联系吗 如果数列是函数,那么它们的对应关系、定义域分别是什么
问题2:1,3,5,7是一个数列,7,5,3,1也是一个数列,这两个数列是不是同一个数列 是否具有单调性 你能写出一个递增的数列吗
新知生成
1.数列的分类
(1)数列按项数是有限还是无限来分,分为有穷数列、无穷数列.
(2)数列按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.递增数列 an+1>an;递减数列 an+12.数列与函数的关系
将数列与函数作比较,数列是特殊的函数,特殊在定义域是正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n},其图象是无限个或有限个孤立的点,并且都是分布在y轴的右侧.
新知运用
例3　(1)已知递增数列{an}满足an=则实数m 的取值范围是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知数列{an}满足an=n+,则数列{an}的最小值为　　　　.
【方法总结】数列的单调性与最值
(1)数列的单调性可以依据相应函数的单调性进行判断,也可以根据an+1-an的符号进行判断.
(2)求数列中最大(小)项的方法
①若an最大,则若an最小,则要注意等号是否成立,即两项有无可能相等.
②考虑数列的单调性,注意自变量为正整数,如果取最值时的自变量不是正整数,那么需要与该数相邻的正整数验证比较.
1.已知数列{an}的通项公式为an=若{an}是递增数列,则实数a 的取值范围是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(3,6) B.(1,2)
C.(1,3) D.(2,3)
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+,a5 是数列{an}的最小项,则实数a 的取值范围是　　　　.
【随堂检测】
1.下列有关数列的说法正确的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-1,0,2与数列2,0,-1是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.数列2,5,2,5,…,2,5,…是无穷数列
2.数列0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
3.已知数列{an}的通项公式为an=n·n,则数列{an}中的最大项为(　　).
A. B.
C. D.
4.若数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第　　　　项.
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