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2.2 导数的概念及其几何意义
【学习目标】
1.了解导数概念的实际背景,了解导数与割线斜率之间的关系,能利用导数的定义求函数的导数,能结合具体情境,感受导数的实际应用.(数学抽象)
2.理解曲线的切线的概念,理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.(数学运算)
【自主预习】
汽车爬坡在生活中是非常常见的,我们经常会说这个路面的坡度很陡,那么如何量化表达呢
如果我们将路面坡度近似地看成函数f(x),下面选取一段路面进行研究,其中起点和终点分别记为A和B,如图所示.
1.观察图象可知,从A点到B点的图象“陡增”,那么如何量化陡峭程度呢
2.你知道函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的几何意义吗
3.当B点向A点无限逼近时,割线AB与曲线的位置关系是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在x=x0处的导数反映了函数在区间[x0,x0+Δx]上变化的快慢程度. (　　)
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. (　　)
(3)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,则Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此,f'(x0)==. (　　)
2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(　　).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
3.函数y=f(x)的图象如图所示,则下列描述错误的是(　　).
A.x=-5处比x=-2处变化快
B.x=-4处呈上升趋势
C.x=1和x=2处增减趋势相反
D.x=0处呈上升趋势
4.设f(x)=2x+1,则f'(1)=　　　　.
.
【合作探究】
探究1 导数的概念及导数运算
在实际生产生活中,我们需要研究一些物体的瞬时变化率,例如:
(1)摩托车的运动方程为s=8+3t2,其中s表示位移,t表示时间,知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛;
(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准;
(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
问题1:上述实例中都涉及了某个量的瞬时变化率,在数学意义上,这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率,它在数学上称为什么
问题2:函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系
新知生成
1.导数的概念
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=.我们称它为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作f'(x0),即f'(x0)= =.
2.用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)求极限.
3.对于导数的概念,注意以下几点:
(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在点x0及其附近的函数值有关,与Δx无关;
(3)导数的实质是一个极限值.
新知运用
例1　已知函数f(x)=2x2+3x-1,试求f'(2).
方法指导　先求Δy,然后求,再求.
已知某物体的位移s与比赛时间t存在关系s(t)=10t+5t2(s的单位是m,t的单位是s).
(1)当t=20,Δt=0.1时,求Δs与的值;
(2)求当t=20时的速度.
探究2 导数的几何意义
设函数y=f(x),在y=f(x)上取两点P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
问题1:割线PPn的斜率kn是什么
问题2:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系
问题3:如何求过点P的切线PT的斜率
问题4:曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点
问题5:曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同
新知生成
1.导数的几何意义
(1)切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
新知运用
例2　求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【方法总结】　　过曲线上一点求切线方程的三个步骤
求曲线f(x)=3x2在点(1,3)处的切线方程.
【随堂检测】
1.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(　　).
A.-3　　　　B.3　 　　　C.6　 　　　D.-6
2.函数f(x)=在x=3处的导数是(　　).
A.- B.- C.- D.-
3.已知曲线f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为　　　　.
4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)　　　　f'(b)(填“<”或“>”).
5.一条水管中流过的水量y(单位:m3)是关于时间t(单位:s)的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
22.2 导数的概念及其几何意义
【学习目标】
1.了解导数概念的实际背景,了解导数与割线斜率之间的关系,能利用导数的定义求函数的导数,能结合具体情境,感受导数的实际应用.(数学抽象)
2.理解曲线的切线的概念,理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.(数学运算)
【自主预习】
汽车爬坡在生活中是非常常见的,我们经常会说这个路面的坡度很陡,那么如何量化表达呢
如果我们将路面坡度近似地看成函数f(x),下面选取一段路面进行研究,其中起点和终点分别记为A和B,如图所示.
1.观察图象可知,从A点到B点的图象“陡增”,那么如何量化陡峭程度呢
【答案】　直观地看,从A点到B点的图象非常“陡增”,陡峭程度需要利用平均变化率来近似地量化为=.
2.你知道函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的几何意义吗
【答案】　在Rt△ABC中,Δy=f(x2)-f(x1)=|CB|,Δx=x2-x1=|AC|,所以函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率===kAB,是曲线的割线AB的斜率.
3.当B点向A点无限逼近时,割线AB与曲线的位置关系是什么
【答案】　当B点无限逼近A点时,此时直线AT就是A点处的切线.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在x=x0处的导数反映了函数在区间[x0,x0+Δx]上变化的快慢程度. (　　)
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. (　　)
(3)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,则Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此,f'(x0)==. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(　　).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
【答案】　C
【解析】　因为f'(x0)=
==(a+bΔx)=a,
所以选C.
