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2.4 导数的四则运算法则
【学习目标】
1.熟记基本初等函数的导数公式,理解导数的运算法则,通过理解导数的四则运算,探究公式的形成过程,提高学生研究问题、解决问题的能力.(数学抽象)
2.结合实际例子,掌握几个常见函数的导数,通过对导数公式的应用,提高学生处理问题的能力.(逻辑推理)
3.能利用所给基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数,通过对导数公式和其他知识的综合运用,培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.(数学运算)
【自主预习】
运用定义法求解导数运算太复杂,有时甚至无法完成.是否有更简单的求导方法呢
1.求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.
2.求y=的导数.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　)
(2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　)
2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
3.若y=,则y'=　　　　.
4.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.
【合作探究】
探究1 函数和与差的求导法则
问题1:观察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x;与导数f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么发现和猜想
问题2:如何证明你的猜想
问题3:导数和(差)的运算法则可以推广到有限个函数的和(差)的情形吗 如果可以,写出推广形式.
新知生成
1.两函数和与差的导数
一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(差)的导数,有下列法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特别地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.两函数和与差的导数的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知运用
例1　求下列函数的导数.
(1)y=x2+log3 x;(2)y=sin x-2x2.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=5-4x3;(2)y=lg x-.
探究2 函数积与商的求导法则
假设f(x)=sin x,g(x)=ex.
问题1:你能求出[f(x)g(x)]'吗
问题2:你能求出'吗
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,当g(x)是常数函数,即g(x)=c时,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式和函数积与商的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
探究3 导数的四则运算的应用
例3　已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点P处的切线斜率为a,试求点P的横坐标;
(2)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直,求a的值以及切线l的方程.
【方法总结】　　利用导数的四则运算法则求解问题,一定要熟悉运算法则,特别是对复杂结构的函数求导.这一过程体现了数学运算素养.
1.已知某运动物体的运动方程为s(t)=+2t2(位移单位:m,时间单位:s),求t=3 s时物体的瞬时速度.
2.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
【随堂检测】
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是(　　).
A. B. C. D.
2.已知函数f(x)=,则该函数的导函数f'(x)=(　　).
A. B.
C. D.2x-cos x
3.在一次降雨过程中,某市的降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=,则在t=40 min时的降雨强度为　　　　mm/min.
4.已知函数f(x)=x2+xln x.
(1)求函数f(x)的导数f'(x);
(2)求函数f(x)在x=1处的切线方程.
22.4 导数的四则运算法则
【学习目标】
1.熟记基本初等函数的导数公式,理解导数的运算法则,通过理解导数的四则运算,探究公式的形成过程,提高学生研究问题、解决问题的能力.(数学抽象)
2.结合实际例子,掌握几个常见函数的导数,通过对导数公式的应用,提高学生处理问题的能力.(逻辑推理)
3.能利用所给基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数,通过对导数公式和其他知识的综合运用,培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.(数学运算)
【自主预习】
运用定义法求解导数运算太复杂,有时甚至无法完成.是否有更简单的求导方法呢
1.求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.
【答案】　y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=12x2-8x+6x2+9=18x2-8x+9.
2.求y=的导数.
【答案】　y'='==.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　)
(2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×
2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
【答案】　A
【解析】　f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1),故选A.
3.若y=,则y'=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln x,∴y'=·=.
4.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.
【答案】　1
【解析】　∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax,故f'(1)=2a=2,∴a=1.
【合作探究】
探究1 函数和与差的求导法则
问题1:观察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x;与导数f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么发现和猜想
【答案】　h(x)=f(x)+g(x);h'(x)=f'(x)+g'(x);[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
问题2:如何证明你的猜想
【答案】　设h(x)=f(x)+g(x),
则=
=
=
=+,
所以=+=+,
即h'(x)=f'(x)+g'(x).
问题3:导数和(差)的运算法则可以推广到有限个函数的和(差)的情形吗 如果可以,写出推广形式.
【答案】　可以,若y=f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x),
则y'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知生成
1.两函数和与差的导数
一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(差)的导数,有下列法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特别地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.两函数和与差的导数的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知运用
例1　求下列函数的导数.
(1)y=x2+log3 x;(2)y=sin x-2x2.
【解析】　 (1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+.
(2)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=5-4x3;(2)y=lg x-.
【解析】　(1)y'=-12x2.
(2)y'=+.
探究2 函数积与商的求导法则
假设f(x)=sin x,g(x)=ex.
问题1:你能求出[f(x)g(x)]'吗
【答案】　[f(x)g(x)]'=(sin x·ex)'=cos x·ex+sin x·ex=ex(cos x+sin x).
问题2:你能求出'吗
【答案】　'='==.
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,当g(x)是常数函数,即g(x)=c时,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【解析】　(1)y'=(cos x·ln x)'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin x·ln x+.
(2)y'=(x3·ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'
=3x2·ex+x3·ex=ex(x3+3x2).
(3)y'='=
==-.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式和函数积与商的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
【解析】　(1)y'=
=
=-.
(2)y'=(2x)'cos x+(cos x)'2x-3[x'log2020x+(log2020x)'x]
=2xln 2·cos x-sin x·2x-3log2020x+log2020ex
=2xln 2·cos x-2xsin x-3log2020x-3log2020e.
(3)y'=(xtan x)'='
=
=
=
==.
探究3 导数的四则运算的应用
例3　已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点P处的切线斜率为a,试求点P的横坐标;
(2)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直,求a的值以及切线l的方程.
【解析】　(1)∵f(x)=x3-2x2+ax,∴f'(x)=x2-4x+a,设点P的横坐标为x0,令-4x0+a=a,∴-4x0=0,∴x0=0或x0=4.
(2)由题意可知,方程f'(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根,∴Δ=16-4(a+1)=0,∴a=3,则f'(x)=x2-4x+3=-1,∴x2-4x+4=0,解得切点的横坐标为x=2,
∴f(2)=×8-2×4+2×3=,∴切线l的方程为y-=(-1)(x-2),即3x+3y-8=0.
【方法总结】　　利用导数的四则运算法则求解问题,一定要熟悉运算法则,特别是对复杂结构的函数求导.这一过程体现了数学运算素养.
1.已知某运动物体的运动方程为s(t)=+2t2(位移单位:m,时间单位:s),求t=3 s时物体的瞬时速度.
【解析】　∵s(t)=+2t2=-+2t2=-+2t2,
∴s'(t)=-+2·+4t,
∴s'(3)=-++12=,
即物体在t=3 s时的瞬时速度为 m/s.
2.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
【解析】　(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
所以f'(x)=2ax+b.
又因为f'(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.
(2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3,
所以g'(x)=exsin x+excos x+2x-8,
所以g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7.
又因为g(0)=3,
所以g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.
【随堂检测】
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　∵f'(x)=3ax2+6x,
∴f'(-1)=3a-6=4,
∴a=.
2.已知函数f(x)=,则该函数的导函数f'(x)=(　　).
A. B.
C. D.2x-cos x
【答案】　B
【解析】　由题意可得f'(x)==.故选B.
3.在一次降雨过程中,某市的降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=,则在t=40 min时的降雨强度为　　　　mm/min.
【答案】　
【解析】　∵y=,∴y'=×,∴当t=40时,y'=×=.
4.已知函数f(x)=x2+xln x.
(1)求函数f(x)的导数f'(x);
(2)求函数f(x)在x=1处的切线方程.
【解析】　(1)因为f(x)=x2+xln x,所以f'(x)=2x+ln x+1.
(2)由题意可知,切点的横坐标为1,所以切线的斜率k=f'(1)=2+1=3,
又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=3(x-1),整理得3x-y-2=0.
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