3.函数y=f(x)的图象如图所示,则下列描述错误的是(　　).
A.x=-5处比x=-2处变化快
B.x=-4处呈上升趋势
C.x=1和x=2处增减趋势相反
D.x=0处呈上升趋势
【答案】　D
【解析】　根据导数的几何意义知f'(-5)>0,f'(-4)>0,f'(-2)=0,f'(0)<0,f'(1)f'(2)<0,故D错误,故选D.
4.设f(x)=2x+1,则f'(1)=　　　　.
【答案】　2
【解析】　f'(1)=
==2.
【合作探究】
探究1 导数的概念及导数运算
在实际生产生活中,我们需要研究一些物体的瞬时变化率,例如:
(1)摩托车的运动方程为s=8+3t2,其中s表示位移,t表示时间,知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛;
(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准;
(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
问题1:上述实例中都涉及了某个量的瞬时变化率,在数学意义上,这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率,它在数学上称为什么
【答案】　函数的导数.
问题2:函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系
【答案】　(1)平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x=x0处变化的快慢.
(2)平均变化率与瞬时变化率的联系:当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在x=x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.
新知生成
1.导数的概念
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=.我们称它为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作f'(x0),即f'(x0)= =.
2.用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)求极限.
3.对于导数的概念,注意以下几点:
(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在点x0及其附近的函数值有关,与Δx无关;
(3)导数的实质是一个极限值.
新知运用
例1　已知函数f(x)=2x2+3x-1,试求f'(2).
方法指导　先求Δy,然后求,再求.
【解析】　因为Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+3(2+Δx)-1-(2×22+3×2-1)=2(Δx)2+11Δx,
所以==2Δx+11,
所以f'(2)==(2Δx+11)=11.
已知某物体的位移s与比赛时间t存在关系s(t)=10t+5t2(s的单位是m,t的单位是s).
(1)当t=20,Δt=0.1时,求Δs与的值;
(2)求当t=20时的速度.
【解析】　(1)当t=20,Δt=0.1时,
Δs=s(20+Δt)-s(20)
=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-(10×20+5×202)
=1+20+5×0.01=21.05(m).
∴==210.5(m/s).
(2)由导数的定义知,t=20时的速度
v=
=
=
=(5Δt+10+10×20)
=210(m/s).
探究2 导数的几何意义
设函数y=f(x),在y=f(x)上取两点P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
问题1:割线PPn的斜率kn是什么
【答案】　割线PPn的斜率kn==.
问题2:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系
【答案】　kn无限趋近于切线PT的斜率k.
问题3:如何求过点P的切线PT的斜率
【答案】　函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k==f'(x0).
问题4:曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点
【答案】　不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点,和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.
问题5:曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同
【答案】　曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线,点(x0,y0)一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线y=f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
新知生成
1.导数的几何意义
(1)切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
新知运用
例2　求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】　因为f'(1)=
= =2,
所以所求切线的斜率为2,
因此,所求的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
【方法总结】　　过曲线上一点求切线方程的三个步骤
求曲线f(x)=3x2在点(1,3)处的切线方程.
【解析】　因为 f'(1)== (6+3Δx)=6,
所以所求切线的斜率为6,
因此,所求的切线方程为y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.
【随堂检测】
1.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(　　).
A.-3　　　　B.3　 　　　C.6　 　　　D.-6
【答案】　D
【解析】　由平均速度和瞬时速度的关系可知,v=s'(1)=(-3Δt-6)=-6.
2.函数f(x)=在x=3处的导数是(　　).
A.- B.- C.- D.-
【答案】　C
【解析】　因为Δy=f(3+Δx)-f(3)=-=,所以=,于是f(x)在x=3处的导数为f'(3)==-.
3.已知曲线f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为　　　　.
【答案】　(3,30)
【解析】　设点P(x0,2+4x0),
则f'(x0)=
==4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴点P的坐标为(3,30).
4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)　　　　f'(b)(填“<”或“>”).
【答案】　>
【解析】　观察图象可知,该函数图象在点A处的切线斜率的绝对值要小于在点B处的切线斜率的绝对值,且斜率均为负值,所以f'(a)>f'(b).
5.一条水管中流过的水量y(单位:m3)是关于时间t(单位:s)的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
【解析】　根据导数的定义,
得===3,
∴f'(2)==3.
f'(2)的意义是水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s,即此时刻,每经过1 s,水管中流过的水量为3 m3.
2

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